习题 1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x x y的定义域和值域。
3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g xxx f ==。
4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。
7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。
微积分总复习题及答案第五章一元函数积分学例1：求不定积分sin3xdx ?解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1sin 3sin 3(3)3x x x =，故有 '111sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333xdx x x dx xd x x uu C ===-+13cos33u x x C =-+例2：求不定积分(0)a >解：为了消去根式，利用三解恒等式22sin cos 1t t +=，可令sin ()22x a t t ππ=-<<，则cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分化为2221cos 2cos cos cos 2ta t a tdt a tdt a dt +=?==2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2(sin cos )2a t t t C =++ 由于sin ()22x a t t ππ=-<<，所以sin xt a=，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写出cos t a==邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ?分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为'1u =）解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-.于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++。
◎空间解析几何复习题一、单项选择题1．设平面方程为0=++D Cz Ax ，其中D ,C ,A 均不为零，则平面 （ ）：A ．平行于x 轴B ． 平行于y 轴C ．经过x 轴D ．经过y 轴 2、下列说法正确的是（ ）：（A ） k j i ++是单位向量 （B ）i-是单位向量 （C ） ),sin(b a b a b a =⨯（D ）与z y x 、、三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为)3,3,3(πππ 3、直线112311x y z -+-==-与平面230x y z +-+=的关系是（ ）。
（A ）平行，但直线不在平面上（B ）直线在平面上 （C ）垂直相交 （D ）相交但不垂直4、下列平面方程中与向量{}2,3,5a 垂直的平面是（ ）：（A ）1532=++z y x （B ） 0532=++zy x （C ）30532=++zy x （D ） 1532=++z y x 5、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）：（A ）xoz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成 （B ）xoy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成 （C ）xoy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成 （D ）xoz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成6．向量与三坐标轴正向的夹角分别为,,αβγ，则（ ）． A ．cos cos cos 1αβγ++=B ．222cos cos cos 2αβγ++=C ．sin sin sin 1αβγ++=D ．222sin sin sin 2αβγ++=7． 设a 、b 、c 为三个任意非零向量，下列结论中正确的是（ ）． A ．222a ba b ⋅=⋅ B ．2a a a ⋅=C ．a b b a ⨯=-⨯D ． ()()b c a b c a ⨯⋅=⋅⋅8．已知向量(1,1,0)a =，(0,1,1)b =，(1,0,1)c =，若向量v 既垂直于a b ⨯又垂直于向量c ，则（ ）是与v 平行的单位向量．A ．(1,0,1)-B ．,0,22-C ． (22-D ． (0,)22- 二、填空题1、 点)1,2,1(到平面01322=-++z y x 的距离为__________。
数三《微积分》期末复习题一、选择题1. 对于xy x y x f +=2),(，原点（0，0）（ C ）.（A ） 不是驻点 （B ） 是极大值点 （C ） 是驻点却不是极值点 （D ） 是极小值点 2.下列积分值为0的是___C_A. ⎰+∞+0211dx x ； B. ⎰-1121dx x（利用几何意义去判定）； C. 22sin (cos cos )1x x x dx xππ-++⎰； D. ⎰--1121dx x . 解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x C ：考察奇偶函数在对称区间上的积分D ：利用几何意义：此积分可以看成函数012≥-=x y 在(-1,1)上的面积。
0,11222≥=+⇒-=y y x x y ，即是上半圆的面积2π3. 二元函数2222222,0(,)00,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨+=⎪⎩在点(0,0)处( B ). A. 连续，偏导数存在； B. 不连续，偏导数存在； C. 连续，偏导数不存在； D. 不连续，偏导数不存在. 4. 下列级数收敛的是___D____.A ． 21+151n n n n ∞=++∑ B. ∑∞=+11n n n n )(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n nD. ∑∞=1!n n n n . 5 . 级数113cos ()n nn n ∞=-∑（ B ）. （A ）条件收敛 （B ） 绝对收敛 （C ） 发散 （D ） 敛散性不能判定解：11333cos cos ()()nn n n n n -=≤，而113()nn ∞=∑收敛，所以绝对收敛。
6 设)(x f 为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则'(2)_____.F =(A) )(2f ； (B) )(22f ； (C) )(2f -； (D) 0. 解：对⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(交换积分次序得⎰⎰⎰-==tt x dx x x f dy x f dx t F 111)1)(()()(所以),1)(()(-='t t f t F'(2)(2).F f = 所以选A二、填空题1、若D 为区域2218x y ≤+≤，则3Ddxdy ⎰⎰＝（ 21π ）=⎰⎰Ddxdy 3πππ21)8(33=-=⋅D S2、函数()y zf x=，其中f 可微，则.))((2x y x y f x z -'=∂∂3. 若ln 21()x xF x t dt =⎰，则()F x '=___2411ln x x x +________.所以本题的答案为24ln x x x+4. 已知22(,)y f x y x y xy x+=+-,则222)1()1(),(y y y x y x f ++-=__________.解：令vuv y v u x x y v y x u +=+=⇒=+=11,, 所以22211)()(),(v v v u v u f ++-=，222)1()1(),(y y y x y x f ++-= 5 设arctanxz y =，则=),(|11dz 1122dz dx dy =- . 本题考查全微分，求全微分实质就是两个偏导数z x y ∂∂∂，然后再利用z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂ 本题：2222222111(),()1()1()zy z x xx x xy x y y y x y y y∂∂=⋅==⋅-=-∂+∂+++ 在点(1,1)处，有11,22z z x y ∂∂==-∂∂，所以1122dz dx dy =-6．若级数为1111,357-+-+ 则它的一般项__121)1(1--=-n u n n _______.7. 交换积分次序()⎰⎰12xxdy y x f dx ,＝1(,)ydy f x y dx ⎰.8. 定积分4121cos ()xx x x dx e -⋅+=⎰______32______. 考查定积分的奇偶性，三、计算题1．求极限(,)limx y →.解：(,)(,)(,)limlimlimx y x y x y →→→==(,)(0,0)lim 1)2x y →==2. 已知方程),(x yxy f x z 3=，f 具有二阶连续偏导数，求222,,,z z z z x y y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 分析：本题考察复合函数求导，特别要注意在求二阶偏导数时要注意11(,)yf f xy x''=，22(,)yf f xy x''=。
