高考数第一轮基础复习同步9-2 简单几何体的表面积和体积

第9讲空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。

即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2013年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式棱长。

2．旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。

四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16即l 2=16所以l =4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB⊥AD，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。

高考数学第一轮复习：《空间几何体的表面积与体积》最新考纲了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.【教材导读】1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是如何导出的？提示：将其侧面展开利用平面图形面积公式求解．2．将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平分别得到什么图形？提示：矩形、扇形、扇环．空间几何体的表面积和体积公式如下表面积体积棱柱S表＝S侧＋2S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱柱的底面积为S，高为h，V＝S·h棱锥S表＝S侧＋S底棱锥的底面积为S，高为h，V＝13S·h棱台S表＝S侧＋S上棱台的上、下底面面积为S′，S，高为h，V＝13(S′＋S′S＋S)h圆柱圆柱的底面半径和母线长分别为r，l圆柱的高为h，V＝πr2hS表＝2πr2＋2πrl圆锥的高为h，V＝13πr2h圆锥圆锥的底面半径和母线长分别为r，lS表＝πr2＋πrl圆台的高为h，V＝13π(r′2＋r′r＋r2)hV球＝4 3πR3圆台圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，r′，l，S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)球球半径为R，S球＝4πR2【重要结论】(1)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球①外接球：球心是正方体中心；半径r＝32a(a为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体中心；半径r＝a2(a为正方体的棱长)；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝22a(a为正方体的棱长) (2)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝64a(a为正四面体的棱长)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a(a为正四面体的棱长)1．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是() (A)4πS(B)2πS(C)πS(D)233πSA解析：由πr2＝S得圆柱的底面半径是Sπ，故侧面展开图的边长为2π·Sπ＝2πS，所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()(A)12 (B)24(C)40 (D)72C解析：根据条件得到原图是这是一个组合体，上面是四棱锥棱锥，下面是长方体，故得到体积为：22×3×4＋13×12×4＝40.3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()(A)2 (B)4＋2 2(C)4＋4 2 (D)6＋4 2C解析：由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为2，棱柱的高为2.所以其侧面积S＝2×2＋22×2＝4＋42，故选C.4．已知正四棱锥OABCD的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的表面积是________．解析：设O到底面的距离为h，则13×3×h＝322，解得h＝322.OA＝h2＋622＝6，故球的表面积为4π×(6)2＝24π.答案：24π5．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：由给定的三视图可知V＝1×2×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π2考点一几何体的表面积一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()(A)48 (B)32＋817(C)48＋817 (D)80C解析：由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.所以S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.【反思归纳】几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．【即时训练】(1)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为()(A)215(B)15(C)2 (D)4(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()(A)20＋2π (B)24＋(2－1)π(C)24＋(2－2)π (D)20＋(2＋1)π(1)解析：几何体如图，SA＝AB＝22，SB＝23，所以最大面SAB的面积为12×23×(22)2－(3)2＝15，故选B.(2)解析：根据题意得到原图是正方体中挖去一个高为1的圆锥后剩下的图，表面积为正方体的各个面和圆锥的侧面积为：4×6＋2π－π.故选B.考点二几何体的体积(1)如图所示，已知三棱锥D－ABC中，AD⊥BC，AD，BC之间的距离为h，且AD＝a，BC＝b，求三棱锥D－ABC的体积．(1)(2)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()(A)2π3 (B)π3 (C)2π9 (D)16π9解：(1)以AB ，BC 为邻边补成平行四边形ABCE ，以AD 为侧棱补成平行六面体ABCEDGMF ，如图所示，则三棱锥D －ABC 的体积V 1与平行六面体ABCEDGMF 的体积V 2之间有V 1＝16V 2，易知平行六面体左、右侧面之间的距离就是异面直线AD ，BC 之间的距离h .因为AD ⊥BC ，所以四边形BCMG 为矩形．所以V 1＝16V 2＝16S 矩形BCMG ·h ＝abh 6.(2)由三视图可知，该几何体为底面半径为2、高为4的圆锥的13，所以该几何体的体积为V ＝13×13×2×2×π×4＝16π9，故选D.【反思归纳】 求解几何体体积的策略及注意问题(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系． (2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．【即时训练】(1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为________．解析：(1)由三视图可知直观图是一个底面为边长等于3的正方形，高为1的四棱锥，由棱锥的体积公式得V四棱锥＝12×1＝3.3×3(2)因为B1C∥A1D，B1C平面ADD1A1，所以B1C∥平面ADD1A1，所以F到平面ADD1A1的距离等于B1到平面ADD1A1的距离即A1B1＝1.所以VD1EDF＝VFDD1E＝13S △D 1DE ·A 1B 1 ＝13×12×1×1×1 ＝16.答案：(1)3 (2)16考点三 与球有关的切、接问题(1)正四棱锥P －ABCD 的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是( )(A)16π (B)12π (C)8π(D)4π(2)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是顶角的余弦值为12的等腰三角形．在容器内放一个半径为r 的铁球，并注水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为________．解析：(1)设正四棱锥的外接球半径为R ，顶点P 在底面上的射影为O ，因为OA ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝12(22)2＋(22)2＝2，所以PO ＝P A 2－OA 2＝(22)2－22＝2.又OA ＝OB＝OC ＝OD ＝2，由此可知R ＝2，于是S 球＝4πR 2＝16π.(2)如图所示，作出轴截面，因为轴截面是顶角的余弦值为12的等腰三角形，所以顶角为π3，所以该轴截面为正三角形．根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面所在圆的半径为3r ，则容器内水的体积V ＝13π(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3.将球取出后，设容器中水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r ，所以这时容器中水的深度为315r .答案：(1)A (2)315r【即时训练】(1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )(A)π (B)3π4 (C)π2(D)π4(2)一个正方体削去一个角所得的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析：(1)设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B.(2)依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；所以2R ＝23(R 为球的半径)，所以R ＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π.答案：(1)B (2)43π【反思归纳】 “切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．考点四折叠与展开问题如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝ 2.P是BC1上一动点，则CP＋P A1的最小值为________．解析：法一由题意知，A1P在几何体内部，但在面A1C1B内，把面A1C1B沿BC1展开与△CBC1在一个平面上如图，连接A1C，则A1C的长度，即CP ＋P A1的最小值．因为∠ACB＝90°，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AC＝6，BC＝C1C＝2，所以∠A1C1B＝90°，A1C1＝6，所以∠CC1A1＝45°＋90°＝135°.在△CC1A1中，A1C2＝A1C21＋CC21－2A1C1·CC1cos 135°＝50，所以A1C＝52，即CP＋P A1的最小值为5 2.法二设C1P＝x，由已知可得△A1C1P为直角三角形，则P A1＝36＋x2，在△CC1P中∠CC1P＝45°，CC1＝2，由余弦定理得CP＝C1P2＋CC21－2C1P·CC1cos 45°＝x2－2x＋2.因为CP＋P A1＝x2－2x＋2＋x2＋36＝(x－1)2＋(0－1)2＋(x－0)2＋(0－6)2故可以看作x轴上的动点M(x,0)到两个定点E(1,1)，F(0,6)的距离之和，E点关于x轴的对称点E′(1，－1)．所以CP＋P A1≥|E′F|＝(1－0)2＋(－1－6)2＝50＝5 2.答案：5 2【反思归纳】(1)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离．(2)解决折叠问题的技巧解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化．【即时训练】如图，三棱锥SABC中，SA＝AB＝AC＝2，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝30°，M，N分别为SB，SC上的点，则△AMN周长的最小值为________．解析：展开三棱锥的侧面，如图所示．因为原三棱锥中∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝30°，SA＝AB＝AC＝2，所以△ASA′是等腰直角三角形，连接AA′可得△AMN周长的最小值为2 2.答案：22体积与表面积的最值问题设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()(A)12 3 (B)18 3(C)24 3 (D)54 3审题指导关键点所获信息A、B、C、D都在半径为4的球面上球心到四点距离都是4△ABC为等边三角形球心在过△ABC中心且垂直于△ABC所在平面的直线上解题突破：利用△ABC的面积求出△ABC外接圆半径解析：由等边△ABC的面积为93可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝2 3.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为13×93×6＝18 3.故选B.答案：B命题意图：本题主要考查三棱锥的体积公式．球心到截面的距离等基础知识，意在考查学生的空间想象能力和运算求解能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()(A)6 (B)8(C)10 (D)12D 解析：该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，它的体积为V ＝2×2×3＝12.2．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )(A)48 (B)56 (C)64(D)72C 解析：该组合体由两个棱柱组成，上面的棱柱体积为2×4×5＝40，下面的棱柱体积为4×6×1＝24，故组合体的体积为64. 故选C.3．已知等腰直角三角形的直角边长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体体积为( )(A)22π3 (B)423π (C)22π(D)42πB 解析：由条件知该直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，故围成的几何体的体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3，故选B.4．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()(A)36π (B)64π(C)144π (D)256πC解析：因为V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－OAB，所以三棱锥O－ABC体积的最大值即三棱锥C－OAB体积的最大值，所以当C到平面OAB的距离最大，即CO⊥平面OAB时，体积最大．设球的半径为r，则V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－OAB＝13＝36，所以r＝6，则球O的表面6r积S＝4πr2＝144π.5．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()(A)1 (B)2(C)4 (D)8B解析：由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r，高为2r的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为r的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r×2r＋12＋12πr2＋πr×2r＋2πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2πr2，故选B.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()(A)13＋2π (B)13π6 (C)7π3(D)5π2B 解析：由三视图知，该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1，高为2，半圆锥的底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积为V ＝13×12×π×12×1＋π×12×2＝13π6，故选B.7．若三棱锥P －ABC 的最长的棱P A ＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是________．解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R ＝12P A ＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V ＝43×π×13＝43π.答案：43π8．四棱锥P －ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为________．解析：如图，连接BD ，作PH ⊥BD ，交BD 于点H ，由题意，得该四棱锥的外接球的球心在四棱锥的高线上，设为点O ，连接BO ，设外接球半径为R .在Rt △PBH 中，PB ＝45，BH ＝4，则PH ＝(45)2－42＝8；在Rt △OBH 中，R 2－(8－R )2＝16，解得R ＝5，则其外接球的球面面积为S ＝4πR 2＝100π.答案：100π9．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________．解析：设等边三角形的边长为2a ， 则V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3； 又R 2＝a 2＋(3a －R )2， 所以R ＝233a ，故V 球＝4π3·233a 3＝323π27a 3，则其体积比为932.答案：932.10．如图，已知几何体的三视图(单位：cm)． (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P的组合体．由P A1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，可得P A1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm2)．所求几何体的体积V＝23＋12×(2)2×2＝10(cm3)．能力提升练(时间：15分钟)11．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为( )(A)15π3 (B)3235π27 (C)1282π81(D)83π3C 解析：作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路程为PP ′，∵OP ＝OP ′＝4，PP ′＝43，由余弦定理可得cos ∠P ′OP ＝OP 2＋OP ′2－PP ′22OP ·OP ′＝－12，∴∠P ′OP ＝2π3.设底面圆的半径为r ，圆锥的高为h ，则有2πr ＝2π3×4，∴r ＝43，h ＝l 2－r 2＝823，∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝1282π81.故选C.12．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折起，使∠BDC ＝90°，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( )(A)3π (B)4π (C)5π(D)6πC 解析：折后的图形可放出一个长方体中，其体对角线长为1＋1＋3＝5，故其外接球的半径为52，其表面积为5π.故选：C.13．如图，已知P A⊥平面ABC，AB⊥BC，若P A＝AB＝BC＝1，则三棱锥P－ABC的外接球的体积为________．解析：将此三棱锥补成一个正方体如图，可知三棱锥P－ABC的外接球是正方体的外接球．由P A＝AB＝BC＝1，可知补得的正方体棱长为1，则此正方体的外接球直径为3，所以外接球的体积为V＝43πR 3＝43π·⎝⎛⎭⎪⎫323＝32π.答案：3 2π14．如图为棱长等于2的正方体，P，Q分别为棱B1C1，A1B上的点，且A1Q＝m，C1P ＝n(m，n∈[0,2])，则三棱锥D1－QCP的体积VD1－QCP＝________.解析：由正方体的结构特征，可得截面A 1BCD 1是一个矩形，其中CD 1＝22，BC ＝2. 在矩形A 1BCD 1中，S △QCD 1＝12×CD 1×BC ＝12×22×2＝2 2.又B 1C 1∥平面A 1BCD 1，故直线B 1C 1上的所有点到平面A 1BCD 1的距离都相等． 而点B 1到平面A 1BCD 1的距离h ＝12AB 1＝2， 所以点P 到平面A 1BCD 1的距离也是 2.所以VP －QCD 1＝13×S △QCD 1×h ＝43，即三棱锥D 1－QCP 的体积VD 1－QCP ＝43. 答案：4315．三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝15＋15－362×15×15＝－630＝15，B 为钝角，sin B ＝1－125＝265， △ABC 的外接圆半径R ＝b 2sin B ＝6465＝564，PC2＝1，该三棱锥的外接球的半径为OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5642＋1＝1664， 球的表面积4π×16616＝1664π＝832π. 答案：832π 16．已知四棱锥P －ABCD 的侧棱长都相等，且底面是边长为32的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P －ABCD 的体积为________．解析：由题意可知，棱锥底面正方形的对角线长为：32×2＝6， 棱锥的底面积为：S ＝(32)2＝18，据此分类讨论： 当球心位于棱锥内部时，棱锥的高为：h ＝5＋52－32＝9，棱锥的体积：V ＝13Sh ＝54； 当球心位于棱锥外部时，棱锥的高为：h ＝5－52－32＝1，棱锥的体积：V ＝13Sh ＝6；综上可得：四棱锥P －ABCD 的体积为6或54. 答案：6或54。

1.(2010·新课标全国理)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2[答案] B [解析]三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O 1、O 2的连线的中点O 处，连接O 1B 、O 1O 、OB ，其中OB 即为球的半径R ，由题意知：O 1B ＝23×3a 2＝3a 3，所以半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝⎛⎭⎪⎫3a 32＝7a 212， 所以球的表面积是S ＝4πR 2＝7πa23，故选B.2.(2010·陕西文，8)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )A ．2B ．1 C. 23D. 13[答案] B[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为V ＝12×2×1×2＝1.3．(2010·北京东城区)如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为()A．29cm B．30cmC．32cm D．48cm[答案] A[解析]如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20－H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h＋20－H，故上面圆柱液面高度为28－(h＋20－H)＝H＋8－h，由两圆柱内液体体积相等得9πH＋π(20－H)＝π(h＋20－H)＋9π(H＋8－h)，∴h＝9，几何体总高度为20＋9＝29cm.[点评]抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H ，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得：π×32×(H －28)＝π×12×(H －20)，∴H ＝29(cm)，解题过程就简捷多了．4．(2011·湖南文，4)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C. 92π＋12D. 92π＋18[答案] D[解析] 由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V 球＝43π·(32)3＝9π2，V长方体＝2×3×3＝18.所以V 总＝92π＋18.5．(文)(2010·河南省南阳市调研)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个三棱柱的体积是( )A ．963B ．483C ．243D ．16 3[答案] B[解析] 已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆．设底面正三角形的边长为a ，球的半径为R ，则a ＝23R ，又43πR 3＝32π3，∴R ＝2，a ＝43，于是V ＝34a 2·2R ＝48 3. (理)(2010·辽宁文，11)已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π[答案] A [解析]∵AB ⊥BC ，∴AC 为截面圆的直径，∴AC 中点为截面圆的圆心 设D 为AC 中点，连OD ，则OD ⊥平面ABC ∵SA ⊥平面ABC ∴SA ∥OD连SC则SC＝SA2＋AC2＝12＋(3)2＝2又SB＝2，BC＝2，∵SC2＝SB2＋BC2∴∠SBC＝90°，∵∠SAC＝90°，∴SC为球O的直径∵2R＝2故R＝1，∴S球＝4πR2＝4π，选A.6．(2010·北京文，8)如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积()A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关[答案] C[解析]设P到平面EFQ的距离为h，则V P－EFQ＝13×S△EFQ·h，由于Q为CD的中点，∴点Q到直线EF的距离为定值2，又EF＝1，∴S△EFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关与y无关，故选C.7.(2011·湖州模拟)如下图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．[答案] 26[解析] 由展开图可知，该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，∴高h ＝(32)2－(12)2＝22， ∴体积V ＝13×12×22＝26.8．(2011·福建文，20)如下图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P －ABCD 的体积．[解析] (1)∵PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ∴CE ⊥PA ，又∵AB ⊥AD ，CE ∥AB .∴CE ⊥AD . 又∵PA ∩AD ＝A ，∴CE ⊥平面PAD . (2)由(1)可知CE ⊥AD .在Rt △ECD 中，DE ＝CD ·cos45°＝1，CE ＝CD ·sin45°＝1. 又∵AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形． ∴S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △CDE ＝AB ·AE ＋12CE ·DE＝1×2＋12×1×1＝52.又PA ⊥底面ABCD ，PA ＝1所以V 四棱锥p －ABCD ＝13S 四边形ABCD ×PA ＝13×52×1＝56.1.(2011·山东济南一模)一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是( )A．(80＋162)cm2B．84cm2C．(96＋162)cm2D．96cm2[答案] A[解析]其直观图如上图所示，由三视图知，棱锥底面是边长为4的正方形，高为2，棱柱与棱锥同底，高为4，因此棱锥的顶点到底边的距离是22＋22＝22cm，故该几何体的表面积为S＝(12×4×22)×4＋(4×4)×5＝80＋162(cm2)．2．(文)(2011·北京东城区练习)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()[答案] B[解析]左视图的投射线如上图所示，则可取平面BCC1B1为投射面，点A、D、D1的射影依次为B、C、C1，从而线段AB1、AD1的投影依次为BB1、BC1，从左侧向右看，CC1应在BB1的左侧，故选B.(理)(2011·安徽“江南十校”联考)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A ．8 B.203 C.173 D.143[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱台AEF －A 1B 1D 1后，所剩的几何体，由于正方体棱长为2，∴所求体积V ＝23－13(12＋2＋2×12)×2＝173.3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233[答案] C[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V ＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋233，故选C.4．(2011·北京市海淀区模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．5B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] 根据三视图可知几何体是四棱锥，其底面是上底长为1，下底长为2，高为2的直角梯形，棱锥的高为2，其体积为：V ＝13×[(1＋2)×2×12]×2＝2.5.如下图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1.在三角形内挖去半圆(圆心O 在边AC 上，半圆分别与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于点N )，则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为______．[答案]53π27[解析] 阴影部分绕AC 旋转一周所得旋转体为圆锥中挖去一个球，圆锥的体积V ＝13π×12×3＝33π，球体积V 1＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝43π27，故所求体积为3π3－43π27＝53π27. 6．侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过点A 作截面AEF ，求截面△AEF 周长的最小值．[解析] 沿侧棱VA 剪开，侧面展开如图，线段AA 1的长为所求△AEF 周长的最小值，取AA 1中点D ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°，∴AA 1＝2AD ＝6.7．(2011·安徽省淮南市高三模拟)如下图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，且AB ＝BC ＝2，AE ＝1，BF ＝DH ＝2，CG ＝3.(1)证明：截面四边形EFGH是菱形；(2)求几何体C－EFGH的体积．[解析](1)证明：因为平面ABFE∥平面CDHG，且平面EFGH分别交平面ABFE、平面CDHG于直线EF、GH，所以EF∥GH.同理，FG∥EH.因此，四边形EFGH为平行四边形．因为BD⊥AC，而AC为EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD.因为BF綊DH，所以FH∥BD.因此，FH⊥EG.所以四边形EFGH是菱形．(2)解：连接CE、CF、CH、CA，则V C－EFGH＝V－V C－ABFE－V C－ADHE，其中V是几何体的体积，∵AE＝1，BF＝DH ＝2，CG ＝3且几何体是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱的一部分，所以该几何体的体积为 V ＝(2)2×2＝4，V C －ABFE ＝13×S 四边形ABFE ×BC＝13×12(AE ＋BF )×AB ×BC ＝16×(1＋2)×2×2＝1. 同理，得V C －ADHE ＝1，所以，V C －EFGH ＝V －V C －ABFE －V C －ADHE ＝4－1－1＝2， 即几何体C －EFGH 的体积为2.1．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为( )A. 21B ．1C ．1＋22D. 2[答案] D[解析] 由条件知球O 半径为32，球心O 到直线EF 的距离为12，由垂径定理可知直线EF 被球O 截得的线段长d ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 2.2．(2010·吉林省调研)如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a 的直角三角形，侧(左)视图是半径为a 的半圆，则该几何体的体积是( )A.36πa 3B.3πa 3C.34πa 3D.23πa 3[答案] A[解析] 由侧(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上如图，由条件知，圆锥的母线长为2a ，底面半径为a ， 故高h ＝(2a )2－a 2＝3a ，体积V ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×πa 2×3a ＝36πa 3.3．(2011·江西文，18)如图在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求PA 的长；(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . [解析] (1)令PA ＝x (0<x <2)，则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x ，因为A ′P ⊥PD 且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故A ′P ⊥平面PBCD .所以V A ′－PBCD ＝13Sh ＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x－x 3)．令f (x )＝16(4x －x 3)，由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝233.当x∈(0，233)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(233，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以，当x＝233时，f(x)取得最大值，即当V A′－PBCD最大时，PA＝233.(2)设F为A′B的中点，连接PF，FE，则有EF綊12BC，PD綊12BC，∴EF綊PD，∴四边形EFPD为平行四边形，∴DE∥PF.又A′P＝PB，所以PF⊥A′B，故DE⊥A′B.。