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点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。
平行线间的距离例题
平行线是同一平面内不相交的两条线。
在平面几何中，我们经常需要计算平行线之间的距离。
下面是一个关于平行线间距离的例题。
例题：已知两条平行线L1和L2，L1上有一点P，L2上有一点Q。
设点P到直线L2的距离为d，求点Q到直线L1的距离。
解题思路：首先，我们需要知道平行线之间的距离定义。
在同一平面内，两条平行线之间的距离是它们之间的任意一条垂线的长度。
因此，我们可以先通过点P和直线L2构造垂线L3，然后计算L3的长度d。
接下来，我们需要构造点Q到直线L1的垂线L4，然后计算L4的长度即可。
步骤如下：
1. 构造垂线L3：从点P向直线L2作垂线L3。
2. 计算L3的长度：根据勾股定理，L3的长度等于线段PQ的长度乘以sinθ，其中θ为直线L1和L2的夹角，而线段PQ与直线L1和L2平行，因此θ可由线段PQ和直线L1的斜率求得，即：θ = arctan(k1) - arctan(k2)
其中，k1和k2分别为直线L1和L2的斜率。
3. 构造垂线L4：从点Q向直线L1作垂线L4。
4. 计算L4的长度：同样利用勾股定理，L4的长度可表示为线段PQ的长度乘以cosθ，即：
L4 = PQ*cosθ
5. 得出结果：将步骤2和步骤4中计算出的距离代入公式，即
可得到点Q到直线L1的距离：
d(Q,L1) = d*sinθ = PQ*cosθ*sinθ
这样，我们就成功地求出了点Q到直线L1的距离。
需要注意的是，如果两条直线不在同一平面内，则无法计算它们之间的距离。
同时，在实际应用中，我们也可以利用向量或矩阵的方法来求解平行线之间的距离。
两条平行线间的距离公式推导方法
要推导两条平行线之间的距离公式，我们可以采用几何方法或者向量方法。
首先，我们来看几何方法：假设我们有两条平行线L1和L2，距离为d，我们可以从平行线上取两个点P1和P2，分别连接成一条线段，并做垂线PH1和PH2，垂线的交点为H。
利用几何知识，我们可以得到一个三角形PH1H2，其中PH1和PH2是直角边，而H1H2就是两条平行线之间的距离d。
这时，我们可以利用直角三角形的勾股定理来推导出两条平行线之间的距离公式。
其次，我们来看向量方法：假设L1和L2的一般方程为ax + by + c1 = 0 和ax + by + c2 = 0，其中(a, b)是平行线的方向向量。
我们可以利用向量的性质，找到两个点P1和P2分别在L1和L2上，那么向量P1P2就是平行线方向的向量。
此外，我们可以通过向量P1P2在垂直于平行线的方向上的投影得到两条平行线之间的距离d的绝对值。
最后，通过选择合适的点P1和P2，并且考虑到距离为正或负的情况，我们可以得到两条平行线之间的距离公式。
《两条平行线间的距离》知识全解教学目标：
1．了解两条平行线的所有公垂线段都相等.
2．了解两条平行线之间距离的意义.
3．能度量两条平行线之间的距离.
教学重点：理解平行线之间的距离的意义.
教学难点：理解“两条平行线的所有公垂线段都相等”.
知识内容：
1.公垂线、公垂线段的概念
与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线
的公垂线.如图形中的直线AB与CD都是公垂线，这时连
结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段.如图中的线段AB和CD.
两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上的一点到另一条的垂线段.
2.公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等.
3.两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线段最短.
如图m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB.
再过A作n线段的垂线段AC，垂足为C，则有AC＜AB.
从而得到上述定理.
4.两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度.。
坐标轴两条平行线的距离公式在我们平常的生活中，经常会碰到一些需要计算距离的情况，比如从家里到超市有多远？从公司到电影院走路要多久？这些都是我们日常生活中常常计算的“距离”。
但是今天咱们要聊的，不是那种走路的距离，也不是你和朋友约定见面的距离，而是一个稍微数学化一点的“距离”问题——坐标轴上两条平行线的距离。
好了，别被“坐标轴”和“平行线”这些听起来有点学术气息的词吓到，其实这个问题并不难理解。
你可以想象，坐标轴就像是我们平常说的“横坐标”和“纵坐标”的那两条线，而平行线嘛，就是那种永远不相交的两条线。
它们之间的距离，不像两点之间的距离那样需要直接用勾股定理去计算，而是有一个特别简单的公式，可以让你快速算出它们之间的“空隙”有多大。
不过你可能会问了，这两条平行线究竟该怎么定义呢？好嘛，不用着急，我们一步步来。
假设我们有两条平行线，它们的方程分别是：1. (Ax + By + C_1 = 0) 。
2. (Ax + By + C_2 = 0) 。
看上去是不是挺复杂？不过别怕，这两条线不过是斜的或是水平的，只有常数部分（也就是C_1和C_2）不同而已。
而且因为它们是平行的，斜率肯定是一样的。
好啦，公式出来了，要是你想知道这两条平行线之间的距离，记住这句话：。
距离 = (frac{|C_2 C_1|{sqrt{A^2 + B^2)。
这么一看，好像又回到了老套路，数学公式，求距离，根本没有什么新鲜感，对吧？不过你要是把这个公式一眼看明白，就会觉得其实没什么可怕的。
咱们把C_2和C_1之间的差取个绝对值，因为无论差值是正还是负，距离永远是个正数，不能让它成负数。
然后，下面的那个根号A²+B²就是线的斜率相关的内容，它让你知道两条线的“倾斜度”，或者说，它反映了两条线的方向。
如果线是水平的，那A和B就是0和1的组合，根号下的东西就会很简单。
如果是斜的，就得算一下它的斜率，才能搞清楚两条线的实际“距离”。
两条平行线的距离公式推导过程平行线的距离公式是解决平行线之间的距离问题的重要工具。
在几何学中，平行线是指在同一个平面内永不相交的直线。
平行线之间的距离是指两条平行线之间的最短距离。
在本文中，我们将通过推导过程来了解平行线的距离公式。
假设有两条平行线L1和L2，我们的目标是求出这两条平行线之间的距离。
为了方便计算，我们可以选择一条直线L3与L1和L2相交，并且垂直于这两条平行线。
这样，我们可以将问题简化为求L3与L1和L2的交点之间的距离。
我们可以选择L3上的一个点A，并连接A与L1和L2上的相应点B和C。
由于L3与L1和L2垂直，所以角ABC是直角。
根据直角三角形的性质，我们可以得知三角形ABC是一个直角三角形。
接下来，我们可以利用三角形ABC的性质来求解平行线L1和L2之间的距离。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：AB² + BC² = AC²由于我们已知L1和L2是平行线，所以AB和BC之间的距离是相等的。
我们可以将AB和BC之间的距离表示为d，即d²。
因此，上述关系式可以重新写成以下形式：d² + d² = AC²化简上述方程，我们可以得到：2d² = AC²通过移项和开方运算，我们可以得到：d = √(AC²/2)因此，我们得到了平行线L1和L2之间的距离公式：d = √(AC²/2)这就是平行线的距离公式。
通过这个公式，我们可以通过已知平行线的方程来求解它们之间的距离。
我们只需要计算出交点的坐标，然后使用距离公式来求出距离。
需要注意的是，这个公式只适用于平行线之间的距离。
如果我们想要求解一条直线与一条曲线之间的最短距离，我们需要使用其他方法来解决这个问题。
总结一下，通过推导过程，我们得到了平行线的距离公式。
这个公式可以帮助我们求解平行线之间的最短距离。
通过选择一条垂直于平行线的直线，并计算出交点的坐标，我们可以使用这个公式来求解平行线之间的距离。
平行直线距离的计算公式1.平行线定义平行线是指在同一个平面上，永远不相交且方向相同或平行的直线。
平行线之间的距离是它们之间任意两点的距离。
2.垂直距离公式给定平行直线L1和L2，通过直线L1上一点P1引一条垂直于L1的线段，并与直线L2相交于点P2、垂直距离是线段P1P2的长度，表示为d。
这个垂直距离公式可以用于计算垂直于一条平行直线的另一条平行直线的距离。
3.平行线间距离公式给定平行直线L1和L2，在这两条直线上分别选择两个点P1和P2，P1与P2连成一线段。
以线段P1P2的长度d表示平行直线L1和L2之间的距离。
这个距离公式是两条平行直线之间最短距离的一种计算方法。
4.点到直线距离公式对于给定的点P和平行直线L，点到直线的距离是点P到任意一条平行直线的距离。
我们可以使用点到直线距离公式来计算。
5.直线之间距离的切割公式给定平行直线L1，L2及其间的线段AB，如果线段AB与直线L1垂直，与直线L2平行，则线段AB的长度等于直线L1和L2之间的距离。
这些是几个常用的平行直线距离计算公式。
当我们求解与平行直线有关的几何问题时，可以根据具体情况选择合适的公式来计算距离。
这些公式都可以通过几何推导、直线方程、向量等方法得到。
平行直线距离的计算是几何学中的基础问题之一、掌握这些距离计算公式可以帮助我们解决各种与平行线相关的数学和实际问题，例如计算平行线上特定点到另一条平行线的距离，计算两条平行线之间的最短距离等。
这些技能可以在工程、建筑、地理测量、几何推导和其他领域中得到应用。
总之，平行直线距离的计算公式是解决与平行线相关问题的关键。
平行线之间的距离处处相等
根据垂直与平行的定义可知，平行线之间的距离处处相等。
两条平行线间的距离是指两条平行线之间的垂直线段的长度，因为平行线之间的距离是两条平行线的垂线段的长度，所以两条平行线之间的距离处处相等。
几何中，在同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线(line)叫做平行线（parallel lines）。
平行线公理是几何中的重要概念。
欧氏几何的平行公理，可以等价的陈述为“过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”。
而其否定形式“过直线外一点没有和已知直线平行的直线”或“过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行”，则可以作为欧氏几何平行公理的替代，而演绎出独立于欧氏几何的非欧几何。
