2016年山东理科数学高考试题

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60（C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）1233+π（C ）1236+π（D ）216+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件学.科.网（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分.考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件,A B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z =（ ）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2. 设集合{}{}22,,10xA y y xB x x ==∈=-<R ，则AB =（ ）A. 1,1-（）B. 0,1（）C. 1,-+∞（）D. 0,+∞（）3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5[,30]，样本数据分组为17.5[,20)，20,2[ 2.5)，22.5[,25)，25,2[7.5)，27.5[,30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A. 56B. 60C. 120D. 1404. 若变量x ，y 满足+2,2-39,0,x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥则22+x y 的最大值是（ ）A. 4B. 9C. 10D. 125. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.12+33π B.12+33π C.12+36π D. 216π+6. 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面αβ,内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是（ ）A.2πB. πC. 32πD. 2π8. 已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos <m ,n >=13，若n ⊥(t m+n )，则实数t 的值为（ ）A. 4B. 4-C.94 D. 94-9. 已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，()1f x x -３＝；当x -1≤≤1时，()f x -=()f x -；当12x >时，11(+)()22f x f x -＝.则(6)f = （ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 210. 若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）A. y=sin xB. y=ln xC. x y=eD. 3y=x232i,z z +=--------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）第II 卷（共100分）二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 执行如图所示的程序框图，若输入的a b ，的值分别为0和9，则输出的i 的值为 .12. 若251)ax x+（的展开式中5x 的系数是80-，则实数a =________.13. 已知双曲线2222y 100E a b a bx =>>-：（，）.矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是_______.14. 在[]1,1-上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为_______. 15. 已知函数2|| ()24 x x m x mx m x m f x ⎧⎨-+⎩=，≤，，＞，其中0m >.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_______. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知2(tanA+tanB)=tanA tanB+cosB cosA. (Ⅰ)证明：2a b c +=； (Ⅱ)求cos C 的最小值.17. （本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.(Ⅰ)已知G,H 分别为EC,FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC ；(Ⅱ)已知1232EF =FB =AC =,AB =BC ，求二面角F -BC -A 的余弦值.18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+. (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .20. （本小题满分13分)已知221()(ln ),R x f x a x x a x -=-+∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性； (Ⅱ)当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立.21. （本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是32，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（ⅰ）求证：点M 在定直线上；（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【考点】并集及其运算【答案】D【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1,3m n<>=，231||||||043t n n n∴+=，104t∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数t的值．【考点】平面向量数量积的运算【答案】D12x>时，1122f x f x⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11x-≤≤【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）22232b c a =，即为a．2b24,x mx m x m-+>⎩x m >时，程()f x b =m ∴的取值范围是【提示】作出函数（Ⅱ）2a b +=22)b a b =+0b >，∴由余弦定理231cos 122c ab -≥sin tan cos A A A =cos cos A B +G 、H 为GQ EF ∴∥又EF BO ∥GQ BO ∴∥且∴平面GQH GH ⊂面GQH GH ∴∥平面（Ⅱ）AB BC =数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页）数学试卷 第15页（共18页），又OO '⊥面OA 为x 轴，建立空间直角坐标系，则(23,0,0)C -，(0,23,0)B 3,0)，(23,3,FC =---(23,23,0)CB =，由题意可知面的法向量为(0,0,3)OO '=，设000(,,)n x y z FCB 的法向量，则00n FC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=⎪⎩，取01x =，则1,2,n ⎛=-- ⎝7cos ,7||||OO n OO n OO n ''∴<>==-'二面角--F BC A 的平面角是锐角，二面角--F BC A 的余弦值为77n n a b =+1n n a b -∴=1n n a a -∴-11a b =+1112b =+14b ∴=，4n b ∴=+（Ⅱ）1)2nn C ，126[2232(1)2]n n T n ∴=++++…①，2316[22322(1)2]n n n n ++++++…②，②可得：231112222(1)2]2(12)6(1)212)232n n n n n n n n n ++++++++-+--+-=-…，232n n +．【提示】（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式，再求数列（Ⅱ）求出数列{}n c 的通项，利用错位相减法求数列【考点】数列的求和，数列递推式【答案】（Ⅰ）“星队”至少猜对22112233232211443433C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝队”两轮得分之和为X 可能为22321143144⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎭⎝⎭，22332322101111443433144⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--+--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦323232323232323225111111114343434343434343144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3232114343144⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223322236011443334144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦222363144⎛⎫= ⎪⎝⎭，的分布列如下图所示： 12346572 25144x 1)2x数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）1a =32ln x x =-()F x f =0001122y FG x x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭30000000022004441111424148x y x x x y PM x y x x +-⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭220220)(41)(21)x x x ++，令12x +22221(122)(1)(21)2122t t t t t t t t t -⎫++-⎪+-+-⎭===0001212FG x x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=00414x y x x -+，整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时【考点】椭圆的简单性质。

2016山东理一、选择题（共10小题；共50分）1. 若复数z满足2z+z=3−2i其中i为虚数单位，则z= A. 1+2iB. 1−2iC. −1+2iD. −1−2i2. 设集合A=y y=2x,x∈R，B=x x2−1<0，则A∪B= A. −1,1B. 0,1C. −1,+∞D. 0,+∞3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25,27.5，27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A. 56B. 60C. 120D. 1404. 若变量x，y满足x+y≤2,2x−3y≤9,x≥0,则x2+y2的最大值是 A. 4B. 9C. 10D. 125. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为 A. 13+23π B. 13+23π C. 13+26π D. 1+26π6. 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f x=3sin x+cos x 3cos x−sin x 的最小正周期是 A. π2B. π C. 3π2D. 2π8. 已知非零向量m，n满足4m=3n，cos<m,n>=13．若n⊥tm+n，则实数t的值为 A. 4B. −4C. 94D. −949. 已知函数f x的定义域为R．当x<0时，f x=x3−1；当−1≤x≤1时，f−x=−f x；当x>12时，f x+12=f x−12．则f6= A. −2B. −1C. 0D. 210. 若函数y=f x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f x具有T性质．下列函数中具有T性质的是 A. y=sin xB. y=ln xC. y=e xD. y=x3二、填空题（共5小题；共25分）11. 执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．12. 若 ax2x 5的展开式中x5的系数是−80，则实数a=．13. 已知双曲线E1:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，若矩形ABCD的四个顶点在E1上，AB，CD的中点为E1的两个焦点，且2 AB =3 BC ，则E1的离心率是．14. 在−1,1上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆x−52+y2=9相交”发生的概率为．15. 已知函数f x= x ,x≤m,x2−2mx+4m,x>m,其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f x=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2tan A+tan B=tan Acos B +tan Bcos A．（1）证明：a+b=2c；（2）求cos C的最小值.17. 在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆Oʹ的直径，FB是圆台的一条母线．（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（2）已知EF=FB=12AC=23,AB=BC．求二面角F−BC−A的余弦值．18. 已知数列a n的前n项和S n=3n2+8n，b n是等差数列，且a n=b n+b n+1．（1）求数列b n的通项公式；（2）令c n=a n+1n+1b n+2，求数列c n的前n项和T n．19. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．20. 已知f x=a x−ln x+2x−1x2，a∈R．（1）讨论f x的单调性；（2）当a=1时，证明f x>fʹx+32对于任意的x∈1,2成立．21. 平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a +y2b=1a>b>0的离心率是32，抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB 的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1的最大值及取得S2最大值时点P的坐标．答案第一部分 1. B 【解析】设z =a +b i ，则2z +z =3a +b i =3−2i ，故a =1，b =−2，则z =1−2i ． 2. C 【解析】A = y y >0 ，B = x −1<x <1 ，则A ∪B = x x >−1 ．3. D 【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时的有200× 0.16+0.08+0.04 ×2.5=140人．4. C 【解析】不等式组表示的可行域是以A 0,−3 ，B 0,2 ，C 3,−1 为顶点的三角形区域，x 2+y 2表示点 x ,y 到原点距离的平方，最大值必在顶点处取到，经验证最大值 OC 2=10．5. C【解析】由三视图可知，上面是半径为 22的半球，体积为V 1=12×43π×223=2π6，下面是底面积为1，高为1得四棱锥，体积V 2=13×1×1=13．6. A 【解析】直线a 与直线b 相交，则α，β一定相交，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能平行．7. B 【解析】f x =2sin x +π6 ×2cos x +π6 =2sin 2x +π3 ，故最小正周期T =2π2=π．8. B【解析】由4 m =3 n ，可设 m =3k ， n =4k k >0 ，又n ⊥ tm +n ，所以n ⋅ tm +n =n ⋅tm +n ⋅n=t m ⋅ n cos <m ,n >+ n2=t ×3k ×4k ×13+ 4k2=4tk 2+16k 2=0,所以t =−4． 9. D【解析】当x >12时，由f x +12 =f x −12 ，得f x +1 =f x ，所以当x >12时，f x 是周期为1的周期函数， 从而f 6 =f 1 ．又因为当−1≤x ≤1时，f −x =−f x ， 所以f 1 =−f −1 =− −1 3−1 =2． 10. A【解析】当y =sin x 时，yʹ=cos x ，cos0⋅cos π=−1，所以在函数y =sin x 图象存在两点x =0，x =π使条件成立，则 A 正确；函数y =ln x ，y =e x ，y =x 3的导数值均非负，不符合题意． 第二部分 11. 3【解析】第一次循环：a =1，b =8；第二次循环：a =3，b =6；第三次循环：a =6，b =3；满足条件，结束循环，此时，i =3． 12. −2【解析】因为T r+1=C5r ax25−rx r=C5r a5−r x10−5r，所以由10−52r=5⇒r=2，因此C52a5−2=−80⇒a=−2．13. 2【解析】易得A c,b 2a ，B c,−b2a，所以 AB =2b2a， BC =2c，由2 AB =3 BC ，c2=a2+b2得离心率e=2或e=−12（舍去），所以离心率为2．14. 34【解析】直线y=kx与圆x−52+y2=9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径，d=1+k2<3，解得−34<k<34，而k∈−1,1，所以发生的概率322=34．15. 3,+∞【解析】由题意画出函数图象如下图，要满足存在实数b，使得关于x的方程f x=b有三个不同的根则4m−m2<m解得m>3，即3,+∞．第三部分16. （1）由题意知2sin Acos A +sin Bcos B=sin Acos A cos B+sin Bcos A cos B，化简得2sin A cos B+sin B cos A=sin A+sin B，即2sin A+B=sin A+sin B．因为A+B+C=π，所以sin A+B=sinπ−C=sin C．从而sin A+sin B=2sin C．由正弦定理得a+b=2c．（2）由1知c=a+b2，所以cos C=a 2+b2−c22ab=a2+b2− a+b222ab=38ba+ab−14≥12，当且仅当a=b时，等号成立．故cos C的最小值为12．17. （1）设FC的中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF，又EF∥OB，所以GI∥OB，在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI=I，BC,OB交于点B，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC．（2）解法一：连接OOʹ，则OOʹ⊥平面ABC，又AB=BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，由题意得B 0,23,0，C −23,0,0，过点F作FM垂直OB于点M，所以FM= FB2−BM2=3，可得F 0,3,3．故BC= −23,−23,0，BF=0,−3,3．设m=x,y,z是平面BCF的一个法向量．由m⋅BC=0, m⋅BF=0,可得−23x−23y=0,−3y+3z=0,可得平面BCF的一个法向量m= −1,1,33．因为平面ABC的一个法向量n=0,0,1，所以cos⟨m,n ⟩=m ⋅nm n =77．所以二面角F−BC−A的余弦值为77．解法二：连接OOʹ，过点F作FM⊥OB于点M，则有FM∥OOʹ，又OOʹ⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM=2−BM2=3，过点M作MN垂直BC于点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F−BC−A的平面角．又AB=BC，AC是圆O的直径，所以MN=BM sin45∘=62，从而FN=422，可得cos∠FNM=77．所以二面角F−BC−A的余弦值为77．18. （1）当n≥2时，a n=S n−S n−1=6n+5．当n=1时，a1=S1=11，代入上式适合，所以a n=6n+5n∈N∗；设数列b n的公差为d，则a1=b1+b2, a2=b2+b3,即11=2b1+d, 17=2b1+3d,解得b1=4, d=3,所以b n=3n+1．（2）由1知c n=a n+1n+1b n+2n=3n+1⋅2n+1．由T=c1+c2+c3+⋯+c n，得T n=32×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，所以2T n=32×23+3×24+4×25+⋯+n+12n+2．以上两式两边相减，得−T n=32×22+23+24+⋯+2n+1−n+12n+2=34+42n−1−n+12n+2=−3n⋅2n+2.所以T n=3n⋅2n+2．19. （1）记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”．由题意，E=ABCD++++由事件的独立性和互斥性，P E=P ABCD+P ABCD +P ABCD +P ABCD +P ABCD=P A P B P C P D+P A P B P C P D+P A P B P C P D+P A P B P C P D+P A P B P C P D=34×23×34×23+2×14×23×34×23+×34×13×34×23=2 3 .所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23．（2）由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，6．由事件的独立性与互斥性得P X=0=14×13×14×13=1144，P X=1=2×34×13×14×13+14×23×14×13=10144=572，P X=2=34×13×34×13+34×13×14×23×+14×23×34×13×+14×23×14×23=25144，P X=3=34×23×14×13+14×13×34×23=112，P X=4=2×34×23×34×13+34×23×14×23=512，P X=6=34×23×34×23=14，可得随机变量X的分布列为x012346P1525151所以数学期望EX=0×1144+1×572+2×25144+3×112+4×512+6×14=236．所以EX=236.20. （1）f x的定义域为0,+∞；fʹx=a−ax −2x+2x=ax2−2⋅x−1x，（1）当a≤0时，若x∈0,1，fʹx>0，函数f x单调递增；x∈1,+∞，fʹx<0，函数f x单调递减．（2）当a>0时，fʹx=a x−1 x+ax−ax3．若0<a<2，则2a >1，所以当x∈0,1或2a,+∞ 时，fʹx>0，函数f x单调递增；当1,2a时，fʹx<0，函数f x单调递减；若a=2时，2a=1，fʹx≥0，函数f x单调递增；若a>2，则0<2a <1，所以当x∈0,2a或1,+∞时，fʹx>0，函数f x单调递增；当2a,1时，fʹx<0，函数f x单调递减．综上所述：当a≤0时，函数f x在0,1上单调递增；函数f x在1,+∞上单调递减．当0<a<2时，函数f x在0,1和2a ,+∞ 上单调递增；函数f x在1,2a上单调递减；当a=2时，函数f x在0,+∞上单调递增；当a>2，函数f x在0,2a 和1,+∞上单调递增；函数f x在2a,1上单调递减．（2）由（1）知a=1时，f x−fʹx=x−ln x+2x−12−1−1−22+23=x−ln x+3x+1x2−2x3−1, x∈1,2,令g x=x−ln x， x=3x +1x2−2x3−1，则f x−fʹx=g x+ x，由gʹx=x−1x≥0，可得g x≥g1=1，当且仅当x=1时取等号；又 ʹx=−3x 2−2x+6x4，设φx=−3x2−2x+6，则φx在1,2上单调递减，且φ1=1，φ2=−10，所以在1,2上存在x0使得x∈1,x0时，φx>0；x∈x0,2时，φx<0；所以函数 x在1,x0上单调递增；在x0,2上单调递减；由于 1=1， 2=12，因此 x≥ 2=12，当且仅当x=2取等号，所以f x−fʹx>g1+ 2=32，即f x>fʹx+32对于任意的x∈1,2恒成立．21. （1）由题意知： a2−b2a =32，解得a=2b．普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版 因为抛物线E 的焦点为F 0,12 ，所以a =1，b =12， 所以椭圆的方程为x 2+4y 2=1．（2）（i ）设P m ,m 22 m >0 ，由x 2=2y 可得yʹ=x ，所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为y −m 22=m x −m ，即y =mx −m 22． 设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，D x 0,y 0 ，联立方程组y =mx −m 22,x 2+4y 2=1. 消去y 并整理可得4m 2+1 x 2−4m 3x +m 4−1=0,故由其判别式Δ>0，可得0<m < 2+ 5且x 1+x 2=4m 34m +1， 故x 0=x 1+x 22=2m 34m 2+1，代入y =mx −m 22可得y 0=−m 224m +1， 因为y 0x 0=−14m ，所以直线OD 的方程为y =−14m x ．联立 y =−14m x ,x =m ,可得点M 的纵坐标为y =−14， 即点M 在定直线y =−14上． （ii ）由（i ）知直线l 的方程为y =mx −m 22， 令x =0得y =−m 22，所以G 0,−m 22 ， 又P m ,m 22 ，F 0,12 ，D 2m 34m +1,−m 224m +1 ，所以 S 1=12 GF m =14m m 2+1 , S 2=12 PM ⋅ m −x 0 =m 2m 2+1 28 4m 2+1 , 所以S 12=2 4m 2+1 m 2+1 2 2, 令t =2m 2+1，则S 1S 2= 2t−1 t +1 t 2=−1t 2+1t +2， 因此当1t =12，即t =2时，S1S 2最大，其最大值为94，此时m = 22满足Δ>0， 所以点P 的坐标为22,14 ，因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为 22,14 .。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分、共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后、将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前、考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后、用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动、用橡皮擦干净后、在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置、不能写在试卷上；如需改动、先划掉原来的答案、然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案、解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥、那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A 、B 独立、那么P(AB)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题、每小题5分、共50分、在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位、则z =（ ）（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ） （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时）、制成了如图所示的频率分布直方图、其中自习时间的范围是[17.5,30]、样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图、这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）（A）56 （B）60 （C）120 （D）140（4）若变量x、y满足2,239,0,x yx yxì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y+的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体、其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A）1233+π（B）13+（C）13+（D）1+（6）已知直线a、b分别在两个不同的平面α、β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m 、n 满足4│m │=3│n │、cos<m 、n >=13.若n ⊥（t m +n ）、则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时、3()1f x x =-；当11x -≤≤时、()()f x f x -=-；当12x >时、11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点、使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直、则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题、每小题5分、共25分。