第一部分案例分析
1．【最值问题】对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值，例如，如下图中的函数，它的最大值是，最小值是﹣1，它也是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数和y＝x+1（x＞0）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y＝﹣2x﹣1（a≤x≤b，a＜b）的边界值是3，且这个函数的最大值也是3，求a的值及b的取值范围．
【解答】解：（1）函数是有界函数，函数y＝x+1（x＞0）不是有界函数．对于函数有，所以其边界值为1．
（2）∵函数y＝﹣2x﹣1（a≤x≤b）是y随x的增大而减少的．
＝3，即﹣2a﹣1＝3，解得a＝﹣2．
∴当x＝a时，y
最大值
当x＝b时，y
＝﹣2b﹣1．
最小值
∵边界值是3，∴﹣3≤﹣2b﹣1≤3
∴﹣2≤b≤1
∵b＞a，且a＝﹣2
∴﹣2＜b≤1
2【直线与抛物线点交点问题】
对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例
如，下图中的函数有0、1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）分别判断函数y＝x+1，y＝，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
（2）函数y＝2x2﹣bx
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为多少？
【解答】解：（1）∵函数y＝x+1，令y＝x，则x+1＝x，无解；
∴函数y＝x+1没有不变值；
∵函数y＝，令y＝x，则x＝，解得：x＝±，
∴函数y＝的不变值为±，q＝﹣（﹣）＝2，
∵函数y＝x2﹣2，令y＝x，则x＝x2﹣2，解得：x1＝2，x2＝﹣1，
∴函数y＝x2﹣2的不变值为：2或﹣1，q＝2﹣（﹣1）＝3；
（2）①函数y＝2x2﹣bx，令y＝x，则x＝2x2﹣bx，
整理得：x（2x﹣b﹣1）＝0，
∵q＝0，
∴x＝0且2x﹣b﹣1＝0，
解得：b＝﹣1；
②由①知：x（2x﹣b﹣1）＝0，
∴x＝0或2x﹣b﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝，
∵1≤b≤3，
∴1≤x2≤2，
∴1﹣0≤q≤2﹣0，
∴1≤q≤2；
（3）∵记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．
∴函数G的图象关于x＝m对称，
∴G：y＝，
∵当x2﹣2x＝x时，x3＝0，x4＝3；
当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）＝x时，△＝1+8m，
当△＜0，即m＜﹣时，q＝x4﹣x3＝3；
当△≥0，即m≥﹣时，x5＝，x6＝，
①当﹣≤m≤0时，x3＝0，x4＝3，
∴x6＜0，
∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；
②∵当x5＝x4时，m＝1，当x6＝x3时，m＝3；
当0＜m＜1时，x3＝0（舍去），x4＝3，
此时0＜x5＜x4，x6＜0，q＝x4﹣x6＞3（舍去）；
当1≤m≤3时，x3＝0（舍去），x4＝3，
此时0＜x5＜x4，x6＞0，q＝x4﹣x6＜3；
当m＞3时，x3＝0（舍去），x4＝3（舍去），
此时x5＞3，x6＜0，q＝x5﹣x6＞3（舍去）；
综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜﹣．
3．【“关联抛物线”】
如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A 与点B不重合），我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线．
（1）一条抛物线的“友好”抛物线有D条．
A.1
B.2
C.3D．无数
（2）如图2，已知抛物线L3：y＝2x2﹣8x+4与y轴交于点C，点C关于该抛物线对称轴的对称点为D，请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的表达式；
（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的“友好”抛物线的解析式为y＝a2（x﹣h）2+k，请直接写出a1与a2的关系式为a1+a2＝0．
【解答】解：（1）一条抛物线的“友好”抛物线有无数条，
故选：D；
（2）由L3：y＝2x2﹣8x+4化成顶点式，得
y＝2（x﹣2）2﹣4，
∴C（0，4），对称轴为x＝2，顶点坐标（2，﹣4）．
∴点C关于对称轴x＝2的对称点D（4，4）
设L4：y＝a（x﹣h）2+k
将顶点D（4，4）代入得，y＝a（x﹣4）2+4
再将点（2，﹣4）代入得，﹣4＝4a+4
解得：a＝﹣2
L3的友好抛物线L4的解析式为：y＝﹣2（x﹣4）2+4；
（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的“友好”抛物线的解析式为y＝a2（x﹣h）2+k，请直接写出a1与a2的关系式为a1+a2＝0，
故答案为：a1+a2＝0．
4．【函数与几何综合问题】
如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形；
（2）若抛物线抛物线m：y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，请求出a，b满足的关系式；
（3）如图，△OAB是抛物线n：y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；
若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点关于抛物线的对称轴对称，
∴“抛物线三角形”是等腰三角形；
故答案为等腰；
（2）∵y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，
∴此“物线三角形”是等腰直角三角形，
抛物线的顶点坐标为（2，b），
把y＝0代入y＝a（x﹣2）2+b得a（x﹣2）2+b＝0，解得x＝2±，
∴抛物线y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）与x轴两交点的坐标为（2+，0），（2﹣，0），
∴抛物线y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）与x轴两交点之间的线段长＝2，
