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2020学年第二学期高一期中联考【数学】答案及评分标准(第1页,共5页)之江教育评价2020学年第二学期高一期中联考(2021.04)数学参考答案及评分标准一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选､多选､错选均不得分｡)二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求。
全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分｡)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分｡)13. 3(5分) 14. 5 (5分) 15. 60 (5分) 16. [1,4) (5分)四、解答题(本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡)17.(本小题满分10分)【答案】(Ⅰ) 1a =-；(Ⅱ)【详解】(Ⅰ) (1)()(1)(1)(1)z i a i i a a i +=-+=++- ……………(2分) 由题意， 1010a a -≠⎧⎨+=⎩， ……………(4分) 解得1a =-． ……………(5分)(Ⅱ) 由题意，2z i =-，∴2(2)(1)131311(1)(1)222z i i i i i i i i i ----====-+++-， 1z i i ∴+=+1221i -； ……………(8分) ∴1z i i +=+． ……………(10分) 保密★考试结束前2020学年第二学期高一期中联考【数学】答案及评分标准(第2页,共5页)18.(本小题满分12分)【答案】(Ⅰ)如图；(Ⅱ)68π.【详解】(Ⅰ)该三棱柱的直观图如图所示．；根据线段位置、长度、虚实等酌情给分 ……………(6分)(Ⅱ)易知BC 1中点Q 即为其外接球球心，且半径12BC R BQ === ……………(9分) 所以外接球的表面积是S=2468R =ππ； ……………(12分)19.(本小题满分12分)【答案】(Ⅰ)a =，b = (Ⅱ)45 【详解】(Ⅰ) 1sin 2ABC S ac B ∆=，即3s 3in 24a =π，a ∴= ……………(3分)2222cos c c B b a a =+-又，可得：289235b =+-⨯=，b ∴ ……………(6分)(Ⅱ)在ABC ∆中，sin sin a b A B =，∴=sin A ∴= ……………(9分)2020学年第二学期高一期中联考【数学】答案及评分标准(第3页,共5页)a c <，02A π∴<<，又sin A ，c o s A ∴=4sin 22sin cos 25A A A ∴=== ……………(12分)20.(本小题满分12分)【答案】(Ⅰ)27；(Ⅱ)∴x ==时，||xa b -取最小值12 【详解】(Ⅰ)2a b +与4a b -垂直，(2)(4)0a b a b ∴+-=； ……………(2分)∴222740a a b b --= ||2a =，||1b =，814cos 40∴--=θ； ……………(4分)2cos 7∴=θ ……………(6分) (Ⅱ)6πθ=，222||422141xa b x x x -=-⨯+=-+ ……(9分)∴x =||xa b -取最小值12…………(12分)21.(本小题满分12分)【答案】(Ⅰ) 3π； (Ⅱ) (-4,8)【详解】(Ⅰ) 因为sin 2A +sin B sin C ＝sin 2B +sin 2C ，所以a 2 +bc ＝b 2+c 2，可得b 2+c 2﹣a 2＝bc ， …………(2分)由余弦定理得cos A ＝222b 122c a bc +-=， ……………(4分) 所以A =3π ； ……………(6分) (Ⅱ)由正弦定理，sin sin sin b c a B C A ====2020学年第二学期高一期中联考【数学】答案及评分标准(第4页,共5页),b B c C ∴== , 2b c ∴-=sin )B C - ……………(8分)02sin sin(120)B B ⎤=--⎦12sin sin 2B B B ⎤=--⎥⎣⎦1cos )2B B -08sin(30)B =- …………(10分) 000-303090B <-<又 01s i n (30)12B ∴-<-< 048sin(30)8B ∴-<-< 2-48b c -∈即（，） ……………(12分)22.(本小题满分12分)【答案】(Ⅰ) A ＝60°；(Ⅱ) 20；(III) 【详解】(Ⅰ) 由2a cos B ＝2c ﹣b ，得2sin A cos B ＝2sin C ﹣sin B ， …………(2分)∴2sin A cos B ＝2sin （A +B ）﹣sin B ，即2cos A sin B ﹣sin B ＝0，∴cos A ＝，即A ＝60° ……………(4分)(Ⅱ) ＝•（）＝﹣＝212bc b -＝﹣5， 又b ＝5，解得c ＝8， ……………(6分)2222cos 49,7=+-=∴=a b c bc A a++=的周长为75820∴∆ABC ……………(8分)(III )由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==＝， 可得sin B ＝sin C ， 由2b sin B +2c sin C ＝bc ，得：32b b+32c c ＝bc ，即222+cb a-=，由余弦定理得，cos A＝12=，解得a＝……………(10分)由余弦定理得b2+c2﹣a2＝bc，即b2+c2＝bc+3≥2bc，得bc≤3，当且仅当b＝c时，取等号，S＝1sin2bcA≤，△ABC面积的最大值为……………(12分)2020学年第二学期高一期中联考【数学】答案及评分标准(第5页,共5页)。
2020-2021学年浙江省金华第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．复数1i -（i 为虚数单位）的模是（ ）A ．1B ．2C D ．4【答案】C【分析】根据模的定义计算可得正确的选项．【详解】1i - 故选：C ．2．对于空间任意两个非零向量a ，b ，“0a b ⋅<”是“,a b 为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分和必要条件的定义法，结合向量的数量积公式，进行推导即可得解. 【详解】根据向量的夹角范围，若0a b ⋅<，,a b 可以为钝角也可能为180角， 故0a b ⋅<推不出,a b 为钝角，若,a b 为钝角，则利用向量数量积公式可得cos ,0a b a b a b ⋅=⋅<， 故,a b 为钝角能推出0a b ⋅<，所以“0a b ⋅<”是“,a b 为钝角”的必要不充分条件. 故选：B3．在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，若AD AB BC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1 B ．13C ．23D ．43【答案】D【分析】根据题设条件先求出1BD =，再利用向量的线性运算得到13=+AD AB BC ，由平面向量基本定理可求,λμ的值，从而可得正确的选项． 【详解】如图，因为2,60AB B ==︒，而AD 为高，故1BD =， 又13AD AB BD AB BC =+=+，故13B BC C A A B B λμ+=+，而,AB BC 不共线，故11,3λμ==，所以43λμ+=，故选：D ．4．在等腰三角形ABC 中，5AB AC ==，2BC =，若P 为边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=（ ）A ．4B ．8C ．4-D ．8-【答案】B【分析】取BC 的中点为D ，连接AD ，可得AD BC ⊥及2AD =，利用数量积的运算律及中线向量公式可求()AP AB AC ⋅+． 【详解】取BC 的中点为D ，连接AD ，因为5AB AC ==，故AD BC ⊥，故512AD =-=， 又()2()2228AP AB AC AP AD AD DP AD AD ⋅+=⋅=+⋅==， 故选：B ．5．所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ） A ．127B 33C 22D ．18【答案】A【分析】设正四面体的棱长为2a ，结合勾股定理可求两球的半径，从而可得它们的体积之比．【详解】如图，设E 为正三角形BCD 的中心，连接AE ，根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心O 在线段AE 上， 连接,BO AE ，设正四面体的棱长为2a ，则12232sin 3a BE π=⨯， 故2242643a AE a -．设外接球的半径为R ，则AO BO R ==， 故2222326R R ⎫⎫=+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =， 故内切球的半径为2666r ==，所以13r R =，故内切球与外接球的体积之比为3127r R ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：A ．6．在ABC 中，3AC =，向量AB 在AC 上的投影向量为2||ACAC -，3ABC S =△，则BC =（ ） A ．5 B ．27C 29D ．42【答案】C【分析】如图，根据投影向量可得BAC ∠为钝角，如图，过B 作AC 的垂线，垂足为E ，根据投影向量的定义和已知条件可求=2AE ，利用面积求出=2BE ，从而可求BC 的长度．【详解】因为向量AB 在AC 上的投影向量为2||ACAC -，故BAC ∠为钝角， 如图，过B 作AC 的垂线，垂足为E ，则E 在CA 的延长线上， 而向量AB 在AC 上的投影向量为cos AC AC AB BAC AE ACAC⨯⨯∠=-⨯，故=2AE ，而3ABC S =△，故1332BE ⨯⨯=，故=2BE ，故25+4=29BC =， 故选：C ．7．在ABC 中，已知45B =︒，D 是BC 边上一点，如图，75,1,7BAD DC AC ∠=︒==，则AB =（ ）A 5B 6C ．2D ．3【答案】B【分析】在ADC 中利用余弦定理求得2AD =，在ADB △中由正弦定理可求得AB ． 【详解】04575120ADC ∠=︒+︒= ，根据余弦定理22202cos120AC AD DC AD DC =+-⋅⋅，260AD AD +-=，2AD =，060ADB ∠=，根据正弦定理00sin 60sin 45AB AD=，则032sin 6026sin 452AD AB ===． 故选：B8．已知a 、b 是相互垂直的单位向量，向量n c 满足n c a n ⋅=，()*2n n c b n N ⋅=∈，设()121,n n n n f n c c c c +++=<-->，则随着n 的增大，()f n （ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大【答案】B【分析】分别以a 、b 的方向为x 、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，可得()1,0a =，()0,1b =，设(),n n n c x y =，根据n c a n ⋅=，()*2n n c b n N ⋅=∈可求得向量n c 的坐标，可得出()1cos 114454nnf n =-+⋅+，利用双勾函数的单调性结合余弦函数的单调性可得出()f n 的单调性.【详解】分别以a 、b 的方向为x 、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，则()1,0a =，()0,1b =，设(),n n n c x y =，由2n nn c a n c b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2n n n x n y =⎧⎨=⎩，则(),2nn c n =， ()11,2n n n c c +∴-=，()1211,2n n n c c +++-=，则()()2112112n n n n n c c c c ++++-⋅-=+，所以，()()()()()211211211121cos cos ,1414n n n n n n n n n nn n n n n c c c c f n c c c c c c c c +++++++++++-⋅-=--==-⋅-++121212114441111154415444454n n n n n n n nn++++++=-=-+⋅++⋅++⋅+ 令44n t =≥，由双勾函数的单调性可知，函数145y t t =++在[)4,+∞上单调递增，因此，随着n 的增大，121cos ,n n n n c c c c +++<-->一直增大.由于余弦函数cos y x =在[]0,π上单调递减，且()[]0,f n π∈，所以，()f n 一直减小. 故选：B.【点睛】本题考查数列的单调性，同时也考查了平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 二、多选题9．下列命题正确的（ ）A ．若复数(1)(2)z i i =--，则||z =B ．若12z i =-，213z i =-，则复数12z z -的虚部是2iC ．若|1|2z -=，则|13|z i --的最小值为1D ．已知k ∈R ，若关于x 的方程2()2i 2i 0x k x k ++++=有实数根，则实根必为x 【答案】AC【分析】由复数模公式即可判断A C ；由复数虚部定义可判断B ；由复数相等定义可判断D ．【详解】对A 选项，(1)(2)13z i i i =--=-，故||z =A 正确； 对B 选项，()()1221312z z i i i -=---=+，故虚部为2，B 错误；对C 选项，设()1,,z x yi x y R -=+∈，且()224,22x y y +=-≤≤，则()133z i x y i --=+-，所以|13|z i --==因为22y -≤≤，当2y =时|13|z i --最小值为1，故C 正确； 对D 选项，关于x 的方程2()2i 2i 0x k x k ++++=有实数根，则 22020x kx x k ⎧++=⎨+=⎩ 解得x =D 错误． 故选：AC10．已知a ，b ，c 表示不同的直线，β表示平面，给出四个命题，其中正确的为（ ） A ．若//a β，//b β，则//a b 或a ，b 相交或a ，b 异面； B ．若b β⊂，//a b ，则//a β；C ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面；D ．若//a b ，则a ，b 与c 所成的角相等． 【答案】AD【分析】根据线面平行的判定和性质可得AB 的正误，根据空间中直线的位置关系是否具有传递性可判断C 的正误，根据异面直线的定义可判断D 的正误．【详解】对于A ，同平行于一个平面的两条直线，可以平行、相交或异面，故A 正确. 对于B ，若b β⊂，//a b ，则//a β或a β⊂，故B 错误.对于C ，若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面、平行或相交，故C 错误. 对于D ，根据异面直线所成的角的定义可证该结论正确，故D 正确， 故选：AD ．11．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽203厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（ ）A ．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120︒B ．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为1003C ．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1600π平方厘米D ．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为330厘米 【答案】ACD【分析】根据母线长与底面半径用正弦可求顶角；当顶角为90︒是面积最大；根据顶角与母线长即可求外接球半径；根据三角形内切圆几何关系即可求解半径． 【详解】对A 选项，设顶角为θ，则1033sin 2θ==，得602θ=︒，所以顶角为120θ，A 正确；对B 选项，因为顶角为120θ，则截面三角形的最大面积为2120sin 902002⨯︒=平方厘米，B 错误； 对C 选项，因为顶角为120θ，则602θ=︒，所以外接球半径等于圆锥母线长，即20R =则该球的表面积为241600R ππ=平方厘米，C 正确；对D 选项，设球的最大半径为r ，因为顶角为120︒，则15OCD ∠=︒，所以 tan 45tan 30tan151031tan 4520330tan 30r CD ︒-︒=⋅︒==+︒⋅︒，D 正确．故选：ACD12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过EF 的平面与棱1BB ，1DD 分别交于点G ，H ．设BG x =，[]0,1x ∈．以下结论正确的是（ ）A ．四边形EGFH 一定是菱形；B ．//AC 平面EGFH ；C ．四边形EGFH 的面积()S f x =在区间[]0,1上具有单调性；D ．四棱锥A EGFH -的体积为定值． 【答案】ABD【分析】根据面面平行的性质判断A ，根据//AC EF 即可判断B ，根据菱形的面积公式及对称性判断C ，根据锥体的体积公式判断D ；【详解】解：对于A ，由正方体的性质及面面平行的性质定理可得//EG FH ，//EH GF ， 所以四边形EGFH 为平行四边形，又直角梯形CBGF 和直角梯形ABGE 全等，可得EG FG =， 即有四边形EGFH 为菱形，故A 正确； 对于B ，由四边形AEFC 为平行四边形，可得//AC EF ，AC ⊂/平面EGFH ，EF ⊂平面EGFH ， 可得//AC 平面EGFH ，故B 正确；对于C ，由菱形EGFH 可得EF GH ⊥，12EGFH S EF HG =⋅， 四边形EGFH 的对角线EF 是固定的，根据对称性，可得四边形EGFH 的面积()S f x =在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以在[]0,1x ∈上不是单调函数，故C 不正确；对于D ，因为四棱锥A EGFH -的体积为13A EGFH G AEF H AEF AEFV V V DB S---=+=⨯⨯为常数，所以D 正确；故选：ABD ．三、双空题13．如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A 处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西45︒的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B 处，测得此山顶在北偏西15︒的方向上，仰角为β，若45β=︒，则此山的高度CD =________米，仰角α的正切值为________.【答案】 300231【分析】设山的高度CD x =（米），由题可得：45CAB ∠=,105ABC ∠=,300AB =（米）, 45CBD ∠=,在ABC ∆中利用正弦定理可得:3002CB =（米）,(15062AC = （米）, 在Rt BCD ∆中,由45CBD ∠=可得：3002x =，在Rt ACD ∆中，可得：tan 31CDACα==，问题得解. 【详解】设山的高度CD x =（米），由题可得：45CAB ∠=,105ABC ∠=,300AB =（米）, 45CBD ∠= 在ABC ∆中，可得：1804510530ACB ∠=--=，利用正弦定理可得：sin 30sin 45sin105AB CB AC==，解得：3002CB =,15062AC = （米）在Rt BCD ∆中，由45CBD ∠=可得：3002x CB ==在Rt ACD ∆中，可得：()3002tan 3115062CD AC α===-+ 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了空间思维能力及识图能力，考查转化能力及计算能力，属于中档题． 四、填空题14．等腰梯形ABCD ，上底1CD =，腰2AD CB ==，下底3AB =，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A B C D ''''的面积为_______． 【答案】22【详解】试题分析：如上图， ， ，，因为 ，所以，所以，在直观图中，【解析】斜二测画法15．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，则11tan tan B C+的最小值为________． 23【解析】由同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式， 可得11tan tan B C +=31sin sin B C ⎫⎪⎝⎭，由正弦函数的性质和角B 的范围，即可求出11tan tan B C+的最小值. 【详解】解：因为,3A π=所以()sin 11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin sin sin B C B C B C B C B C B C B C B C+++=+==sin 1sin sin sin sin A B C B C ⎫==⎪⎝⎭12sin sin 3B B π=⎛⎫- ⎪⎝⎭111sin 2+264B π⎛⎫- ⎪⎝⎭2sin 2+16B =- ⎪⎝⎭， 因为203B π<<，所以72666B πππ-<-<，所以1sin 2126B π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以02sin 2+136B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，2sin 2+16B ≥- ⎪⎝⎭所以11tan tan B C +，当且仅当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，11tan tan B C +故答案为【点睛】关键点点睛：本题考查了同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，解决问题的关键将所求的表达式转化为三角形的内角的三角函数，运用三角函数的性质求得所求的最值.16．已知非零向量,,a b c →→→，若a →与b →的夹角为4π，c a →→-与c b →→-的夹角为34π，且4a b →→-=，c b →→-=b c →→⋅的最大值为______.【答案】21【分析】设OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=，根据a →与b →的夹角为4π，c a →→-与c b→→-的夹角为34π可知,,,O A B C 四点共圆，再结合余弦定理建立关系，通过不等式即可求解b c →→⋅的最大值.【详解】设OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=.则BC c b →→→=-=，4BA a b →→→=-=.又π4AOB ∠=，3π4ACB ∠=，此时，O 、A 、C 、B 四点共圆.如图，在三角形ABC 中，由正弦定理得3sin sin4AB BCCAB π=∠， 即4143sin4π=可得7sin CAB ∠=， 由AB BC >那么0,2CAB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭可得3cos cos 4CAB BOC ∠=∠=在OBC 中，由余弦定理可得2222||||cos 14BC b c b c BOC =+-⋅⋅∠=222||||b c b c +⋅，||||28b c ∴⋅（当且仅当|||b c =∣取等号） 则||||cos 21b c b c BOC ⋅=⋅∠ 故答案为：21【点睛】本题考查了向量的加减运算和夹角公式的应用，基本不等式求解最值问题，属于中档题. 五、解答题17．已知复数z 的共轭复数是z ，i 是虚数单位，且满足521iz z i++=+. （1）求复数z ；（2）若复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12z i =+；（2）(1,4)-.【分析】（1）设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z x yi =-，代入足521iz z i++=+，整理后利用复数相等的条件列式求得x ，y 值，则z 可求；（2）由（1）得，(2)(12)(2)(22)(4)z mi i mi m m i -=+-=++-，再由实部与虚部都大于0列不等式组求解．【详解】解：（1）设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z x yi =-， 于是(5)(1)2()(1)(1)i i x yi x yi i i +-++-=+-，即332x yi i -=-，∴332x y =⎧⎨-=-⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，故12z i =+；（2）由（1）得，(2)(12)(2)(22)(4)z mi i mi m m i -=+-=++-， 由于复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限，∴22040m m +>⎧⎨->⎩，解得14-<<m .∴实数m 的取值范围是(1,4)-.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．18．（1）已知向量(1,2)a =，(3,)b x =，(2,)c y =，且//a b ，a c ⊥．求(2)()a b a c -⋅-的值．（2）如图所示，在ABC 中，D ，F 分别为线段BC ，AC 上一点，且2BD DC =，3CF FA =，BF 和AD 相交于点E ，若(1)BE BA BD BF λλμ=+-=，分别求出λ与μ的值．【答案】（1）5-；（2）28,39λμ==．【分析】（1）利用向量平行可求x ，利用向量垂直可求y ，再利用向量数量积的坐标形式可求(2)()a b a c -⋅-．（2）以,BA BC 为基底向量表示,BF BD ，根据平面向量基本定理可得关于,λμ的方程组，求解后可得λ与μ的值．【详解】（1）因为//a b ，故16x ⨯=，故6x =． 因为a c ⊥，故1220y ⨯+⨯=，故1y =-．()()21,2,1,3a b a c -=---=-，故(2)()5a b a c -⋅-=-．（2）因为3CF FA =且F 分别为线段AC 上一点，故3CF FA =， 所以()3BF BC BA BF -=-即1344BF BC BA =+． 而23BD BC =，故2(1)13344BE BA BC BC BA λλμ-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 而,BA BC 不共线，故()213434λμμλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2389λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ． 【点睛】思路点睛：平面向量中与向量系数有关系的计算，可以利用基底法来处理，即选定一组不共线的向量，其他向量可以用前者来表示，再利用平面向量基本定理把系数问题转化为方程组问题.19．在①()2223163c S b a +=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，已知________． （1）求tan B 的值；（2）若42,S =10a =，求b 的值．【答案】（1）34；（2）【解析】（1）若选择条件①．()2223163c S b a +=-，由正弦定理得()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ，整理得：()2228sin 3ac B a c b =+-，再利用余弦定理有3cos 4sin 4sin B B B -=求解.若选择条件②．因为5cos 45b C c a +=，根据正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，即sin (45cos )0C B -=求解.（2）由（1）知3tan 4B =，再根据42,S =10a =，利用正弦定理1acsin 2S B =解得14c =，再将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-求解.【详解】（1）选择条件①．()2223163c S b a +=-，所以()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ，整理得：()2228sin 3ac B a c b =+-．即2224sin 32a c b B ac+-=⋅. 整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >．所以cos 0B >，所以sin 3tan cos 4B B B ==. 选择条件②．因为5cos 45bC c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+， 即sin (45cos )0C B -=， 在ABC 中，sin 0C ≠， 所以4cos 5B =，23sin 1cos 5B B =-=，所以3tan 4B =.（2）由3tan 4B =，得3sin 5B =，又42,S =10a =， 则113acsin 1042225S B c ==⨯⨯=，解得14c =.将42,S =10,a =14c =代入()22226163c S b c a =++-中，得()2222614164231410b ⨯=⨯++-，解得62b =．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：//BC AD ； （2）求证：//CE 平面PAB ；（3）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使//MN 平面PAB ？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；（3）取AD 中点N ，连接CN ，EN ，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明． 【详解】证明：（1）在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ， 平面ABCD 平面PAD AD =，//BC AD ∴，（2）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，E 是PD 的中点， //EF AD ∴，12EF AD =， 又由（1）可得//BC AD ，12BC AD =， //BC EF ∴，BC EF =，∴四边形BCEF 是平行四边形，//CE BF ∴，CE ⊂/平面PAB ，BF ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ．（3）取AD 中点N ，连接CN ，EN ，E ，N 分别为PD ，AD 的中点，//EN PA ∴，EN ⊂/平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，//EN ∴平面PAB ，又由（2）可得//CE 平面PAB ，CE EN E =，∴平面//CEN 平面PAB ，M 是CE 上的动点，MN ⊂平面CEN ，//MN ∴平面PAB ，∴线段AD 存在点N ，使得//MN 平面PAB ．21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos a A c B b C =+． （1）求角A 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求sin sin B C +的取值范围； （3）若3a =，D 是AC 边上的中点，3BD =cos B ． 【答案】（1）3A π=；（2）3sin sin 32B C <+≤（3）cos 0B =. 【分析】（1）利用正弦定理可把边角关系转化为2sin cos sin A A A =，从而可得3A π=.（2）先根据锐角三角形可得62B ππ<<，再利用三角变换公式可得sin sin 36B C B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，从而可求sin sin B C +的取值范围；（3）在ABC 和ABD △中分别用余弦定理可得关于,b c 的方程，求解后可得ABC 为直角三角形，从而可求cos B 的值.【详解】（1）因为2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin A A C B B C A =+=， 而A 为三角形内角，故sin 0A >，故1cos 2A =即3A π=. （2）由（1）可得23B C π+=， 因为ABC 为锐角三角形，故203202B B πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，故62B ππ<<.又233sin sin sin sin sin 3sin 326B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为62B ππ<<，故2363B πππ<+<，故3sin sin 32B C <+≤（3）ABD △中，由余弦定理可得22221132cos 42342c bc c b b c b π=+-⨯⨯⨯=+-，在ABC 中，由余弦定理可得222292cos3c b b c c b bc π=+-⨯⨯⨯=+-，整理得到22280b bc c +-=，解得2b c =，故3c =，23b =， 故222b c a =+，故2B π=，故cos 0B =.【点睛】方法点睛：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．22．如图，某大型景区有两条直线型观光路线,AE AF ，120EAF ∠=︒，点D 位于EAF ∠的平分线上，且与顶点A 相距1公里．现准备过点D 安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在AE 和AF 上），围出三角形区域ABC ，且AB 和AC 都不超过5公里，设,AB x AC y ==（单位：公里）．（1）求x ，y 的关系式； （2）求BC 边长的最小值；（3）景区需要对两个三角形区域ABD ，ACD 进行绿化．经测算，ABD 区域每平方公里的绿化费用是ACD 区域的两倍，试确定x ，y 的值，使得所需的总费用最少． 【答案】（1）xy x y =+ (其中 05,05x y <≤<≤)； （2） 23 （3）2112x y ==+【分析】（1）依题意得ABC ADC ABD S S S =+△△△，利用面积公式及条件可得xy y x =+ (其中05,05x y <≤<≤)；（2）由（1）知，05,05x y <≤<≤，2xy y x xy =+≥4xy ≥. 由余弦定理得：222222cos120312BC x y xy x y xy xy =+-=++≥≥，所以，23BC ≥；（3）设ACD 区域每平方公里的绿化费用为t (t 为常数)，两区域总费用为P ，则有()2P x y +，记2u x y =+，由(Ⅰ)可知xy y x =+，即111x y +=，()112223y xu x y x y x y x y ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 用均值不等式求最值即可.【详解】（1）依题意得ABC ADC ABD S S S =+△△△，故111sin sin sin 222AC AB BAC AC AD DAC AD AB BAD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠， 即111sin120sin60sin60222xy y x ︒=︒+︒， 所以xy y x =+ (其中05,05x y <≤<≤).（2）由（1）知，05,05x y <≤<≤，xy y x =+≥所以4xy ≥（当且仅当2x y ==时，等号成立）. 在△ABC 中，由余弦定理得：222222cos120312BC x y xy x y xy xy =+-=++≥≥，所以，BC ≥.故当且仅当2x y ==时，BC有最小值.（3）设ACD 区域每平方公里的绿化费用为t (t 为常数)，两区域总费用为P ，则有()11sin602sin60222P x t y t x y =︒⋅+︒⋅=+， 记2u x y =+，由（1）可知xy y x =+，即111x y+=，则()11222333y x u x y x y x y x y ⎛⎫=+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当2y x x y =，即2y x xy xy y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，，解得11x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.故当1x =+1y =+(单位：公里)时,所需的总费用最少. 【点睛】关键点点睛：（1）构造ABC ADC ABD S S S =+△△△； （2）由xy y x =+≥4xy ≥； （3）由“1”的妙用得到()11222333y x u x y x y x y x y ⎛⎫=+=++=++≥= ⎪⎝⎭.。
2020-2021学年浙江省台州市临海中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列集合M到P的对应f是映射的是（）A．M ={-2，0，2}，P = {-4，0，4}，f：M中数的平方B．M ={0，1}，P = {-1，0，1}，f：M中数的平方根C．M = Z，P = Q，f：M中数的倒数D．M = R，P ={ x| x > 0}，f：M中数的平方参考答案：A2. 已知函数y=f（x+3）是偶函数，则函数y=f（x）图象的对称轴为直线（）A．x=﹣3 B．x=0 C．x=3 D．x=6参考答案：C【考点】函数的图象；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数图象平移法则，确定函数y=f（x）图象与函数y=f（x+3）的图象的关系，进而结合偶函数的性质可得答案．【解答】解：函数y=f（x+3）是偶函数，其图象关于y轴，即直线x=0对称，函数y=f（x）图象由函数y=f（x+3）的图象向右平移3个单位得到，故函数y=f（x）图象关于直线x=3对称，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数图象的平移变换，函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．3. 设，则的值为（）A．0 B．1 C．2D．3参考答案：B 试题分析：,,故选B.考点：分段函数求值.4. 已知向量，则2等于（）A．（4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（0，﹣1）D．（0，1）参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的数乘运算法则和向量的减法运算法则求出向量的坐标．【解答】解：∵∴故选B5. 等比数列的前项和为，，若成等差数列，则( ) A． 7 B． 8 C． 16 D．15参考答案：D6. 设，向量，，且，则（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．7. 在△ABC中，，则A与B的大小关系为（）A．A＜B B．A=B C．A＞B D．不确定参考答案：C在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得：a＞b，可得A＞B．8. 若函数，则的值是(A)9 (B)7 (C)5 (D)3参考答案：C略9. 下列关系错误的是（）A B C D参考答案：C10. .下列根式与分数指数幂的互化，正确的是( )A. B.C. D.参考答案：C【分析】利用根式与分数指数幂的关系化简计算即可。
第一套：满分150分2020-2021年浙江台州市第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2020-2021学年浙江省台州市新中中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图在直角梯形中,,，直线，截得此梯形所得位于左方的图形面积为，那么函数的图象大致可为下列图中的（）参考答案：C2. 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2，4}，B={2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{2} B．{3} C．{1，4} D．{1，2，3，4}参考答案：A【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图确定集合关系即可得到结论．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A且不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩B，∵全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2，4}，B={2，3}，∴A∩B={2}，故选：A3. 若角α的终边经过点P（﹣2cos60°，﹣sin45°），则sinα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．﹣参考答案：D【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】角α的终边经过点P（﹣2cos60°，﹣sin45°），即x=﹣2cos60°=﹣1，y=﹣sin45°=﹣1，利用三角函数的定义求出sinα的值．【解答】解：角α的终边经过点P（﹣2cos60°，﹣sin45°），即x=﹣2cos60°=﹣1，y=﹣sin45°=﹣1，∴sinα=﹣，故选D．4. 已知函数f(x)=2sinωx (ω>0)在区间[]上的最小值是-2，则ω的最小值等于（）A. B. C.2 D.3参考答案：B略5. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）.A． B．C． D．参考答案：A6. 设全集，，，则为（）A． B. C. D.参考答案：D7. 直线互相垂直，则的值是A -3 或1B 0C 0或-3D 0或1参考答案：A8. 设a，m，n是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，给定下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥.其中为真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】根据课本的判定定理以及推论，和特殊的例子，可判断正误.【详解】对于①，错误，n可以在平面内；对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候，才能推出线面垂直；对于③根据课本推论知其结果正确；④直线m和n可以是异面的成任意夹角的两条直线；对于⑤根据课本线面垂直的判定定理得到其正确；对于⑥是错误的，当直线m与直线n,和平面平行并且和平面垂直，此时两条直线互相平行.故答案为：B【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系，面面垂直，线面垂直的判定等，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断。
