高三体艺生基础训练 第六讲 对数与对数函数

高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数（其中且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .【答案】2【解析】由y＝log（x＋3）－1经过的定点为（－2，－1）a于是－2m－n＋4＝0，得2m＋n＝4，且mn＞0，于是m＞0，n＞0所以＝2当且仅当m＝1，n＝2时等号成立，即的最小值为2.【考点】函数图象过定点，基本不等式(2x－1)的定义域为________________.2.函数f(x)＝log2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.计算的结果是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，选B【考点】对数基本运算.4.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.5.若，则＝．【答案】【解析】∵，，∴.【考点】分段函数的函数值、三角函数值的计算、对数式的计算.6.设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解析】∵1<e<3，则1<<e<e2<10.∴0<lg e<1.则lg＝lg e<lg e，即c<a.又0<lg e<1，∴(lg e)2<lg e，即b<a.同时c－b＝lg e－(lg e)2＝lg e(1－2 lg e)＝lg e·lg>0.∴c>b.故应选B.7.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.8.已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．【解析】解：当a>1时，f(x)＝logax在上单调递增，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有解得a≥3.∴此时a的取值范围是a≥3.当0<a<1时，f(x)＝logax在上单调递减，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有，解得0<a≤.∴此时，a的取值范围是0<a≤.综上可知，a的取值范围是∪[3，＋∞)．9.（5分）（2011•重庆）设a=，b=，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A和C．因为b=log23﹣1，c=log34﹣1=，因为（log23）2＞2，所以log23＞，所以b＞c，排除D故选B．点评：本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．10.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.11.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.12.对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，对任意实数a,b定义运算如下，所以，==，故，选B.【考点】分段函数，对数函数的性质，新定义.13.已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．【答案】c≥【解析】由题意，在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥14. 若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________． 【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x ＝对称， 而f(x)＝log 2＋log 2|a|，从而＝，所以a ＝2.15. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.16. 设则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】B 【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D 选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.17. 函数y=log a (x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 . 【答案】(2,2)【解析】∵log a 1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).18. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝f，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】c ＞a ＞b【解析】由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a＞b .19. 在ABC 中，若，则A=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由，整理得，又，选C.【考点】对数及其运算，余弦定理的应用.20.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.21.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,则x1+x2=-m,x1x2=，(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=+m+1<0,即∴-m<n<-3m-2,为平面区域D,∴m<-1,n>1,因为的图像上存在区域D内的点，所以，，因为，所以，所以解得.【考点】1.函数的导数；2.对数的性质.22.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-loga （x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有 loga （2+2）＜3，且loga（6+2）≥3，解得.【考点】1.指数函数与对数函数的图象与性质；2.函数的零点与方程根的关系23.对于以下结论：①.对于是奇函数，则；②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件；③.若，，则在上的投影为；④.(为自然对数的底)；⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来.其中，正确结论的序号为__________________.【答案】③④⑤【解析】对①，不一定有意义，所以不正确；对②，是的充分但不必要条件；所以不正确；对③，易得在上的投影为；所以正确；对④，构造函数，则.由此可得在上单调递减，故成立；所以正确；对⑤，原函数可变为：，所以将函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位可得函数的图像.正确.【考点】1、函数的性质；2、随机事件及二项分布；3、向量的投影；4、充分必要条件.24.设，，，则( )A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c【答案】D【解析】，，，又，，，，所以，所以.【考点】对数与对数运算25.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.26.不等式的解集为_____________.【答案】【解析】原不等式等价于，解得.【考点】对数函数的定义与性质27.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是．【答案】【解析】由得，且，由对数函数的特征得，所以，故.【考点】对数函数性质、基本不等式.28.已知函数．(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.试题解析：(1)∵，设，则为减函数，时，t最小值为， 2分当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分又，∴ 6分(2)令，则；∵，∴函数为减函数，又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分所以时，最小值为，此时最大值为；9分又的最大值为1，所以， 10分∴，即，所以，故这样的实数a存在． 12分【考点】1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式29.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是 .【答案】【解析】函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得.【考点】1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域.30.已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）的最小值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数求出的单调递增区间和递减区间；（2）将函数在上无零点的问题转化为直线与曲线在区间上无交点，利用导数确定函数在区间上的图象，进而求出参数的取值范围，从而确定的最小值；（3）先研究函数在上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应的不等式，从而求出的取值范围.试题解析：（1）时，由得得故的减区间为增区间为 3分（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分（3）当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当变化时，，的变化情况如下时，，任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④当时对任意，在上存在两个不同的使成立【考点】1.函数的单调区间；2.函数的零点；3.函数的存在性问题31.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.【答案】【解析】函数的定义域为，则满足，即对任意实数恒成立，只要比的最大值大即可，而的最大值为，即．【考点】函数的定义域恒成立问题，学生的基本运算能力与逻辑推理能力．32.设，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】是上的增函数，又．【考点】对数值大小的比较．33.，，，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】因为，，即，所以，故选C.【考点】对数的运算34.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数解析式有意义需满足：解得且，即选D.【考点】1.对数函数；2.一元二次不等式.35.若，则（）A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】C【解析】因为所以，而，故，又，而，故，综上，，选C.【考点】对数函数.36.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.由对数的性质知：，，。

第6 讲对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质①a log aN＝__N__；②log a a N＝__N__(a>0且a≠1)；③零和负数没有对数．(2)对数的运算性质(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log aMN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c (×) (2)log 2x 2＝2log 2x (×)(3)函数y ＝log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的定义域为{x |x ＞12}(×) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)2．(2014·某某卷)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析 由已知得b ＝5a，b ＝10c,5d＝10，∴5a＝10c,5d＝10，同时取以10为底的对数可得，a lg 5＝c ，d lg 5＝1，∴c a ＝1d，即a ＝cd .答案 B3．(2014·某某卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681-34 ＋log 354＋log 345＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681-34 ＋log 354＋log 345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278.答案2784．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．(人教A 必修1P75B2改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值X 围是________．解析 当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一 对数的运算【例1】 (1)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B ．12 C ．2D ．4(2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________.解析 (1)(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 (1)D (2)2规律方法 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．【训练1】 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)lg 5＋lg 20的值是________．解析 (1)∵2a＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.答案 (1)A (2)1考点二 对数函数的图象及其应用【例2】 (1)(2014·某某卷)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )(2)(2015·某某模拟)设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析 (1)由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.(2)构造函数y ＝10x与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2＜－1，－1＜x 1＜0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1＜0，所以lg(x 1x 2)＜0，即0＜x 1x 2＜1，故选D. 答案 (1)B (2)D规律方法 在解决对数函数图象的相关问题时，要注意：(1)底数a 的值对函数图象的影响；(2)增强数形结合的解题意识，使抽象问题具体化．【训练2】 已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0＜a －1＜b ＜1 B ．0＜b ＜a －1＜1 C ．0＜b －1＜a ＜1 D ．0＜a －1＜b －1＜1解析 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1＜log a b ＜0，解得1a ＜b ＜1.综上有0＜1a＜b ＜1.答案 A考点三 对数函数的性质及其应用【例3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值X 围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析 (1)∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 5 2＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1，∴c ＞a ＞b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)，故选A.答案 (1)D (2)A规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【训练3】 (1)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0， log 12－x ，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析 (1)∵a ＞0，∴2a＞1，∴log 12a ＞1，∴0＜a ＜12.又∵b ＞0，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b＜1，∴0＜log 12b ＜1，∴12＜b ＜1.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1，∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0， log 12－a ＞log 2－a ，解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案 (1)A (2)C[思想方法]1．研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[易错防X]1．在运算性质log a M n＝n log a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |(n ∈N ＋，且n 为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值X 围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析 log a b ·log c a ＝log a b ·1log a c ＝log a blog a c ＝log c b ，故选B.答案 B2．(2014·某某一模)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )解析 当x ＝1时，函数无意义，故排除B ，D.又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．答案 A3．(2014·某某卷)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析 由3＜7＜9得log 33＜log 37＜log 39，∴1＜a ＜2，由21.1＞21＝2得b ＞2，由0.83.1＜0.80＝1得0＜c ＜1，因此c ＜a ＜b ，故选B.答案 B4．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值X 围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(0，13)D ．(3，＋∞)解析 由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，故选D.答案 D5．(2014·某某质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)．答案 B 二、填空题6．(2014·某某卷)已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析 ∵4a＝2，∴a ＝log 42＝12，∴lg x ＝12，∴x ＝1012 ＝10.答案107．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 28．(2014·某某一模)已知函数f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )＞0的x 的取值X 围是________．解析 由题意知y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )＞0的x 的取值X 围为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，(1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)判断函数f (x )的单调性．解 (1)要使f (x )有意义，需满足1－x1＋x＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，1＋x ＜0，解得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f (－x )＝lg 1＋x1－x＝－lg 1－x 1＋x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)．设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg 1－x 11＋x 1－lg 1－x 21＋x 2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1·1＋x 21－x 2＝lg 1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1. ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴1－x 1x 2＋x 2－x 1＞1－x 1x 2－(x 2－x 1)＝(1＋x 1)(1－x 2)＞0， ∴1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1＞1，∴lg 1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(－1,1)上是减函数．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12()log 2a x ＋3log a x ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意， ∴a ＝12.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B ．45C ．－1D ．－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－1. 答案 C12．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)解析 由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x＜log a x ⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 答案 B13．(2015·某某模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值X 围是________．解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12， 故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 14．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值； (2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)，∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a 1＋a.。

专题3.6 对数与对数函数【考纲解读与核心素养】1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式. 2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 3.了解对数函数的变化特征.4．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养. 5. 高考预测： （1）对数运算；（2）对数函数的图象和性质及其应用；（3）除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点. 6.备考重点： （1）对数运算（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小； （3）图象过定点； （4）底数分类讨论问题.【知识清单】1．对数及其运算1.对数的概念（1）如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）对数的性质：①负数和零没对数；②10a log =；③1a log a =； （3）对数恒等式a log a N ＝N 2.对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . ③log a a b ＝b (a >0，且a ≠1)2．对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【典例剖析】高频考点一 ：对数的化简、求值【典例1】（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A 【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【典例2】（2019·山东高考模拟（文））设函数()()21,04,0xlog x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B 【解析】∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选：B ． 【规律方法】1.对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 2.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 【变式探究】1.（2018届安徽省宿州市第三次检测）已知，，，则（ ）A. -2B. 2C.D.【答案】C 【解析】由题意，设，则，，，据此有：，则：，即，据此可得：或，其中：，据此可得：，则.本题选择C 选项.2.()52016? 1.2b a a b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝ ，b ＝ . 【答案】4，2. 【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 高频考点二 ：对数函数的概念与图象【典例3】（2019·浙江高三高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【典例4】（2020·上海高一课时练习）函数y x a =-与函数log ay x =在同一坐标系的图像只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】当1a >时，对数函数log ay x =为增函数，当1x =时函数y x a =-的值为负.无满足条件的图像.当01a <<时，对数函数log a y x =为减函数，当1x =时函数y x a =-的值为正.C 满足.故选：C【典例5】已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是 ( )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 1【答案】B【解析】[思路分析] 由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用log a a ＝1，结合图象判断．[解析] 在图中作一条直线y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝log a 3x ，得log a 3x ＝1，所以x ＝a 3. 所以直线y ＝1与曲线C 3：y ＝log a 3x 的交点坐标为(a 3,1)．同理可得直线y ＝1与曲线C 4，C 1，C 2的交点坐标分别为(a 4,1)，(a 1,1)，(a 2,1)． 由图象可知a 3<a 4<a 1<a 2，故选B. 【总结提升】1.对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x . 2. (1)不管a >1还是0<a <1，底大图低；(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a 逐渐变小，即a 的值越小，图象越靠近y 轴．3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．4．对数值log a x的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，log a x>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数log a x>0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，log a x<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数log a x<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．5．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．【变式探究】1．（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A、B两图，，而ax2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，矛盾，对于C、D两图，0＜＜1，在C图中两根之和＜-1，即＞1矛盾，C错，D正确．故选：D．2．（2018届四川省南充市三诊）在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，.所以函数单调递减，排除B，D.与的图象关于轴对称.排除A.故选A.3．（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg,0 ()1lg,0x xf xxx>⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m>-，则实数m的取值范围是（）A．(1,0)(1,)-⋃+∞B．(,1)(1,)-∞-+∞C．(1,0)(0,1)-D．(,1)(0,1)-∞-【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式()()f m f m>-即()()f m f m>-，即()0f m>，观察函数图像可得实数m 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞. 故选：A . 【总结提升】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 高频考点三 ：对数函数的性质及应用【典例6】（2020·全国高考真题（理））若242log 42log a ba b +=+，则（ ）A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B 【解析】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+ 所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B.【典例7】（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】 求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果.详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log ab ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.【典例8】（2019·北京高考模拟（理））若函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则函数()f x 的值域是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞【答案】A 【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为(),2-∞，故选A.【典例9】满足()()0f x f x --=，且在0,单调递减，若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 9c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<【答案】C 【解析】()()0()()f x f x f x f x --=∴=-∴()f x 为偶函数.21log 09c =<22211()(log )(log )(log 9)99f c f f f ∴==-=， 22log 9log 42>=，11114459799207977a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>==>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 9a b ∴>>. ()f x 在0,单调递减，∴()()()2log 9f f a f b <<，即()()()f c f a f b <<.故选：C .【典例10】【2018届河南省南阳市第一中学第十四次考】函数，则使得成立的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】由题意知函数的定义域为，当时，，∴在上单调递减，∵是偶函数， ∴在上单调递增． ∵， ∴，两边平方后化简得且，解得或，故使不等式成立的取值范围是．故选B ．【典例11】（2020·上海高三专题练习）函数20.5log (43)y x x =-的定义域为 ．【答案】【解析】由题意可知20431x x <-≤，解得x ∈．【典例12】（2020·河北新乐市第一中学高二月考）函数()213()log 23f x x x =-++的单调递增区间是________．【答案】[1,3)或(1)3， 【解析】由题意，令223u x x =-++，由0>u ， 解得13x，即函数()f x 的定义域为(1,3)-又根据二次函数的图象与性质可知，函数223u x x =-++在区间(]1,1-上单调递增， 在区间[1,3)上单调递减，又由函数()12log f x u =为单调递减函数，根据复合函数同增异减可得，函数()f x 的单调递增区间为[1,3).故答案为：[1,3)或(1)3， 【易错提醒】解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误. 【变式探究】1.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．2.（2019·山东高考模拟（文））已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（ ） A ．34a >B ．304a <<或43a > C ．304a <<或1a > D ．1a >【答案】C 【解析】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <， 由1log a a =，知3log log 4a a a <,当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<；当1a >时，log a y x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 3.（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()22f log a f ＜，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C 【解析】根据题意，()1y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增， 则()()()()222||22|2|f log a f f log a f log a ⇒⇒＜＜＜， 即222log a -<＜，解得：144a <<， 即a 的取值范围为1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭； 故选：C ．4.(2019·宜春中学、新余四中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1x ＋4－2a ，x ＜1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(－∞，2] C ．(0,2] D ．[2，＋∞)【答案】B【解析】当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1， 当x ＜1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 必须是增函数，且最大值大于或等于1，才能满足f (x )的值域为R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，a －1＋4－2a ≥1，解得a ∈(1,2]．【总结提升】1.解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．2.应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．。

这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.