1.4 平行线之间的距离

4.6两条平行线间的距离物以类聚，人以群分。

《易经》原创不容易，【关注】，不迷路！【知识与技能】1.理解公垂线段及其相关定理、平行线之间的距离的概念.2.能够测量两条平行线之间的距离，会画已知直线已知距离的平行线.【过程与方法】通过将平行线之间的距离转化为点到直线的距离，使学生初步体会转化的数学思想.【情感态度】体会数学的应用价值.【教学重点】理解平行线之间的距离的概念，掌握它与点到直线的距离的关系.【教学难点】平行线之间的距离的应用.一、情景导入，初步认知1.什么是点到直线的距离？2.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.做一做.我们知道数学课本的对边是互相平行的，请你测量自己的数学课本的宽度.要注意什么问题？(刻度尺要与课本两边互相垂直)2.公垂线、公垂线段的概念.如下图：与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线的.如图形中的直线AB 与CD都是公垂线，这时连结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的.图中的线段AB和CD就叫做平行线m与n的.两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上的一点到另一条直线的.通过上面的操作，我们可以得到什么？【归纳结论】公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等.我们把两平行线的公垂线段的长度叫做两平行线间的距离.3.如图设直线a、b、c是三条平行直线.已知a与b的距离为5厘米，b与c 的距离为2厘米，求a与c的距离.解：在直线a上任取一点A，过A作AC⊥a，分别交b、c于B、C两点，则AB、BC、AC分别表示a与b，b与c，a与c的公垂线段.所以AC＝AB+BC＝5＋2＝7(厘米)，因此a与c的距离为7厘米.三、运用新知，深化理解1.利用平移画一条直线和已知直线a平行且两条平行线间的距离为2cm(思考可以画几条).解：可以画2条，画图略.2.如图：按要求完成以下作图：(1)过P点作一条直线CD平行于AB,像CD这样平行于AB的直线有且一条.(2)过P点作线段PQ⊥CD交AB于Q，那么PQ就叫做平行线AB、CD间的；说一说PQ与AB的关系：.(3)过AB上的E点，作EF⊥ABCD于F，说一说EF与CD的关系：.同理，EF 也是平行线AB、CD间的；(4)在AB、CD间，像PQ这样的垂线段有条.答案：(1)只有；(2)公垂线段；垂直；(3)垂直；公垂线段；(4)无数条.作图略.3.如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB和三角形QAB 的面积有什么关系？为什么？解：分别过P、Q两点作PC⊥AB,QD⊥AB,垂足为C、D.因为MN//AB，PC⊥AB,QD⊥AB，所以PC=QD.因为三角形PAB的面积=12 (AB·PC)，三角形QAB的面积=12 (AB·QD)，所以三角形PAB和三角形QAB的面积相等.4.如图，DE∥BC，AF⊥DE于G，D，D，试求点A到BC的距离.解：∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AF⊥BC，∵D，∴AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm.即点A到BC的距离是8cm.【教学明】通过练习，检测学生的掌握情况，教师再作适当的强调.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组单位派代表进行总结.教师作以补充.1.布置作业:教材“习题4.6”中第1、3、4题.2.完成同步练习册中本课时的练习.根据知识的建构原理，知识是由学习者通过学习活动，经过了解、理解、掌握等过程建构起来的.学生是教学活动的主体，老师作为教学活动的组织、引导者、合作者，所本节课，应首先为学生创设积极的学习氛围，激发学生的学习兴趣和求知欲，让学生体会“做中学”.学习基本的知识技能、数学思想方法和解决实际问题的能力，并培养学生的合作意识和创新探究的能力，在过程中体会成功，树立自信心.【素材积累】从诞生的那一刻起，我们就像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。

3.3.3～3.3.4 点到直线的距离和平行线间的距离 学习目标： （1）掌握点到直线的距离公式及其结构特征； （2）理解两平行线间的距离的概念，掌握两平行线间距离的计算方法； （3）进一步体会“数形结合”与“化归”的数学思想方法. 学习过程： 一、课前准备：预习教材106~107P P 的内容： 二. 新课导学 新知1：点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = ． 注意：运用点到直线的距离公式，必须把直线方程化为 ． 00(,)P x y 到直线x a =的距离d = ；00(,)P x y 到直线y b =的距离d = ． 新知2：两平行直线01=++C By Ax 与02=++C By Ax 的距离d = ．注意: 求两平行直线距离，必须将直线方程化为 ， 且x 、y 的系数 ． 新知3：有关对称的几个问题三 典型例题【例1】求点)2,1(0-P 到直线23:=x l 的距离。

【例2】已知点)0,1(),1,3(),3,1(-C B A ，求ABC ∆的面积。

【例3】已知直线0872:1=--y x l ，01216:2=--y x l ，二者是否平行？若平行，求距离。

【例4】（1）求过点(1,2)P -（2）若直线1l 与直线2l :34200x y --=平行且距离为3，求直线1l 的方程．四、反馈练习1．点P 在x 轴上,若它到直线4330x y --=的距离等于1，则P 的坐标是 （ ）A ．(2,0)-或1(,0)2-B ．(2,0)或1(,0)2C ．(2,0)-或1(,0)2D ．(2,0)或1(,0)2- 2．动点P 在直线240x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为 ( )A B C D 4. 直线l 过点(5,10)P ，且与原点的距离等于5，则直线l 的方程为 ． 5. 1l ：2340x y ++=，2l ：4650x y +-=之间的距离为 ．6. 求下列点到直线的距离：⑴ )2,1(-C , l :034=+y x⑵ )0,1(B l :033=-+y x7. 求过点(1,2)M ，且与点(2,3)A ，(4,5)B -的距离相等的直线l 的方程．。

平行线与垂直线的性质及判定方法平行线和垂直线是几何学中常见的重要概念。

对于这两种线相互之间的性质以及如何准确判定它们的方法，本文将进行详细介绍。

一、平行线的性质及判定方法平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

关于平行线的性质和判定方法，我们可以从以下几个方面进行说明。

1. 平行线的性质1.1 不同于同一直线上的两点，同一平面上不同直线上的两点无法连线。

1.2 平行线之间的距离始终相等。

1.3 平行线对应的内角、外角相等。

1.4 平行线的斜率相等或者不存在。

2. 平行线的判定方法2.1 通过观察法判定平行线：如果两条直线的方向相同或者相互平行，它们就是平行线。

可以通过观察直线的倾斜角度或者倾斜方向来判断。

2.2 通过斜率判定平行线：计算两条直线的斜率，如果它们的斜率相等或者不存在，那么这两条直线即为平行线。

2.3 通过平行线定理判定平行线：平行线定理是指如果有一直线与两条平行线相交，那么这两条直线也是平行线。

二、垂直线的性质及判定方法垂直线是指在同一个平面上与另一条直线相交时，两条直线之间的角度为90度。

下面我们来介绍垂直线的性质和判定方法。

1. 垂直线的性质1.1 垂直线之间相交的角度为90度。

1.2 垂直线上的两条线段的长度相等。

1.3 垂直线的斜率的乘积为-1，其中一个垂直线的斜率不存在。

2. 垂直线的判定方法2.1 通过观察法判定垂直线：如果两条直线的交角为90度，它们就是垂直线。

可以通过观察直线之间的交角来判断。

2.2 通过斜率判定垂直线：计算两条直线的斜率，如果斜率的乘积为-1，其中一个直线的斜率不存在，那么这两条直线即为垂直线。

2.3 通过垂直线定理判定垂直线：垂直线定理是指如果两条直线相互垂直，则它们的斜率乘积为-1。

综上所述，平行线与垂直线在几何学中有着重要的性质和判定方法。

对于平行线来说，我们可以通过观察法、斜率以及平行线定理来判定。

而对于垂直线来说，我们可以通过观察法、斜率以及垂直线定理来判定。

3．3.4 两条平行直线间的距离1．掌握两条平行直线间距离的定义．2．会求两条平行直线间的距离．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．【做一做】 两条平行直线x ＋y ＋2＝0与x ＋y －3＝0的距离等于( ) A.52 2 B.22 C ．5 2 D. 2答案：(1)公垂线段 (2)点到直线【做一做】 A两条平行直线间的距离公式剖析：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.当直线l 1∥l 2时，它们的方程可以化为以下形式：直线l 1：A x ＋B y ＋D 1＝0，直线l 2：A x ＋B y ＋D 2＝0. 在直线l 1上任取一点P(x 0，y 0)，则有l 1：A x 0＋B y 0＋D 1＝0，即A x 0＋B y 0＝－D 1.所以点P 到直线l 2的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋D 2|A 2＋B 2＝|－D 1＋D 2|A 2＋B 2＝|D 1－D 2|A 2＋B 2， 即直线l 1，l 2的距离d ＝|D 1－D 2|A 2＋B 2.(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：①把直线方程化为直线的一般式方程；②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．(3)当两条直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合方法来解决．①两条直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则两条平行直线间的距离d ＝|x 2－x 1|；②两条直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则两条平行直线间的距离d ＝|y 2－y 1|.题型一：求两条平行线间的距离【例1】 求两条平行线l 1：3x ＋4y －5＝0和l 2：6x ＋8y －9＝0间的距离．反思：求两条平行直线间距离有两种思路：①利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算，如本题解法一．②利用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，如本题解法二． 题型二：两条平行直线间距离公式的应用【例2】 平行于直线x －3y ＝0，且与其距离为3的直线l 的方程是__________． 反思：求平行于直线A x ＋B y ＋C ＝0的直线方程时，常设为A x ＋B y ＋m ＝0(m ≠C)，利用待定系数法来解决．有关平行直线间距离问题，常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决．题型三：易错辨析易错点 利用两条平行直线间的距离公式求距离时，常忽略方程的系数【例3】 求两条平行直线l 1：3x ＋4y ＋2＝0，l 2：12x ＋16y －8＝0之间的距离．错解：d ＝|2－(－8)|32＋42＝105＝2. 错因分析：错解中，没有把l 2的方程化为3x ＋4y ＋m ＝0的形式，导致出错．反思：使用两条平行线间的距离公式求距离时，应把直线方程化为一般式，同时要使两个直线方程中x ，y 的系数对应相等．答案：【例1】 解：解法一：在直线l 1：3x ＋4y －5＝0上任取一点，不妨取点P (0，54)， 则点P 到直线l 2：6x ＋8y －9＝0的距离即为两条平行直线间的距离．因此d ＝|0×6＋8×54－9|62＋82＝110. 解法二：把l 2：6x ＋8y －9＝0化为3x ＋4y －92＝0， 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|－5－(－92)|32＋42＝110. 【例2】 x －3y ＋6＝0或x －3y －6＝0【例3】 正解：l 2：12x ＋16y －8＝0可化为3x ＋4y －2＝0，根据两条平行线间的距离公式，可得d ＝|2－(－2)|32＋42＝45.1．直线46x y -＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( )A.13B.13C.2D．242．平行直线x－y＝0与x－y＋m＝0，则实数m＝__________.3．直线l与两条平行直线l1：x－3y＋1＝0，直线l2：x－3y＋5＝0的距离相等，则直线l的方程是__________．4．两条平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋a y＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝__________.5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．答案：1．B 2.±2 3.x－3y＋3＝0 4.105．解：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，由两条直线的距离为2＝2.则m＝32或m＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.。

平行线与同位角的性质平行线与同位角的性质是几何学中的基本概念，它们在解决几何问题和证明几何定理时起着重要的作用。

本文将介绍平行线的定义和性质，进而探讨同位角的概念以及同位角与平行线的关系。

1. 平行线的定义和性质在平面几何中，当两条直线在平面上的位置相对固定，且永不相交，我们称这两条直线为平行线。

平行线的性质如下：1.1 两条平行线夹在同一个传声筒线上的各个角度互相等于，这些角度被称为同位角。

1.2 平行线间的垂直线也是平行线。

1.3 平行线之间的距离在任意两个平行线上取得的赛式一致。

1.4 平行线具有相似的性质，比如平行线上的对应角、内错角、同位角都是相等。

2. 同位角的定义和性质同位角是相对于两条平行线的一对相似的角。

在同一边的两条传声筒线之间形成的角称为同位角。

同位角的性质如下：2.1 同位角的度数相等，即同位角对应的弧度数相等。

2.2 同位角相互补角，即如果一个同位角是锐角，则其对应的同位角是钝角，反之亦然。

2.3 同位角的角对是镜像对称的，即同位角的两个角对是一对直线对称的。

3. 平行线与同位角的关系平行线与同位角之间存在着密切的关系，具体表现为以下几个方面：3.1 平行线之间的同位角是相等的，它们可以互相替代，进行推理和证明。

3.2 利用同位角的性质，我们可以推导出很多有关平行线的定理，比如平行线与一些特殊角的关系，如内错角和对应角。

3.3 同位角可以帮助我们解决平行线交线问题，如判断两条线是否平行、判断两条线是否相交等。

通过深入理解平行线和同位角的概念与性质，我们可以更好地掌握几何学中的相关知识并应用于解题和证明。

熟练掌握平行线与同位角的性质，可以让我们更轻松地应对各种几何问题，提高问题解决的效率和准确性。

总结：平行线与同位角是几何学中的基础概念，深入理解它们的定义和性质对于解决几何问题和证明几何定理具有重要意义。

平行线具有相似角和相似距离的性质，而同位角则是平行线相关角度的代表。