近年江西中考数学二次函数

第 1 页 共169 页 2021年江西省吉安市中考数学总复习：二次函数解析版一．选择题（共50小题）1．已知，二次函数y ＝ax 2+bx +c 满足以下三个条件：①b 2a ＞4c ，②a ﹣b +c ＜0，③b ＜c ，则它的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ． 【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 满足以下三个条件：①b 2a ＞4c ，②a ﹣b +c ＜0，③b ＜c ， ∴由①可知当a ＞0时b 2﹣4ac ＞0，则抛物线与x 轴有两个交点，当a ＜0时b 2﹣4ac ＜0，则抛物线与x 轴无交点；由②可知：当x ＝﹣1时，y ＜0，由③可知：﹣b +c ＞0，∵a ﹣b +c ＜0，∴必须a ＜0，∴符合条件的有C 、D ，由C 的图象可知，对称轴直线x =−b 2a ＞0，a ＜0，∴b ＞0，抛物线交y 的负半轴，c ＜0，则b ＞c ，由D 的图象可知，对称轴直线x =−b 2a ＜0，a ＜0，∴b ＜0，抛物线交y 的负半轴，c ＜0，则有可能b ＜c ，故满足条件的图象可能是D ，故选：D ．2．将抛物线y ＝x 2﹣6x 绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（ ）A ．y ＝（x ﹣3）2+9B ．y ＝（x +3）2+9C．y＝﹣（x+3）2+9D．y＝﹣（x﹣3）2+9【解答】解：抛物线y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9的顶点坐标为（3，﹣9），由于抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为（﹣3，9），并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+9．故选：C．3．在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与y轴的交点在正半轴上，∴﹣3a＞0，∴a＜0，即抛物线的开口向下，∵抛物线的解析式是y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x=−−2a2a=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴点A（﹣0.5，y1）关于直线x＝1的对称点的坐标是（2.5，y1）∵图象过点（2.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3），又∵2＜2.5＜3，∴y2＞y1＞y3，故选：B．4．将抛物线y＝x2﹣2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+2）2﹣2B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣2）2+5D．y＝（x﹣2）2﹣2【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2向左平移2个单位所得直线解析式为：y＝（x+2）2﹣2；再向下平移3个单位为：y＝（x+2）2﹣2﹣3，即y＝（x+2）2﹣5．故选：B．5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论：①abc＞0 ②b2﹣4ac＞0 ③4b+c＝0 ④若B(−52，y1)、C(−12，y2)第2 页共169 页。

初三数学二次函数图像专题一、单选题1．（已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b +c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 42．小明从如图所示的二次函数y = ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab > 0 ②a＋b ＋c < 0 ③b＋2c > 0 ④a－2b ＋4c > 0 ⑤a=b 23.你认为其中正确信息的个数有（ ）A ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a +b ＜0；②abc ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；⑤（a ﹣2b +c ）＜0，其中正确的个数是（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 54．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①9a ﹣3b+c=0；②4a ﹣2b+c ＞0；③方程ax 2+bx+c ﹣4=0有两个相等的实数根；④方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0的两根是x 1=﹣2，x 2=2．其中正确结论的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，4），与x 轴的一个交点是B （3，0），下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③方程ax 2+bx+c=4有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x （ax+b ）≤a+b ，其中正确结论的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论：①2a+b<0;②abc>0;③4a−2b+c>0;④a+c>0,其中正确结论的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个7．（题文）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0②b-a＞0③4a+2b+c＞0④3a＞-c⑤a+b＞m(am+b)(m≠1) 的实数其中正确结论的有( )A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤8．如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，与y轴的交点B在和之间包括这两点下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④9．如图，抛物线，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：，，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴的另一个交点是，当时，有其中正确结论的个数是( )A．5B．4C．3D．210．如图，二次函数的图象如图所示，下列结论：，，，其中正确的是（）A．B．C．D．11．抛物线与直线的图象如图所示，下列判断：；；；；当或时，．其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个12．已知二次函数的图象经过点、，，图象与y轴的负半轴相交，且交点在的上方，有下列结论：；；；其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．413．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）如图所示，现有下列四个结论：①abc＞0 ②b2-4ac＜0 ③c ＜4b ④a+b＞0．其中正确的结论有（）A．1个B．3个C．2个D．4个14．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．516．已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．17．二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（）A． B C．D．18．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的大致图象是()A．B．C．D．19．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．20．反比例函数y=(k≠0)与二次函数y=x2+kx-k的大致图象是（）A．A B．B C．C D．D21．二次函数的图象如图，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．22．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的图象可能是（）A．B．C．D．23．已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．24．如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（）A．B．C．D．25．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A B C D26．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥27．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A B C．D．28．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）A. B CD ．参考答案1．D 2．D 3．A 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D 9．A 10．C 11．B 12．C 13．C 14．A15．B 16．A 17．B 18．C 19．B 20．B 21．C 22．C 23．D 24．D 25．B 26．A 27．B 28．C。

第6节 二次函数的图象与性质 (必考,3分或在二次函数综合题中考查)命题分析二次函数的图象和性质是函数的重点内容,在江西学考中一般是1道中档题或难题,二次函数的图象、二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点是考查的重点.这类考题近6年主要为选择题或出现在二次函数的综合题中.【知识清单】知识点1 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象与性质二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0)aa>0a<0图象性质对称轴1.对称轴为直线①2.利用x=x 1+x 22求解(其中x 1,x 2为关于对称轴对称的两点的横坐标)顶点坐标1.顶点坐标:②2.将一般式配方为顶点式y=a (x-h )2+k ,则顶点坐标为③ 增减性1.在对称轴左侧,即当x<-b2a 时,y 随x的增大而④2.在对称轴右侧,即当x>-b2a 时,y 随x的增大而⑤1.在对称轴左侧,即当x<-b2a时,y 随x的增大而⑥2.在对称轴右侧,即当x>-b2a 时,y 随x的增大而⑦最值当x=-b2a 时,y 取最小值,最小值为4ac−b 24a当x=-b2a时,y 取最大值,最大值为4ac−b 24a知识点2 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象与a ,b ,c 的关系抛物线与a ,b ,c 的关系{a 决定开口方向与大小{方向:{a >0,开口⑧ a <0,开口⑨大小:{|a |越大,开口⑩ |a |越小,开口⑪ a ,b 决定对称轴(直线x =−b 2a )的位置{b =0,对称轴为y 轴ab >0,对称轴在y 轴左侧ab <0,对称轴在y 轴右侧c 决定与y 轴的交点位置{c =0,经过原点c >0,与y 轴⑫ 相交c <0,与y 轴⑬ 相交知识点3 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系{抛物线与x 轴的交点个数{两个:Δ⑭ 0一个:Δ⑮ 0零个:Δ⑯ 0一元二次方程的根的情况{x 1≠x 2:Δ>0x 1=x 2:Δ=0没实数根:Δ<0 【参考答案】①x=-b2a ②(-b2a ,4ac -b 24a) ③(h ,k ) ④减小 ⑤增大 ⑥增大 ⑦减小 ⑧向上 ⑨向下 ⑩越小越大正半轴负半轴>=<【自我诊断】1.已知二次函数y=-(x-2)2-3,下列说法正确的是 ( ) A .对称轴为直线x=-2 B .顶点坐标为(2,3) C .函数的最大值是-3 D .函数的最小值是-32.设A (-2,y 1),B (1,y 2),C (2,y 3)是抛物线y=3(x+1)2+4m (m 为常数)上的三点,则y 1,y 2,y 3的大小关系 ( ) A .y 1<y 2<y 3 B .y 2<y 1<y 3 C .y 3<y 1<y 2D.y 3<y 2<y 13.如图,这是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法正确的是( )A.c<0B.方程ax2+bx+c=0的根为x1=1,x2=3C.当x>1时,y随x值的增大而减小D.当y≥0时,0<x<34.一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0,a,b,c为常数)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A BC D【参考答案】1.C2.A3.C4.B【真题精粹】考向二次函数的图象和性质(必考)1.(2021·江西)在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )A BC D2.(2020·江西)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x 轴正半轴交于点B,连接AB,将Rt△OAB向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且点O',A'落在抛物线的对称轴上,点B'落在抛物线上,则直线A'B'的表达式为( )A.y=xB.y=x+1D.y=x+2C.y=x+12【参考答案】1.D2.B【核心突破】考点二次函数的图象和性质例题1 二次函数y=ax2+bx+1的图象与一次函数y=2ax+b的图象在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A BC D例题2 二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)图象的顶点在第一象限,且图象过点(-1,0),设m=a+b+1,则m的取值范围是( )A.0<m<1B.0<m<2C.1<m<2D.-1<m<1例题3 如图,二次函数y=a(x+1)2+4的图象与x轴交于A(-3,0),B两点,则下列说法错误的是( )A.a<0B.方程a(x+1)2+4=3有两个不相等的实根C.点B的坐标为(1,0)D.当x<0时,y随x的增大而增大变式特训1.一次函数y=ax+b的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的图象可能是( )A BC D2.对于抛物线y=ax2-2ax-3a+3的性质,下列说法错误的是( )A.抛物线的对称轴为直线x=1B.抛物线一定经过两定点(-1,3)与(3,3)C.当a<0时,抛物线与x轴一定有两个不同的交点D.当a>0时,抛物线与x轴一定有两个不同的交点3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(-2,0),对称轴为直线x=2,其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-2,x2=6;③12a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是-2≤x<2;⑤当x<0时,y随x的增大而增大.其中正确结论的个数是( )A.4B.3C.2D.1【参考答案】例题1 A例题2 B例题3 D变式特训1.D2.D3.B仿真训练1.B2.D3.C4.D5.D6.D7.C8.B9.C 10.(1)当1≤x≤4时,函数的最大值为4,最小值为0 (2)t=3-√3或t=√3。

2021年江西省中考数学总复习：专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。

抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=- （2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式。

（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式 2()y a x h k =-+ 224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾y x O已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。

抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点；24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。

江西省十年中考题中的二次函数题1.（2003年）抛物线的解析式2y ax bx c =++满足如下四个条件：0=abc ；3=++c b a ；4-=++ca bc ab ；a ＜b ＜c .（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 的左边），与y 轴的交点为C .①在第一象限内，这条抛物线上有一点P ，AP 交y 轴于点D ，当OD ＝1.5时，试比较APC S 与AOC S 的大小； ②在x 轴的上方，这条抛物线上是否存在点P '，使得AP C AOC S S '= ，若存在，请求出点P '的坐标；若不存在，请说明理由. 解:（1）∵0a ≠，abc ＝0，∴bc ＝0.①当b ＝0时，由3,4;a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=-⎩化简得：3,4;a c ac +=⎧⎨=-⎩解得:111,4;a c =-⎧⎨=⎩ ，224,1;a c =⎧⎨=-⎩∵a ＜b ＜c .∴224,1;a c =⎧⎨=-⎩不符题意舍去。

∴a ＝－1，b ＝0，c ＝4.②当c ＝0时，由3,4;a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=-⎩化简得：3,4;a b ab +=⎧⎨=-⎩解得:111,4;a b =-⎧⎨=⎩ ，224,1;a b =⎧⎨=-⎩∵a ＜b ＜c . ∴111,4;a b =-⎧⎨=⎩ ，224,1;a b =⎧⎨=-⎩都不符合题意，舍去.∴所求抛物线的解析式为：24y x =-+.（2）①在24y x =-+中，∵当0y =时，2x =±；当0x =时，4y =. ∴A 、B 、C 三点的坐标分别为（－2，0）、（2，0）、（0，4） 过P 作PG ⊥x 轴于G ，设点P 的坐标为（m ，n ） ∵点P 是这条抛物线上第一象限内的点∴m ＞0，n ＞0，24n m =-+ ∴PG 24m =-+，OA ＝2，AG ＝m +2 ∵OD ∥PG ，OD ＝1.5∴OA OD AG PG =，即22 1.524m m =+-+ 解得:154m =，22m =-（不合题意，舍去）∴54OG =又CD ＝OC －OD ＝4－1.5＝2.5115525222416PDC S CD OG ==⨯⨯=1133242222216AOD S OA OD ==⨯⨯==∴PDC S ∆＞AOD S ∆又∵APC S ∆＝PDC S ∆＋ADC S ∆，AOC S ∆＝AOD S ∆＋ADC S ∆ ∴APC S ∆＞AOC S ∆②分两种情况讨论：在第一象限内，设在抛物线上存在点P′（m ，n ）使得CP A S '∆＝AOCS ∆过P′作P′G 于x 轴于点G ，则m >0，n ＞0，24n m =-+ OG ＝m ，P′G 24m =-+，OA ＝2，AG ＝m +2设AP′交y 轴于点D′，设OD′＝ t∵OD ∥P′G∴OA OD AG P G '='，即2224tm m =+-+ 化简为2282m t mt -=+ D O OC C D '-='＝t -4D AO S '∆＝D O OA '⋅21＝t ⋅⨯221＝tD C P S ''∆＝OG D C ⋅'21＝m t ⋅-⨯)4(21∵C P A S '∆＝AOCS ∆∴D AO S '∆＝D C P S ''∆即 1(4)2t t m =⨯- ，化简得m t mt 42=+ 将m t mt 42=+代入2282m t mt -=+中有m 4＝228m -整理得0422=-+m m解得151-=m ，152--=m∵m ＞0，∴152--=m 不合题意，舍去。

浅析两道二次函数背景下的江西中考题临川二中 熊晓泉一、二次函数内容在江西中考试题中的呈现方式：近几年，江西中考数学卷都是将二次函数背景的试题作为压轴题之一（倒数第二题），且通常是将二次函数与几何图形综合，另外常有一定的探索开放性，所占分值在9—10分，难度较大，梯度较高，是休现试卷选拔功能的常用题型。

二、二次函数基本知识点梳理（一）二次函数的概念一般地，形如2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数，其中,,a b c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项。

（二）二次函数的表达式1．三种表达式2212()(0)()()(0)a a a x h k a a x x x x a ⎧≠⎪=-+≠⎨⎪--≠⎩①一般式:y=x +bx+c(0)②顶点式:y ③交点式(两点式):y= 2．选择适当表达式的依据：3．用配方法可将2(0)y ax bx c a =++≠化为顶点式，即224()24b ac b y a x a a -=+，由此可得到对称轴直线2b x a=-，顶点坐标24(,)24b ac b a a-- （三）二次函数的图象及其性质。

1．二次函数的图像是一条抛物线，画二次函数的草图，通常可采用“五点法”（顶点，与x 轴的两个交点，与y 轴的交点及其对称点）。

2．若二次函数的顶点式为2()y a x h k =-+，（,,a h k 是常数，0a ≠），则其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的增加减性和最值与,,a h k 的值有关。

3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中系数,,a b c 的意义①a 的符号确定抛物线的开口方向，a 的大小决定抛物线的开口程度（大小）。

②b 的值与抛物线的对称轴位置的关系：当0b =时，对称轴是直线0x =（即y 轴）；当,a b 同号时，对称轴平行于轴，且在轴的左则；当,a b 异号时，对称轴在y 轴的右侧。

江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．二次函数的应用（共1小题）1．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K 到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．二．二次函数综合题（共2小题）2．（2023•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF 的面积为S，探究S与t的关系．初步感知（1）如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当t ＝1时，S ＝ ；②S 关于t 的函数解析式为 ．（2）当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长．延伸探究（3）若存在3个时刻t 1，t 2，t 3（t 1＜t 2＜t 3）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①t 1+t 2＝ ；②当t 3＝4t 1时，求正方形DPEF 的面积．3．（2021•江西）二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表：…B （﹣1，3）O （0，0）C （1，﹣1）A （ ， ）D （3，3）……B '（5，﹣3）O ′（4，0）C '（3，1）A ′（2，0）D '（1，﹣3）…①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 ；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．三．四边形综合题（共2小题）4．（2022•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 ；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．5．（2021•江西）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 ；类比迁移（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 ；方法运用（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．四．圆的综合题（共1小题）6．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．五．相似形综合题（共1小题）7．（2023•江西）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．知识应用（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．六．解直角三角形的应用（共1小题）8．（2023•江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）（1）连接CD，求证：DC⊥BC；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类参考答案与试题解析一．二次函数的应用（共1小题）1．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K 到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为　66　；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为　b＞　；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．【答案】（1）66；（2）①基准点K的高度h为21m；②b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由见解答过程．【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．二．二次函数综合题（共2小题）2．（2023•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF 的面积为S，探究S与t的关系．初步感知（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t＝1时，S＝　3　；②S关于t的函数解析式为　S＝t2+2　．（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．延伸探究（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2＝　4　；②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．【答案】（1）①3；②S＝t2+2；（2）S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8），AB＝6；（3）①4；②正方形DPEF的面积为．【解答】解：（1）①当t＝1时，CP＝1，又∵∠C＝90°，CD＝，∴S＝DP2＝CP2+CD2＝12+（）2＝3．故答案为：3；②当点P由点C运动到点B时，CP＝t，∵∠C＝90°，CD＝，∴S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2．故答案为：S＝t2+2；（2）由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18，抛物线的顶点坐标为（4，2），∴BC＝＝＝2，AD＝＝3，∴M（2，6），设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，得4a+2＝6，解得：a＝1，∴S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18，∴AC＝AD+CD＝3+＝4，在Rt△ABC中，AB＝＝＝6，CB+AC＝2+6＝8，∴抛物线的解析式为S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8）；（3）①如图，则∠AHD＝90°＝∠C，∵∠DAH＝∠BAC，∴△ADH∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴DH＝，AH＝4，∴BH＝2，DH＝CD，∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，∴DP1＝DP2＝DP3，∴CP1＝t1，P2H＝4﹣t2，在Rt△CDP1和Rt△HDP2中，，∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL），∴CP1＝HP2，∴t1＝4﹣t2，∴t1+t2＝4．故答案为：4；②∵DP 3＝DP 1，DH ＝DC ，∠DHP 3＝∠C ＝90°，∴Rt △DHP 3≌Rt △DCP 1（HL ），∴P 3H ＝CP 1，∵P 3H ＝t 3﹣4，∴t 3﹣4＝t 1，∵t 3＝4t 1，∴t 1＝，∴S ＝（）2+2＝．3．（2021•江西）二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表：…B （﹣1，3）O （0，0）C （1，﹣1）A （ 2　，　0　）D （3，3）……B '（5，﹣3）O ′（4，0）C '（3，1）A ′（2，0）D '（1，﹣3）…①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L 的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为　﹣3≤x≤﹣1　；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是　y＝ax2　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m 的值．【答案】（1）①（2，0）；②所画图象见解答；（2）①﹣3≤x≤﹣1；②y＝ax2；③m＝±1．【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3）、B'（5，﹣3）关于点A中心对称，∴点A为BB′的中点，设点A（m，n），∴m＝＝2，n＝＝0，故答案为：（2，0）；②所画图象如图1所示，（2）①当m＝﹣1时，抛物线L：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，当x≤﹣1时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣（x+3）2+1，对称轴为直线x＝﹣3，开口向下，当x≥﹣3时，L′的函数值随着x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，故答案为：﹣3≤x≤﹣1；②∵抛物线y＝x2﹣2mx的“孔像抛物线”是y＝﹣x2+6mx﹣8m2，∴设符合条件的抛物线M解析式为y＝a′x2+b′x+c′，令a′x2+b′x+c′＝﹣x2+6mx﹣8m2，整理得（a′+1）x2+（b′﹣6m）x+（c′+8m2）＝0，∵抛物线M与抛物线L′有唯一交点，∴分下面两种情形：i）当a′＝﹣1时，无论b′为何值，都会存在对应的m使得b′﹣6m＝0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；ii）当a′≠﹣1时，Δ＝（b′﹣6m）2﹣4（a′+1）（c′+8m2）＝0，即b′2﹣12b′m+36m2﹣4（a′+1）•8m2﹣4c′（a′+1）＝0，整理得[36﹣32（a′+1）]m2﹣12b′m+b′2﹣4c′（a′+1）＝0，∵当m取不同值时，两抛物线都有唯一交点，∴当m取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与m取值无关，∴，解得a′＝，b′＝0，c′＝0，则y＝x2，故答案为：y＝ax2；③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣（x﹣3m）2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A（2m，0），∴二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时，有三种情况：i）直线y＝m经过M（m，﹣m2），∴m＝﹣m2，解得：m＝﹣1或m＝0（舍去），ii）直线y＝m经过N（3m，m2），∴m＝m2，解得：m＝1或m＝0（舍去），iii）直线y＝m经过A（2m，0），∴m＝0，但当m＝0时，y＝x2与y＝﹣x2只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，m＝±1．三．四边形综合题（共2小题）4．（2022•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为　1　；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为　1　；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为　S1＝S　；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．【答案】（1）1，1，S1＝S；（2）①证明见解析部分；②﹣1；（3）S2的最小值为tan，S2的最大值为1﹣tan（45°﹣α）．【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON ⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM＝ON，∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM＝ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON＝∠EOF＝90°，∴∠MOJ＝∠NOK，∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ＝S△ONK，∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，∴S1＝S．故答案为：1，1，S1＝S．（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT＝CT，∵BM＝CN，∴MT＝TN，∵OT⊥MN，∴OM＝ON，∵∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM＝∠CON＝30°，∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，∵BJ＝JC＝OJ＝1，∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣，∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan＝tan，∴MN＝2MQ＝2tan，∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．同法可证△COM≌△CON，∴∠COM＝α，∵∠COQ＝45°，∴∠MOQ＝45°﹣α，QM＝OQ•tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．5．（2021•江西）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是　∠DCE′　；类比迁移（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是　AD2+DE2＝AE2　；方法运用（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．【答案】（1）∠DCE′．（2）AD2+DE2＝AE2．（3）①证明见解析部分．②．【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A＝∠DCE′，故答案为：∠DCE′．（2）解：如图2中，∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，∴AD2+DE2＝AE2．故答案为：AD2+DE2＝AE2．（3）①证明：如图3中，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O．∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点∴点O是△ADC的外心，∴∠AOC＝2∠ADC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∠OAC＝∠ABC，∴2∠ADC+2∠ABC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝90°．②解：如图4中，在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC，∴△CTD∽△CAB，∴∠DCT＝∠ACB，＝，∴＝，∠DCB＝∠TCA∴△DCB∽△TCA，∴＝，∵＝2，∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝1：2：，∴BD＝AT，∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，DT＝n，AD＝m，∴AT＝＝＝，∴BD＝．四．圆的综合题（共1小题）6．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解答；（2）①是菱形，理由见解答；②+π．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；（2）①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD ＝S△ACD+S扇形COD＝××2×2+＝+π．五．相似形综合题（共1小题）7．（2023•江西）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．知识应用（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．【答案】（1）证明见解答过程；（2）①证明见解答过程；②．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，又∵BD⊥AC，垂足为O，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形．（2）①证明：∵▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝CO＝AC＝4，DO＝BD＝3，又∵AD＝5，∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，∴∠AOD＝90°，即BD⊥AC，∴▱ABCD是菱形；②解：如图，设CD的中点为G，连接OG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝AD＝，由①知：四边形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB，又∵∠E＝∠ACD，∴∠E＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠E+∠COE，∴∠E＝∠COE，∴CE＝CO＝4，∵OG是△ACD的中位线，∴OG∥AD∥BE，∴△OGF∽△ECF，∴，又∵OG＝，CE＝4，∴．六．解直角三角形的应用（共1小题）8．（2023•江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）（1）连接CD，求证：DC⊥BC；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【答案】（1）证明过程见解答；（2）雕塑的高约为4.2m．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，∴2∠ACB+2∠ACD＝180°，∴∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°，∴DC⊥BC；（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，在Rt△DCB中，∠B＝55°，BC＝1.8m，∴BD＝≈＝（m），∵DE＝2m，∴BE＝BD+DE＝（m），在Rt△BEF中，EF＝BE•sin55°≈×0.82≈4.2（m），∴雕塑的高约为4.2m．。

近年江西中考数学二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A、ac＜0B、当x=1时，y＞0C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D、存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE 交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．如图，已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．1.如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．（1）当a=﹣1，b=1时，求抛物线n的解析式；（2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（3）若四边形AC1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式．2.已知：抛物线y=a（x﹣2）2+b（ab＜0）的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C 的左侧）．（1）直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．3.将抛物沿c1：y=﹣3x2+3沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．（1）请直接写出拋物线c2的表达式．（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x 轴交点从左到右依次为D，E．①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．4.如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C．（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．5.已知抛物线2()n n n y x a a =--+（n 为正整数，且120n a a a <<<）与x 轴的交点为11(,0)n n A b --和(,0)n n A b 当n=1时，第一条抛物线2111()y x a a =--+与x 轴的交点为0(0,0)A 和11(,0)A b 其他依次类推。