(易错题精选)初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案解析
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（易错题精选）初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案解析
一、选择题
1．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）
A．3cm
B．2cm
C．23cm D．4cm
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
∵OB=OC，OG⊥BC，
∴∠BOG=∠COG=12∠BOC =30°，
∵OG⊥BC，OB=OC，BC=2cm，
∴BG=12BC=12×2=1cm，
∴OB=sin30BGo=2cm，
∴OG=2222213OBBG，
∴圆形纸片的半径为3cm，
故选：A．
【点睛】 本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
2．如图，在ABC中，4AC，60ABC，45C，ADBC，垂足为D，ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A．22 B．223 C．423 D．322
【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．
【详解】
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90
在Rt△ADC中，AC=4，∠C=45
∴AD=CD=22
在Rt△ADB中，AD=22，∠ABD=60
∴BD=33AD=263．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD=30°．
在Rt△EBD中，BD=263，∠EBD=30°
∴DE=33BD=223
∴AE=AD−DE=22-223=423
故选：C
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．
3．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=35,则下列结论正确的个数有（ ）
①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案
【详解】
∵菱形ABCD的周长为20cm
∴AD=5cm
∵sinA=35
∴DE=3cm（①正确）
∴AE=4cm
∵AB=5cm
∴BE=5﹣4=1cm（②正确）
∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确）
∵DE=3cm,BE=1cm
∴BD=10cm（④不正确）
所以正确的有三个．
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键
4．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A．(543+10) cm B．(542+10) cm C．64 cm D．54cm
【答案】C
【解析】
【分析】
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】
如图所示，
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=12AC=12×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
故选C．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
5．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )
A．8(31)m B．8(31)m
C．16(31)m D．16(31)m
【答案】A
【解析】
设MN=xm， 在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，
∴BN=MN=x，
在Rt△AMN中,tan∠MAN=MNAN
，
∴tan30∘=16xx =3√3，
解得：x=8(3 +1)，
则建筑物MN的高度等于8(3 +1)m；
故选A.
点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.
6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．23 C．32 D．233
【答案】A
【解析】
连接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC•tan30°=3，
故选A
7．如图，ABC是一张顶角是120的三角形纸片，,6ABACBC现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质求出BH，根据翻折变换的性质求出BD，根据正切的定义解答即可．
【详解】
解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
BH=12BC=3，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=30°，
∴AB=30BHcos=23，
由翻折变换的性质可知，DB=DA=3，
∴DE=BD•tan30°=1，
故选：A．
【点睛】
此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
8．如图，在RtABCV中，90C＝，30B，AD是BAC的角平分线，6AC＝，则点D到AB的距离为( )
A．33
B．3 C．23 D．33
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过点D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠BAC=60°，由AD为∠BAC的角平分线可得∠DAC=30°，根据角平分线的性质可得DE=CD，利用∠DAC的正切求出CD的值即可得答案．
【详解】
∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，DE=CD，
∵AC=6，
∴CD=AC·tan∠DAC=6×33=23，即DE=23，
∴点D到AB的距离为23，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
9．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tanABC（ ）
A．39 B．36 C．33 D．32
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用ECtanABCBE 得出答案．
【详解】
解:连接DC，交AB于点E．
由题意可得:∠AFC=30°, DC⊥AF,
设EC=x,则EF=x=3xtan30,
∴BFAF2EF23x
ECx13tanABCBE923x3x33∠,
故选:A
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若4BC，1DEAF，则GF的长为（ ）
A．135 B．125 C．195 D．165
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形的性质以及勾股定理求得5BECF，证明BCECDF，根据全等三角形的性质可得CBEDCF，继而根据coscosBCCGCBEECGBECE，可求得CG的长，进而根据GFCFCG即可求得答案.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，4BC，
∴4BCCDAD，90BCECDF，
∵1AFDE，
∴3DFCE，
∴22345BECF，
在BCE和CDF中，
BCCDBCECDFCEDF，
∴()BCECDFSAS，
∴CBEDCF，
∵90CBECEBECGCEBCGE，
coscosBCCGCBEECGBECE，
∴453CG，125CG，
∴1213555GFCFCG，
故选A.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
