第7章曲线和曲面

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平螺旋柱状面
1 平螺旋柱状面的形成 平螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的 直母线始终垂直于圆柱轴线。
2 正螺旋柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线（圆柱螺旋线）； （2） 作出直母线的两面投影； （3） 作出该曲面上各素线的投影。
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平 螺 旋 柱 状 面 的 画 法
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3 平螺旋柱状面应用的例子
2 圆柱螺旋线的画法
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螺旋线的画法
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螺旋面
平螺旋面的画法
一直线沿着圆柱螺旋线和圆柱轴线滑动， 并始终与轴线相交成定角，这样形成的 曲面叫螺旋面 螺旋面。 螺旋面
当直线与轴线垂直（即直线在运动中始 终平行于轴线的垂面），所形成的螺旋 面称为平螺旋面 平螺旋面。 平螺旋面 当直线与轴线倾斜，所形成的螺旋面称 为斜螺旋面 斜螺旋面。 斜螺旋面
螺旋扶手 螺旋楼梯
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单叶双曲回转面
1 单叶双曲回转面的形成 单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。 2 单叶双曲回转面的画法 （1） 画出回转轴及直导线的两面投影； （2） 作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影： （3） 作出若干素线及外视转向线的投影。
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2 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
3
锥状面
1 锥状面的形成 一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于 一导平面，这样形成的曲面称为锥状面 锥状面。 锥状面
2 锥状面的画法 （1） 画出一直导线和曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 锥状面的画法
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§7-1 螺旋线
1 圆柱螺旋线的形成 一动点沿着一直线作等速移动，而该直线同时绕与它平行 的一轴线等速旋转，动点的轨迹叫做圆柱螺旋线。 圆柱螺旋线分右旋和左旋两种。 直线旋转一周时，动点沿直线移动的距离叫做螺距。

2 2
2 2
( x − x 0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z 0 )
2
=R
2
(球面方程的标准式 球面方程的标准式) 球面方程的标准式
2 2 2 2 特殊地： 特殊地：球心在原点时方程为 x + y + z = R
将方程（1）展开得 将方程（
2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x0 x − 2 y0 y − 2 z0 z + x0 + y0 + z0 − R = 0
例1
求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为 1 : 2 是曲面上任一点， 设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点， 根据题意有
的点的全体所组成的曲面方程. 的点的全体所组成的曲面方程. 解
| MO | 1 = , | MM 0 | 2
( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4)
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 同理： 同理：
轴旋转一周的旋转曲面方程为 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程
f y, ± x2 + z2 = 0. xoy 坐标面上的已知曲线 f ( x , y ) = 0 绕 y 轴旋转
一周的旋转曲面方程为 一周的旋转曲面方程为
o
x
z
(3) 旋转曲面 定义 一条平面曲线 绕其所在平面上的一条定 直线旋转一周所成的曲面 称为旋转曲面 旋转曲面. 称为旋转曲面. 这条定直 线这条定直线叫旋转曲 ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转一周所得 的旋转面方程。 的旋转面方程。 设旋转面上任意一点 M ( x , y , z ) 是由 yOz 平 面的曲线 f ( y , z ) = 0 上 一点 M1 (0, y1 , z1 ) 绕 z 轴旋转而得的， 则 轴旋转而得的，

V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。

这条定直线叫旋 转曲面的轴．
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旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2

z2 c2

1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2

y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆

a
2

z2 c2

1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2

x2 c2
z2

1

0



2

叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )

o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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