§45 n次方程式.doc
- 格式：doc
- 大小：109.19 KB
- 文档页数：13
§4-5 n 次方程式(1)由n 次多项式到n 次方程式f (x )= a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a 0 是n 次多项式， 方程式f (x )=0称为n 次(多项)方程式。
例如：3x -35 =0，x 2-3x -54=0，(1+x100)3=1.2分别是1次、2次、3次方程式。
(2)方程式的根：一个数x 0若满足f (x 0)=0，就称x 0为方程式f (x )=0的根或解。
有时特别强调x 0为复数、实数、有理数或整数，x 0又称为复数根、实根、有理根或整数根。
(3)实根的几何解释： 例如： (1)y =f (x )=x 2-3x -4的图形，如右图所示：图形与x 轴相交于两点(-1,0)、(4,0)， 其横坐标-1与4就是x 2-3x -4=0的实根。
(2)y =g (x )=x 2+x +1的图形，如右图所示：图形与x 轴没有交点，因为y =g (x )=(x +12)2+34，所以没有任何实数x ，使得g (x )=0，故g (x )=0方程式x 2+x +1=0 的解x = 错误! 。
一般而言，n 次多项式y =f (x ) 若该曲线和x 轴相交，那么交点P(x 0,f (x 0))的横坐标x 0必满足f (x 0)=0，所以x 0是方程式f (x )=0的一个实根，如果该曲线与x 轴没有交点，此时任何实数均不是方程式f (x )=0的根，因此方程式f (x )=0无实根。
实系数n 次方程式f (x )=0的实根α ⇔n 次函数y =f (x )的图形与x 轴交于点(α,0)讨论n 次方程式，就是要处理下面三个问题：有没有解？ 有多少解？ 如何找出解？ (-x一个实系数的n次方程式，不一定有实数解。
例如x2+1=0就没有实数解，为此我们引进了复数，在复数系中，x2+1=0有两个复数根i及-i。
但就一般的n次方程式，在复数系中，是不是一定有根呢？这个存在性的问题，在公元1799年时，德国数学家高斯(Gauss 1777-1855)在他的博士论文中证明了在复数系中，n次方程式一定有根，它所讨论的方程式不限于实系数而是复数的系数，但实数亦可看作是复数，所以这个结果亦可用到实系数的n 次方程式。
我们将高斯的结果写成下列的定理：代数基本定理：每一个n次方程式，只要n≥1，就至少有一个复数根。
有了代数基本定理之后，我们不用担心是否要为了找根而要一直扩展数系，因为它告诉我们，一个复系数的n次方程式，在复数系中，一定有复数根。
所以我们只要将数系扩展到复数系，就解方程式而言就足够了。
另一个存在性的问题就是n次方程式有无求公式解(将系数加减乘除开根号)的方法？先来看一看几个例子：n=1时ax+b=0的解是x= -b a。
n=2时ax2+bx+c=0的解是x=a acb b24 2-±-至于n=3或4的公式解，一度曾经是数学竞技斗智的焦点。
期间颇多戏剧化的情节发展。
结果三次方程式由卡丹(Carden)于1545年公布其解法于其著作「Ars Magna」中，而据传说此解法是由Tartaglia教给Carden，并以保守此秘密为条件，不料Carden竟然背信，将解法公布，并据为己有，可见Carden此人为达目的不择手段。
至于四次方程式的公式解是由Carden的弟子斐拉利(Ferrari 1522-1565)所提出的。
但是对于五次方程式的堡垒，却久攻不下，这个问题持续了两三百年，直到1832年，一位法国青年Galois在其决斗前夕，在它的遗书中，这位伟大的青年数学家引进了「群」的理论，证明了：五次及五次以上的方程式，不可能有公式解。
从此数学家才解除了寻找公式解的恶梦。
恰有两个根。
一般而言，如果计算重根的个数，(重根算二个、三重根算三个，…)那么根据代数基本定理以及因式定理，我们可推得以下定理：定理：n次方程式就恰有n个根。
例子：x 2-5x +6=0 ⇒ x =2或3 x 2+x +1=0 ⇒x =错误!x 3-x 2+4x -4=0 ⇒(x -1)(x 2+4)=0 ⇒x =1，2i ,-2i x 4+5x 2+4=0 ⇒ (x 2+1)(x 2+4)=0 ⇒ x =i ,-i ,2i ,-2i[讨论]：能否造出一个实系数的二次方程式以1-i 为它的一个虚根？ 否造出一个只含一个虚根1-i 的实系数二次方程式？(1)实系数n 次方程式虚根成对：定理一：若f (x )=a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a 0为一实系数n 次多项式，z 为一个复数， 则)()(z f z f =。
引理1：若z 1,z 2为二复数，则(a)2121z z z z +=+ (b)2121z z z z ⋅=⋅ 。
证明：引理2：n n z z )(=，其中n 为正整数。
证明：[定理一证明]：定理二：设f (x )=a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a 0=0为一实系数n 次方程式，若z为f(x)=0的一根，则共轭虚数z亦为f(x)=0的一根。
[证明]：[讨论]：(a)若f(x)=0为一个3次的实系数方程式，是否一定有实根呢？(b)若f(x)=0为一个4次的实系数方程式，是否一定有实根呢？一般的情形：(a)若f(x)=0为一个奇数次的实系数方程式，一定有实根。
(b)若f(x)=0为一个偶数次的实系数方程式，一定有偶数个实根。
(可能没有实根)(2)有理根成对：先举一个例子：设f(x)=x4-6x3+7x2+6x-2(a)验证2+3是有理系数f(x)=0的一个无理根。
(b)取g(x)=[x-(2+3)][x-(2-3)]=x2-4x+1，请问f(x)是否能被g(x)整除？(c)请问2-3是否为f(x)=0的另一个无理根。
一般情形：设f(x)为有理系数多项式，a,b为有理数，且 b 为无理数若x=a+ b 为f(x)=0之一根，则x=a- b 亦为其根。
[证明]：[例題1]设f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=0为一实系数n次方程式：(1)若f(2-3i)=-4+5i，求f(2+3i)=？(2)若f(-1+6i)= -5，求f(-1-6i)=？Ans：(1)-4-5i (2)-5[例題2]实系数方程式x4-5x3-2x2+14x-20=0有一根1+ i，则求方程式所有的根。
Ans：1+i，1-i，-2，5[例題3]设a,b为实数，若2i-1为x4+3x3+(a+1)x2+ax+b=0的一根，则求a,b之值。
Ans：a=7，b=5[例題4]若a,b为有理数，若1- 2 为x4+ax3-6x2+bx+1之一根求a,b之值，并解此方程式。
Ans：a=0,b=0；1± 2 ，-1± 2(練習1)f(x)为实系数多项式，已知f(3+5i)=7-2i，则f(3-5i)=？Ans：7+2i (練習2)f(x)=x4-8x3+25x2-30x+8，试求f(2+i)=？f(2-i)=？Ans：6i,-6i(練習3)已知2+i为f(x)=x4-4x3+8x2-12x+15的一根，求f(x)=0所有的根。
Ans：2±i，± 3 i(練習4)设f(x)为实系数三次多项式，且f(i)=0 (i=错误!)，则函数y=f(x)的图形与x轴有几个交点？(A)0(B)1(C)2(D)3(E)因f(x)而异。
Ans：(B)(練習5)设实系数多项式f(x)=2x3+3x2+mx+n，若f(i-1)=0，则数对(m,n)=？Ans：(2,-2)(練習6)设a为有理数，若2+ 3 为x4-4x3+2x2-4x+a之一根，则a=？Ans：a=1(3)根与系数的关系：[例題5]设三次方程式ax3+bx2+cx+d=0之三根为α,β,γ，试求根与系数之关系：(1)α +β +γ = (2)α⋅β +β⋅γ +γ⋅α = (3)α⋅β⋅γ = 。
Ans：(1)-ba(2)ca(3)-da[例題6] 设四次方程式ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0之四根为α ,β ,γ ,δ，试求根与系数的关系：(1)四根之和，(2)任意相异两根乘积之和，(3)任意相异三根乘积之和，(4)四根之积。
Ans ：(1)-b a (2)ca (3)错误!(4)错误![讨论]：一般的n 次方程式根与系数的关系：(練習7) 设方程式2x 3+3x -5=0的三根为α、β、γ，求下列各式的值：(a)错误! + 错误! +错误! (b)α2+β2+γ2Ans ：(a) 35 (b)-3(練習8) 已知方程式x 4-x 3-56x 2+ax +b =0的根中，有二根的比为2：3，而另二根的差为1，求整数a,b 之值。
Ans ：a=36,b =720(1)整系数的n 次方程式找有理根： (a)一次因式检验定理：设f (x )=a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a 0为一个整系数n 次多项式，若整系数一次式 ax -b 是f (x )的因式，且a,b 互质，则a |a n 且b |a 0。
(b)有理根检验定理：设f (x )=a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a 0=0为一个整系数n 次方程式，若abx =为f (x )=0之一有理根，a,b 为整数且互质，则a |a n 且b |a 0。
[例題1]解方程式2x4+x3-21x2-2x+6=0。
Ans：3，12，-2+ 2 ，-2- 2[例題2]设f(x)=12x4-56x3+89x2-56x+12=0(1)令x+1x=t，将f(x)x2=0 化为t的方程式。
(2)试解出t，再解出x。
Ans：(1)12t2-56t+65=0 (2)t=52，136，x=12,2,23,32[例題3]设a,b,c为整数，且x4+ax3+bx2+cx+9=0之四根为相异之有理数，求a,b,c之值。
Ans：a=0,b= -10,c=0[例題4]证明：32为无理数。
(練習9) 试求方程式 f (x )=6x 4+5x 3+3x 2-3x -2=0之有理根。
Ans ：23 ，错误! (練習10) 解下列方程式：(1)2x 3+7x 2-7x -5=0 (2)3x 4+x 3-8x 2+x +3=0 (3)(x +1)(x +3)(x +5)+(x +7)+15=0Ans ：(1)x =- 12 或2293±- (2)x =1,1,或6137±-(3) x =-2,-6,-4± 6 [提示：方程式可化为(x +1)(x +7)(x +3)(x +5)+15=0⇒(x 2+8x +7)(x 2+8x +15)+15=0，令y =x 2+8x ⇒(y +7)(y +15)+15=0，解y ，再解x 。
