2018届中考专题《锐角三角函数和解直角三角形》同步练习有答案(word版)
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1.2 锐角三角函数的计算(2)(见B 本53页)A 练就好基础 基础达标1.在△ABC 中,∠C =90°,tan A =1,则sin B 的值是( D ) A. 3B. 2C .1D.222.若3tan(α+10°)=1,则锐角α的度数是( A )A .20°B .30°C .40°D .50° 3.如图所示,已知△ABC 的三个顶点均在格点上,则∠A 的度数约为( D ) A .30° B .25° C .26°33′ D .26°34′第3题图第5题图4.在Rt △ABC 中,∠C =90°,cos A =23,则tan B 等于( C )A.35B.53C.255D.525.如图是教学用直角三角板,边AC =60 cm ,∠C =90°,tan ∠ABC =3,则边AB 的长为( A )A .40 3 cmB .20 3 cmC .60 3 cmD .120 cm6.已知下列锐角三角函数值,用计算器求其相应的锐角(结果精确到1′): (1)sin A =0.6275,则∠A≈__38°52′__; (2)cos A =0.6252,则∠A≈__51°18′__; (3)tan A =4.8425,则∠A≈__78°20′__.7.广东中考如图所示,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,3),那么cos α的值是__45__.第7题图第8题图8.如图所示⊙O 中,直径AB⊥弦CD 于点E.若BE =14CD =4,则∠COD≈__106°__. (精确到1°)第9题图9.如图所示是某公园“六一”前新增设的一台滑梯.该滑梯的高度AC =3 m ,滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC =4 m.(1)求滑梯AB 的长;(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)超过30°,而不超过45°符合规格要求.请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求.解:(1)滑梯长AB =BC 2+AC 2=5(m).(2)∵tan ∠ABC =ACBC =0.75,∴∠ABC ≈37°,30°<37°<45°, ∴这架滑梯的倾斜角符合要求.第10题图10.如图所示,已知直线AB与x轴、y轴分别交于A,B两点,它的解析式为y=-3 3x+33,角α的一边为OA,另一边OP⊥AB于点P.求cos α的值.解:∵直线AB的解析式为y=-33x+33,则点A的坐标为(1,0),点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,33,故OA=1,OB=33,AB=233,∵cos∠ABO=OBAB=33233=12,由于同角的余角相等,∠α=∠ABO,∴cos α=cos∠ABO=12.B 更上一层楼能力提升11.如图所示,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则( A) A.点A到OC的距离为sin 36°·sin 54°B.点B到AO的距离为tan 36°C.点B到AO的距离为sin 54°D.点A到OC的距离为cos 36°·sin 54°第11题图第12题图12.如图所示,在2×2的正方形网格中,△ABC是以格点为顶点的三角形,则sin∠CAB等于( B)A.323 B.35C.105D.310第13题图13.枣庄中考如图所示,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连结AC,BD,若AC=2,则tan D=.14.如图所示,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M,N 两点关于对角线AC对称,若DM =1,则sin ∠ADN =__45__.14题图第15题图15.日照中考如图所示,在直角△BAD 中,延长斜边BD 到点C ,使DC =12BD ,连结AC ,若tan B =53,则tan ∠CAD =__15__.16.盐城中考已知△ABC 中,tan B =23,BC =6,过点A 作BC 边上的高,垂足为点D ,且满足BD∶CD=2∶1,则△ABC 的面积所有可能的值为__8或24__.C 开拓新思路 拓展创新 17.规定:sin(-x)=-sin x ,cos(-x)=cos x ,sin(x +y)=sin x ·cos y +cos x ·sin y.据此判断,下列等式中成立的是__②③④__.(写出所有正确的序号)①cos(-60°)=-12;②sin 75°=6+24; ③sin 2x =2sin x ·cos x ;④sin(x -y)=sin x ·cos y -cos x ·sin y.第18题图18.龙东中考如图所示,在正方形ABCD 中,E ,F 分别为BC ,CD 的中点,连结AE ,BF 交于点G ,将△BCF 沿BF 对折,得到△BPF,延长FP 交BA 的延长线于点Q.请判断下列结论是否正确,并说明理由.①AE =BF ;②AE⊥BF;③sin ∠BQP =45.解:∵E,F 分别是正方形ABCD 边BC ,CD 的中点, ∴CF =BE ,在△ABE 和△BCF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =BC ,∠ABE =∠BCF,BE =CF ,∴Rt △ABE ≌Rt △BCF(SAS),∴∠BAE =∠CBF,AE =BF ,故①正确;又∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF +∠BEA=90°, ∴∠BGE =90°,∴AE ⊥BF ,故②正确;根据题意,得FP =FC ,∠PFB =∠BFC,∠FPB =90°. ∵CD ∥AB ,∴∠CFB =∠ABF, ∴∠ABF =∠PFB, ∴QF =QB ,令PF =k(k>0),则PB =2k , 在Rt △BPQ 中,设QB =x , ∴x 2=(x -k)2+4k 2,∴x =5k 2, ∴sin ∠BQP =BP QB =45,故③正确.。
锐角三角函数练习卷.tan 60︒的值等于()△中,∠°,∶∶3,则,..设α、β为锐角,若α23,则α;若β33,则β..已知α是锐角,且α54,则(°-α)( ) .54 .43 .53 .51.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则α的值是( ).43 .34 .53 .54.如图,⊙是△的外接圆,是⊙的直径,连接,若⊙的半径23=r ,,则的值是() .23 .35 .25 .32.如图,若∠°,,则大约是(结果精确到)( ). . . ..在△中,∠°,,31,则( ).51 .451.如图,是△斜边上的高,,,则∠( ) .53 .43 .34 .54.计算:(02cos 45=︒..计算:()102 3.142sin 6013π-︒⎛⎫+--+- ⎪⎝⎭.已知:如图,△内接于⊙,点在的延长线上,21,∠°.()求证:是⊙的切线;()若⊥,,求的长..计算:º+12--02008––3.计算:101(2013)32cos 452-⎛⎫--- ⎪⎝⎭.如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为,直径是河底线,弦是水位线,∥,且,⊥于点.已测得∠ .()求半径;()根据需要,水面要以每小时 的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?.如图,在△中,∠°,,,求△的周长和的值.参考答案.21,3 °° . .. 1-+ .32答案思路解析:圆的切线问题跟过切点的半径有关,连接,证∠°. 由21可以得到∠°,由此得到圆心角∠°,从而得到△是等边三角形,由此∠°. 是△的边,有三角函数可以求出其长度.()证明:如图,连接. ∵21,∴∠°.∴∠°.∵,∴△是等边三角形.∴∠°.∴∠°.∴是⊙的切线.()解:∵⊥ ∴ 垂直平分.∴ .∴. 在△中,由正切定义,有∠OA AD.∴ 35.. 21..()∵⊥于点,(),∴ ().在△中,∵∠ , ∴ ().()()∴将水排干需:÷(小时). .在中, ∠°,, ∴∴周长为,。
2018中考数学试题分类汇编:考点锐角三角函数和解直角三角形一.选择题(共15小题)1.(2018•柳州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sinB==()A.B.C.D.【分析】首先利用勾股定理计算出AB长,再计算sinB即可.【解答】解:∵∠C=90°,BC=4,AC=3,∴AB=5,∴sinB==,故选:A.2.(2018•孝感)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sinA等于()A.B.C.D.【分析】先根据勾股定理求得BC=6,再由正弦函数的定义求解可得.【解答】解:在Rt△ABC中,∵AB=10、AC=8,∴BC===6,∴sinA===,故选:A.3.(2018•大庆)2cos60°=()A.1 B.C.D.【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案.【解答】解:2cos60°=2×=1.故选:A.4.(2018•天津)cos30°的值等于()A.B.C.1 D.【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可.【解答】解:cos30°=.故选:B.5.(2018•贵阳)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为()A.B.1 C.D.【分析】连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长,利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形,即可求出所求.【解答】解:连接BC,由网格可得AB=BC=,AC=,即AB2+BC2=AC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,则tan∠BAC=1,故选:B.6.(2018•金华)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为()A.B.C.D.【分析】在两个直角三角形中,分别求出AB、AD即可解决问题;【解答】解:在Rt△ABC中,AB=,在Rt△ACD中,AD=,∴AB:AD=:=,故选:B.7.(2018•宜昌)如图,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于()A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米 D.100tan55°米【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度.【解答】解:∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35°,∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米.故选:C.8.(2018•威海)如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,下列结论错误的是()A.当小球抛出高度达到7.5m时,小球水平距O点水平距离为3mB.小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C.小球落地点距O点水平距离为7米D.斜坡的坡度为1:2【分析】求出当y=7.5时,x的值,判定A;根据二次函数的性质求出对称轴,根据二次函数性质判断B;求出抛物线与直线的交点,判断C,根据直线解析式和坡度的定义判断D.【解答】解:当y=7.5时,7.5=4x﹣x2,整理得x2﹣8x+15=0,解得,x1=3,x2=5,∴当小球抛出高度达到7.5m时,小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm,A错误,符合题意;y=4x﹣x2=﹣(x﹣4)2+8,则抛物线的对称轴为x=4,∴当x>4时,y随x的增大而减小,即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势,B正确,不符合题意;,解得,,,则小球落地点距O点水平距离为7米,C正确,不符合题意;∵斜坡可以用一次函数y=x刻画,∴斜坡的坡度为1:2,D正确,不符合题意;故选:A.9.(2018•淄博)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米,其铅直高度上升了15米.在用科学计算器求坡角α的度数时,具体按键顺序是()A.B.C.D.【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15,然后利用计算器求锐角α.【解答】解:sinA===0.15,所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键顺序为故选:A.10.(2018•重庆)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=1:0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为()(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米【分析】如图延长AB交ED的延长线于M,作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC是矩形.在Rt△CDJ中求出CJ、DJ,再根据,tan∠AEM=构建方程即可解决问题;【解答】解:如图延长AB交ED的延长线于M,作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC 是矩形.在Rt△CJD中,==,设CJ=4k,DJ=3k,则有9k2+16k2=4,∴k=,∴BM=CJ=,BC=MJ=1,DJ=,EM=MJ+DJ+DE=,在Rt△AEM中,tan∠AEM=,∴1.6=,解得AB≈13.1(米),故选:B.11.(2018•重庆)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1:0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45)()A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M,CN⊥DM于N.首先解直角三角形Rt △CDN,求出CN,DN,再根据tan24°=,构建方程即可解决问题;【解答】解:作BM⊥ED交ED的延长线于M,CN⊥DM于N.在Rt△CDN中,∵==,设CN=4k,DN=3k,∴CD=10,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴CN=8,DN=6,∵四边形BMNC是矩形,∴BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,在Rt△AEM中,tan24°=,∴0.45=,∴AB=21.7(米),故选:A.12.(2018•长春)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离,一架直升飞机从A 地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A、B两地之间的距离为()A.800sinα米B.800tanα米C.米D.米【分析】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,根据tanα=,即可解决问题;【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,∴tanα=,∴AB==.故选:D.13.(2018•香坊区)如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋楼顶部B 的仰角为30°,看这栋楼底部C的俯角为60°,热气球A与楼的水平距离为120米,这栋楼的高度BC为()A.160米B.(60+160)C.160米D.360米【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D,根据题意得∠BAD=30°,∠CAD=60°,AD=120m,然后利用三角函数求解即可求得答案.【解答】解:过点A作AD⊥BC于点D,则∠BAD=30°,∠CAD=60°,AD=120m,在Rt△ABD中,BD=AD•tan30°=120×=40(m),在Rt△ACD中,CD=AD•tan60°=120×=120(m),∴BC=BD+CD=160(m).故选:C.14.(2018•绵阳)一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是()(结果保留小数点后两位)(参考数据:≈1.732,≈1.414)A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里【分析】根据题意画出图形,结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°,作BD⊥AC于点D,以点B为顶点、BC为边,在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°,设BD=x,则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x,据此得出AC=2x+2x,根据题意列出方程,求解可得.【解答】解:如图所示,由题意知,∠BAC=30°、∠ACB=15°,作BD⊥AC于点D,以点B为顶点、BC为边,在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°,则∠BED=30°,BE=CE,设BD=x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=x,∴AC=AD+DE+CE=2x+2x,∵AC=30,∴2x+2x=30,解得:x=≈5.49,故选:B.15.(2018•苏州)如图,某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()A.40海里B.60海里C.20海里D.40海里【分析】首先证明PB=BC,推出∠C=30°,可得PC=2PA,求出PA即可解决问题;【解答】解:在Rt△PAB中,∵∠APB=30°,∴PB=2AB,由题意BC=2AB,∴PB=BC,∴∠C=∠CPB,∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°,∴∠C=30°,∴PC=2PA,∵PA=AB•tan60°,∴PC=2×20×=40(海里),故选:D.二.填空题(共17小题)16.(2018•北京)如图所示的网格是正方形网格,∠BAC>∠DAE.(填“>”,“=”或“<”)【分析】作辅助线,构建三角形及高线NP,先利用面积法求高线PN=,再分别求∠BAC、∠DAE的正弦,根据正弦值随着角度的增大而增大,作判断.【解答】解:连接NH,BC,过N作NP⊥AD于P,S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP,=PN,PN=,Rt△ANP中,sin∠NAP====0.6,Rt△ABC中,sin∠BAC===>0.6,∵正弦值随着角度的增大而增大,∴∠BAC>∠DAE,故答案为:>.17.(2018•滨州)在△ABC中,∠C=90°,若tanA=,则sinB=.【分析】直接根据题意表示出三角形的各边,进而利用锐角三角函数关系得出答案.【解答】解:如图所示:∵∠C=90°,tanA=,∴设BC=x,则AC=2x,故AB=x,则sinB===.故答案为:.18.(2018•泰安)如图,在△ABC中,AC=6,BC=10,tanC=,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过D作DE⊥BC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,△DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为S=x2.【分析】可在直角三角形CED中,根据DE、CE的长,求出△BED的面积即可解决问题.【解答】解:(1)在Rt△CDE中,tanC=,CD=x∴DE=x,CE=x,∴BE=10﹣x,=×(10﹣x)•x=﹣x2+3x.∴S△BED∵DF=BF,=x2,∴S=S△BED故答案为S=x2.19.(2018•无锡)已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则△ABC的面积等于15或10.【分析】作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况,先在Rt△ABD中求得AD、BD的值,再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长,继而就两种情况分别求出BC的长,根据三角形的面积公式求解可得.【解答】解:作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,①如图1,当AB、AC位于AD异侧时,在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5,在Rt△ACD中,∵AC=2,∴CD===,则BC=BD+CD=6,=•BC•AD=×6×5=15;∴S△ABC②如图2,当AB、AC在AD的同侧时,由①知,BD=5,CD=,则BC=BD﹣CD=4,=•BC•AD=×4×5=10.∴S△ABC综上,△ABC的面积是15或10,故答案为15或10.20.(2018•香坊区)如图,在△ABC中,AB=AC,tan∠ACB=2,D在△ABC内部,且AD=CD,∠ADC=90°,连接BD,若△BCD的面积为10,则AD的长为5.【分析】作辅助线,构建全等三角形和高线DH,设CM=a,根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长,根据三角形面积表示DH的长,证明△ADG≌△CDH(AAS),可得DG=DH=MG=,AG=CH=a+,根据AM=AG+MG,列方程可得结论.【解答】解:过D作DH⊥BC于H,过A作AM⊥BC于M,过D作DG⊥AM于G,设CM=a,∵AB=AC,∴BC=2CM=2a,∵tan∠ACB=2,∴=2,∴AM=2a,由勾股定理得:AC=a,S△BDC=BC•DH=10,=10,DH=,∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°,∴四边形DHMG为矩形,∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG,DG=HM,DH=MG,∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG,∴∠ADG=∠CDH,在△ADG和△CDH中,∵,∴△ADG≌△CDH(AAS),∴DG=DH=MG=,AG=CH=a+,∴AM=AG+MG,即2a=a++,a2=20,在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2,∵AD=CD,∴2AD2=5a2=100,∴AD=5或﹣5(舍),故答案为:5..21.(2018•眉山)如图,在边长为1的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点O,则tan∠AOD=2.【分析】首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACO∽△BKO,然后由相似三角形的对应边成比例,易得KO:CO=1:3,即可得OF:CF=OF:BF=1:2,在Rt△OBF 中,即可求得tan∠BOF的值,继而求得答案.【解答】解:如图,连接BE,∵四边形BCEK是正方形,∴KF=CF=CK,BF=BE,CK=BE,BE⊥CK,∴BF=CF,根据题意得:AC∥BK,∴△ACO∽△BKO,∴KO:CO=BK:AC=1:3,∴KO:KF=1:2,∴KO=OF=CF=BF,在Rt△PBF中,tan∠BOF==2,∵∠AOD=∠BOF,∴tan∠AOD=2.故答案为:222.(2018•德州)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是.【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状,再由锐角三角函数的定义即可得出结论.【解答】解:∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,则sin∠BAC==,故答案为:.23.(2018•齐齐哈尔)四边形ABCD中,BD是对角线,∠ABC=90°,tan∠ABD=,AB=20,BC=10,AD=13,则线段CD=17.【分析】作AH⊥BD于H,CG⊥BD于G,根据正切的定义分别求出AH、BH,根据勾股定理求出HD,得到BD,根据勾股定理计算即可.【解答】解:作AH⊥BD于H,CG⊥BD于G,∵tan∠ABD=,∴=,设AH=3x,则BH=4x,由勾股定理得,(3x)2+(4x)2=202,解得,x=4,则AH=12,BH=16,在Rt△AHD中,HD==5,∴BD=BH+HD=21,∵∠ABD+∠CBD=90°,∠BCH+∠CBD=90°,∴∠ABD=∠CBH,∴=,又BC=10,∴BG=6,CG=8,∴DG=BD﹣BG=15,∴CD==17,故答案为:17.24.(2018•广州)如图,旗杆高AB=8m,某一时刻,旗杆影子长BC=16m,则tanC=.【分析】根据直角三角形的性质解答即可.【解答】解:∵旗杆高AB=8m,旗杆影子长BC=16m,∴tanC=,故答案为:25.(2018•枣庄)如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度为 6.2米.(结果保留两个有效数字)【参考数据;sin31°=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长,从而可以解答本题.【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2(米),答:大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.故答案为:6.2.26.(2018•广西)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是40m(结果保留根号)【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD,再利用锐角三角函数关系得出答案.【解答】解:由题意可得:∠BDA=45°,则AB=AD=120m,又∵∠CAD=30°,∴在Rt△ADC中,tan∠CDA=tan30°==,解得:CD=40(m),故答案为:40.27.(2018•宁波)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为1200(﹣1)米(结果保留根号).【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中,利用锐角三角函数,用CH表示出AH、BH 的长,然后计算出AB的长.【解答】解:由于CD∥HB,∴∠CAH=∠ACD=45°,∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中,∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米,在Rt△HCB,∵tan∠B=∴HB====1200(米).∴AB=HB﹣HA=1200﹣1200=1200(﹣1)米故答案为:1200(﹣1)28.(2018•黄石)如图,无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°,如果无人机距地面高度CD为米,点A、D、E在同一水平直线上,则A、B两点间的距离是100(1+)米.(结果保留根号)【分析】如图,利用平行线的性质得∠A=60°,∠B=45°,在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100,在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100,然后计算AD+BD即可.【解答】解:如图,∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°,∴∠A=60°,∠B=45°,在Rt△ACD中,∵tanA=,∴AD==100,在Rt△BCD中,BD=CD=100,∴AB=AD+BD=100+100=100(1+).答:A、B两点间的距离为100(1+)米.故答案为100(1+).29.(2018•咸宁)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m,那么该建筑物的高度BC约为300m(结果保留整数,≈1.73).【分析】在Rt△ABD中,根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD,在Rt△ACD中,求得CD=AD•tan∠CAD,再根据BC=BD+CD,代入数据计算即可.【解答】解:如图,∵在Rt△ABD中,AD=90,∠BAD=45°,∴BD=AD=110(m),∵在Rt△ACD中,∠CAD=60°,∴CD=AD•tan60°=110×=190(m),∴BC=BD+CD=110+190=300(m)答:该建筑物的高度BC约为300米.故答案为300.30.(2018•天门)我国海域辽阔,渔业资源丰富.如图,现有渔船B在海岛A,C附近捕鱼作业,已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上.在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上,此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18(1+)n mile处,则海岛A,C之间的距离为18n mile.【分析】作AD⊥BC于D,根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD,根据题意列式计算即可.【解答】解:作AD⊥BC于D,设AC=x海里,在Rt△ACD中,AD=AC×sin∠ACD=x,则CD=x,在Rt△ABD中,BD=x,则x+x=18(1+),解得,x=18,答:A,C之间的距离为18海里.故答案为:1831.(2018•潍坊)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达.(结果保留根号)【分析】如图,过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q,过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N,通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度,即MN的长度,然后通过解直角△BMN求得BM的长度,则易得所需时间.【解答】解:如图,过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q,过点M作MN⊥AB 交AB延长线于点N,在直角△AQP中,∠PAQ=45°,则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ(海里),所以BQ=PQ﹣90.在直角△BPQ中,∠BPQ=30°,则BQ=PQ•tan30°=PQ(海里),所以PQ﹣90=PQ,所以PQ=45(3+)(海里)所以MN=PQ=45(3+)(海里)在直角△BMN中,∠MBN=30°,所以BM=2MN=90(3+)(海里)所以=(小时)故答案是:.32.(2018•济宁)如图,在一笔直的海岸线l上有相距2km的A,B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60°的方向上,从B站测得船C在北偏东30°的方向上,则船C到海岸线l的距离是km.【分析】首先由题意可证得:△ACB是等腰三角形,即可求得BC的长,然后由在Rt△CBD中,CD=BC•sin60°,求得答案.【解答】解:过点C作CD⊥AB于点D,根据题意得:∠CAD=90°﹣60°=30°,∠CBD=90°﹣30°=60°,∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=2km,在Rt△CBD中,CD=BC•sin60°=2×=(km).故答案为:.三.解答题(共18小题)33.(2018•贵阳)如图①,在Rt△ABC中,以下是小亮探究与之间关系的方法:∵sinA=,sinB=∴c=,c=∴=根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC中,探究、、之间的关系,并写出探究过程.【分析】三式相等,理由为:过A作AD⊥BC,BE⊥AC,在直角三角形ABD中,利用锐角三角函数定义表示出AD,在直角三角形ADC中,利用锐角三角函数定义表示出AD,两者相等即可得证.【解答】解:==,理由为:过A作AD⊥BC,BE⊥AC,在Rt△ABD中,sinB=,即AD=csinB,在Rt△ADC中,sinC=,即AD=bsinC,∴csinB=bsinC,即=,同理可得=,则==.34.(2018•上海)如图,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.(1)求边AC的长;(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值.【分析】(1)过A作AE⊥BC,在直角三角形ABE中,利用锐角三角函数定义求出AC的长即可;(2)由DF垂直平分BC,求出BF的长,利用锐角三角函数定义求出DF的长,利用勾股定理求出BD的长,进而求出AD的长,即可求出所求.【解答】解:(1)作A作AE⊥BC,在Rt△ABE中,tan∠ABC==,AB=5,∴AE=3,BE=4,∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1,在Rt△AEC中,根据勾股定理得:AC==;(2)∵DF垂直平分BC,∵tan∠DBF==,∴DF=,在Rt△BFD中,根据勾股定理得:BD==,∴AD=5﹣=,则=.35.(2018•自贡)如图,在△ABC中,BC=12,tanA=,∠B=30°;求AC和AB 的长.【分析】如图作CH⊥AB于H.在Rt△求出CH、BH,这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题;【解答】解:如图作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中,∵BC=12,∠B=30°,∴CH=BC=6,BH==6,在Rt△ACH中,tanA==,∴AH=8,∴AB=AH+BH=8+6.36.(2018•烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速.在l外取一点P,作PC⊥l,垂足为点C.测得PC=30米,∠APC=71°,∠BPC=35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)【分析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21,据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66,从而求得该车通过AB段的车速,比较大小即可得.【解答】解:在Rt△APC中,AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87,在Rt△BPC中,BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21,则AB=AC﹣BC=87﹣21=66,∴该汽车的实际速度为=11m/s,又∵40km/h≈11.1m/s,∴该车没有超速.37.(2018•绍兴)如图1,窗框和窗扇用“滑块铰链”连接,图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图,滑轨MN安装在窗框上,托悬臂DE安装在窗扇上,交点A 处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点B,C,D始终在一直线上,延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm.(1)窗扇完全打开,张角∠CAB=85°,求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数;(2)窗扇部分打开,张角∠CAB=60°,求此时点A,B之间的距离(精确到0.1cm).(参考数据:≈1.732,≈2.449)【分析】(1)根据平行四边形的判定和性质可以解答本题;(2)根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长,从而可以解答本题.【解答】解:(1)∵AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,∴四边形ACDE是平行四边形,∴AC∥DE,∴∠DFB=∠CAB,∵∠CAB=85°,∴∠DFB=85°;(2)作CG⊥AB于点G,∵AC=20,∠CGA=90°,∠CAB=60°,∴CG=,AG=10,∵BD=40,CD=10,∴CB=30,∴BG==,∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm,即A、B之间的距离为34.5cm.38.(2018•临沂)如图,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门?【分析】过B作BD⊥AC于D,解直角三角形求出AD=xm,CD=BD=xm,得出方程,求出方程的解即可.【解答】解:工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门,理由是:过B作BD⊥AC于D,∵AB>BD,BC>BD,AC>AB,∴求出DB长和2.1m比较即可,设BD=xm,∵∠A=30°,∠C=45°,∴DC=BD=xm,AD=BD=xm,∵AC=2(+1)m,∴x+x=2(+1),∴x=2,即BD=2m<2.1m,∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门.39.(2018•长沙)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图,A、B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:≈141,≈1.73)【分析】(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角△ACD中,解直角三角形求出CD,进而解答即可;(2)在直角△CBD中,解直角三角形求出BD,再求出AD,进而求出汽车从A 地到B地比原来少走多少路程.【解答】解:(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,∵AB⊥CD,sin30°=,BC=80千米,∴CD=BC•sin30°=80×(千米),AC=(千米),AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4(千米),答:开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米;(2)∵cos30°=,BC=80(千米),∴BD=BC•cos30°=80×(千米),∵tan45°=,CD=40(千米),∴AD=(千米),∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2(千米),∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为:AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2(千米).答:汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米.40.(2018•白银)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高,中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离,改变了人们的出行方式.如图,A,B两地被大山阻隔,由A地到B地需要绕行C地,若打通穿山隧道,建成A,B 两地的直达高铁,可以缩短从A地到B地的路程.已知:∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=640公里,求隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程将约缩短多少公里?(参考数据:≈1.7,≈1.4)【分析】过点C作CD⊥AB于点D,利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长,进而可得出结论.【解答】解:过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ADC和Rt△BCD中,∵∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=640,∴CD=320,AD=320,∴BD=CD=320,BC=320,∴AC+BC=640+320≈1088,∴AB=AD+BD=320+320≈864,∴1088﹣864=224(公里),答:隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程将约缩短224公里.41.(2018•随州)随州市新㵐水一桥(如图1)设计灵感来源于市花﹣﹣兰花,采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为258米,宽32米,为双向六车道,2018年4月3日通车.斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图2所示,索塔AB和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一水平面内,BC在水平桥面上.已知∠ABC=∠DEB=45°,∠ACB=30°,BE=6米,AB=5BD.(1)求最短的斜拉索DE的长;(2)求最长的斜拉索AC的长.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质计算DE的长;(2)作AH⊥BC于H,如图2,由于BD=DE=3,则AB=3BD=15,在Rt△ABH 中,根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15,然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长.【解答】解:(1)∵∠ABC=∠DEB=45°,∴△BDE为等腰直角三角形,∴DE=BE=×6=3.答:最短的斜拉索DE的长为3m;(2)作AH⊥BC于H,如图2,∵BD=DE=3,∴AB=3BD=5×3=15,在Rt△ABH中,∵∠B=45°,∴BH=AH=AB=×15=15,在Rt△ACH中,∵∠C=30°,∴AC=2AH=30.答:最长的斜拉索AC的长为30m.42.(2018•遵义)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC与地面保持垂直,吊臂AB与水平线的夹角为64°,吊臂底部A距地面1.5m.(计算结果精确到0.1m,参考数据sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时,吊臂AB的长为11.4m.(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少?(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)【分析】(1)根据直角三角形的性质和三角函数解答即可;(2)过点D作DH⊥地面于H,利用直角三角形的性质和三角函数解答即可.【解答】解:(1)在Rt△ABC中,∵∠BAC=64°,AC=5m,∴AB=(m);故答案为:11.4;(2)过点D作DH⊥地面于H,交水平线于点E,在Rt△ADE中,∵AD=20m,∠DAE=64°,EH=1.5m,∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18(m),即DH=DE+EH=18+1.5=19.5(m),答:如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m.43.(2018•资阳)如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图,她在A处时的风筝线(整个过程中风筝线近似地看作直线)与水平线构成30°角,线段AA1表示小红身高1.5米.(1)当风筝的水平距离AC=18米时,求此时风筝线AD的长度;(2)当她从点A跑动9米到达点B处时,风筝线与水平线构成45°角,此时风筝到达点E处,风筝的水平移动距离CF=10米,这一过程中风筝线的长度保持不变,求风筝原来的高度C1D.【分析】(1)在Rt△ACD中,由AD=可得答案;(2)设AF=x米,则BF=AB+AF=9+x,在Rt△BEF中求得AD=BE==18+x,由cos∠CAD=可建立关于x的方程,解之求得x 的值,即可得出AD的长,继而根据CD=ADsin∠CAD求得CD从而得出答案.【解答】解:(1)∵在Rt△ACD中,cos∠CAD=,AC=18、∠CAD=30°,∴AD====12(米),答:此时风筝线AD的长度为12米;(2)设AF=x米,则BF=AB+AF=9+x(米),在Rt△BEF中,BE===18+x(米),由题意知AD=BE=18+x(米),∵CF=10,∴AC=AF+CF=10+x,由cos∠CAD=可得=,解得:x=3+2,则AD=18+(3+2)=24+3,∴CD=ADsin∠CAD=(24+3)×=,则C1D=CD+C1C=+=,答:风筝原来的高度C1D 为米.44.(2018•山西)祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索,造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表.(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索顶端点C到AB的距离(参考数据:sin38°≈0.6,cos38°≈0.8,tan38°≈0.8,sin28°≈0.5,cos28°≈0.9,tan28°≈0.5)(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可).【分析】(1)过点C作CD⊥AB于点D.解直角三角形求出DC即可;(2)还需要补充的项目可为:测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等【解答】解:(1)过点C作CD⊥AB于点D.设CD=x米,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠A=38°.∵,∴.在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠B=28°.∵,∴.∵AD+BD=AB=234,∴.解得x=72.答:斜拉索顶端点C到AB的距离为72米.(2)还需要补充的项目可为:测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等.(答案不唯一)45.(2018•常德)图1是一商场的推拉门,已知门的宽度AD=2米,且两扇门的大小相同(即AB=CD),将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°,将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°,其示意图如图2,求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数).(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,≈1.4)【分析】作BE⊥AD于点E,作CF⊥AD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,则EM=BC,在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度,进而可得出EF的长度,再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长,此题得解.【解答】解:作BE⊥AD于点E,作CF⊥AD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,如图所示.∵AB=CD,AB+CD=AD=2,∴AB=CD=1.在Rt△ABE中,AB=1,∠A=37°,∴BE=AB•sin∠A≈0.6,AE=AB•cos∠A≈0.8.在Rt△CDF中,CD=1,∠D=45°,∴CF=CD•sin∠D≈0.7,D F=CD•cos∠D≈0.7.∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴BE∥CM,又∵BE=CM,∴四边形BEMC为平行四边形,∴BC=EM,CM=BE.在Rt△MEF中,EF=AD﹣AE﹣DF=0.5,FM=CF+CM=1.3,∴EM=≈1.4,∴B与C之间的距离约为1.4米.46.(2018•台州)图1是一辆吊车的实物图,图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,张角∠HAC为118°时,求操作平台C离地面的高度(结果保留小数点后一位:参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)【分析】作CE⊥BD于F,AF⊥CE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形,则EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,再计算出∠CAF=28°,则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF,然后计算CF+EF即可.【解答】解:作CE⊥BD于F,AF⊥CE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形,∴EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°,在Rt△ACF中,∵sin∠CAF=,∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23,∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m),答:操作平台C离地面的高度为7.6m.47.(2018•岳阳)图1是某小区入口实景图,图2是该入口抽象成的平面示意图.已知入口BC宽3.9米,门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯,点O与地面BC的距离为3.3米,灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不计),∠AOM=60°.(1)求点M到地面的距离;(2)某搬家公司一辆总宽2.55米,总高3.5米的货车从该入口进入时,货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离,此时,货车能否安全通过?若能,请通过计算说明;若不能,请说明理由.(参考数据:≈1.73,结果精确到0.01米)【分析】(1)构建直角△OMN,求ON的长,相加可得BN的长,即点M到地面的距离;(2)左边根据要求留0.65米的安全距离,即取CE=0.65,车宽EH=2.55,计算高GH的长即可,与3.5作比较,可得结论.【解答】解:(1)如图,过M作MN⊥AB于N,交BA的延长线于N,Rt△OMN中,∠NOM=60°,OM=1.2,∴∠M=30°,∴ON=OM=0.6,∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9;即点M到地面的距离是3.9米;。
锐角三角函数练习卷1.tan 60︒的值等于( )(A )1(B 2(C 3(D )22.Rt △ABC 中,∠C=90°,AC ∶BC=1∶3,则cosA=_______,tanA=_________.3.设α、β为锐角,若sin α=23,则α=________;若tan β=33,则β=_________. 4.已知α是锐角,且sin α=54,则cos(90°-α)=( ) A.54 B.43 C.53 D.51 5.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则sin α的值是( ) A.43 B.34 C.53 D.546.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,连接CD ,若⊙O 的半径23=r ,AC=2,则cosB 的值是( )A.23 B.35 C.25 D.327.如图,若∠A =60°,AC =20m ,则BC 大约是(结果精确到0.1m)( ) A .34.64m B .34.6m C .28.3m D .17.3m8.在△ABC 中,∠C=90°,AB=15,sinA=31,则BC=() BA.45B.5C.51 D.451 9.如图,CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=( ) A.53 B.43 C.34 D.5410.计算:(02cos 45-38+2=︒ .11.计算:()102 3.142sin 6012133.3π-︒⎛⎫+--+- ⎪⎝⎭12.已知:如图,△ABC 内接于⊙O ,点D 在OC 的延长线上,sinB=21,∠CAD=30°. (1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)若OD ⊥AB ,BC=5,求AD 的长.13.计算:2sin60º+12--02008–|1–3|14.计算:101(2013)832452-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭15.如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE =.(1)求半径OD;(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?O16.如图,在△中,∠=90°,sin=,=15,求△的周长和tan的值.参考答案 1 .C 2 .21,3 3 .60°,30° 4 . A 5. C 6. B 7. B 8 . B 9 .D 10. 521-+ 11 .3212答案思路解析:圆的切线问题跟过切点的半径有关,连接OA ,证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°,由此得到圆心角∠AOD=60°,从而得到△ACO 是等边三角形,由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边,有三角函数可以求出其长度.(1)证明:如图,连接OA. ∵sinB=21,∴∠B=30°.∴∠AOD=60°. ∵OA=OC ,∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAC=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线. (2)解:∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5.在Rt △OAD 中,由正切定义,有tan ∠AOD=OAAD. ∴ AD=35. 13.2114. 2 15.(1)∵OE ⊥CD 于点E ,CD =24(m ),∴ED ==12(m).在Rt△DOE中,∵sin∠DOE = =,∴OD =13(m).(2)OE== (m)∴将水排干需:5÷0.5=10(小时).16.在中, ∠=90°, =15==, ∴∴周长为36,BC124 tan A.AC93===。
2019 初三中考数学专题复习锐角三角函数专项练习题1. 在△中,∠C=90°,=10,=6,则的值是( )2.在△中,∠C=90°,=2,则的值为( )D.13. 如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,是⊙A的一条弦,则∠等于( )4. 如图,在△中,∠C=90°,=5,=3,则的值是( )5. 已知在△中,∠C=90°,=,则的值为( )6. 计算645°-260°的结果是( )A.4 B.4 C.5 D.57. 在△中,∠C=90°,a=1,b=,则∠A=( )A.30°B.45°C.60°D.90°8. 如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上的目标C,此时飞行高度=1200 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为( )A.1200 m B.1200 m C.1200 m D.2400 m9. 王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树的顶端C的俯角为60°,又知水平距离=10 m,楼高=24 m,则树高为( )A.(24-10) m B.(24-) m C.(24-5) m D.9 m10. 如图,在坡度为1∶2的山坡上种树,要求相邻两棵树之间的水平距离为6米,则斜坡上相邻两树之间的坡面距离为( )A.3米B.3米C.6米D.6米11. 在△中,=13,=5,=12,则=.12. 如图,在△中,∠=90°,=8,=6,⊥,垂足为D,则∠的值是.13. 已知α,β均为锐角,且满足α-|+=0,则α+β=.14. 如图,小明站在某城墙上的点A处,向站在水平地面上点B处的妈妈大声欢呼.若小明望向妈妈的俯角为53°,则∠=度.15. 一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为海里/小时.16. 一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯塔20海里的A处,它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°向上的B处(参考数据:≈1.732,结果精确到0.1)? 参考答案:11011.12.13. 75°14. 5315. 40+4016. 解:过点P作⊥交的延长线于C,∠=60°,∠=45°,=20,在△中,∵∠=,∴=20·60°=10,==10,在△中,∵∠=45°,∴△为等腰直角三角形,∴==10,∴=-=10-10≈7.3(海里).答:它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处。
专项训练四锐角三角函数一、选择题.(·怀化中考)在△中,∠=°,=,=,则的长度为().(·乐山中考)如图,在△中,∠=°,⊥于点,则下列结论不正确的是()====第题图第题图.在△中,若三边,,满足∶∶=∶∶,则的值为().数学活动课上,小敏、小颖分别画了△和△,尺寸如图.如果两个三角形的面积分别记作△,△,那么它们的大小关系是()△>△△<△△=△.不能确定.(·金华中考)一座楼梯的示意图如图所示,是铅垂线,是水平线,与的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知=米,楼梯宽度米,则地毯的面积至少需要()米米米 .(+θ)米第题图第题图.如图,在菱形中,⊥,=,=,则∠的值是().(·长沙中考)如图,热气球的探测器显示,从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为°,看这栋楼底部处的俯角为°,热气球处与楼的水平距离为,则这栋楼的高度为()第题图第题图.(·攀枝花中考)如图,点(,),(,),(,)在⊙上,是⊙的一条弦,则∠的值为()二、填空题.在△中,∠,∠都是锐角,且+-=,则∠=..(·岳阳中考)如图,一山坡的坡度为=∶,小辰从山脚出发,沿山坡向上走了米到达点,则小辰上升了米.第题图第题图第题图.(·娄底新化县一模)如图,△的顶点都在正方形网格的格点上,则=..如图,以为圆心,任意长为半径画弧,与射线交于点,再以为圆心,长为半径画弧,两弧交于点,画射线,则∠的值为..如图,在△中,∠=°,是的中点,过点作的垂线交于点,=,=,则=.第题图第题图.(·西宁中考)如图,为保护门源百里油菜花海,由“芬芳浴”游客中心处修建通往百米观景长廊的两条栈道,.若∠=°,∠=°,=米,则游客中心到观景长廊的距离的长约为米(参考数据:°≈,°≈)..(·盐城中考)已知△中,=,=,过点作边上的高,垂足为点,且满足∶=∶,则△的面积为.三、解答题.计算:()(°-°)+;()(-)-°+-..如图,是△的中线,=,=,=.求:()的长;()∠的值..(·衡阳中考)在某次海上军事演习期间,我军为确保△海域内的安全,特派遣三艘军舰分别在,,处监控△海域,在雷达显示图上,军舰在军舰的正东方向海里处,军舰在军舰的正北方向海里处,三艘军舰上装载有相同的探测雷达,雷达的有效探测范围是半径为的圆形区域(只考虑在海平面上的探测).()若三艘军舰要对△海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径至少为多少海里?()现有一艘敌舰从东部接近△海域,在某一时刻军舰测得位于北偏东°方向上,同时军舰测得位于南偏东°方向上,求此时敌舰离△海域的最短距离为多少海里?()若敌舰沿最短距离的路线以海里时的速度靠近△海域,我军军舰沿北偏东°的方向行进拦截,问军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰?参考答案与解析.8.解析:∵(,),(,),∴=,=.∵∠=°,∴==.连接,如图所示.∵∠=∠,∴∠=∠==.故选..°.或解析:可分两种情况:如图①,△为锐角三角形时,∵=,∶=∶,∴=.∵⊥,=,∴=·=×=,∴△=·=××=;如图②,△为钝角三角形时,∵=,∶=∶,∴=.∵⊥,=,∴=·=×=,∴△=·=××=.综上所述,△的面积为或..解:()原式=;()原式=-..解:()过点作⊥于点.在△中,∵=,∴=·=×=,∴==.在△中,∵=,∴==×=,∴=+=;()∵是△的中线,∴==,∴=-=.∵⊥,==,∴∠=∠=°,∴∠=..解:()在△中,∵=海里,=海里,∠=°,∴===(海里).∵=×=(海里),∴雷达的有效探测半径至少为海里;()作⊥于.∵∠=°,∠=°,∴∠=°,∴==海里.在△中,∵∠=°,=海里,∠=°,∴==海里,=·∠=海里,∴此时敌舰离△海域的最短距离为海里;()假设军舰在点处拦截到敌舰.在上取一点,使得=.设=海里.∵∠=∠=°,∴∠=∠+∠=°,∴==海里,=海里.∵=海里,∴=+,=-,∴=-=(-)海里,==(-)海里.设军舰速度为海里时,由题意≤,解得≥.∴军舰速度至少为海里时,才能在此方向上拦截到敌舰.。
1.2 锐角三角函数的计算(1)(见A 本53页)A 练就好基础 基础达标1.用计算器求 cos 27°40′的近似值,正确的是( A ) A .0.8857 B .0.8856 C .0.8852D .0.8851第2题图2.威海中考如图所示,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠ABC =26°,BC =5.若用科学计算器求边AC 的长,则下列按键顺序正确的是( D )A.5÷tan 26=B.5÷sin 26=C.5×cos 26=D.5×tan 26=3.在△ABC 中,若∠A,∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A -32+⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B -122=0,则△ABC 是( B )A .等腰非等边三角形B .等边三角形C .直角三角形D .钝角三角形4.2017·绥化中考某楼梯的侧面如图所示,已测得BC 的长约为3.5米, ∠BCA 约为29°,则该楼梯的高度AB 可表示为( A )4题图A .3.5sin 29°米B .3.5cos 29°米C .3.5tan 29°米D.3.5cos 29°米5.利用计算器求锐角的三角函数值(结果精确到0.0001): (1)sin 40°≈__0.6428__; (2)cos 15°≈__0.9659__; (3)tan 52.6°≈__1.3079__.6.比较大小:sin 40°__<__tan 40°.7.若sin 2α+cos 230°=1,锐角α=__30°__.第8题图8.临沂中考如图所示,在ABCD 中,连结BD ,AD ⊥BD ,AB =4,sin A =34,则ABCD的面积是.9.已知tan2α-(1+3)tan α+3=0,求锐角α的度数.解:tan2α-(1+3)tan α+3=0,(tan α-1)(tan α-3)=0,∴tan α=1或tan α= 3.∵α为锐角,∴∠α=45°或∠α=60°.10.如图所示,某超市在一楼至二楼之间安有电梯,天花板与地面平行.请你根据图中数据计算回答:小敏身高1.78 m,她乘电梯会有碰头的危险吗?姚明身高2.26 m,他乘电梯会有碰头的危险吗?(可能用到的三角函数值利用计算器完成)第10题图解:因为AC平行地面,所以∠CAB=27°,电梯到C点的高度=AC·tan 27°≈4×0.51=2.04(m),1.78<2.04<2.26,故小敏没有碰头的危险,而姚明有碰头的危险.B 更上一层楼能力提升11.淄博中考若锐角α满足cos α<22且tan α<3,则α的取值范围是( B)A.30°<α<45°B.45°<α<60°C.60°<α<90°D.30°<α<60°12.如图所示,梯子(长度不变,可在地面上挪动)跟地面所成的锐角为∠A,下列关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系叙述正确的是( A)A.sin A的值越大,梯子越陡B.cos A的值越大,梯子越陡C.tan A的值越小,梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关第12题图13题图13.烟台中考如图所示,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且点E是AB的中点,则tan∠BFE的值是( D)A.12B.2 C.33D. 314.下列结论中(其中α,β均为锐角),正确的是__③④__.(填序号) ①sin α+cos α≤1;②cos 2α=2cos α; ③当0°<α<β<90°时,0<sin α<sin β<1; ④sin α=cos α·tan α.15.吉林中考如图所示,某飞机于空中A 处探测到目标C ,此时飞行高度AC =1200 m ,从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α=43°,求飞机A 与指挥台B 的距离.(结果取整数)参考数据:sin 43°=0.68,cos 43°=0.73,tan 43°=0.93第15题图解:∠B=α=43°, 在Rt △ABC 中,∵sin B =ACAB ,∴AB =1200sin 43°≈1765(m).答:飞机A 与指挥台B 的距离为1765 m.16.如图所示,在四边形ABCD 中,∠A =60°,∠B =∠D=90°,BC =2,CD =3,求AB 的值.第16题图第16题答图解:如图,延长AB ,DC 交于点E , ∵∠D =90°,∠A =60°,∴∠E =30°,∵∠CBE =∠ABC=90°, ∴CE =4,BE =23,DE =7,∵cos E =DEAE ,∴AE =DE cos E =7cos 30°=1433,∴AB =AE -BE , =143 3-23, =833. C 开拓新思路 拓展创新17.上海中考如图所示,在矩形ABCD 中,BC =2,将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°,点A ,C 分别落在点A′,C′处,如果点A′,C ′,B 在同一条直线上,那么tan ∠ABA ′的值为2.第17题图第17题答图【解析】 如图,设AB =x ,则CD =x ,A ′C =x +2, ∵AD ∥BC ,∴C′D BC =A′D A′C ,即x 2=2x +2,解得x 1=5-1,x 2=-5-1(舍去),∵AB ∥CD ,∴∠ABA ′=∠BA′C, ∴tan ∠BA ′C =BC A′C =5-12, ∴tan ∠ABA ′=5-12.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
锐角三角函数练习卷1.tan 60︒的值等于()(A )1(B(C (D )22.Rt △ABC 中,∠C=90°,AC ∶BC=1∶3,则cosA=_______,tanA=_________.3.设α、β为锐角,若sin α=23,则α=________;若tan β=33,则β=_________. 4.已知α是锐角,且sin α=54,则cos(90°-α)=( ) A.54 B.43 C.53 D.51 5.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则sin α的值是( ) A.43 B.34 C.53 D.546.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,连接CD ,若⊙O 的半径23=r ,AC=2,则cosB 的值是( )A.23 B.35 C.25 D.327.如图,若∠A =60°,AC =20m ,则BC 大约是(结果精确到0.1m)( ) A .34.64m B .34.6m C .28.3m D .17.3mB8.在△ABC 中,∠C=90°,AB=15,sinA=31,则BC=( ) A.45 B.5 C.51 D.4519.如图,CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=( ) A.53 B.43 C.34 D.5410.计算:(02cos 45=︒.11.计算:()102 3.142sin 603π-︒⎛⎫+--- ⎪⎝⎭12.已知:如图,△ABC 内接于⊙O ,点D 在OC 的延长线上,sinB=21,∠CAD=30°. (1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)若OD ⊥AB ,BC=5,求AD 的长.13.计算:2sin60º+12--02008–|1–3|O14.计算:101(2013)3452-⎛⎫--- ⎪⎝⎭15.如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O ,直径AB 是河底线,弦CD 是水位线,CD ∥AB ,且CD = 24 m ,OE ⊥CD 于点E .已测得sin ∠DOE =.(1)求半径OD ;(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m 的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?16.如图,在△中,∠=90°,sin=,=15,求△的周长和tan的值.参考答案 1 .C 2 .21,3 3 .60°,30° 4 . A 5. C 6. B 7. B8 . B 9 .D 10. 1- 11 .3212答案思路解析:圆的切线问题跟过切点的半径有关,连接OA ,证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°,由此得到圆心角∠AOD=60°,从而得到△ACO 是等边三角形,由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边,有三角函数可以求出其长度.(1)证明:如图,连接OA. ∵sinB=21,∴∠B=30°.∴∠AOD=60°. ∵OA=OC ,∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAC=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线. (2)解:∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5.在Rt △OAD 中,由正切定义,有tan ∠AOD=OAAD. ∴ AD=35.13.2114. 2 15.(1)∵OE ⊥CD 于点E ,CD =24(m ),∴ED ==12(m ).在Rt △DOE 中,∵sin ∠DOE = =,∴OD =13(m ). (2)OE ==(m )∴将水排干需:5÷0.5=10(小时). 16.在中, ∠=90°,=15==, ∴∴周长为36,BC 124tan A .AC 93===。
4.3 解直角三角形知|识|目|标1.通过探索、讨论,理解解直角三角形的定义与依据.2.通过阅读、自学,掌握已知2个元素(至少有1个是边)求3个未知元素的解法.3.通过转化思想,能把非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解决.目标一理解解直角三角形的定义与依据例1 教材补充例题在Rt△ABC中,根据下列条件,可求三角形其他元素的是( ) A.已知a=5,∠C=90°B.已知∠B=48°,∠C=90°C.已知a=5,∠B=48°D.已知∠B=48°,∠A=42°[全品导学号:90912121]例2 教材补充例题在Rt△ABC中,∠C=90°,已知∠B和a,则有( )A.c=a cos B B.c=a sin BC.c=asin BD.c=acos B【归纳总结】解直角三角形的条件和依据1.解直角三角形的条件:除直角外,已知两个条件中至少有1个是边.2.解直角三角形的依据:(1)直角三角形两个锐角的互余关系;(2)直角三角形三边之间的关系(勾股定理);(3)直角三角形边角之间的关系(锐角三角函数).目标二会解直角三角形例3 教材例1针对训练如图4-3-1,在△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,BC=5,解这个直角三角形.图4-3-1例4 教材补充例题在Rt△ABC中,∠C=90°,a=2 3,b=6,解这个直角三角形.【归纳总结】解直角三角形的类型与解法1.解直角三角形的基本方法:2.计算边时,可按照“有斜用弦,无斜用切”的原则,即若与斜边有关,则使用正、余弦;若与斜边无关,则使用正切.例5 教材补充例题如图4-3-2,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB 上一点,∠BDC=45°,AD=4.求BC的长(结果保留根号).图4-3-2【归纳总结】含双直角三角形的问题的解法对于含有公共直角边的双直角三角形问题,一般从特殊角入手,以含特殊角的直角三角形为基本图形,先分析基本图形,将边转移到另外的直角三角形中,再利用其中特殊的边角,结合锐角三角函数的定义构造方程求解.目标三 会把非直角三角形转化为直角三角形求解例6 教材补充例题如图4-3-3,在△ABC 中,AB =AC =10,sin C =35,D 是BC 上一点,且DC =AC .(1)求BD 的长的值; (2)求tan ∠BAD .图4-3-3【归纳总结】 非直角三角形转化为直角三角形的解法求不规则图形中的边或角的关键是作出辅助线(高),构造直角三角形,把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决.注意熟练掌握锐角三角函数的定义.知识点一 解直角三角形的定义与依据在直角三角形中,除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角),只要知道其中的2个元素(至少有1个是______),就可以求出其余的3个未知元素.我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.如图4-3-4,在Rt △ABC 中,∠C =90°,设三个内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c (以下字母同),则解直角三角形的主要依据是:(1)三条边之间的关系:a 2+b 2=c 2; (2)两锐角之间的关系:∠A +∠B =90°;(3)边角之间的关系:sin A =cos B =a c ,cos A =sin B =b c ,tan A =1tan B =ab.图4-3-4知识点二 解直角三角形的方法(1)解直角三角形时,已知一个锐角及邻边,可用______求出斜边,用______求出对边; (2)解直角三角形时,已知一个锐角及对边,可用______求出斜边,用正切求出邻边; (3)解直角三角形时,已知两边,可用勾股定理求出第三边,用正切求出锐角. [点拨] 解直角三角形时,应先分析清楚已知元素与所求元素,可作草图帮助理解,正确寻求能够沟通已知与所求元素之间的函数关系式.分析下列解题过程是否正确?若不正确,请指出错误的原因,并给出正确解法. 问题:在△ABC 中,∠A =30°,BC =6,AC =2 3,求AB 的长.解:如图4-3-5,作出符合题意的几何图形,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,∴∠ADC =∠BDC =90°.∵sin A =CD AC =12,且AC =2 3,∴CD = 3.又sin ∠CBD =CD BC=36=22,∴∠CBD =45°, ∴tan ∠CBD =CD BD=1, ∴CD =BD = 3.∵∠A =30°,AC =2 3,∴AD =AC ·cos A =3, ∴AB =AD +BD =3+ 3.图4-3-5详解详析【目标突破】例1 [解析] C A .已知一边和一角,一角是直角,Rt △ABC 不可解,不符合题意;B .没有一条边,Rt △ABC 不可解,不符合题意;C .已知一边和一角,一角不是直角,Rt △ABC 可解,符合题意;D .没有一条边,Rt △ABC 不可解,不符合题意.例2 [解析] D 在Rt △ABC 中,∠C =90°, ∵cos B =a c ,∴c =acos B.例3 解:∵∠C =90°,∠B =45°, ∴∠A =90°-45°=45°, ∴∠A =∠B , ∴AC =BC =5. 在Rt △ABC 中,∵cos B =cos45°=BCAB,∴AB =BCcos45°=5 2,∴∠A =45°,AC =5,AB =5 2.例4 解:∵a=2 3,b =6, ∴tan A =a b =2 36=33,∴∠A =30°,∴∠B =90°-30°=60°,c =2a =4 3.例5 解:设BC =x ,在Rt △BCD 中,∠ABC =90°,∠BDC =45°,∴BD =BC =x. 在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,∠A =30°,AB =4+x , ∴tan A =BC AB ,即33=x4+x ,解得x =2 3+2.∴BC 的长为2 3+2.例6 解:(1)如图,过点A 作AE ⊥BC 于点E . ∵AB =AC , ∴BE =CE .在Rt △ACE 中,AC =10,sin C =35,∴AE =6,从而CE =AC 2-AE 2=8, ∴BC =2CE =16,∴BD =BC -DC =BC -AC =6.(2)如图,过点D 作DF ⊥AB 于点F . 在Rt △BDF 中,BD =6,sin B =sin C =35,∴DF =185,从而BF =BD 2-DF 2=245,∴AF =AB -BF =265,∴tan ∠BAD =DF AF =913.备选题型 解非直角三角形例 如图,已知在△ABC 中,∠B =45°,∠C =30°,BC =3+3 3,求AB 的长.[解析] 过点A 作AD ⊥BC 于点D ,将特殊角∠B ,∠C 放在两个直角三角形中,再利用相应的锐角三角函数求解.解:过点A 作AD ⊥BC 于点D . ∵∠B =45°, ∴AD =BD ,AB =2BD . 设AD =BD =x ,在Rt △ADC 中, ∵tan C =ADDC ,即x DC =33, ∴DC =3x . 又∵BC =BD +DC , ∴x +3x =3+3 3, 解得x =3, ∴AB =3 2.[归纳总结] (1)在直角三角形中求边长可以从勾股定理和锐角三角函数两个方面考虑. (2)在含有特殊角的非直角三角形中,通常需要作辅助线构造直角三角形来解决问题,通常情况下是以一个特殊角为它的一个锐角构造直角三角形.(3)根据条件中的线段的比或锐角三角函数值,可以设出一个未知数,然后列出方程求解.【总结反思】 [小结] 知识点一 边知识点二 (1)余弦 正切 (2)正弦[反思] 解:解题过程有不正确,错误原因是符合条件的几何图形不是唯一的.正解:情形(1)见题中所给解答,情形(2)如下:过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ,∴∠ADC =90°.∵sin A =CD AC =12,且AC =2 3,∴CD = 3.又sin ∠CBD =CD BC=36=22, ∴∠CBD =45°, ∴tan ∠CBD =CD BD=1, ∴CD =BD = 3.∵∠A =30°,AC =2 3, ∴AD =AC ·cos A =3, ∴AB =AD -BD =3- 3.综合情形(1)与(2),得AB 的长为3+3或3- 3.。
第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 第1课时 正弦和余弦01 基础题 知识点1 正弦1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,若AB =5,AC =4,则sin B =(B )A .35B .45C .34D .432.(唐山玉田县月考)在Rt △ABC 中,∠C =90°,各边都扩大2倍,则锐角A 的正弦值(C )A .扩大2倍B .缩小12C .不变D .无法确定3.(天津和平区汇文中学单元检测)在△ABC 中,若三边BC ,CA ,AB 满足BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13,则sin A 的值是(C )A .512B .125C .513D .12134.在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ,b ,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边,若2a =3c ,则∠A 25.如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ∶c =2∶3,求sin A 和sin B 的值.解:在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ∶c =2∶3, 设a =2k ,c =3k(k>0), 则b =c 2-a 2=5k.∴sin A =a c =2k 3k =23,sin B =b c =5k 3k =53.6.如图,在△ABC 中,∠C =90°,sin A =1213,AB =26,求△ABC 的周长.解:在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =26,sin A =BC AB =1213,∴BC =24,AC =AB 2-BC 2=262-242=10. ∴△ABC 的周长为26+24+10=60.知识点2 余弦7.(湖州中考)如图,已知,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =5,BC =3,则cos B 的值是(A )A .35B .45C .34D .438.(承德六校一模)如图,△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上,则cos C 的值为(D )A .12B .32C .55D .2559.已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =35,则cos B 的值为(B )A .74 B .35 C .34 D .4502 中档题10.如图,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sin A 的值为(B )A .12B .55C .1010D .255解析:如图,连接CD 交AB 于O ,根据网格的特点,CD ⊥AB ,在Rt △AOC 中,CO =12+12=2,AC =12+32=10.则sin A =OC AC =210=55.11.(怀化中考改编)在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =45,AC =6 cm ,求BC 的长度.解:∵sin A =BC AB =45,∴设BC =4x ,AB =5x.又∵AC 2+BC 2=AB 2,∴62+(4x)2=(5x)2,解得x =2或x =-2(舍去). ∴BC =4x =8 cm .12.如图,菱形ABCD 的边长为10 cm ,DE ⊥AB ,sin A =35,求DE 的长和菱形ABCD 的面积.解:∵DE ⊥AB , ∴∠AED =90°.在Rt △AED 中,sin A =DE AD ,即DE 10=35.解得DE =6.∴菱形ABCD 的面积为10×6=60(cm 2).13.如图,已知⊙O 的半径为5 cm ,弦AB 的长为8 cm ,P 是AB 延长线上一点,BP =2 cm ,求cos P 的值.解:作OC ⊥AB 于C 点. 根据垂径定理, AC =BC =4.∴CP =4+2=6(cm ).在Rt △OAC 中,OC =52-42=3(cm ). 在Rt △OCP 中,根据勾股定理,得OP =CO 2+CP 2=32+62=35(cm ).故cos P =PC PO =635=255.03 综合题14.(鄂州中考)如图,在矩形ABCD 中,AB =8,BC =12,点E 是BC 的中点,连接AE ,将△ABE 沿AE 折叠,点B 落在点F 处,连接FC ,则sin ∠ECF =(D )A .34B .43C .35D .45第2课时 锐角三角函数01 基础题 知识点1 正切1.(湖州中考)如图,已知Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4,tan A =12,则BC 的长是(A )A .2B .8C .2 5D .4 5 2.(金华中考)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =5,BC =3,则tan A 的值是(A )A .34B .43C .35D .453.如图,A ,B ,C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′,则tan B ′的值为(B )A .12B .13C .14D .244.已知等腰三角形的腰长为6 cm ,底边长为10 cm ,55.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,若BC =2,AB =3,求tan ∠BCD.解:∵CD ⊥AB ,∴∠ADC =90°. ∴∠A +∠ACD =90°.又∠BCD +∠ACD =∠ACB =90°, ∴∠BCD =∠A.在Rt △ABC 中,AC =AB 2-BC 2=32-22= 5. ∴tan A =BC AC =25=255.∴tan ∠BCD =tan A =255.知识点2 锐角三角函数6.(宜昌中考)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD ⊥BC 于D ,下列选项中,错误的是(C )A .sin α=cos αB .tanC =2C .sin β=cos βD .tan α=17.已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =35,则tan B 的值为(A )A .43B .45C .54D .348.(福州中考)如图,以O 为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A ,B 两点,P 是AB ︵上一点(不与A ,B 重合),连接OP ,设∠POB =α,则点P 的坐标是(C )A .(sin α,sin α)B .(cos α,cos α)C .(cos α,sin α)D .(sin α,cos α)9.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =7,BC =24.(1)求AB 的长;(2)求sin A ,cos A ,tan A 的值. 解:(1)由勾股定理,得AB =AC 2+BC 2=72+242=25.(2)sin A =BC AB =2425,cos A =AC AB =725,tan A =BC AC =247.02 中档题10.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,点D 为边AC 的中点,DE ⊥BC 于点E ,连接BD ,则tan ∠DBC 的值为(A )A .13B .2-1C .2- 3D .1411.(河北模拟)如图,半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0,2),B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点,则tan ∠OBC 为(C )A .13B .2 2C .24D .22312.(泸州中考)如图,在矩形ABCD 中,点E 是边BC 的中点,AE ⊥BD ,垂足为F ,则tan ∠BDE 的值是(A )A .24 B .14 C .13 D .23解析:由AD ∥BC ,可得△ADF ∽△EBF ,根据相似三角形的性质,可得AD EB =AF EF =DFBF ,因为点E 是边BC 的中点,AD =BC ,所以AD EB =AF EF =DFBF =2.设EF =x ,可得AF =2x ,在Rt △ABE 中,易证△AFB ∽△BFE ,则BF =2x ,再由AD EB =AF EF =DF BF =2,可得DF =22x ,在Rt △DEF 中,tan ∠BDE =EF DF =x 22x =24,故选A .13.如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB ,cos A =45,BE =2,则tan ∠DBE =3.14.如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =33,求cos A ,tan B 的值.解:∵sin A =BC AB =33,∴设BC =3k ,AB =3k(k>0). 由勾股定理,得AC =AB 2-BC 2=(3k )2-(3k )2=6k. ∴cos A =63,tan B = 2.15.(承德六校一模)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =8,tan B =12,点D 在BC 上,且BD =AD ,求AC 的长和cos ∠ADC 的值.解:∵在Rt △ABC 中,BC =8,tan B =AC BC =12,∴AC =12BC =4.设AD =x ,则BD =x ,CD =8-x ,在Rt △ADC 中,由勾股定理,得(8-x)2+42=x 2,解得x =5,∴AD =5,CD =8-5=3. ∴cos ∠ADC =DC AD =35.03 综合题16.如图,将矩形ABCD 沿CE 折叠,点B 恰好落在边AD 的F 处,如果AB BC =23,求tan ∠DCF 的值.解:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB =CD ,∠D =90°. ∵AB BC =23,且由折叠知CF =BC , ∴CD CF =23. 设CD =2x ,CF =3x(x>0), ∴DF =CF 2-CD 2=5x. ∴tan ∠DCF =DF CD =5x 2x =52.第3课时 特殊角的三角函数值01 基础题知识点1 特殊角的三角函数值 1.(天津中考)cos 60°的值等于(D )A . 3B .1C .22D .122.计算2×tan 60°的值等于(D )A .53 B .63C . 5D . 6 3.(防城港中考)计算:cos 245°+sin 245°=(B )A .12B .1C .14D .22 4.(百色中考)如图,△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,AB =12,则BC =(A )A .6B .6 2C .6 3D .12 5.求值:sin 60°·tan 30°=12.6.计算:(1)(安徽中考)|-2|×cos 60°-(13)-1;解:原式=2×12-3=-2.(2)(泸州中考)(-3)2+2 0170-18×sin 45°; 解:原式=9+1-32×22=7.(3)cos 30°·tan 30°-tan 45°; 解:原式=32×33-1=12-1=-12. (4)22sin 45°+sin 60°·cos 45°. 解:原式=22×22+32×22=2+64.知识点2 由三角函数值求特殊角7.(聊城中考)在Rt △ABC 中,cos A =12,那么sin A 的值是(B )A .22 B .32 C .33 D .128.(河北模拟)在△ABC中,若角A,B满足|cos A-32|+(1-tan B)2=0,则∠C的大小(D)A.45°B.60°C.75°D.105°9.如果在△ABC中,sin A=cos B=22,那么下列最确切的结论是(C)A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形10.在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=23,则∠A=60°.知识点3用计算器计算三角函数值11.如图是科学计算器的面板,利用该型号计算器计算2cos55°,按键顺序正确的是(C)A.2×cos55=B.2cos550=C.2cos55=D.255cos=12.用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(B)A.0.90 B.0.72C.0.69 D.0.6613.已知sin A=0.370 6,则锐角A=21.75°.(保留两位小数)02中档题14.(厦门中考)已知sin6°=a,sin36°=b,则sin2 6°=(A)A.a2B.2a C.b2D.b15.李红同学遇到了这样一道题:3tan(α+20°)=1,你猜想锐角α的度数应是(D)A.40°B.30°C.20°D.10°16.(孝感中考)式子2cos30°-tan45°-(1-tan60°)2的值是(B)A.23-2 B.0C.2 3 D.217.(邢台县一模)关于x的一元二次方程x2-2x+cosα=0有两个相等的实数根,则锐角α等于(D) A.0°B.30°C.45°D.60°18.(滨州中考)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan ∠DAC的值为(A)A.2+ 3 B.2 3C.3+ 3 D.3 319.如图,有一滑梯AB ,其水平宽度AC 为5.3米,铅直高度BC 为2.8米,则∠A 的度数约为27.8°.(用科学计算器计算,结果精确到0.1°)20.利用计算器求∠A =18°36′的三个锐角三角函数值.解:sin A =sin 18°36′≈0.319 0, cos A =cos 18°36′≈0.947 8, tan A =tan 18°36′≈0.336 5.21.计算:(1)(唐山玉田县月考)tan 45°-3tan 30°+cos 45°; 解:原式=1-3×33+22=1-1+22=22. (2)2sin 60°+22cos 45°-32tan 60°-3cos 30°. 解:原式=2×32+22×22-32×3-3×32=62+12-32-32 =62-52.22.先化简,再求代数式a 2-ab a 2÷(a b -ba)的值,其中a =2cos 30°-tan 45°,b =2sin 30°.解:原式=a (a -b )a 2÷a 2-b 2ab=a (a -b )a 2·ab (a +b )(a -b ) =b a +b. ∵a =2cos 30°-tan 45°=2×32-1=3-1, b =2sin 30°=2×12=1,∴原式=13-1+1=13=33.23.如图,一幢楼房前有一棵竹子,楼底到竹子的距离CB 为2米,一阵风吹过,竹子的顶端恰好到达楼顶,此时测得竹子与水平地面的夹角为75°,求这棵竹子比楼房高出多少米.(精确到0.1米)解:在Rt△ABC中,∵∠ABC=75°,BC=2,∴AB=2cos75°≈7.727(米),AC=2×tan75°≈7.464(米).∴AB-AC=7.727-7.464≈0.3(米).答:这棵竹子比楼房高出0.3米.24.若tan A的值是方程x2-(1+3)x+3=0的一个根,求锐角A的度数.解:解方程x2-(1+3)x+3=0,得x1=1,x2= 3.由题意知tan A=1或tan A= 3.∴∠A=45°或60°.03综合题25.如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是(B)A.4 3 B.3 3 C.2 3 D. 328.2 解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形01 基础题知识点1 已知两边解直角三角形1.在△ABC 中,∠C =90°,AC =3,AB =4,欲求∠A 的值,最适宜的做法是(C )A .计算tan A 的值求出B .计算sin A 的值求出C .计算cos A 的值求出D .先根据sin B 求出∠B ,再利用90°-∠B 求出2.(温州中考)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AB =5,BC =3,则cos A 的值是(D )A .34B .43C .35D .453.如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且CD ⊥AB ,BC =6,AC =8,则sin ∠ABD 的值是(D )A .43B .34C .35D .454.在等腰△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,则cos A 2=45.5.在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =20,c =202,则∠A =45°,∠B =45°,b =20. 6.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,已知BC =26,AC =62,解此直角三角形.解:∵tan A =BC AC =2662=33,∴∠A =30°.∴∠B =90°-∠A =90°-30°=60°,AB =2BC =4 6.知识点2 已知一边和一锐角解直角三角形7.(兰州中考)在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =35,BC =6,则AB =(D )A .4B .6C .8D .108.如果等腰三角形的底角为30°,腰长为6 cm ,那么这个三角形的面积为(B )A .4.5 cm 2B .9 3 cm 2C .18 3 cm 2D .36 cm 29.(保定月考)如图,在△ABC 中,∠B =30°,BC 的垂直平分线交AB 于点E ,垂足为D ,CE 平分∠ACB ,若BE =2,则AE 的长为(B )A . 3B .1C . 2D .210.(牡丹江中考)在Rt △ABC 中,CA =CB ,AB =92,点D 在BC 边上,连接AD ,若tan ∠CAD =13,则BD 的长为6.11.在Rt △ABC 中,∠C =90°,c =83,∠A =60°,解这个直角三角形.解:∵∠A =60°,∴∠B =90°-∠A =30°. ∵sin A =ac,∴a =c·sin A =83×sin 60°=83×32=12. ∴b =c 2-a 2=(83)2-122=4 3.12.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =55°,AC =4,解此直角三角形.(结果保留小数点后一位)解:∠A =90°-∠B =90°-55°=35°. ∵tan B =ACBC ,∴BC =AC tan B =4tan 55°≈2.8. ∵sin B =ACAB ,∴AB =AC sin B =4sin 55°≈4.9.02 中档题13.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =50°,AB =10,则BC 的长为(B )A .10tan 50°B .10cos 50°C .10sin 50°D .10cos 50°14.(随州中考)如图,⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆,这个正五边形的边长为a ,半径为R ,边心距为r ,则下列关系式错误的是(A )A .R 2-r 2=a 2B .a =2R sin 36°C .a =2r tan 36°D .r =R cos 36°15.在△ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,CD 是中线,若BC =5,则△ADC 的周长为(B )A .5+10 3B .10+5 3C .15 3D .20 316.(保定月考)如图,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,设∠ADE =α,且sin α=45,AB =4,求AD 的长为(B )A .3B .163C .203D .16517.(河北模拟)如图,在四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,若EF =4,BC =10,CD =6,则tan C 等于(A )A .43B .34C .35D .45提示:连接BD ,则△BCD 为直角三角形.18.如图,菱形ABCD 的边长为15,sin ∠BAC =35,则对角线AC 的长为24.19.如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =30°,∠C =60°,AD =4,AB =33,则下底BC 的长为10.03 综合题 20.探究:已知,如图1,在△ABC 中,∠A =α(0°<α<90°),AB =c ,AC =b ,试用含b ,c ,α的式子表示△ABC 的面积;图1图2应用:(孝感中考)如图2,在▱ABCD 中,对角线AC ,BD 相交成的锐角为α,若AC =a ,BD =b ,试用含b ,c ,α的式子表示▱ABCD 的面积.解:探究:过点B 作BD ⊥AC ,垂足为D. ∵AB =c ,∠A =α,∴BD =c sin α.∴S △ABC =12AC·BD =12bc sin α.应用:过点C 作CE ⊥DO 于点E. ∴sin α=ECCO.∵在▱ABCD 中,AC =a ,BD =b , ∴CO =12a ,DO =12b.∴S △BCD =12CE·BD =12×12a sin α·b=14ab sin α. ∴S ▱ABCD =2S △BCD =12ab sin α.小专题(五) “四法”确定三角函数值方法1 回归定义1.如图所示,在△ABC 中,∠C =90°,sin A =45,AB =15,求△ABC 的周长和tan A 的值.解:∵sin A =45=BCAB ,∴BC =45AB =45×15=12.∴AC =AB 2-BC 2=9.∴△ABC 的周长为9+12+15=36, tan A =BC AC =129=43.2.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C =45°,sin B =13,AD =1.求:(1)BC 的长;(2)tan ∠DAE 的值. 解:(1)在△ABC 中, ∵AD 是BC 边上的高,∴∠ADB =∠ADC =90°.在△ADC 中,∵∠ADC =90°,∠C =45°,AD =1, ∴DC =AD =1.在△ADB 中,∵∠ADB =90°,sin B =13,AD =1,∴AB =ADsin B=3.∴BD =AB 2-AD 2=2 2. ∴BC =BD +DC =22+1. (2)∵AE 是BC 边上的中线, ∴CE =12BC =2+12.∴DE =CE -CD =2-12.∴tan ∠DAE =DE AD =2-12.3.(上海中考改编)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =3,点D 在边AC 上,且AD =2CD ,DE ⊥AB ,垂足为点E ,连接CE.求:(1)线段BE 的长; (2)tan ∠ECB 的值.解:(1)∵AD =2CD ,AC =3,∴AD =2.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =3, ∴∠A =A5°,AB =3 2.∵DE ⊥AB ,∴∠AED =90°,∠ADE =∠A =45°. ∴AE = 2.∴BE =AB -AE =2 2. (2)过点E 作EH ⊥BC ,垂足为点H.在Rt △BEH 中,∠EHB =90°,∠B =45°, ∴EH =BH =2.又∵BC =3,∴CH =1. ∴tan ∠ECB =EHCH=2.方法2 巧设参数4.如图,Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于点D ,若BD ∶CD =3∶2,则tan B =(D )A .32B .23C .62D .635.(定州模拟)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠CAB =30°,△ABD 是等边三角形.如图,将四边形ACBD 折叠,使D 与C 重合,EF 为折痕,则∠ACE 的正弦值为(D )A .3-17 B .12 C .437 D .176.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠CAB 的平分线交BC 于点E ,EF ⊥AB 于点F ,点F 恰好是AB 的一个三等分点(AF >BF).(1)求证:△ACE ≌△AFE ; (2)求tan ∠CAE 的值.解:(1)证明:∵AE 是∠BAC 的平分线,EC ⊥AC ,EF ⊥AF ,∴CE =EF. 在Rt △ACE 和Rt △AFE 中,⎩⎨⎧CE =FE ,AE =AE ,∴Rt △ACE ≌Rt △AFE(HL ). (2)由(1)可知△ACE ≌△AFE , ∴AC =AF ,CE =FE.设BF =m ,则AC =AF =2m ,AB =3m , ∴BC =AB 2-AC 2=9m 2-4m 2=5m.∴在Rt △ABC 中,tan B =AC BC =2m 5m =255m.在Rt △EFB 中,EF =BF·tan B =255m ,∴CE =EF =255m. ∴在Rt △ACE 中,tan ∠CAE =CE AC =255m 2m =55.方法3 等角代换7.(益阳中考)如图,电线杆CD 的高度为h ,两根拉线AC 与BC 相互垂直,∠CAB =α,则拉线BC 的长度为(A ,D ,B 在同一条直线上)(B )A .h sin αB .h cos αC .h tan αD .h ·cos α8.如图,∠1的正切值等于13.9.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A ,B ,C ,D 都在这些小正方形的顶点上,AB ,CD 相交于点P ,则tan∠APD 的值是2.10.如图,点E 在正方形ABCD 的边AB 上,连接DE ,过点C 作CF ⊥DE 于F ,过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G.(1)求证:△DCF ≌△ADG ;(2)若点E 是AB 的中点,设∠DCF =α,求sin α的值. 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD =DC ,∠ADC =90°.∵CF ⊥DE ,∴∠CFD =∠CFG =90°. ∵AG ∥CF ,∴∠AGD =∠CFG =90°. ∴∠AGD =∠CFD.又∵∠ADG +∠CDE =∠ADC =90°,∠DCF +∠CDE =90°, ∴∠ADG =∠DCF.在△DCF 和△ADG 中,⎩⎨⎧∠DFC =∠AGD ,∠DCF =∠ADG ,DC =AD ,∴△DCF ≌△ADG(AAS ).(2)设正方形ABCD 的边长为2a. ∵点E 是AB 的中点,∴AE =12×2a =a.在Rt △ADE 中,DE =AD 2+AE 2=(2a )2+a 2=5a , ∴sin ∠ADG =AE DE =a 5a =55.∵∠ADG =∠DCF =α,∴sin α=55.方法4 构造直角三角形11.(迁安一模)如图,四边形ABCD 中,∠BAD =∠ADC =90°,AB =AD =22,CD =2,点P 在四边形ABCD 上,若P 到BD 的距离为32,则点P 的个数为(B )A .1B .2C .3D .412.(河北中考改编)如图,在▱ABCD 中,AB =10,AD =15,tan A =43.点P 为AD 边上任意一点,连接PB ,将PB绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ.(1)当∠DPQ =10°时,求∠APB 的大小;(2)当tan ∠ABP ∶tan A =3∶2时,求点Q 与点B 间的距离.(结果保留根号)解:(1)当点Q 与B 在PD 异侧时,由∠DPQ =10°,∠BPQ =90°得∠BPD =80°,∴∠APB =180°-∠BPD =100°.当点Q 与B 在PD 同侧时,如图,∠APB =180°-∠BPQ -∠DPQ =80°.∴∠APB 是80°或100°.(2)过点P 作PH ⊥AB 于点H ,连接BQ.∵tan∠ABP∶tan A=PHHB∶PHAH=3∶2,∴AH∶HB=3∶2.∵AB=10,∴AH=6,HB=4.在Rt△PHA中,∵tan A=PHAH=43,∴PH=8.∴PQ=PB=PH2+HB2=82+42=4 5. ∴QB=2PB=410.小专题(六) 走进圆中解直角三角形1.(衢州中考)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的点,过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ,若∠A =30°,则sin E 的值为(A )A .12B .22C .32D .332.如图,已知△ABC 的外接圆O 的半径为3,AC =4,则sin B 的值为23.3.(凉山中考)如图,已知四边形ABCD 内接于⊙O ,A 是BDC ︵的中点,AE ⊥AC 于A ,与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F ,E ,且BF ︵=AD ︵.(1)求证:△ADC ∽△EBA ;(2)如果AB =8,CD =5,求tan ∠CAD 的值.解:(1)证明:∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠ABC +∠CDA =180°.又∵∠ABC +∠ABE =180°,∴∠CDA =∠ABE. ∵BF ︵=AD ︵,∴∠DCA =∠BAE. ∴△ADC ∽△EBA. (2)∵A 是BDC ︵的中点, ∴AB ︵=AC ︵.∴AB =AC =8. ∵△ADC ∽△EBA ,∴∠CAD =∠AEC ,DC BA =AC EA ,即58=8AE .∴AE =645.∴tan ∠CAD =tan ∠AEC =AC AE = 8 645=58.4.(河北中考)如图,AB =16,O 为AB 中点,点C 在线段OB 上(不与点O ,B 重合),将OC 绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形COD ,AP ,BQ 分别切优弧CD ︵于点P ,Q ,且点P ,Q 在AB 异侧,连接OP.(1)求证:AP =BQ ;(2)当BQ =43时,求QD ︵的长;(结果保留π)(3)若△APO 的外心在扇形COD 的内部,求OC 的取值范围.解:(1)证明:连接OQ.∵AP ,BQ 分别与⊙O 相切,∴OP ⊥AP ,OQ ⊥BQ ,即∠APO =∠BQO =90°. ∵OA =OB ,OP =OQ ,∴Rt △APO ≌Rt △BQO. ∴AP =BQ.(2)∵BQ =43,OB =12AB =8,∠BQO =90°,∴sin ∠BOQ =32.∴∠BOQ =60°. ∵OQ =8×cos 60°=4,∴QD ︵的长为(270-60)π×4180=14π3.(3)设点M 为Rt △APO 的外心,则M 为OA 的中点,∴OM =4.当点M 在扇形的内部时,OM <OC ,∴4<OC <8.5.(保定模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,AD 为弦,∠DBC =∠A.(1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)连接OC ,如果OC 恰好经过弦BD 的中点E ,且tan C =12,AD =3,求直径AB 的长.解:(1)证明:∵AB 为⊙O 的直径,∴∠D =90°. ∴∠A +∠ABD =90°. ∵∠DBC =∠A ,∴∠DBC +∠ABD =90°,即∠OBC =90°. ∴BC 是⊙O 的切线.(2)∵E 是弦BD 的中点,点O 是AB 的中点, ∴OE ∥AD.∴∠COB =∠A.∵∠D =∠OBC =90°,∴∠C =∠ABD. ∵tan C =12,∴tan ∠ABD =AD BD =12,即3BD =12.∴BD =6.∴AB =AD 2+BD 2=32+62=3 5.6.(河北中考)平面上,矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图1摆放,分别延长DA 和QP 交于点O ,且∠DOQ =60°,OQ =OD =3,OP =2,OA =AB =1.让线段OD 及矩形ABCD 位置固定,将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向开始旋转,设旋转角为α(0°≤α≤60°).发现(1)当α=0°,即初始位置时,点P 在直线AB 上.(填“在”或“不在”) 求当α是多少时,OQ 经过点B?(2)在OQ 旋转的过程中,简要说明α是多少时,点P ,A 间的距离最小?并指出这个最小值; (3)如图2,当点P 恰好落在BC 边上时,求α及S 阴影.拓展(4)如图3,当线段OQ 与CB 边交于点M ,与BA 边交于点N 时,设BM =x(x >0),用含x 的代数式表示BN 的长,并求x 的取值范围.探究(5)当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时,求sin α的值.备用图解:(1)当OQ 过点B 时,在Rt △OAB 中,AO =AB ,得∠DOQ =∠ABO =45°, ∴α=60°-45°=15°.(2)在△OAP 中,OA +AP ≥OP ,当OP 过点A ,即α=60°时,OA +AP =OP 成立.∴AP ≥OP -OA =2-1=1.∴当α=60°时,P ,A 间的距离最小.PA 的最小值为1.(3)设半圆K 与BC 的交点为R ,连接RK ,过点P 作PH ⊥AD 于点H ,过点R 作RE ⊥KQ 于点E. 在Rt △OPH 中,PH =AB =1,OP =2, ∴∠POH =30°.∴α=60°-30°=30°.∵AD ∥BC ,∴∠OPB =∠RPQ =∠POH =30°. ∴∠RKQ =2×30°=60°. ∴S 扇形RKQ =60π×(12)2360=π24.在Rt △RKE 中,RE =RK·sin 60°=34, ∴S △RKP =12PK·RE =316.∴S 阴影=π24+316.(4)∵∠OAN =∠MBN =90°,∠ANO =∠BNM ,∴△AON ∽△BMN. ∴AN BN =AO BM ,即1-BN BN =1x .∴BN =x x +1. 如图4,当点Q 落在BC 上时,x 取得最大值,作QF ⊥AD 于点F. BQ =AF =OQ 2-QF 2-OA =32-12-1=22-1. ∴x 的取值范围是0<x ≤22-1.(5)半圆与矩形相切,分三种情况: ①如图③,半圆K 与BC 切于点T ,设直线KT 与AD 和OQ 的初始位置所在直线分别交于点S ,O ′,则∠KSO =∠KTB =90°,作KG ⊥OO′于点G.在Rt △OSK 中,OS =OK 2-SK 2=(52)2-(32)2=2. 在Rt △OSO ′中,SO ′=OS·tan 60°=23,KO ′=23-32.在Rt △KGO ′中,∠O ′=30°,∴KG =12KO′=3-34.在Rt △OGK 中,sin α=KGOK=3-3452=43-310. ②半圆K 与AD 切于点T ,如图6,同理可得sin α=KG OK =12O′K 52=12(O′T -KT )52=12×[3×(52)2-(12)2-12]=62-110. ③当半圆K 与CD 相切时,点Q 与点D 重合,且D 为切点. ∴α=60°.∴sin α=sin 60°=32. 综上所述,sin α的值为43-310或62-110或32.28.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1.(丽水中考)如图是某小区的一个健身器材,已知BC =0.15 m ,AB =2.70 m ,∠BOD =70°,求端点A 到地面CD 的距离.(精确到0.1 m .参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)解:过点A 作AE ⊥CD 于点E ,过点B 作BF ⊥AE 于点F.又∵OD ⊥CD ,∴AE ∥OD. ∴∠A =∠BOD =70°. 在Rt △AFB 中,AB =2.7,∴AF =2.7×cos A ≈2.7×0.34=0.918.∴AE =AF +BC =0.918+0.15=1.068≈1.1. 答:端点A 到地面CD 的距离约是1.1 m .2.(台州中考)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米,已知小汽车车门宽AO 为1.2米,当车门打开角度∠AOB 为40°时,车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)解:过A 作AC ⊥OB 于点C , 在Rt △AOC 中,∠AOC =40°, ∴sin 40°=ACOA .又∵AO =1.2米,∴AC =OA·sin 40°≈1.2×0.64=0.768(米). ∵AC =0.768米<0.8米,∴车门不会碰到墙.知识点2 利用视角解直角三角形3.(石家庄裕华区模拟)如图,在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度,AC =7 m ,则树高BC 为(用含α的代数式表示)(C )A .7sin αB .7cos αC .7tan αD .7tan α4.(临沂中考)如图,两座建筑物的水平距离BC =30 m ,从A 点测得D 点的俯角α为30°,测得C 点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度.解:延长CD ,交AE 于点E ,则DE ⊥AE ,在Rt △AED 中,AE =BC =30 m ,∠EAD =30°, ∴ED =AE·tan 30°=10 3 m .在Rt △ABC 中,∠BAC =30°,BC =30 m ,∴AB =30 3 m .∴CD =EC -ED =AB -ED =303-103=203(m ).02 中档题5.(邵阳中考)如图所示,运载火箭从地面L 处垂直向上发射,当火箭到达A 点时,从位于地面R 处的雷达测得AR的距离是40 km ,仰角是30°.n 秒后,火箭到达B 点,此时仰角是45°,则火箭在这n 20)km .6.(东营中考)一数学兴趣小组来到某公园,准备测量一座塔的高度.如图,在A 处测得塔顶的仰角为α,在B 处测得塔顶的仰角为β,又测量出A 、B 两点的距离为s 米,则塔高为tan α·tan β·stan β-tan α米.7.(唐山古冶区一模)如图,河的两岸l 1与l 2相互平行,A ,B 是l 1上的两点,C ,D 是l 2上的两点,某人在点A 处测得∠CAB =90°,∠DAB =30°,再沿AB 方向前进20米到达点E(点E 在线段AB 上),测得∠DEB =60°,求C ,D 两点间的距离.解:过点D 作l 1的垂线,垂足为F ,∵∠DEB =60°,∠DAB =30°, ∴∠ADE =∠DEB -∠DAB =30°.∴△ADE 为等腰三角形.∴DE =AE =20. 在Rt △DEF 中,EF =DE·cos 60°=20×12=10.∵DF ⊥AF ,∴∠DFB =90°.∴AC ∥DF. 由已知l 1∥l 2,∴CD ∥AF.∴四边形ACDF 为矩形,CD =AF =AE +EF =30.∴C ,D 两点间的距离为30米.03 综合题8.(廊坊安次区二模)小敏家对面新建了一幢图书大厦,小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°,大厦底部的俯角为30°,如图所示,量得两幢楼之间的距离为203米.(1)求出大厦的高度BD ; (2)求出小敏家的高度AE.解:(1)∵AC ⊥BD , BD ⊥DE ,AE ⊥DE , ∴四边形AEDC 是矩形.∴AC =DE =203米.∵在Rt △ABC 中,∠BAC =45°, ∴BC =AC =203米.在Rt △ACD 中,tan 30°=CDAC ,∴CD =AC·tan 30°=203×33=20(米). ∴BD =BC +CD =(203+20)米. ∴大厦的高度BD 为(203+20)米. (2)∵四边形AED C 是矩形, ∴AE =CD =20米.∴小敏家的高度AE 为20米.第2课时 与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点1 利用方向角解直角三角形1.(河北中考)如图,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处,则N 处与灯塔P 的距离为(D )A .40海里B .60海里C .70海里D .80海里2.轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C 处,在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上,则C 处与灯塔A 的距离是(D )A .253海里B .252海里C .50海里D .25海里3.(南京中考)如图,港口B 位于港口A 的南偏东37°方向,灯塔C 恰好在AB 的中点处,一艘海轮位于港口A 的正南方向,港口B 的正西方向的D 处,它沿正北方向航行5 km ,到达E 处,测得灯塔C 在北偏东45°方向上.这时,E 处距离港口A 有多远?(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)解:过点C 作CH ⊥AD ,垂足为H ,设CH =x km , 在Rt △ACH 中,∠A =37°, ∵tan A =CHAH,∴AH =CH tan 37°=xtan 37°.在Rt △CEH 中,∠CEH =45°, ∵tan ∠CEH =CH EH ,∴EH =CHtan 45°=x.∵CH ⊥AD ,BD ⊥AD , ∴∠AHC =∠ADB =90°.∴HC ∥DB. ∴AH HD =AC CB. 又∵C 为AB 的中点, ∴AC =CB. ∴AH =HD.∴xtan 37°=x +5.∴x =5×tan 37°1-tan 37°≈5×0.751-0.75=15.∴AE =AH +HE =15tan 37°+15≈35(km ).因此,E 处距离港口A 大约35 km .知识点2 利用坡度、坡角解直角三角形4.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB 的长为(B )A .43米B .65米C .125米D .24米5.已知四个规模不同的滑梯A ,B ,C ,D ,它们的滑板长(平直的)分别为300 m ,250 m ,200 m ,200 m ;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°,则关于四个滑梯的高度说法正确的是(B )A .A 的最高B .B 的最高C .C 的最高D .D 的最高6.(巴中中考)如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD ,坝顶BC 宽6米,坝高20米,斜坡AB 的坡度i =1∶2.5,斜坡CD 的坡角为30°,求坝底AD 的长度.(精确到0.1米.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)解:作BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,垂足分别为点E ,F ,则四边形BCFE 是矩形. 由题意,得BC =EF =6米,BE =CF =20米, ∵斜坡AB 的坡度i 为1∶2.5,BE =20米, ∴BE AE =12.5.∴AE =50米. 在Rt △CFD 中,∠D =30°, ∴DF =CFtan D=203米. ∴AD =AE +EF +FD =50+6+203≈90.6(米). 答:坝底AD 的长度约为90.6米.02 中档题7.(唐山丰南区一模)如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向,距离灯塔2海里的点A 处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB 长是(C )A .2海里B .2sin 55°海里C .2cos 55°海里D .2tan 55°海里8.(青岛中考)如图,C 地在A 地的正东方向,因有大山阻隔,由A 地到C 地需要绕行B 地,已知B 位于A 地北偏东67°方向,距离A 地520 km ,C 地位于B 地南偏东30°方向,若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A 地到C 地之间高铁线路的长.(结果保留整数.参考数据:sin 67°≈1213,cos 67°≈513,tan 67°≈125,3≈1.73)解:作BD ⊥AC 于点D.在Rt △ABD 中,∠ABD =67°, sin ∠ABD =AD AB ≈1213,∴AD ≈1213AB =480 km .cos ∠ABD =BD AB ≈513,∴BD ≈513AB =200 km .在Rt △BCD 中,∠CBD =30°, tan ∠CBD =CD BD =33.∴CD =33BD ≈115 km . ∴AC =CD +DA ≈595 km .答:A 地到C 地之间高铁线路的长约为595 km .9.(遵义中考)如图,一楼房AB 后有一假山,其坡度为i =1∶3,山坡坡面上E 点处有一休息亭,测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC =25米,与亭子距离CE =20米,小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°,求楼房AB 的高.(注:坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解:过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ,EH ⊥AB 于点H ,在Rt △CEF 中,∵i =EF CF =13=tan ∠ECF ,∴∠ECF =30°.∴EF =12CE =10米,CF =103米.∴BH =EF =10米,HE =BF =BC +CF =(25+103)米. 在Rt △AHE 中,∵∠HAE =45°, ∴AH =HE =(25+103)米.∴AB =AH +HB =(35+103)米. 答:楼房AB 的高为(35+103)米.03 综合题10.(连云港中考)如图,湿地景区岸边有三个观景台A ,B ,C.已知AB =1 400米,AC =1 000米,B 点位于A 点的南偏西60.7°方向,C 点位于A 点的南偏东66.1°方向.(1)求△ABC 的面积;(2)景区规划在线段BC 的中点D 处修建一个湖心亭,并修建观景栈道AD.试求A ,D 间的距离.(结果精确到0.1米.参考数据:sin 53.2°≈0.80,cos 53.2°≈0.60,sin 60.7°≈0.87,cos 60.7°≈0.49,sin 66.1°≈0.91,cos 66.1°≈0.41,2≈1.414)解:(1)过点C 作CE ⊥BA 交BA 的延长线于点E.在Rt △AEC 中,∠CAE =180°-60.7°-66.1°=53.2°, ∴CE =AC·sin 53.2°≈1 000×0.8=800(米).∴S △ABC =12AB·CE =12×1 400×800=560 000(平方米).(2)连接AD ,过点D 作DF ⊥AB ,垂足为点F ,则DF ∥CE.∵D 是BC 的中点,∴DF =12CE =400米,BF =EF =12BE ,AE =AC·cos 53.2°≈600米.∴BE =BA +AE =1 400+600=2 000(米). ∴AF =12BE -AE =400米.由勾股定理,得AD =AF 2+DF 2=4002+4002=4002≈565.6(米). 答:A ,D 间的距离约为565.6米.小专题(七) 构造基本图形解直角三角形的应用题类型1 构造单一直角三角形 1.平放在地面上的直角三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示.量得∠A 为54°,∠B 为36°,斜边AB 的长为2.1 m ,BC 边上露出部分BD 的长为0.9 m .求铁板BC 边被掩埋部分CD 的长.(结果精确到0.1 m .参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38)解:由题意,得∠C =180°-∠B -∠A =180°-36°-54°=90°. 在Rt △ABC 中,sin A =BCAB,∴BC =AB·sin A =2.1×sin 54°≈1.701(m ),∴CD =BC -BD =1.701-0.9=0.801≈0.8(m ).类型2 母子三角形2.(重庆中考)如图,小王在长江边某瞭望台D 处,测得江面上的渔船A 的俯角为40°,若DE =3米,CE =2米,CE 平行于江面AB ,迎水坡BC 的坡度i =1∶0.75,坡长BC =10米,则此时AB 的长约为(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)(A )A .5.1米B .6.3米C .7.1米D .9.2米3.(长沙中考)为了维护国家主权和海洋权力,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图,正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行,在A 处测得灯塔P 在北偏东60°方向上,继续航行1小时到达B 处,此时测得灯塔P 在北偏东30°方向上.(1)求∠APB 的度数;(2)已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?解:(1)在△APB 中,∠PAB =30°,∠ABP =120°, ∴∠APB =180°-30°-120°=30°. (2)过点P 作PH ⊥AB 于点H.在Rt △APH 中,∠PAH =30°,AH =3PH. 在Rt △BPH 中,∠PBH =60°,BH =33PH. ∴AB =AH -BH =233PH =50.∴PH =253>25.∴海监船继续向正东方向航行仍然安全.类型3 背靠背三角形4.(天津中考)如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东64°方向,距离灯塔120海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处,求BP 和BA 的长.(结果取整数,参考数据:sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05,2取1.414)解:过点P 作PC ⊥AB ,垂足为C.由题意可知,∠A =64°,∠B =45°,PA =120. 在Rt △APC 中,sin A =PC PA ,cos A =ACPA ,∴PC =PA·sin A =120×sin 64°.AC =PA·cos A =120×cos 64°.在Rt △BPC 中,sin B =PC BP ,tan B =PC BC ,∴BP =PC sin B =120×sin 64°sin 45°≈120×0.9022≈153.BC =PC tan B =PC tan 45°=PC =120×sin 64°.∴BA =BC +AC =120×sin 64°+120×cos 64° ≈120×0.90+120×0.44≈161.答:BP 的长约为153海里,BA 的长约为161海里.5.(宜宾中考)如图,某市对位于笔直公路AC 上两个小区A ,B 的供水路线进行优化改造.供水站M 在笔直公路AD 上,测得供水站M 在小区A 的南偏东60°方向,在小区B 的西南方向,小区A ,B 之间距离为300(3+1)米.求供水站M 分别到小区A ,B 的距离.(结果可保留根号)解:作ME ⊥AB ,垂足为E.设ME =x 米.在Rt △AME 中,∠MAE =90°-60°=30°, ∴AM =2ME =2x, AE =MEtan 30°=3x.在Rt △BME 中,∠MBE =90°-45°=45°, ∴ME =EB =x ,MB =2x.∵AE +BE =AB =300(3+1),即3x + x =300(3+1),解得x =300. ∴AM =2ME =2x =600,MB =2x =300 2.答:供水站M 到小区A ,B 的距离分别是600米、3002米.6.(德州中考)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪,检测点设在距离公路10 m 的A 处,测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用的时间为0.9秒.已知∠B =30°,∠C =45°.(1)求B ,C 之间的距离;(保留根号)(2)如果此地限速为80 km /h ,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:3≈1.7,2≈1,4)解:(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则AD =10 m . ∵在Rt △ACD 中,∠C =45°, ∴CD =AD =10 m .在Rt △ABD 中,tan B =ADBD ,∵∠B =30°, ∴33=10BD. ∴BD =10 3 m .∴BC =BD +DC =(103+10)m .答:B ,C 之间的距离是(103+10)m . (2)这辆汽车超速,理由如下: 由(1)知BC =(103+10)m ≈27 m . ∴汽车速度为270.9=30(m /s )=108 km /h .∵108>80,∴这辆汽车超速.类型4 与梯形有关的解直角三角形7.如图,梯形ABCD 是拦水坝的横断面图,斜面坡度i =1∶3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比,∠B =60°,AB =6,AD =4,求拦水坝的横断面ABCD 的面积.(结果保留小数点后一位.参考数据:3≈1.732,2≈1.414)解:过点A 作AF ⊥BC ,垂足为点F. 在Rt △ABF 中,∠B =60°,AB =6, ∴AF =AB·sin B =6×sin 60°=33, BF =AB·cos B =6×cos 60°=3. ∵AD ∥BC ,AF ⊥BC ,DE ⊥BC , ∴四边形AFED 是矩形.∴DE =AF =33,FE =AD =4.在Rt △CDE 中,i =ED EC =13,∴EC =3ED =3×33=9.∴BC =BF +FE +EC =3+4+9=16. ∴S 梯形ABCD =12(AD +BC)·DE=12×(4+16)×3 3≈52.0.答:拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0.章末复习(三) 锐角三角函数01 基础题知识点1 利用定义求锐角三角函数值1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =5,BC =3,则∠A 的余弦值是(C )A .35B .34C .45D .432.(广州中考)如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =15,tan A =158,则AB =17.3.(龙岩中考)如图,若点A 的坐标为(1,3),则sin ∠12知识点2 特殊角的三角函数值4.(贵港一模)若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3,那么这个三角形最小角的正切值为(C )A .13B .12C .33D .32 5.在△ABC 中,若cos A =22,tan B =3,则这个三角形一定是(D ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .钝角三角形 D .锐角三角形6.(武威中考)已知α,β均为锐角,且满足|sin α-12|+(tan β-1)2=0,则α+β=75°.知识点3 解直角三角形7.如图是教学用直角三角板,边AC =30 cm ,∠C =90°,tan A =33,则边BC 的长为(C ) A .30 3 cm B .20 3 cm C .10 3 cm D .5 3 cm8.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AD 是∠BAC 的平分线,与BC 相交于点D ,且AB =43,则AD 的长为4.知识点4 解直角三角形的应用9.(宁波中考)如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡,从A 滑行至B ,已知AB =500米,则这名滑雪运动员的高度下降了280米.(参考数据:sin 34°≈0.56,cos 34°≈0.83,tan 34°≈0.67)。
《锐角三角函数和解直角三角形》
一、选择题
1.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是 ( )
A.433 B.4 c.83 D.43
答案: D
2.如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC= 10米,∠B= 36°,
则中柱AD(D为底边中点)的长是 ()
A.5sin36°米 B.5cos36°米C.5tan36°米 D.10tan36°米
答案:C
3.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC
的正切值是( )
A.2 B.255C.55 D.12
答案:D
4.一座楼梯的示意图如图所示,BC是铅垂线,CA是水平线,BA与CA的夹角为
θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA
=4米,楼梯宽度为1米,则地毯的面积至
少需要( )
A.4sin米²B.4cos米²C.(
4
4tan
)米²D.(44tan)米²
【答案】D
二、填空题
5.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10米的A处测得旗杆顶
端B的仰角为60°,测角仪高AD为1米,则旗杆高BC为米(结果保留根号)
【答案】(1031)
6.在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF∥MN,
小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向,然后沿河
岸走了30米,到达B处,测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向,此时,其
他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度为米.(结果保留根号)
【答案】(30103)
7.如图,在正方形ABCD外作等腰直角△CDE,DE=CE,连接BE则tan∠EBC
=.
【答案】13
8.某班数学兴趣小组利用数学课活动时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度,已
知烈山坡面与水平在夹角为30°,山高857.5尺,组员从山脚D处沿山坡向着雕
像方向前进1620尺到达E点,在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°,求雕像
AB
的高度.
解:如图,过点E作EF⊥AC,EG⊥CD,在Rt△DEG中,
∵DE=1620,∠D=30°,
∴EG=DEsin∠D=
1
16202
=810,
∵BC=857.5,CF=EG,
∴BF=BC-CF=47.5,在Rt△BEF中,tan∠BEF=BFEF,
∴EF=3BF,
在Rt△AEF中,∠AEF=60°, 设AB=x,
∵tan∠AEF=AFEF,
∴AF=EFtan ∠AEF,
∴x+47.5=347.5,
∴x=95.
答:雕像AB的高度为95尺.
9.如图,某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30°、60°,此
时无人机的飞行高度AC为60m.随后无人机从A处继续水平飞行303m到达
A′处.
(1)求A、B之间的距离:
(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值
解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°,
在Rt△ABC中,AC=60m,
∴AB=
0
AC60
120(m)1sin302
;
(2)
过A′作A′E⊥BC交BC的延长线于E,连接A′D,
则A′E=AC=60, CE=AA′=303,
在Rt△ADC中, AC=60m, ∠ADC=60°,
∵DC=
3
2033AC
,
∴DE=503,
∴tan∠AA′D=tan∠A′DC=
'
60235503AE
DE
.
答:从无人机A′上看目标D的俯角的正切值是235.
10.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度酌综合实践活动,如图,在点A
处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36。然后沿在。同一剖面的斜坡AB
行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面
AB的坡度(或坡比)1:2.4i,那么大树CD的高度约为多少米?(参考数据:
sin36≈0.59,cos36≈0.81,tan36≈0.73)
解:作BF⊥AE于F,如图所示:则FE=BD=6米,DE =BF,
∵斜面AB的坡度1:2.4i,
∴AF= 2.4BF,
设BF=x米,则AF= 2.4x米,
在Rt△ABF中,由勾股定理得:
2
22
2.413xx
解得:x=5,
∴DE=BF=5米,AF=12米,
∴AE=AF+FE =18米,
在Rt△ACE中,CE=AEtan36°=18x0.73=13.14米
∴CD=CE-DE=13.14米-5米≈8.1米.
12.太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍
关注和重点发展的新兴产业,如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线
表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同,均为300cm.AB的
倾斜角为30°.BE=CA=50cm.支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别
为D,F.CD垂直于地面,FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D,
F到地面的垂直距离相同),均为30cm,点A
到地面的垂直距离为50cm,求支
撑角钢CD和EF的长度各是多少cm(结果保留根号)
解:过A作AG⊥CD于G,则∠CAG=30°,在Rt△ACG中,CG=ACsin30°
=
1
502
=25,∵GD=50-30=20,∴CD=CG+GD=25+20=45,
连接FD并延长与BA的延长线交于H, 则∠H=30°,
在Rt△EFH中,CH=0CDsin30=2CD=90,
∴EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290,
在Rt△CDH中,EF=EH·tan30°=290
32903
33
,
答:支撑角钢CD和EF的长度各是45cm, 29033cm.