复变函数第二章 解析函数

第三章 复变函数的积分

（一）

1.解:)10(xxy为从点0到1+i的直线方程,于是

iCyixdixyxdzixyx1022)()()(

102102)1()()(dxxiiixxdixxx

31013)1(3ixi

2.解:(1)11,:xxzC,因此111Cdxxdzz

(2)iezC:,从变到0,因此

200deidedzziCi

(3)下半圆周方程为2,iez,则

202dieidedzziCi

3.证明:(1)11,0:yxC

因为1)(222iyiyxzf,而积分路径长为2)(ii

故 2)()(2222iiCdziyxdziyx.

(2) 0,1:22xyxC

而1)(4422yxiyxzf,右半圆周长为,

所以 iidziyx)(22.

4.解:(1)因为距离原点最近的奇点2z,在单位圆1z的外部,所以zcos1在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0cosCzdz.

(2)1)1(122122zzz,因奇点iz1在单位圆1z的外部, 所以2212zz在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0222Czzdz. (3) )3)(2(652zzezzezz,因奇点3,2z在单位圆1z的外部,

所以652zzez在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0652Czzzdze.

(4)因为2coszz在1z上处处解析, 由柯西积分定理得

0cos2Cdzzz.

淮 阴 工 学 院 课 程 考 试 试 卷

第 1 页 共 2 页 班级 姓名 学号

----------------------------装--------------------------订----------------------线----------------------------- 专业： 电学类各专业 课程名称： 复变函数与积分变换 学分： 3 试卷编号(B)

课程编号： 4110731 考试方式： 闭 卷 考试时间： 100 分钟

拟卷人(签字)： 拟卷日期： 2009.06.05 审核人(签字)：

得分统计表：

题 号 一 二 三 总分

得 分

一、客观题

㈠填空题（每空3分，共30分）

1．121,22,zizi则12zz ，12arg()zz ．

2．写出3i的全部值 ．

3. ln22ie ，Lni .

4．sin(2)z .

５.沿圆周C的正向积分:212zCzedzz ．

６．级数0(1)nnniz的收敛半径R ．

７.()cos(2)fzz的泰勒展开式是 ．

８. 函数()sin(2)ftt的拉普拉斯变换为 ．

㈡选择题（每题3分，共15分）

１．将13i化为三角形式，正确的是 （ ）

（A）32sin3cos2i（B）sincos33i（C）ie62 （D）3sin3cos2i

第2章、解析函数

第⼆章 解析函数

本章介绍复变函数中⼀个重要的概念：解析函数，并给出⼀个重要的判定⽅法：柯西黎曼条件。最后分别介绍⼀些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分⽀解析。

第⼀节 解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：

设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。如果极限()000

()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或

0z z dw dz =。 2、解析函数：

定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D内解析，也

称)(z f 是D 的解析函数。解析函数的导（函）数⼀般记为)('z f 或z z f d )(d 。

注1、 此定义也⽤εδ-语⾔给出。

注2、 可导必连续

注3、解析必可导性，在⼀个点的可导不⼀定解析，可导性是⼀个局部概念，⽽解析性是⼀个整体概念；

解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下⾯的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±

[()()])()()()()

f z

g x f z g z f z g z ''=+

2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠

复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平⾯上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平⾯上的区域1D 内解析，⽽且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=

远程教育适合每个人

02电子商务 张国俊

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