2018年4月最新优质市级模拟试卷快递：江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题(考试版)

江苏省苏北四市2018 届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {-1,0,1}2. 13. (0,1]4. 135. 7506.78549.410.11.11 ..12. [ -1,+1] 13 . [-2,2]14. -15 . (1) 在△ABC中 ,由 cos A= ,得A为锐角 ,所以 sin A=-= ,所以 tan A== ,(2 分)所以 tan B=tan[( B-A)+A]= --(4 分) -==3.(6 分) -(2)在△ABC 中,由tan B=3,得 sin B=,cos B=,(8 分)所以 sin C=sin( A+B)=sin A cos B+ cos A sin B=.(10 分)由正弦定理=,得 b===15,(12 分)所以△ABC 的面积为 S= bc sin A= ×15×13×=78 .(14 分)16 . (1) 如图 , 取AB的中点P, 连接PM,PB1.因为 M,P 分别是 AB,AC 的中点,所以 PM∥BC,且 PM= BC.在直三棱柱 ABC- A1B1C1中,BC∥B1C1,BC=B 1C1,又因为N 是 1 1的中点,B C所以 PM∥B1N,且 PM=B1 N,(2 分)所以四边形 PMNB 1是平行四边形,所以∥ 1.(4分 ) MN PB因为 MN?平面 ABB1A1,PB1?平面 ABB1A1,所以 MN∥平面ABB1A1.(6分 )(2)因为三棱柱 ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以 BB1⊥平面 A1B1C1,(第 16 题)又因为 BB1?平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1⊥平面 A1 B1C1 .(8 分)因为∠ABC=90°,所以 B1C1⊥B1A1,平面11∩平面1111A1, 1 1?平面111,ABB A ABC=B B C A B C所以 B1 C1⊥平面ABB1 A1 .(10 分)又因为 A1B?平面 ABB1A1,所以 B1 C1⊥A1B,即 NB 1⊥A1 B.如图 ,连接AB1,因为在平行四边形 ABB1 A1中,AB=AA1,所以 AB1⊥A1 B.又因为 NB 1∩AB1=B 1,且 AB1,NB 1?平面 AB1 N,所以 1 ⊥平面 1 ,(12 分)A B AB N因为 AN?平面 AB1N,所以 A1 B⊥AN.(14 分)(第 17题)17 . (1)如图 ,设AO交BC于点D,过点O作OE⊥AB,垂足为 E.在△AOE 中,AE=10cosθ,AB=2 AE=20cosθ,(2 分)在△ABD 中,BD=AB ·sinθ=20cosθ·sinθ,(4 分)所以S=· 2π·20sin ·cos ·20cos400π·sin cos 2θ.(6 分)θ θθ=θ(2)要使侧面积最大 ,由 (1)得 ,S=θθ=θ-θ.(8 分)400π sin cos 2400π(sin sin 3)设 f(x)=x-x3(0 <x<1),则 f' (x)=1 -3 x2,由 f' (x)=1-3x2=0,得 x= .当 x∈时,f'(x)>0;当 x∈时,f'(x)<0,所以 f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以 f(x)在 x=时取得极大值,也是最大值,所以当 sin θ=时 ,侧面积S取得最大值.此时等腰三角形的腰长AB=20cos20 -=20 -=.θ=答: 侧面积S取得最大值时 ,等腰三角形的腰AB 的长度为cm .18 . (1) 设椭圆的方程为+ =1( a>b>0),由题意知解得所以椭圆的方程为+=1 .(2) 若AF=FC,由椭圆的对称性 , 知A,所以B--,此时直线BF的方程为 34 3 0.x- y-=--得 7 x2-6 x-13 =0,由解得 x=( x=-1 舍去 ),- -故== .-(3)设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0),直线 AF 的方程为 y=-(x-1),代入椭圆的方程+ =1,2-8-15+24 x =0 .得(15 -6 x ) x00因为0 是该方程的一个解,所以C 点的横坐标C-.x=x x =-又 C( x C,y C)在直线 y=-(x-1) 上 ,(11 分)(14 分)(2 分)(4 分)(6 分)(8 分)(10 分)(12 分)-所以 y C= -( x C-1) = -.同理 ,点D的坐标为,(14分 )--所以2=-= 1 ,k-= k--即存在 m= ,使得 k2 = k1 .(16分 ) 19 . (1) 函数h( x)的定义域为 (0,+∞).当 a= 1时, h(x)=f(x)-g(x)=x2 +x-ln x+2,所以 ()2 1-,(2 分) h' x = x+ - =所以当 0 <x<时 ,h'(x)<0;当 x> 时,h'(x)>0,所以函数h(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,函数()取得极小值ln2, 无极大值.(4 分)h x+(2)设函数 f(x)上点( x1,f(x1))与函数 g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同, 则(1)(2)-,f' x=g' x=-所以 2x1+a==--(6 分) -,所以 x1=-,代入-=11(ln2-a), +ax +- x得 - +ln x2+ -a-2=0 .(*)(8 分)设 F (x)= - +ln x+ -a- 2,则 F'( x)=- + + =- .不妨设 2+ax0-1=0( x0>0),则当 0<x<x0时 ,F'(x)<0;当 x>x 0时,F'(x) >0,所以 F(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,(10 分)代入 a= - = -2x 0 ,得 F (x )min =F ( x 0)= +2x 0 - +ln x 0-2 .设 G (x )=x 2 +2 x- +ln x-2, 则 G'(x ) =2 x+2+ + >0 对 x>0 恒成立 ,所以 ( )在区间 (0,)上单调递增 . 又G (1)=0,G x+∞所以当 0 <x ≤1 时 , G ( x )≤0,即当 0 0≤1 时, ( 0)≤0 .(12 分)<xF x又当 x=e a+2 时,F (x )= -+lne a+2 + -a-2 =- ≥0.(14 分)因此当 0 <x 0≤1 时,函数 F (x )必有零点 ,即当 0 <x 0≤1 时 ,必存在 x 2 使得 ( *)成立 ,即存在 x 1 ,x 2 使得函数 f (x )上点 (x 1 ,f (x 1))与函数 g (x )上点 (x 2, g ( x 2)) 处切线相同 .又由 2 x , 得y'=- 2 0,y= -- <所以 y= -2 x 在(0,1) 上单调递减 ,因此 a= -= -2x 0 ∈[-1,+∞),所以实数 a 的取值范围是 [-1,+∞).(16 分)20 .(1) 若 0, 4,则 n 4 n- 1( ≥2),λ=μ= S = a n所以 a n+1=S n+1 -S n =4( a n -a n- 1),即 a n+1-2a n =2(a n -2a n-1 ), 所以 b =2 b 1.(2 分)n n-又由12, 1 24 1,a = a +a = a得 a 2=3 a 1=6,a 2 -2 a 1 =2 ≠0, 即 b n ≠0,所以2,故数列 {n }是等比数列.(4 分)=b-(2) 若{a n }是等比数列 , 设其公比为 q (q ≠0),当 n= 2 时, S 2 =2λa 2+μa 1,即 a 1 +a 2=2λa 2+μa 1,得1+q=2λ q+μ; ①22当 n= 3 时, S 3 =3λa 3+μa 2,即 a 1 +a 2+a 3 =3 λa 3+μa 2,得 1+q+q =3λq +μq ; ②当 n= 4时, 4 4 43,即 1 2 3 4 4 43 ,得 1 23 4 32③S =λa +μaa +a +a +a= λa +μa +q+q +q = λq +μq .2②-①×q ,得 1 =λq ,③-②×q ,得 13 ,=λq解得 q=1,λ=1.代入① 式 ,得 0(8 分)μ=.此时 S n =na n (n ≥2),所以n1 2,数列 { n }是公比为 1的等比数列 ,a=a =a故 λ=1,μ=0.(10 分)(3) 若 a 2=3,由 a 1+a 2+2λa 2+μa 1, 得 5 =6λ+2μ,又,解得 , 1 (12 分)λ +μ= λ=μ=.由 a 1=2,a 2 =3,λ=,μ=1,代入 S n =λ na+μa n-1 ,得 a 3=4, 所以 a 1,a 2 ,a 3 成等差数列 .由 S n = a n +a n-1 ,得 S n+1 = a n+1 +a n ,两式相减 ,得 an+1 = an+1 - a +a -a n- 1 ,n n即( n-1)a n+1 -( n-2)a n -2a n-1 =0, 所以 na n+2 -(n-1) a n+1 -2a n =0,相减 ,得na n+ 2 2( 1) a n+1 ( 2) n 2 n 2n-10,- n- + n- a - a + a =所以 n (a n+2-2 a n+ 1 +a n )+2( a n+1-2a n +a n- 1) =0,- -所以 (a n+2-2a n+1 +a n ) =- (a n+1-2a n +a n-1 )=(a n -2 a n-1+a n-2 )= =·(a 3-2a 2+a 1 ).(14 分 )--因为1 2 2+a 3 0,所以an+ 2 2 n+1n0,a - a = - a+a =故数列 { a } 是等差数列 .(16 分 )n江苏省苏北四市 2018 届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21 . A. 连接 AD. 因为 AB 为圆的直径 ,所以 AD ⊥BD , 又 EF ⊥AB ,则 A ,D ,E ,F 四点共圆 ,所以· ·(5 分)BD BE=BA BF.又△∽△,ABCAEF所以 = ,即 AB ·AF=AE ·AC ,所以· · · ··( ) 2. (10 分 )BE BD-AE AC=BA BF-AB AF=AB BF-AF=ABB. 因为 M=BA= =-(5 分 )- ,-所以 M - 1=.(10 分)- -C. 把直线方程 l :化成普通方程为 x+y= 2.(3 分)-2ρcos θ-2 ρsin θ=0 2 2-2 y=0,将圆 C :ρ+2 化成普通方程为 x +2x+y即( x+1) 2+( y-1) 2=2.(6 分)圆心 C 到直线 l 的距离为 d==,所以直线 l 与圆 C 相切 . (10 分 )D.因为 [(1 +a)+(1+b)+(1+c )+(1 +d)]·≥=(a+b+c+d )2=1,(5 分)又(1 +a)+(1 +b) +(1 +c)+(1 +d)=5,所以+++≥ .(10 分) 22 . (1)因为 AB=1,AA1=2,则 F(0,0,0), A,C -,B,E,所以=(-1,0,0),= -. (2分)记直线 AC 和 BE 所成的角为α,则 cos cos<,>|α =|=-=, -所以直线 AC 和 BE 所成角的余弦值为.(4 分) (2)设平面 BFC1的法向量为 m=(x1,y1, z1),因为=,=-,则-取 x1=4,得 m=(4,0,1) .(6 分)设平面BCC 1 的法向量为(2, 2, 2 ),n= x y z因为=,=(0,0,2),则取 x2=,得n=(,-1,0) .(8 分) -所以 cos <m, n>=-=.根据图形可知二面角 F -BC 1-C 为锐二面角,所以二面角-1-的余弦值为.(10 分)F BC C23 . (1) 因为抛物线 C 的方程为 y2 =4x,所以 F 的坐标为(1,0),设 M(m, n),因为圆 M 与 x 轴、直线 l 都相切,l 平行于 x 轴,所以圆M 的半径为|n|,点(2,2),P n n则直线 PF 的方程为= --,即 2 n(x-1) -y(n2-1) =0,(2 分)所以---=|n|,又,≠0,-m n所以22121,即n2-m+10,|m-n - |=n +=所以 E 的方程为 y2=x- 1( y≠0).(4 分) (2) 设Q(t2+1, t), A(0,y1 ),B(0,y2),由(1) 知, 点Q处的切线l1的斜率存在 ,由对称性不妨设t>0,由 y'=,所以k AQ=-=-- ,,k BQ==-2--所以1= -, 2233,(6 分)y y =t +t所以 AB=-=2t3+ t+ (t>0) .(8 分)令 f(t)=2t3+ t+ ,t>0,则 f' (t)=6 t2 + -=-,由 f' (t)>0,得 t>-;由 f' (t)<0,得0<t<所以 f(t)在区间-,-上单调递减 ,在-上单调递增 ,所以当-时 , ()取得极小值也是最小值,即AB 取得最小值 ,t= f t此时 s=t2 +1=.(10 分)。

2018年2月徐州市高三质量调研卷数 学 试 题班级 学号 姓名 得分 2018－3－21一. 选择题:(题共12小题, 每小题5分，共60分)1. 函数x 2x )x (f 2-=的定义域为}2,1,0{ , 则该函数的值域为 ( ) A. }1,0,1{ - B. }0,1{ - C. }1y 0|y {≤≤ D. }0y 1|y {≤≤-2. 已知4cot tan =α+α, 则α2sin 等于 ( )A.41 B. －41 C. 21 D. －21 3. 圆2)2y ()2x (22=++-截直线05y x =--所得弦长为 ( )A.6 B.225 C. 1 D. 5 4. 若曲线x x y 4-=在点P 处的切线平行于直线x 3y =, 则点P 的坐标为 ( )A. )0,0(B. )2,1( -C. )3,1(--D. )0,1(5. 已知实数a 和2b 的等差中项是5, 2a 和b 的等差中项是4, 则a 和b 等差中项是 ( ) A. 9 B. 3 C. 29 D. 23 6. 线性目标函数y x 2z +=在约束条件⎩⎨⎧≤≤1|y |1|x | 下, 取得最小值时的最优解是 ( )A. )1,1(B. )1,1( -C. )1,1(--D. )1,1(-7. 已知向量a )1,2(-=, b )3,x (-= , 且a ⊥b , 则实数x 等于 ( ) A. 23- B. 23 C. 61D. 68. 从10名女生, 5名男生中选出6名学生组成课外小组, 如果按性别比例分层抽样, 那么不同的抽 取方法种数为 ( )A. 25410A A ⋅B. 615CC. 35310C C ⋅D. 25410C C ⋅9. 抛物线2mx y =的焦点在直线01y x 2=--上, 则m 的值为 ( )A. －4B.41-C. 41-或4D. 41或－4 10. 已知函数1)2x (f y --=是奇函数, 则函数)x (f y =的图象关于 ( )A. 直线2x -=对称B. 直线2x =对称C. 点)1,2(-对称 D. 点)1 ,2(- 对称 11. 已知函数x 2)x (f =的反函数为)x (f y 1-=,若4)b (f )a (f 11=+--,则b4a 1+的最小值为( )A. 45B. 49C. 169 D. 112. 已知函数)R x ()x (f ∈ 的图象如图所示, 则函数)1x 1x (f )x (g -+= 的单调递减区间是 ( )A. ),1(],0,(∞+-∞B. ),3[],0,(∞+-∞C. ),1(,)1,(∞+-∞D. )1,1[-二. 填空题：(本大题共4小题；每小题4分，共16分)13. 已知n3)a1a 2(+的展开式中的常数项是第七项, 则正整数n 的值为 . 14. 已知双曲线中心在坐标原点, 一个焦点坐标为)0,5( , 一条渐近线方程为x 2y =, 则双曲线的标准方程为 .15. 如果函数)5x 6x (log )x (f 25.0-+-=在区间)1m ,m (+ 上是减函数,那么实数m 的取值 范围是 .16. 下图是某企业2000年至2018年四年来关于生产销售的一张统计图表 (注: 利润＝销售额－生产成本). 对这四年有以下几种说法:(1) 该企业的利润逐年提高; (2) 2000年—2001年该企业销 售额增长率最快;(3) 2001年—2018年该企业生 产成本增长率最快;(4) 2018年—2018年该企业利 润增长幅度比2000年—2001年 利润增长幅度大.其中说法正确的是 (注:把你认为正确的说法序号都 填上).三. 解答题：(本大题6小题，共74分)17.（本题12分）已知函数b lg x )2a (lg x )x (f 2+++=满足2)1(f -=-且对于任意R x ∈, 恒有x 2)x (f ≥成立. (1) 求实数b ,a 的值; (2) 解不等式5x )x (f +<.18. (本题12分) 美国蓝球职业联赛(NBA)某赛季的总决赛在湖人队与活塞队之间进行, 比赛采取 七局四胜制, 即若有一队胜四场,则此队获胜且比赛结束. 因两队实力非常接近,在每场比赛 中每队获胜是等可能的.据资料统计, 每场比赛组织者可获门票收入100美元. 问: (1) 组织者在此次决赛中获门票收入恰为400万美元的概率为多少? (2) 组织者在此次决赛中获门票收入不少于600万美元的概率为多少?19. (本题12分) 已知函数)x cos()x sin()x (f θ-+θ+=的定义域为R.(1) 当2π=θ时, 求)x (f 的单调递增区间; (2) 设)2,0[π∈θ , 若)x (f 为偶函数, 求θ的值.20.（本题12分）已知各项为正数的数列}a {n 的前n 项和为n S , 且满足0S 2a a n n 2n =-+. (1) 求数列}a {n 的通项公式;(2) 若,b a c ),2n (0b b 2,1b n n n 1n n 1⋅=≥=-=- 数列}c {n 的前n 项和为 n T , 求证: .4T n <21. (本题12分) 如图, 在直角梯形ABCD 中, AD ∥BC, DA ⊥AB, 又AD ＝3, AB ＝4, BC ＝3, E 在线段AB 的延长线上. 曲线DE (含两端点) 上任意一点到A 、B 两点的距离之和都相等. (1) 建立适当的坐标系, 并求出曲线DE 的方程;(2) 过点C 能否作出一条与曲线DE 相交且以C 点为中心的弦? 如果不能, 请说明理由; 如果 能, 请求出弦所在直线的方程.22. （本题14分）已知定义在实数集R 上的奇函数)x (f 与偶函数)x (g 满足: x a )x (g )x (f =+ (0a >, 且1a ≠).(1) 求证: )x (g )x (f 2)x 2(f ⋅=;(2) 设)x (f 的反函数为)x (f 1-, 当12a -=时, 试比较)]x (g [f 1-与－1的大小, 并证明你 的结论;(3) 若1a >, n 为正偶数, 试比较)n (f 与)1(nf 的大小, 并证明你的结论.2018年2月徐州市高三质量调研卷数学试题(答卷纸)班级学号姓名得分（每小题4分，共16分）13. ; 14. ;15.;16. ;三. 解答题（共74分）17．（本小题满分12分）解:18．（本小题满分12分）解:20．（本小题满分12分）解:数 学 参 考 答 案（每小题4分，共16分）13. 8 ; 14. 14y x 22=-; 15. ]2,1[; 16. (2) (3) (4) ;三. 解答题（共74分） 17．（本小题满分12分）解: (1)由,2)1(f -=-知, ,01a lg b lg =+-…① ∴.10ba=…②……(2分)又x 2)x (f ≥恒成立, 有0b lg a lg x x 2≥+⋅+恒成立, 故0b lg 4)a (lg 2≤-=∆……(4分) 将①式代入上式得: 01b lg 2)a (lg 2≤+-, 即,0)1b (lg 2≤-故1b lg =, 即10b =,代入②得,100a =……(8分)(2),1x 4x )x (f 2++= ,5x )x (f +<即,5x 1x 4x 2+<++ ∴,04x 3x 2<-+解得: 1x 4<<-, ∴不等式的解集为}1x 4|x {<<-……(12分) 18．（本小题满分12分） 解: 由题意, 每场比赛两队获胜的概率均为21.……(2分) (1) 组织者获门票收入恰为400万美元, 故只比赛4场, 即某一队前四场全胜, ……(3分) 其概率为: .81)21(24=⋅……(6分) (2) 门票收入不少于600万美元, 即至少比赛6场. 比赛6场, 即某队前5场胜3场且第6场胜,其概率为: 1652521)21()21(C 242335==⨯⨯.……(9分) 比赛7场, 即某队前6场胜3 场且第7场胜, 其概率为:16521)21()21(C 23336=⨯⨯⋅.∴至少胜6场的概率为:85165165=+. ……(11分) 答: 组织者在比赛中获门票收入恰为400万美元的概率为81, 组织者在此次决赛中获门票收入不少于600万美元的概率为85.……(12分) ( 注: 两问未乘以2的各扣2分)19．（本小题满分12分）解: (1) 当2π=θ时, )4x sin(2)2x cos()2x sin()x (f π+=π-+π+=……(3分) 由,Z k ,2k 24x 2k 2∈π+π≤π+≤π-π知,Z k ,4k 2x 43k 2∈π+π≤≤π-π ∴)x (f 的单调递增区间是]4k 2,43k 2[π+ππ-π Z k ∈, ……(6分) (2) ∵)x (f 为偶函数, ∴对任意,R x ∈有),x (f )x (f =-∴)x cos()x sin()x cos()x sin(θ-+θ+=θ--+θ+-……(8分)∴,0sin x sin 2cos x sin 2=θ⋅+θ⋅∴ ,0)4sin(x sin 22=π+θ⋅……(10分)∵不恒为0, ∴,0)sin(=π+θ 又)2,0[π∈θ , ∴3π=θ或7π=θ (12)20．（本小题满分12分）解: (1)由0S 2a a n n 2n =-+, 知)a a (21S n 2n n +=, 当2n ≥时, )a a (21S 1n 21n 1n ---+=, ∴),a a a a (21a 1n 21n n 2n n ----+=……(3分) ,0a a a a 1n 21n n 2n =----- ,0)1a a )(a a (1n n 1n n =--+--∵}a {n 各项为正, ∴.1a a 1n n =--又1a 1=,∴)N n (n a n *∈= .……(6分)(2)由1b 1=, ),2n (0b b 21n n ≥=-- 知}b {n 是首项为1, 公比为21的等比数列. ∴,)21(b 1n n -=∴,)21(n c 1n n -⋅=……(8分)∴1n 2n )21(n )21(32121T -⨯++⨯+⨯+= ……①n 32n )21(n )21(3)21(221T 21⨯++⨯+⨯+= ……②……(10分) ①－②得,)21(n 211211)21(n )21()21()21(211T 21n n n 1n 32n ⨯---=⋅-+++++=- ∴.4)21(n 2)21(44T nn n <⨯-⨯-=……(12分)21．（本小题满分12分）解: (1)如图, 以AB 所在直线为x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意, 曲线DE 是椭圆上的一段弧. ……(2分))0,2(A -, )0,2(B , )3,2(D -, )32,2(C ,∴,4|)BD ||AD (|21a ,2c =+==222c a b -=12=,∴曲线DE 的方程为:,112y 16x 22=+ )32y 0,4x 2(≤≤≤≤- .……(6分)注:曲线方程中写0y ,2x≥-≥ 不扣分未写或写错范围的扣1分(2)假设存在直线l 与曲线DE 交于点)y ,x (N ),y ,x (M 2211 , 由,48y x 348y x 322222121⎪⎩⎪⎨⎧=+=+ 得.0)y y )(y y (4)x x )(x x (321212121=-++-+又⎩⎨⎧=+=+32y y 4x x 2221∴23y y x x 43x x y y k 212121211-=++⋅-=--=, ∴l 方程为),2x (233y --=- 即.32x 23y +-=……(9分)由,112y 16x 32x 23y 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=解得)0,4(N ),32,0(M 均在曲线DE 上.故所求的直线方程为: .32x 23y +-=……(12分) 注: 求出M 、N 点坐标而未说明在曲线DE 上的, 扣1分.22．（本小题满分14分）解：(1) ∵,a )x (g )x (f x =+∴.a )x (g )x (f x -=-+-∵)x (f 是奇函数,)x (g 是偶函数,∴,a )x (g )x (f x -=+-……(2分) ∴2a a )x (f x x --=, 2a a )x (g xx -+=, ∴),x 2(f 214a a 2a a 2a a )x (g )x (f x 2x 2x x x x =-=-⋅-=⋅--- ).x (g )x (f 2)x 2(f ⋅=……(4分)(2) ∵,112a 0<-=<∴x 1a y =是),(∞+-∞ 上的减函数, x 2a y -=是),(∞+-∞上的增函数, ∴2a a )x (f xx --=是),(∞+-∞ 上的减函数,且值域为),(∞+-∞ , 由反函数及函数的单调性的概念得: )x (f 1-是),(∞+-∞ 上的减函数. ……(6分) 又∵,12)12()12()1(f 1=---=--1a a 2a a )x (g x x x x =⋅≥+=--, ∴),1(f )]x (g [f 11--≤又,1)1(f -=-∴.1)]x (g [f 1-≤-……(8分) (3))]a a (n )a a [(212a a n 2a a )1(nf )n (f 1n n 1x x -------=-⋅--=- )]a a (n )a a a a a a a )(a a [(211)1n ()2n (12n 1n 1-----------⋅+⋅+⋅+-= ……(10分) )n a a a a a a )(a a (21)1n ()2n (12n 1n 1-+⋅+⋅+-=-------- ……(12分) ∵1a >, ∴,0a a 1>--2aa )1n (1n >+---,2a a a a )2n (12n >⋅+⋅----,… ∴n 22n a a a a a a )1n ()2n (12n 1n =⨯>+⋅+⋅+------- ∴,0)1(nf )n (f >>即).1(nf )n (f >……(14分)。

1．A【解析】由题设知， ()0,3B =，所以{}1,2A B ⋂=， 故选：A 2．B【解析】()211z i i -=+ ()()()221i i 1i1i 1i 11i 2i 2i 2221i z +++-+∴=====-+---， z ∴在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限， 故选：B ．4．B【解析】2221||24221132a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=+⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭故选：B 5．D【解析】由题意知， ()()3404m m m -+>⇒<-，或3m >，则A ，C 均不正确，而B 为充要条件，不合题意， 故选：D ． 6．B【解析】执行程序框图，有S=4，n=1，T=3，不满足条件T ＞2S ，S=7，n=2，T=7，不满足条件T ＞2S ，S=10，n=3，T=13，不满足条件T ＞2S ，S=13，n=4，T=21，不满足条件T ＞2S ，S=16，n=5，T=31不满足条件,S=19,n=6,T=43满足条件T ＞2S ，退出循环，输出T 的值为43．故选：B ． 7．C【解析】等式30{240 120y x y x y +≥-+≥-+≥所表示的平面区域如图所示，当3z x y =+所表示直线经过点()2,3A 时， z 有最大值11． 故选：C点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．学科*网10．C【解析】因()1cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()52sin 2sin 21263g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因33x ππ-≤≤，故240233x ππ≤+≤，则2sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()1g x ≤≤， 故选：C 11．A【解析】由函数()f x 是偶函数得0k =，当0x >时()()0e cos ,e sin 10x xf x x f x x e =-=+>-='，所以函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，又()()()2212220log 32log 5log 3log 32log 5f f f k f a c b ⎛⎫<<<⇒=<+<⇒<< ⎪⎝⎭．故选：A 12．C 【解析】由221,{2202y kx x kx x y=+⇒--==，设()()1122,,,A x y B x y ，则122x x =-， 又OB 的方程为22y y x x =，所以2112212M y x x xy x ===-．设切点2,2t T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为l y x k t '⇒'==，所以l '的方程为()2222t t y t x t y tx -=-⇒=-，所以2111122t t tx x t -=-⇒=-， 21122N N t t tx x t=-⇒=+，又点E 的坐标为()0,1，所以22ME NE -的值为()2221111222t t t t ⎛⎫⎛⎫-+---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．14．()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由已知函数()f x 的周期为2π，一个最小值点为6π，由图像可以得递增区间()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．故答案为： ()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦15．23【解析】当6COP π∠=时， OP的方程为0x =，圆心到直线OP 的距离为：32d =，又圆C3π，所以所求概率为： 223123P ππ⨯=-=故答案为： 2316．28,203ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．17．(1) sin 5C =【解析】试题分析：（1）由()2sin cos b c A A =+即正弦定理可得sin 2sin sin sin cos B A C C A =+，再利用内角和定理与两角和正弦公式可得1tan2C =，从而得到答案；（2）由b c ==，设,b c ==，()cos cos A B C =-+=2b c ==，然后可得面积. 试题解析：（Ⅰ）由()2sin cos b c A A =+得，()sin 2sin sin sin cos sin 2sin sin sin cos B A C C A A C A C C A =+⇒+=+，所以1sin cos 2sin sin tan ,sin 25A C A C C C =⇒=⇒=；点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图及题意可得样本容量n 与x 、y 的值；（2）抽取的2名学生中得分在[)80,90的人数X 可能取值0，1，2，求出相应的概率值，即可得到随机变量X 的分布列及数学期望. 试题解析：（1）由题意可知，样本容量105100,0.0050.010*******n x ====⨯⨯，0.1000.0050.0150.0400.0100.030y =----=；（2）分数在[)80,90内的学生有30人， 分数在[]90,100内的学生有10人， 抽取的2名学生中得分在[)80,90的人数X 可能取值0，1，2，则()2102403052C P X C ===， ()1110302405113C C P X C ===， ()23024029252C P X C ===，则X 的分布列为所以352930125213522EX =⨯+⨯+⨯=．19．(1)见解析.试题解析：（Ⅰ）BD ==222112016BD B D BB +=+=，1DB DB ∴⊥，又平面11BB D D ⊥平面ABCD ， 1DB ∴⊥平面ABCD ，11111ABCD A B C D V AB AD DB -∴=⋅⋅，即该平行六面体的体积32V =；（Ⅱ）如图，以D 为原点， 1,,DA DC DB 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()10,0,0,2,4,0,0,4,0,0,0,4D B C B ， ()11111,2,222DE DD BB ===--，所以点E 坐标为()1,2,2--，设平面1EBC 的法向量(),,m x y z =， 由()()1,,1,2,20220m EB x y z x y z ⊥⇒⋅=⇒++=，由()()1,,0,4,40m CB x y z y z ⊥⇒⋅-=⇒=，令11,4z y x =⇒==-， 所以()4,1,1m =-，又平面1DB C 的法向量为()1,0,0n =.cos ,m n ==点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 学科*网20．(1) 22142x y +=;(2) ⎫+∞⎪⎪⎣⎭.试题解析：（Ⅰ）222222e a b c =⇒==，椭圆方程可以化为22222x y c +=， 直线2l 过右焦点和上顶点时，方程可以设为y x c =-+，联立得：243403Q x cx x c -=⇒=，所以四边形MNQP 的面积为24162233c c c ⋅=⇒=， 所以椭圆方程为： 22142x y +=； （Ⅱ）依题意可以分别设12,l l 的方程为： ,x ky m x ky m =-=+，由椭圆的对称性得： MN PQ =，所以MNQP 是平行四边形，所以MNQP 是菱形，等价于MQ NP ⊥，即OM ON ⊥，将直线1l 的方程代入椭圆方程得到： ()2222240k y kmy m +-+-=， 由()()22222204424024k m k mm k >⇒-+->⇒<+，21．(1)见解析;(2) 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析：（1）由()0f x = e x b x ⇔-=，记()e xg x x=，问题转化为函数()g x 的图象与x 轴的交点个数问题；（2）对任意的0m >，割线AB 的斜率都大于'2m f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2221e e e 024mm m m am --+>，记()h m = 2221e e e 24m m mm am --+，研究函数()h m 的单调性与最值即可.试题解析：（1）0a c ==时，由()0f x = e x b x ⇔-=，记()e xg x x =，()()2e 1x x g x x='-，当01x <<时， ()0g x '<，当1x >时， ()0g x '>，所以当1x =时， ()g x 取得极小值e ，①当e b -<即e b >-时，函数()f x 在区间()0,+∞上无零点； ②当e b -=即e b =-时，函数()f x 在区间()0,+∞上有一个零点； ③当e b ->即e b <-时，函数()f x 在区间()0,+∞上有两个零点；（2）()2e e 32x xf x x ax bx =+'++，2223e e 224m mm m f am bm ⎛⎫=++'+ ⎪⎝⎭， 322e e m m AB m am bm c c k am bm m +++-==++，①当11042a +≥即12a ≥-时， ()0r m >，即()0m φ'>，所以()m φ在区间()0,+∞上单调递增，所以()()00m φφ>=，得到()0h m '>，从而()h m 在区间()0,+∞上单调递增，所以()()00h m h >=恒成立； ②当11042a +<即12a <-时，因为()0,m ∈+∞时， ()r m 递增，所以()110042r a =+<， 所以存在00x >，使得00m x <<时， ()0r m <即()0m φ'<，所以()m φ在区间()00,x 上单调递减，所以00m x <<时， ()()00m φφ<=即()0h m '<，所以00m x <<时， ()h m 在区间()00,x 上单调递减，所以00m x <<时， ()()00h m h <=，从而()0h m >不恒成立。

第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页绝密★启用前2018年陕西省高三教学质量检测试题理科数学（二）第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{}()2A |320 ,24xx x x B =-+≥=<，则A B ⋃= ( )A. ∅B. {}| x x R ∈C. {}|1x x ≤D. {}2x x2．若()()10mi m i -+<，其中i 为虚数单位，则m 的值为( ) A. -1 B. -2 C. -3 D. -43．已知向量()()()2,3,,4,a b x a a b ==⊥-则x = ( ) A. 1 B.12C. 2D. 3 4．已知数列n a ｛｝是等差数列， 12a =，其中公差 0d ≠.若5a 是3a 和8a 的等比中项，则18S = ( )A. 398B. 388C. 189D. 1995．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象( )A. 关于点π(012，）对称B. 关于点π(,06）对称 C. 关于直线12x π=对称 D. 关于直线 3x π=对称6．某程序框图如右图所示，该程序运行输出的k 值是( )A. 9B. 8C. 7D. 67．已知22C:4630x y x y +---=,点()M 2,0-是C 外一点，则过点M的圆的切线的方程是( )A. 20724140x x y +=+=，－ B. 20724140y x y +=++=， C. 20724140x x y +=++=， D. 20724140y x y +=+=，－8．在由不等式组2140,{3, 2,x y x y -+≥≤-≥所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( ) A. 92π-B. 9π-C. 19π-D. 118π－ 9．已知函数()()sin sin 3? f x x x θ=+是奇函数，其中 02πθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，则()f x 的最大值为( ) A.12 B. 210．已知三棱锥S ABC －中， SA ⊥平面ABC ，且30ACB ∠=︒，第3页共6页◎第4页共6页21AC AB===.则该三棱锥的外接球的体积为( )B. 13πC.6D.611．已知点12F F、分别为双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的左、右两个焦点，点P是双曲线右支上一点，若P点的横坐标43x a=时，有12F P FP⊥，则该双曲线的离心率e为( )32C. 2D.9212．已知函数()2,(0)f x e x=+<与()()ln2g x x a=++的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A.1,e⎛⎫-∞⎪⎝⎭B. (),e-∞ C.1,ee⎛⎫-⎪⎝⎭D.1,ee⎛⎫-⎪⎝⎭第II卷（非选择题）二、填空题13．二项式102x⎫-⎪⎭展开式中含10x项的系数是__________．14．设函数()()2,3,{1,3x xf xf xx≥=+<则()2log6f 的值为__________．15．已知函数()2lnf x x=和直线:260l x y+=－，若点P是函数f x（）图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为__________．16．在ABC中，内角A B C，，的对边分别为a b c，，，已知sin1sin sinb Cba c A B==-++,且5,5b AC AB==,则ABC的面积是__________．三、解答题17．已知是数列的前项和，且满足.(1)证明：为等比数列；(2)求数列的前项和.18．某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间频（单位:分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是0100［，］，样本数据分组为02020404060608080100]［，），［，），［，），［，），［，.(1)求直方图中x的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生 1200名请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）.19．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1,90A A AB ABC=∠=︒侧面11A ABB⊥底面ABC.第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页(1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ；(2)若15360AC BC A AB ==∠=︒，，,求二面角11B AC C --的余弦值.20．已知A 20B 20（－，），（，）为椭圆C 的左、右顶点， F 为其右焦点， P 是椭圆C 上异于A B ，的动点，且APB 面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当点P 在椭圆上运动时，求证:以BD 为直径的圆与直线PF 恒相切.21．已知函数()()2,sin x f x ae x g x x bx =+=+,直线l 与曲线()1:C y f x =切于点()()0,0f 且与曲线()2:C y g x =切于点22g ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. (1) 求a b ，的值和直线l 的方程； (2)求证： 2sin 0x ae x bx x +-->.22．在平面直角坐标系中，直线l 0y --=以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2? 1cos?cos θρθ=－. (1)写出直线l 的一个参数方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于A B ，两点，试求AB 中点N 的坐标. 23．已知不等式23x x a +≥－. （1）当0a =，解该不等式； （2）a 取何值时，该不等式成立.。

2018－2018学年度高三综合测试(一)数 学(文科)答案一、选择题：1．A2．依题意可知 | a －5 |=3,解得a =2或 8，选C 3. 由异面直线的定义可知选A4．数列{a n }是等差数列，且a 2= -6, a 8 = 6，∴a 2+a 8 = 0,得2a 5=0, S n 是数列{a n }的前n 项和，∴ S 4=a 1+a 2+a 3+a 4= a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=S 5,选B5．∵ y 1=30。

9,y 2=90.48=(32)0.48=30.96,y 3=( 13 )－1.5=（3－1)－1.5=31.5，又y =3x 是增函数，∴123y y y >>选D6．每次图像变换是对一个x 而言，所以要得到函数y =3sin (2x －π4 )的图象，应将函数y =3sin 2x的图象沿x 轴向右平移 π8个单位，选C7．全集I 是实数集R .{}42>=x x M =(－∞,－2)∪(2,+∞),⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=112x N =(1,3],阴影部分所表示的集合为N ∩∁I M ,所以选D8．选B ,∵AP → =25 AB → +15AC →，∴ 如图，□AMPN 中，AM= 15AC,△ABP 与△ABC 的底边AB 相同，面积之比是AB 边上的高的比.又 MM 1CC 1 = AM AC = 15 .∴ S △P AB S △ABC= 159．选A ，虚线部分是四个象限的角平分线y =±x ，实线部分 始终夹在y =±x 之间，而且是偶函数，所以f (x )可能是A ．x x sin ，∵ －1≤sinx ≤1,∴－x ≤xsinx ≤x10．选C , 对于函数f (x )= ⎩⎨⎧ sinx (sinx ≥cosx )cosx (sinx < cosx ), 画出草图，可知函数的值域为[ 22 ，1]；当x =2k π,或z k k x ∈+=,22ππ时该函数取得最大值1；最小正周期是2π；(4)当且仅当z k k x k ∈+<<+,2322ππππ时,()0<x f .错误命题．．．．的个数为3个 . 二、填空题：NM 111．∵ (3,2)a =-，(2,)b x =，若a b ⊥，则a → ·b →=0,即3×2－2x =0,∴ x =3 . 12．在数轴上画出}1|{≤=x x M ，}|{t x x P >=，若φ≠P M ，则实数t 的取值范围是t <1 . 13.半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -， 则底面正六边形的边长为2，正六棱锥的高为2，可求出 斜高为7 ，故侧面积是67 ．14．在坐标系中画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤0063y x y x x 表示的平面区域，交点为(3，9)，（3，－3），（－3，3）求得其面积为36 ；z =2x +y 的最大值是15三、解答题.15．（本小题满分12分）已知奇函数f (x )= ⎩⎨⎧ －x 2+ 2x (x > 0)0 (x = 0) x 2+ mx ( x <0 )，（1）求实数m 的值；（2）求使f (x )=－1成立的x 的值. 解：（1）依题意可得f (－1)=－f (1),又f (1)=1，∴f (－1)=－1，代入f (x )=x 2+mx ,可得m =2. (大多数同学是利用奇函数的性质f (－x )=－f (x )求得m 的值.)(2)当 ⎩⎨⎧ x >0 －x 2+2x =－1 时，解得x =1+ 2 ;1－ 2 (舍去). 当 ⎩⎨⎧ x <0 x 2+2x =－1 时,解得x =－1.∴x =1+ 2 或x =－1. 16．（本小题满分12分） 在△ABC 中，a ,b ,c 是角A ,B ,C 所对的边，且满足a 2+c 2－b 2= a ·c ， （1） 求角B 的大小；（2） 设m → =(sinA ,cos 2A )，n → =(－6,－1)，求m → ·n →的最小值.解：（1）∵a 2+c 2－b 2= a ·c ，∴cosB = a 2+c 2－b 22ac = 12 ,又0<B <π,∴B = π3(2)m → ·n →=－6sinA －cos 2A =2sin 2A －6sinA －1=2(sinA －32 )2－112,∵ 0︒<A <120︒∴ 0<sinA ≤1,∴当sinA =1时，取最小值为 －5.即 m → ·n →的最小值为－5. 17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AB //CD ，AB ⊥AD ，AD =CD =2AB =2，侧面△APD 为等边三角形，且平面APD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点.(1)求证：PC ⊥平面BDM ；(2) 求点A 到平面PDC 的距离.(1)证明：∵△APD 为等边三角形，AD =CD ，∴ PD =CD , MA BD P M N EQ （第13题图）P为PC 中点.∴ DM ⊥PC ①取AD 中点N ，连结PN ，BN ,则PN ⊥AD ，取CD 中点E ，连结BE ，由ABCD 为直角梯形可求得BC = 5 ,由等边三角形P AD 得PN = 3 ，BN =BA 2+AN 2 = 2 .由平面P AD ⊥平面ABCD 及PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ，∴ PN ⊥BN ,∴PB =PN 2+NB 2 = 5 (可以由Rt △PAB 求出PB),∴PB =BC ,又M 为PC 中点，∴BM ⊥PC ②.由①②及BM ∩DM =M ,可知PC ⊥平面BDM(2)可以用体积转移法, 设点A 到平面PDC 的距离为d ,由V A －PDC =V P －ADC 得d = 3 ·S △ADCS △PDC= 3 .(过程略)或者取PD 的中点Q ,连结AQ ,证明AQ ⊥平面PDC ，求出AQ = 3 .则点A 到平面PDC 的距离为3 .(过程略) 18． 解：（1）依题意，需缴各种费用是以12为首项，4为公差的等差数列，∴ y =50n －98－[12n + n (n －1)2×4]=－2n 2+40n －98.（2）方案1：y n =－2n +40－98n ≤40－22×98 =12，当且仅当2n = 98n，即n =7时，取等号，故7年后年平均盈利最大，此时共获利12×7+30=114（万元）.方案2：y =－2(n －10)2+118,当n =10时，y max =118,即10年后盈利额最大，此时共获利118+12=114（万元），因此两种方案获利相同，但方案2时间长，所以方案1处理合算. 答：两种方案获利相同，因为方案2时间长，所以方案1处理合算.19．解：(1)数列{a n }是等差数列，a 2=6, a 5 =18，设公差为d ,则a 1+d =6,a 1+4d =18,∴ a 1=2,d =4,∴ a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)=4n －2(2) ∵数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n + 12 b n =1,∴b 1+ 12 b 1=1,∴ b 1= 23.∵T n + 12 b n =1,∴ T n －1+ 12 b n －1 =1,∴ T n －T n －1+12 b n － 12 b n －1 =0,即b n +12 b n － 12 b n －1 =0,∴ 32 b n = 12 b n －1, b n = 13b n －1,所以数列{b n }是以23 为首项， 13 为公比的等比数列(3)由(1)(2)可知，b n =23 ×(13 )n －1=2×(13 )n ,∴ c n =a n ·b n =(4n －2)·2×(13 )n =(8n －4) ×(13)n ,记{c n }的前n 项和为S n ,则S n =c 1+c 2+……+c n =(8×1－4)× 13 +(8×2－4)×( 13 )2+……+(8n －4)×( 13)n ……①13S n =(8×1－4)×(13 )2+(8×2－4)×( 13 )3+……+(8(n －1)－4)×( 13 )n +(8n －4)×( 13 )n +1……②①－②得 23S n =(8×1－4)× 13 +8×(13 )2+8×(13 )3+……+8×(13 )n -(8n －4)×( 13 )n +1=4×13 + 8×(13 )2(1－(13 )n －1)1－13 －(8n －4)×( 13 )n +1=……∴S n =4－ (4n +4)×( 13)n{c n }的前n 项和为4－ (4n +4)×( 13)n20．解：依题意知：⎪⎩⎪⎨⎧<+-+≥-++=)2(2)2(22222a x a x a x a x a x a x y 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-++-≥--++)2(1)1()2(1)1(2222a x a a x a x a a x 2ax ≥时，=)(x f =-++a x a x 2221)1(22--++a a xⅠ）12-≥a 时，即2-≥a 时，45)2(2min a a f y ==Ⅱ）12-<a时，即2-<a 时，1)1(2min --=-=a a f y2ax ≤时，=)(x f =+-+a x a x 2221)1(22-++-a a xⅠ）12≤a 时，即2≤a 时，45)2(2min a a f y ==Ⅱ）12>a时，即2>a 时，1)1(2min -+==a a f y04)2()1(45222≥±=-±-a a a a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--≤≤->-+=)2(1)22(45)2(1222min a a a a aa a a y由1min >y即22112>⇒⎩⎨⎧>>-+a a a a2512245522a a a a ⎧>⎪⇒-≤≤-≤≤⎨⎪-≤≤⎩22112-<⇒⎩⎨⎧-<>--a a a a ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-∴，，的取值范围是552552a。

专题22两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础知识融会贯通1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 【知识拓展】1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.重点难点突破【题型一】和差公式的直接应用【典型例题】求值：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°＝sin（24°﹣54°）＝sin（﹣30°）＝﹣sin30°，故选：C．【再练一题】若sinα，α∈（），则cos（）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα，α∈（），∴cosα，∴cos（）（cosα﹣sinα）．故选：A．思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【题型二】和差公式的灵活应用命题点1 角的变换【典型例题】已知tan（α）＝﹣2，则tan（）＝（）A．B．C．﹣3 D．3【解答】解：∵tan（α）＝﹣2，则tan（）＝tan[（α）]，故选：A．【再练一题】若sin（）＝2cos，则（）A．B．C．2 D．4【解答】解：∵sin（）＝2cos，∴sinαcos cosαsin2cos，即 sinαcos3cosαsin，∴tanα＝3tan，则，故选：B．命题点2 三角函数式的变换【典型例题】若，且，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵α，∴π＜2α，又，∴cos2α．∴，解得cosα，则sinα．∴．故选：D．【再练一题】已知sinα+3cosα，则tan（α）＝（）A．﹣2 B．2 C．D．【解答】解：∵（sinα+3cosα）2＝sin2α+6sinαcosα+9cos2α＝10（sin2α+cos2α），∴9sin2α﹣6sinαcosα+cos2α＝0，则（3tanα﹣1）2＝0，即．则tan（α）．故选：B．思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．基础知识训练1．【辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模】已知α∈（22ππ-，），tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sin α＝（ ）A B ． C D ． 【答案】A 【解析】解：由tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin （76°﹣46°）＝sin30°12=， 且α∈（22ππ-，），∴α∈（0，2π），联立，解得sin α=． 故选：A ．2．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,4)P .若角β满足，则tan β=（ ）A ．-2B ．211 C ．613D ．12【答案】B 【解析】因为角α的终边过点()3,4P ，所以4tan 3α=，又，所以，即，解得2tan 11β=. 故选B3．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，故选：B4．【河南名校联盟2018-2019学年高三下学期2月联考】已知，则=（ ）A ．35B ．45C D 【答案】D 【解析】∵，∴12tan θ=．∴．故选D ．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟考试】已知，则sin α= ( )A B C ．45D ．35【答案】A 【解析】因为，所以，所以，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭解得，故选A.6．若，则tan α= ( )A ．17 B ．17-C ．1D ．1-【答案】D 【解析】tan （α-β）＝3，tan β＝2， 可得3，∴，解得tan α1=-． 故选：D ．7．【福建省三明市2019的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 解：选项A ：；选项B ：；选项C ：； 选项D ：，经过化简后，可以得出每一个选项都具有的形式，， 故只需要sin α接近于sin 45︒，根据三角函数图像可以得出sin 46︒最接近sin 45︒，故选D.8．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题得.当在第一象限时，.当在第三象限时，.故选：C9．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)】已知为锐角，则()sin αβ+的值为（ ）A ．12B ．312- C ．12D ．312+ 【答案】D 【解析】 因为为锐角因为()cos 2β=所以2αβ+大于90°由同角三角函数关系，可得所以 =所以选D10．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试】若，且α是钝角，则（ ）A ．46B ．46- C ．46D ．46-【答案】D 【解析】 因为α是钝角，且，所以，故，故选:D11．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】________．【答案】2 【解析】 因为，又，所以，所以.故答案为212．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)】函数的最大值为_______【答案】1【解析】,所以，因此()f x的最大值为1.13．【吉林省2019届高三第一次联合模拟考试】已知，则m=______．【答案】【解析】由得：整理得：m=本题正确结果：14．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】已知,则＝_____．【答案】1 7 -【解析】，则3cos5α=-，所以4tan3α=-，则：，故答案为：17-． 15．【江西省新八校2019届高三第二次联考】在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则的最小值是_______．【答案】12 【解析】 由正弦定理可得：得：，即又令，得：ABC ∆为锐角三角形得：，即1t > 10t ∴->当且仅当，即时取等号本题正确结果：1216．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知函数，若对任意实数x ，恒有，则______．【答案】14- 【解析】对任意实数x ，恒有，则()1fα为最小值，()2f α为最大值.因为，而，所以当sin =1x -时，()f x 取得最小值；当1sin 4x =时，()f x 取得最大值. 所以.所以1cos 0α=.所以.17．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】在ABC ∆中，已知3AC =，cos B =，3A π=.（1）求AB 的长； （2）求的值.【答案】（1）2AB =（2）【解析】（1）在ABC ∆中，因为cos B =，所以02B π<<，所以，又因为，所以，由正弦定理，，所以.（2）因为，所以，所以.18．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45B =，b =cos C =． （1）求边a ；（2）求()sin 2A B -．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得：cos C =，，0C π<<，∴，∵45B =︒，，∴，∴由正弦定理，得a =．（2）由（1）得，，∴，，∴.19．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，.（1）求ABC △的面积； （2）若2c =，求的值.【答案】（1）4；（2） 【解析】 解：，，，，易得sin 0A ≠，3cos 5A ∴=，，又，可得，10bc =，可得ABC △的面积；（2），5b ∴=，由余弦定理可得，，a ∴=，，20．【天津市河北区2019届高三一模】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足，.（1）求cos A 的值； （2）求的值。

第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页绝密★启用前江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测数学（文）试题第I 卷（选择题）一、单选题1．若{}0,1,2,3A =， {|2,}B x x a a A ==∈，则A B ⋂=（ ） A. {}1,2 B. {}0,1C. {}0,2D. {}2 2．复数2211i ii i+---+的虚部为（ ） A. 3i B. 3i - C. 3 D. -3 3．已知命题p ： 2230x x +->；命题q ： 01x ax a ->--，且q ⌝的一个必要不充分条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ） A. []3,0- B. ][(),30,-∞-⋃+∞ C. ()3,0- D. ()(),30,-∞-⋃+∞4．若lg2， ()lg 21x+， ()lg 25x +成等差数列，则x 的值等于（ ）A. 1B. 0或18 C. 18D. 2log 3 5．下边的流程图最后输出n 的值是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 36．如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）是（ ）A. 0.9B. 0.75C. 0.8D. 0.77．在ABC ∆中， tan A 是以-2为第三项，6为第七项的等差数列的公差， tan B 是以19为第二项，27为第七项的等比数列的公比，则这个三角形是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 以上都不对 8．函数()sin ln x xg x x=的图象大致是（ ） A.B. C. D.第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页………9．已知向量OA ， OB 满足1OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OC OA OB λμ=+(),R λμ∈，若M 为AB 的中点，并且1MC=，则点(),λμ的轨迹方程是（ ）A. 2211122λμ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()221112λμ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭C. ()()22111λμ-+-= D. 2211122λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．实数对(),x y 满足不等式组20{250 20x y x y y --≤+-≥-≤，则目标函数z=kx-y 当且仅当3x =，1y =时取最大值，设此时k 的取值范围为I ，则函数()2111,0{ 11,02x x x f x x -<=⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在I 上的值域是（ ）A. (]1,2- B. 70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. []0,2 D. 31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦11．若双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，且被圆()221x y a +-=a =（ ）12．函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆使得()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称函数()f x 为“成功函数”.若函数()()2xmtmf x log +=（其中0m >，且1m ≠）是“成功函数”，则实数t的取值范围为（ ）A. ()0,+∞B. 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知sin 5α=-，且α是第三象限的角，则tan2α的值为__________． 14．设,x y R ∈，向量(),1a x =， ()2,b y =， ()2,2c =-，且a c ⊥， //b c ，则a b +=__________．15．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．16．定义函数(){}{}f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.52=，{}2.52-=-.当(]0,x n ∈， *n N ∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页的个数为n a ，则1210111a a a ++⋅⋅⋅+=__________． 三、解答题17．已知a ， b ， c 分别为ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边，()()()2sin cos cos B C B C B C +=--+.（1）若a c =，求cos A 的值； （2）设90A =，且a =ABC ∆的面积.18．为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：已知x 和y 具有线性相关关系.（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2.2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润z 取到最大值？参考公式： 121ˆni i i n i i x y nxy b x nx==-=-∑∑. 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥， M 为线段1CC 上的一点，且1AC =， 12BC CC ==.（1）求证： 1AC B M ⊥；（2）若N 为AB 的中点，若//CN 平面1AB M ，求三棱锥1M ACB -的体积.20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.设点()0,A b ，在12AF F ∆中， 1223F AF π∠=. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()2,1P -的直线l 不经过点A ，且与椭圆C 相交于M ， N 两点，若直线AM 与AN 的斜率分别为1k ， 2k ，求12k k +的值. 21．已知函数()ln f x x =. （1）若函数()()212g x f x ax x =-+有两个极值点，求实数a 的取值范围； （2）若关于x 的方程()()1f x m x =+， ()m Z ∈有实数解，求整数m 的最大值. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 椭圆C 的参数方程为2{x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数），以直角坐标系的原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的方程为102cos sin ρθθ=+.（1）求出直角坐标系中l 的方程和椭圆C 的普通方程；（2）椭圆C 上有一个动点M ，求M 到l 的最小距离及此时M 的坐标.第7页 共8页 ◎ 第8页 共8页23．选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =+--，其中a 为实数. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≥；（2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()2f x <恒成立，求a 的取值范围.。

1．B【解析】由于集合A和集合B中都有元素0,1,2,根据交集的定义得,故选 B.2．A【解析】由题得，故选 A.3．B【解析】因为，所以由向量垂直的性质得故选 B.4．D5．C【解析】由题得，所以双曲线的离心率为，故选 C.6．D【解析】由题得f(x-2)≤f(-2),由于函数f(x)是偶函数，所以x-2到原点的距离小于等于-2到原点的距离，所以|x-2|≤｜-2|=2，所以-2≤ｘ-2≤2，解之得0≤x≤4，故选 D.7．B【解析】不等式组对应到可行域就是图中的阴影部分区域，当直线y=-x+z经过点A（）时，直线的纵截距z最大，所以，故选 B.8．A【解析】如图所示：三棱锥即为所求..故选 A.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9．C10．A【解析】s=0,n=1,s=0++1=3,n=2,3＜35；s=3++2=9,n=3,9＜35；s=9++3=20,n=4,20＜35；s=20++4=40,40>35,s=40. 故选 A.11．D【解析】由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选 D.12．C点睛：本题的难点在于如何找到关于a的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.13．【解析】由题得.所以切点坐标为(1,3),所以切线方程为所以切线方程为.故填.14．【解析】设直角三角形的较长的边长为a,则小正方形的边长为a-3,由于四个直角三角形的面积和小正方形的面积和等于大正方形的面积，所以.。

苏北四市2018届高三一模数学试卷参考公式：1.柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面面积，h 是高．2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B =U ▲ ．2．已知复数2iz +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ． 8．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲3cm ． 9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． （第5题） （第17题） 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ … （第4题）10．在平面直角坐标系xOy中，曲线:C xy =P到直线:0l x =的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=o ，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．B （第14题） A DC E （第16题） 1A 1B NM1C C BA18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k出m 的值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 1n a -，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .（第18题）（第18题）⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅B ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修4 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11A C 的中点．以{,,}FA FB FG u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -． ⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； 1A 1B A B C D E F (第21－A 题) O . A B CDEF (第21－A 题) O . A B CD E F (第21－A 题)O . A B C D E F(第21－A 题) O .⑵求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．54 9．4 10．11 12．1] 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ，所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B ==， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分 16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分 （2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=o ，所以1111B C B A ⊥，面11ABB A I 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面， 所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥， 连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥，又因为111=NB AB B I ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅ 2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：3x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减，（第16题）1A 1B NM1C C B A P所以()f x在x =时取得极大值，也是最大值； 所以当sin θ时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ=== 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB ．…………14分 18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y += ……………………………4分（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分 由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+， 所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-=………………………………………………2分所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；…………………4分（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分 代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x =-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12n n bb -=，故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得 2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③②①q ，得21q =λ ，③②q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列， 故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-L L L ， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分C.把直线方程12:12x tl y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d ==， 所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分 又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分22．（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -，所以(1,0,0)=-u u u r AC，1(,22=-u u u r BE ， ………………………………………2分记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,|α-⨯=<>==u u u r u u u r AC BE ， 所以直线AC 和BE． ………………………………………4分（2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，因为FB =u u u r ，11(,0,2)2FC =-u u u u r ，则111101202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u u r m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ……………………………6分 设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ，因为1(22CB =u u u r ，1(0,0,2)CC =u u u u r ，则221210220CB x y CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩u u u r u u u u r n n，取2x =1,0)=-n ………………………8分cos ,∴<>==m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角， 所以二面角1F BC C --……………………………………10分 23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分n =，又,0m n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ ………………………………………………4分（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ， 由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'=y121AQ t y k t -=+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．……………………………………8分 令351()222f t t t t=++，0t >， 则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=， 由()0f t '>得t >，由()0f t '<得0t <<， 所以()f t在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t =()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时21s t =+=．……………………………………………………………10分。