高一数学2第四章大练习

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系一、选择题1．若a ∥α，b ∥α，则直线b a ,的位置关系是 （ ）A.平行B.相交C.异面D.A 、B 、C 、均有可能2.直线与平面平行式指 （ ）A.直线与平面内的无数条直线都无公共点B.直线上的两点到直线的距离相等C.直线与平面无公共点D.直线不在平面内3.有下列命题：①若直线在平面外，则这条直线与平面没有公共点②若直线与一个平面平行，则这条直线与平面内的任何一条直线都平行③若直线a 与平面α的一条直线平行，则直线a 与平面α也平行④两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系为相交或重合则正确命题的个数为 （ ）A.0B.1C.2D.34.若三个平面两两相交，则它们交线的条数 （ ）A ．1条 B.2条 C.3条 D.1条或3条5.过平面外一条直线作与平面的平行平面 （ ）A.必定可以且只能作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.给出下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两个平面互相平行③若直线b a ,与同一个平面所成的角相等，则b a ,互相平行④若直线b a ,是异面直线，则与b a ,都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题7.面α∥面β，直线α⊂a ，则直线a 与平面β的位置关系是＿＿＿＿＿＿8.两直线a ,b 相互平行,且a ∥α,则b 与α的位置关系是＿＿＿＿＿＿9.若平面α和这个平面外的一条直线m 同时垂直于直线n ,则直线m 与面α的位置关系是 ＿＿＿＿＿＿＿10.一个平面内有无数条直线平行于另外一个平面,那么两个平面的位置关系为＿＿＿＿＿三、解答题11.用符号语言表述语句:“直线l 经过平面α内一定点P,但l 在平面α外”,并画图12.a a ,α⊄已知∥a b b 求证：,,α⊂∥α13.平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α∥β是否正确?说明理由.答案2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系1.D2.C3.A4.D5.C6.D7.β//a 8.αα⊂b b 或// 9.平行 10.平行或相交11.略 12.略 13.略 14.略2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定1.C2.A3.A4.C5.D6.C7.相交与或ααb b ,// 8.平行或相交 9.无数 110.M D BM M A A ACE BD 111,,,//连接中点取平面证明：CE BM BMEC ME BC ////为平行四边形，故，则易证= ACE BM MD AE 平面即同理//,//1M MD BM ACE MD =11// ，又平面111,//BMD BD ACE BMD 平面又平面故平面⊂ACE BD 平面所以//111.证明：连接AC C A ,11,,,,11O BD AC Q P EF MN C A 于交于分别交设 OQ AP ACC A OQ AP //,,11中，易证在矩形连接 1111//,//,//D B EF D B MN EFDB AP 又平面从而 MN EF //所以EFDB MN 平面所以//EFDB AMN 平面所以平面//12.略13.证明：如图所示，作相交两平面分别与γβα,,相交 f b e a //,////∴γαd b c a f de c //,////,//∴同理ββ//,//b a ∴βα//∴14.略。

第四章专项训练1一．选择题（共40小题）1．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的关系为（）A．互余B．互补C．相等D．无法确定2．由7个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为（）1题3题7题A．23B．24C．26D．283．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别在BC，CA边的延长线上，EH⊥BC于点H，EH与AB交于点F．则∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1＝∠2B．∠1与∠2互余C．∠1与∠2互补D．∠1+∠2＝100°4．∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（）A．∠1+∠2B．∠1﹣∠2C．∠1﹣90°D．90°﹣∠15．用平面去截正方体，在所得的截面中，不可能出现的是（）A．七边形B．六边形C．平行四边形D．等边三角形6．如图，AD＝AB，BC＝AB且AF＝CD，则DF为AB长的（）A．B．C．D．7．将正方形纸片按如图所示折叠，M为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°8．如图，是小明同学在数学实践课上，所设计的正方体盒子的平面展开图，每个面上都有一个汉字，请你判断，正方体盒子上与“善”字相对的面上的字是（）A．文B．明C．诚D．信9．下列图形折叠后能得到如图的是（）A．B． C D．10．下列说法中正确的有（）个．①一根绳子，用去它的，还剩米；②自然数a的倒数是；③如果a：b＝3：5，那么a＝3，b＝5；④圆的直径越长，圆周率越大；⑤若大圆和小圆半径的比是3：1，则大圆和小圆周长的比是3：1，面积的比是9：1．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“爱”字所对应的面相对的面上标的字是（）A．我B．的C．祖D．国12题14题A．2B．3C．4D．513．已知点P是CD中点，则下列等式中正确的个数是（）①PC＝PD②PC＝CD③CD＝2PD④PC+PD＝CDA．1个B．2个C．3个D．4个14．王老师在庆祝中华人民共和国成立70周年的节目中，看到游行的第26号“立德树人”方阵中，“打开的书本”生长出硕果累累的“知识树”，数据链组成的树干上耸立着“教育云”，立刻把如图图形折叠成一个正方体的盒子，折叠后与“育”相对的字是（）A．知B．识C．树D．教16．时钟的时针和分针垂直的时刻（）A．12：15 B．3：00 C．3：30D．11：4517．如图，是某住宅小区平面图，点B是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路，从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是（）A．A﹣C﹣G﹣E﹣B B．A﹣C﹣E﹣B C．A﹣D﹣G﹣E﹣B D．A﹣F﹣E﹣B18．下列说法正确的有（）①|a|＝a；②x+5一定比x大；③单项式的系数是，次数是3；④＜；⑤长方体的截面中，边数最多的多边形是七边形A．2个B．3个C．4个D．5个19．如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（）A．B．C．D．20．如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若∠BAE＝90°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为360°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个21．用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（）A．4个B．3个22．用一个平面去截一个正方体，截面图形的形状不可能是下列图形（）A．B．C．D．25题23．若大圆的半径是小圆半径的2倍，则大圆的面积是小圆面积的（）A．2倍B．3倍C．4倍D．6倍24．已知线段AC＝4，BC＝1，则线段AB的长度（）A．一定是5B．一定是3C．一定是5或3D．以上都不对25．如图，∠AOB＝90°，把∠AOB顺时针旋转后得到∠COD，已知∠COB＝35°，则∠AOD的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°26．下列说法中，正确的个数是（）①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤正棱柱的侧面一定是长方形．A．2个B．3个C．4个D．5个27．一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是（）A．30°B．35°C．40°D．45°28．下列说法正确的是（）A．如果一个角有补角，那么这个角必是钝角B．一个锐角的余角比这个角的补角小90°C．若∠1+∠2+∠3＝180°，则∠1+∠2+∠3互补D．如果∠a、∠β互余，∠β、∠γ互余，那么∠α与∠γ也互为余角29．如图线段AB和线段CD，在平面内找一点P，使得它到四端点的距离和P A+PB+PC+PD最小，则点P（）A．线段AB的中点B．线段CD的中点C．线段AB和线段CD的交点D．线段AD和线段BC的交点30．下列说法：①物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容；②数轴上，离原点越远的点表示的数就越小；③正数的任何次幂都是正数，负数的任何次幂都是负数；④除以一个数等于乘这个数的倒数；⑤两点之间的距离就是两点之间所连线段的长度．正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个31．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（）①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．A．1个B．2个C．3个D．4个32．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，如果AB＝CD，那么比较AC与BD的大小关系为（）A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．不能确定33．如图，下列关于图中线段之间的关系一定正确的是（）A．x＝2x+2b﹣c B．c﹣b＝2a﹣2b C．x+b＝2a+c﹣b D．x+2a＝3c+2b35．下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段AM 等于线段BM，则点M是线段AB的中点；⑤连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个36．下列说法正确的是（）A．两点之间的所有连线中，直线最短B．若点P是线段AB的中点，则AP＝BPC．若AP＝BP，则点P是线段AB的中点D．若CA＝3AB，则CA＝CB37．下列说法：①平方等于本身的数有0，±1；②3πxy3是4次单项式；③将方程﹣＝1.2中的分母化为整数，得﹣＝12；④平面内有4个点，过每两点直线可画6条．其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个38．下列数学语言，不正确的是（）A．画直线MN，在直线MN上任取一点PB．以点M为端点画射线MAC．直线a，b相交于点mD．延长线段MN到点P，使NP＝MN39．如图，观察图形，下列结论中不正确的是（）A．直线BA和直线AB是同一条直线B．图中有5条线段C．AB+BD＞AD D．射线AC和射线AD是同一条射线40．下列说法正确的有（）①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段．A．1个B．2个C．3个D．0个第四章专项训练2一．选择题（共40小题）1．如图，已知线段AB＝10cm，点C在线段AB上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，那么线段MN的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．不能确定3．下列说法正确的是（）A．两点之间直线最短B．线段MN就是M、N两点间的距离C．射线AB和射线BA是同一条射线D．将一根木条固定在墙上需要两枚钉子，其原理是两点确定一条直线5．同一直线上有A、B、C三点，已知线段AB＝5cm，线段AC＝4cm，则线段BC的长度为（）A．9cm B．1cm C．9cm或1cm D．无法确定6．下列四种说法中，正确的是（）A．两点间的距离是连接两点的线段的长度B．连结两点的线段，叫做两点间的距离C．两点间的距离就是两点间的线段D．两点间的线段长度，叫做两点间的距离8．已知线段AB＝12cm．C是AB的中点．在线段AB上有一点D，且CD＝2cm．则AD的长是（）A．8cm B．8cm或2cm C．8cm或4cm D．2cm或4cm9．如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，现给出下列等式：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD ﹣BC，④BD＝2AD﹣AB．其中正确的等式编号是（）10．如图，线段AB表示一条对折的绳子，现从P点将绳子剪断．剪断后的各段绳子中最长的一段为30cm．若AP ＝BP，则原来绳长为（）cm．A．55cm B．75cm C．55或75cm D．50或75cm14．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（）①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．A．①③B．②④C．①④D．②③15．把一条弯曲的道路改成直道，可以缩短路程，其道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．以上都不正确16．有下列生活，生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④17．如图所示，C、D是线段AB上两点，若AC＝3cm，C为AD中点且AB＝10cm，则DB＝（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm18．如图，线段AB＝20，C为AB的中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB＝3，则CD等于（）A．10B．6C．4D．219．如图，已知线段AB＝18cm，M为AB的中点，点C在线段A上且CB＝AB，则线段MC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm20．如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB＝12cm，BD＝5cm．若点E在直线AB上，且AE＝3cm，则DE的长为（）A．4cm B．15cm C．3cm或15cm D．4cm或10cm21．如图，一条线段AB：BC：CD＝3：2：4，点E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝22cm，则线段BC的长为（）cm．A．8B．9C．11D．1222．如图，点C是线段AB上的一点，M、N分别是AC、BC的中点．若AB＝10cm，NB＝2cm，则线段AM的长为（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm23．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD＝4，AB＝14，那么BC长度为（）24．如图，C、D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AB的长等于（）A．9cm B．10cm C．12cm D．14cm25．下列说法正确的是（）A．.连接两点的线段叫做两点间的距离B．.射线AB和射线BA是同一条射线C．.若点C是线段AB的中点，则AB＝2AC．D．.角的两边越长角越大26．下列叙述：①最小的正整数是0；②单项式3x3y的次数是3；③用一个平面去截正方体，截面不可能是六边形；④若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；⑤若x表示有理数，且|x|＝x，则x＞0．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个28．已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB＝5cm，BC＝3cm，那么点A与点C之间的距离是（）A．8cm B．2cm或4cm C．2cm D．2cm或8cm30．已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是线段AC的中点，则AM的长（）A．7cm B．3cm C．3cm或7cm D．7cm或9cm31．已知线段AC，点D为AC的中点，B是直线AC上的一点，且BC＝AB，BD＝1cm，则线段AC的长为（）A．B．C．6cm或D．6cm或33．已知线段MN＝10cm，现有一点P满足PM+PN＝20cm，有下列说法：①点P必在线段MN上；②点P必在直线MN上；③点P必在直线MN外；④点P可能在直线MN外，也可能在直线MN上．其中正确的说法是（）A．①②B．②③C．③④D．④34．如图，已知点C是线段AD的中点，AB＝10cm，BD＝4cm，则BC的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm第四章专项训练3一．解答题（共40小题）3．如图，已知B是线段AC的中点，D是线段CE的中点，若AB＝4，CE＝AC，求线段BD的长．4．已知线段AB＝14，在线段AB上有点C，D，M，N四个点，且满足AC：CD：DB＝1：2：4，AM＝AC，且DN＝BD，求MN的长．5．已知：如图，在直线l上顺次有A、B、C三点，AB＝4cm，AB＞BC，点O是线段AC的中点，且OB＝cm，求：B、C两点之间的距离．6．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由7．已知，点C是线段AB的中点，AC＝6．点D在直线AB上，且AD＝BD．请画出相应的示意图，并求线段CD的长．8．如图，M为线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC＝4cm，N为AC的中点，MN＝3cm，求线段CM和线段AB的长．9．已知：如图，B，C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，若CD＝6，求：线段MC的长．11．如图，已知B，C是线段AD上两点，且AB：BC：CD＝2：4：3，AD＝18，M是AD的中点，求线段MC的长．10．P是线段AB上一点，AB＝12cm，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（1）如图若AP＝8cm，①运动1s后，求CD的长；②当D在线段PB上运动时，试说明线段AC和线段CD的数量关系；（2）如果t＝2s时，CD＝1.5cm，试探索AP的值．14．点A、B、C所表示的数如图所示，回答下列问题：（1）A、B两点间的距离是多少？（2）若将线段BC向右移动，使B点和A点重合，此时C点表示的数是多少？17．如图，点E、B、C、F在同一线段上，且AD＝6cm，AC＝BD＝4cm，点E、F分别是线段AB、CD的中点，求线段EF的长．18．已知：点C在直线AB上．（1）若AB＝2，AC＝3，求BC的长；（2）若点C在射线AB上，且BC＝2AB，取AC的中点D，已知线段BD的长为1.5，求线段AB的长．（要求：在备用图上补全图形）19．已知线段AB＝6，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．21．如图，已知AC＝16cm，AB＝BC，点C是BD的中点，求AD的长．22．已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，D为AC的中点，若BD＝6cm，求AB的长．23．如图，点A、M、B、N、C在同一直线上顺次排列，点M是线段AB的中点，点N是线段MC的中点，点N在点B的右边．（1）填空：图中共有线段条；（2）若AB＝6，MC＝7，求线段BN的长；（3）若AB＝a，MC＝7，将线段BN的长用含a的代数式表示出来．25．如图，AB＝9，延长AB到C，使BC＝4AB，D是线段BC的中点，求：（1）线段AC的长度：（2）线段AD的长度．26．如图，P是线段AB上的一点，M、N分别是线段AB、AP的中点，若BP＝4cm，求线段MN的长．27．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝6cm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．29．如图，已知点O在线段AB上，点C、D分别是AO、BO的中点（1）AO＝CO；BO＝DO；（2）若CO＝3cm，DO＝2cm，求线段AB的长度；（3）若线段AB＝10，小明很轻松地求得CD＝5．他在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，原有的结论“CD＝5”是否仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．30．如图（1），线段上有3个点时，线段共有3 条；如图（2）线段上有4个点时，线段共有6条；如图（3）线段上有5个点时，线段共有10条．（1）当线段上有6个点时，线段共有条；（2）当线段上有n个点时，线段共有条；（用n的代数式表示）（3）当n＝100时，线段共有条．31．如图，已知线段AB和CD的公共部分BD＝CD＝AB，点E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝14，求AB，CD的长．33．如图，线段AB＝9cm，BC＝6cm，点M是AC的中点．（1）则线段AC＝cm，AM＝cm；（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2．求MN的长．34．已知AB＝10cm，CD＝1cm，AM＝AC，DN＝DB，如图，求MN的长度．36．如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点B表示的数是﹣2，BC＝6，AC＝18，点P从A点出发沿数轴向右运动，速度为每秒2个单位．（1）数轴上点A表示的数为；点C表示的数为．（2）经过t秒P到B点的距离等于P点到C点距离的2倍，求此时t的值．（3）当点Q以每秒1个单位长度的速度从C点出发，沿数轴向终点A运动，N为BQ中点．P、Q同时出发，当一点停止运动时另一点也随之停止运动．用含t的代数式表示线段PN的长．37．操作：如图1，直线l上有A、B两点，线段AB＝10cm，C是线段AB上一点，取AC中点M与BC中点N．探究：（1）图1中的MN长度是cm；（2）小明作了进一步思考：若C沿直线l向线段AB外运动，仍然取AC中点M与BC中点N，MN的长度有没有变化呢？你能帮助小明解决这个问题吗，试试看．（请选择图2或图3中一种情况进行求解）39．已知，线段AB及点C，点D是线段AC的中点，点E是线段CB的中点．探究在图1中，若点C在线段AB上，则DE＝AB成立吗？请选择一种情况画出图形，并说明理由；拓展在图2中，若点C在线段AB或者线段BA的延长线上，DE＝AB成立吗？请选择一种情况画出图形，并说明理由；猜想若点C在线段AB外，DE＝AB成立吗？（填“成立”或“不成立”）．角的运算专题一．解答题（共31小题）1．几何计算：如图，已知∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOB，OD平分∠AOC，求∠COD的度数．解：因为∠BOC＝3∠AOB，∠AOB＝40°所以∠BOC＝°所以∠AOC＝+＝°+°＝°因为OD平分∠AOC31．已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分线．当∠COE＝40°时，求∠AOB的度数．解：∵OE是∠COB的平分线，∴∠COB＝（理由：）．∵∠COE＝40°，∴．∵∠AOC＝，∴∠AOB＝∠AOC+＝110°．7．填空，完成下列说理过程如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数．解：（1）如图，因为OD是∠AOC的平分线，所以∠COD＝∠AOC．因为OE是∠BOC的平分线，所以∠COE＝．所以∠DOE＝∠COD+＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝°．（2）由（1）可知∠BOE＝∠COE＝﹣∠COD＝°．所以∠AOE＝﹣∠BOE＝°．13．补全下列解题过程如图，OD是∠AOC的平分线，且∠BOC﹣∠AOB＝40°，若∠AOC＝120°，求∠BOD的度数．解：∵OD是∠AOC的平分线，∠AOC＝120°，∴∠DOC＝∠＝°．∵∠BOC+∠＝120°，∠BOC﹣∠AOB＝40°，∴∠BOC＝80°．∴∠BOD＝∠BOC﹣∠＝°．23．一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角．2．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE的度数．3．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求出∠BOD的度数；（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．4．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．5．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．6．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠BOD的度数；（2）试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系，说说你的理由．14．如图，已知∠BOC＝2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD＝14°，求∠AOB的度数．15．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；（2）求出∠BOD的度数；（3）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．16．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．17．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．18．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°，OD平分∠COE，求∠COB的度数．24．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．26．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝°；（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD＝35°，则∠AOC＝；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝；（2）如图（2）若∠AOC＝140°，则∠BOD＝；（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由．（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD 角度所有可能的值，不用说明理由．。

2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．若|a |＝2，|b |＝14，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( )A.32B.34C.14D.24 [答案] C[解析] a ·b ＝|a ||b |cos60°＝2×14×12＝14.2．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝23，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 [答案] A[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝231×4＝32.又0≤θ≤π，∴θ＝π6.3．设a 、b 、c 是三个向量，有下列命题： ①若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ③a ·0＝0；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] A[解析] ①中，a ·b －a ·c ＝a ·(b －c )＝0， 又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b －c )，即①不正确；②中，a·b＝0⇔a⊥b或a＝0或b＝0，即②不正确；③中，a·0＝0，即③不正确；④中，左边＝9a2－6a·b＋6b·a－4b2＝9|a|2－4|b|2＝右边，即④正确．4．已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为()①a·b＝±|a||b|⇔a∥b；②a，b反向⇔a·b＝－|a||b|；③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.A．1 B．2 C．3 D．4[分析]由题目可知：a、b、c是三个非零向量，欲判定四个命题的真假，可从平面向量数量积的概念、性质及向量的线性运算等方面考虑．(1)，(2)，(4)从数量积入手，(3)从a＋b，a－b的几何意义入手分析，可得正确选项．[答案] C[解析]①∵a·b＝|a||b|cosθ，∴由a·b＝±|a||b|及a、b为非零向量可得cosθ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且反之也成立，故命题①是真命题．②当a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cosπ＝－|a||b|，且反之也成立，故命题②是真命题．③当a⊥b，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b 为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故命题③是真命题．④当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a ·c |≠|b ·c |，反过来由|a ·c |＝|b ·c |也推不出|a |＝|b |.故命题④是假命题．综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题． 5．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．3 C.32 D ．3[答案] A[解析] a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝－32.6．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案] D[解析] 由PA →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA .同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．7．已知a 、b 是非零向量，且(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6 [答案] B[解析] 由(a －2b )·a ＝0及(b －2a )·b ＝0得，a 2＝b 2＝2|a ||b |cos θ，∴cos θ＝12，θ＝π3.[点评] 数量积运算满足多项式乘法法则及以下乘法公式 (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2， (a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2， a 2－b 2＝(a ＋b )·(a －b )， |a |2＝a 2＝a ·a .8．如右图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是()A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→ [答案] A[分析] 先搞清所涉及的两个向量的夹角，再用数量积的概念进行计算，最后比较大小．[解析] 设正六边形的边长是1，则P 1P 2→·P 1P 3→＝1×3×cos30°＝32；P 1P 2→·P 1P 4→＝1×2×cos60°＝1；P 1P 2→·P 1P 5→＝1×3×cos90°＝0；P 1P 2→·P 1P 6→＝1×1×cos120°＝－12.9．已知△ABC 中，若AB 2→＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形[答案] C[解析] 由AB 2→－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， 得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0， ∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，则BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →， 所以△ABC 是直角三角形，故选C.10．如右图，O ，A ，B 是平面上的三点，向量OA →＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )等于( )A ．1B ．3C ．5D ．6 [答案] D[解析] 由图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP →＝OC →＋CP →＝12(OA→＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP →·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12(42－22)＝6. 二、填空题11．已知|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为60°，则向量a 在向量b 方向上的投影是________．[答案] 2[解析] 向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos60°＝4×12＝2.12．(2011～2012·北京东城高三第一学期期末)已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________；|2a －b |＝________.[解析] 由于a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －1＝2， 则a ·b ＝3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.因为|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝28， 所以|2a －b |＝27.13．已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于________．[答案] －25[解析] 由条件知∠ABC ＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.[点评] 注意AB →与BC →的夹角不是角B ，应是π－B .14．下列判断：①a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a 、b 、c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a 、b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |；④|a ||b |<a ·b ；⑤a ·a ·a ＝|a |3；⑥a 2＋b 2≥2a ·b ；⑦向量a ，b 满足a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a 、b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的投影长，其中正确的是________．[分析] 利用平面向量数量积的概念、性质及向量的线性运算等方面逐一判断．[答案] ①②⑥[解析] 由于a 2≥0，b 2≥0，所以，a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ·c ＝－b ·c ，所以|a ·c |＝|b ·c |，②正确；a ，b 共线⇔a ·b ＝±|a ||b |，所以③不正确； 对于④，应有|a ||b |≥a ·b ，所以④不正确；对于⑤，应该是a ·a ·a ,\s\up16(→))＝|a |2a ，所以⑤不正确； ⑥a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ·b ，故正确；当a 与b 的夹角为0时，也有a ·b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的投影，而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．三、解答题15．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15b ； (3)(3b －2a )·(4a ＋b )．[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos120°＝－60.(2)(3a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15b ＝35a ·b )＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.16．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？[分析] 可利用两个非零向量垂直的等价条件即数量积为零进行求解．[解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )， ∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0， 即k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0， ∴k ＝1415.∴当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．17．(09·天津文)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16C B →＋23C A →，求MA →·MB→. [解析] ∵CM →＝16C B →＋23C A →，∴MA →＝C A →－CM →＝13C A →－16C B →，M B →＝C B →－CM →＝56C B →－23C A →. ∴MA →·MB →＝－29C A →2－536C B →2＋718C A →·C B → ＝－29×12－536×12＋718×12×12＝－2.18．(探究题)设平面内两向量a 与b 互相垂直，且|a |＝2，|b |＝1，又k 与t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )；(2)求函数k ＝f (t )的最小值．[分析] 由x ⊥y ，得x ·y ＝0，即可得到函数关系式k ＝f (t )，从而利用函数的性质求最小值．[解析] (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.又x ⊥y ，所以x ·y ＝0，即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0.因为|a |＝2，|b |＝1，所以－4k ＋t 2－3t ＝0，即k ＝14(t 2－3t )．(2)由(1)知，k ＝14(t 2－3t )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－916，即函数k ＝f (t )的最小值为－916.。

【解析】 2m n 2 loga 2 loga 3 loga 4 loga 3 loga 12 ，a2mn aloga 12 12 .
14.【答案】2
3
2t 1 3
3
【解析】设 g（ ） t ，则 （f t）
，解得 t 2 ， g（ ） 2 .
5
2t 1 5
5
13 15.【答案】（ ，）
2
2
2
19.【答案】（1） （f x） log（2 1 x） log（2 1 x） log（2 1 x2）， （f
2
）
log（2 1
1 ）
log2
21
1
.（6
2
2
分）
1 x＞0，
（2）由
得 1＜x＜1 ， 即 函 数 （f x）的 定 义 域 为（-1,1）， 是 关 于 原 点 对 称 的 区 间 . 又
是偶函数；③当 a＜0 时，若 0＜m＜n＜1 ，则
高中数学 必修第一册 2 / 5
F（m）-F（n） a log2 m 1 （ a log2 n 1） （a log2 n log2 m）＜0 ；④当 a＞0 时， F（x） 2 可化为
1
1
1
（f x ） 2 ，即 a log2
x
1 2 ，即 log2
2
2
2
函数的零点所在的区间是（2，3），故选C.
8.【答案】B
高中数学 必修第一册 1 / 5
【解析】a＞0 且 a≠1 ，u 6 ax 是减函数， （f x）在[0，2]上是减函数， y loga u 是增函数，a＞1 ， 又在[0，2]上需满足 u 6 ax＞0，（u 2） 6 2a＞0，a＜3 .综上，1＜a＜3 .故选B. 9.【答案】B 【解析】当 x＞2 时， （f x） log2 x＞log2 2 1；当 x≤2 时， （f x） x2 a ，且 （f x）max （f 0） a， （f x） 的值域为 R ，a≥1，故选B. 10.【答案】A 【解析】 y （f lg（x 1））的定义域为（0，99]，即 x （0,99]， x 1（1,100]，lg（x 1）（0, 2].在函