邢台市2019届高三上学期第二次月考数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集{}{}{}1,3,5,7,9,11,1,5,5,9,11U A B ===，则()U C A B = ＝A ．φB ．{1,5,9,11}C ．{9,11}D ．{5,7,9,11}2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3312a S ==，则10a ＝A ．68B ．76C ．78D ．863．若向量a ＝（1，2），b ＝（－2，1），c ＝（3，－4），则c ＝A ．3a +bB ． 2a -bC ．2a b --D ．2a b -4．若函数(21)32log ,2sin cos ,22x x x x x ππ+⎧>⎪⎨+≤⎪⎩，则((4))f f = A ．1 B ．32 C ．2 D ．545．已知△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ．若c ＝5，sinA ＋sinB 75=sinC ，b 是a 与c 的等差中项，则C ＝A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 6．tan10°+tan35°-cos 215°+sin 215°+tan10°tan35°= A．12-B ．32C ．12 D．12+7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ，若a＝c ＝2，A ＋C ＝6π，则b ＝AB ．6C ．7D ．8 8．已知向量a ，b 满足a ＝3，b ＝2，2a b - ＝5，则b 在a 方向上的投影是A ．14B ．23C ．25D ．549．已知p ：函数y x a =-在[3,)+∞上是增函数，q ：函数lg()y x a =-在［3，＋∞）是增函数，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．在△ABC 中，11,,,23AB a AC b AM AB AN AC ==== ，BN 与CM 交于点P ，则AP = A ．1233a b + , B ．2155a b + C ．1163a b + D ．1142a b + 11．为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需把函数cos(2)4y x π=-的图象 A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移24π个单位长度 D ．向右平移24π个单位长度 12．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在m N *∈，满足228m mS S =，22212m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为A ．2B ．3C ．12D ．1313．已知函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)—f (x )＝f (1)若函数y ＝f (x ＋2)的图象关 于x ＝－2对称，且f (0)＝8，则f (99)＋f(100)＝A ．0B ．6C ．8D ．1614已知函数26()25xm f x xe m x=+-，对任意的正数x ，f (x )≥0恒成立，则m 的取值范围是A ．125[0,]4e B ．125(,]4e -∞ C ．25[0,]4e D ．25(,]4e -∞ 第Ⅱ卷二、填空题：本大題共4小题，每小题6分，共24分，将答案填在答题卡中的横线上15．已知向量a ＝（2log x ，1），b ＝（2log x ＋3，－2），若a ∥b ，则x ＝_____16．若0αβπ<<<，且312cos(),cos 513αβα-==，则cos ____β= 17．已知函数()32sin ,(0)f x x x =->，若将f (x )的极值点从小到大排列形成的数列记为 {}n a ，则___n a =18．已知1e ，2e 为不共线的单位向量，14m = ，12()n ke e k R =+∈ ，若14m n -≥ 恒成立，则1e ，2e 的夹角的最小值为_________三、解答题：本大题共5小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（10分）已知数列{}n a 为等比数列，a 1＝3，且a 2是a 1与a 3－3的等差中项（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：12111112113n n a a a a -++++<++20．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1tan 3A =，cos B =，且最长边的长度为10．（1）求角C 的大小（2）求△ABC 的面积21．（12分） 已知函数()sin()(0,0,)3f x A x A x R πωω=+>>∈的部分图象如图所示，Q ，M ，R 为该图象与x 轴的交点，点P （x p ，A ）在图象上，PR ⊥PQ ，PQ ＝（1）求函数f(x)的解析式；（2）设函数g (x )＝f (x －1)（x ∈［－2，8］），求函数g (x )的单调递增区间22．（12分）已知y ＝(x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝9x －3x ．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若函数f (x )的值域为集合A ，集合{}22220B x x x a a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围23．（12分） 已知函数1()ln (1)()f x x a a R x =+-∈．（1）讨论函数f (x )的单调性；（2）若1()a y f x x-=+“有两个零点1x 、2x （1x ＜2x ），证明：1x ＋2x ＞2。
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。
【详解】，解得，所以，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A. -18B. 9C. 18D. 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【详解】等差数列中，是函数的两个零点，，的前10项和.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。
邢台市2018～2019学年高三上学期第四次月考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}{}222,20A x x x B x Z x x ===∈-++≥，则B C A ＝A ．{}1,0,1-B ．{}1,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,1,2- 2．已知复数满足(3)(1)64z i i +-=-（为虚数单位），则的共轭复数所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限33=＝3，则2tan()3x π-=A ．5B ．5-C ．5-D ．4．已知抛物线C 1：2x ＝2py （p ＞0）的焦点为F 1，抛物线C 2：2y ＝(42)p x +的焦点为F 2，点P （x 0，12）在C 1上，且134PF =，则直线F 1F 2的斜率为 A ．12-B ．13-C ．14-D ．15- 5．设函数()5x x f x e e x -=--，则不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为A ． (3,2)-B ．(,3)(2,)-∞-+∞C ．(2,3)-D ．(,2)(3,)-∞-+∞6．执行如图所示的程序框图，若输出的S 满足1＜S ＜2，则输入的整数N 的取值范围是A ．(1,100)B ．[1,100]C ．[9,99]D ．(9,99)7．已知A 是函数()sin(2))63f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数x 1、x 2，使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则A ・12x x -的最小值为 A ．2πB ．C ．2D ．4 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为A C ．9．如图，B 是AC 上一点，分别以AB ，BC ，AC 为直径作半圆，从B 作BD⊥AC，与半圆相交于D ．AC ＝6，BD＝ A ．29 B ．13 C ．49 D ．2310．函数sin ()x xf x e=＝的部分图象大致为11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （－a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S ＝A ．4B ．8C ．．12．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，若'2()()2,(0)5f x f x f +>=，则不等式2()41xf x e -->的解集为A ．（1，+∞）B ．(-∞,0)C ．(,0)(1,)-∞+∞D ．（0，＋） 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上 13．已知向量a ＝（m ，1），b ＝（2，－1）．若向量b 与2a b -垂直，则m ＝_____。
邢台市2018～2019学年高三上学期一轮摸底考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|9}A x x =<，{}3,1,1,3B =--，则A B?A. {}1,1-B. {|33}x x -<<C. {}3,1,1,3--D. {|33}x x -＃【答案】D 【解析】 【分析】通过不等式的解法求出集合A ，然后求解并集即可．【详解】A ＝{x |x 2＜9}＝（﹣3，3），又{}3,1,1,3B =--，所以{|33}A B x x ?-＃，故选D.【点睛】本题考查二次不等式的求法，并集的运算，属于基础题． 2.设(2)(3)ai i -+的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a = A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简题目所给表达式，根据实部和虚部相等列方程，求得a 的值. 【详解】依题意()()()22i3i 63i 2i i623i a a a a a -+=-+-=++-，由于该复数的实部和虚部相等，故623a a +=-，解得1a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数实部和虚部的概念，考查方程的思想，属于基础题. 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图为A. B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据三视图，对选项逐一进行验证，由此得出正确的选项.【详解】由于主视图可知，从右上角到左下角有一条线被挡住，主视图中化成了虚线，由此排除A,C 两个选项，并且这个虚线是从右上角到左下角，由此排除D 选项.故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，突破口在于主视图的虚线对应原图的情况，属于基础题.4.若双曲线2221(0)x y a a-=>的离心率为2，则其实轴长为A.B. C.3 D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程求得b ，根据离心率和222c a b =+列方程组，解方程组求得,a c 的值，由此得到实轴2a 的值.【详解】双曲线方程知1b =，由离心率得2c a =，结合222c a b =+，解得a c =，故实轴长2a =【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，包括离心率、实轴等知识，考查了方程的思想.在题目给定的条件中，双曲线的方程a 是未知，b 给定；离心率的值给定，相当于给定ca的值；再结合双曲线中固有的条件222c a b =+，相当于两个未知数,a c ，两个方程ca以及222c a b =+，解方程可求得,a c 的值.值得注意的是，实轴长是2a 而不是a .5.若sin a a -tan()p a -=A. 2-B. 2C. -D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知等式平方后，左边除以22sin cos a a +后得到二次齐次式，再将分子分母除以cos a ，整理后求出tan a ，再利用诱导公式计算所求的结果．【详解】将sin a a -两边同时平方，则有222cos sin cos a a a a +-=3，则有22222cos sin cos sin cos a a a a a a +-+=3，由题意知cos 0a ¹，2221tan tan a a a +-\+=32210tan 2tan a a a ?+=?-,又所求()tan tan 2p a a -=-=， 故选B.【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系及诱导公式的应用，属于中档题.6.函数32()1x xf x x -=+的图像大致为A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性以及函数经过的特殊点，对选项进行排除，由此得到正确选项.【详解】由于()()321x xf x f x x -+-==-+，故函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除A,C 两个选项.1312102f 骣琪=->-琪桫，通过观察图像可知，D 选项中12x =时，函数值小于12-，故排除D 选项.综上所述，本题选B.【点睛】本小题主要考查根据函数的解析式，选择正确的函数图像.此类问题主要的解决方法是根据函数的奇偶性、单调性等等去判断，特殊点的方法也是常用的手段.属于基础题.7.11的展开式中有理项共有 A. 4项 B. 3项 C. 2项 D. 1项 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得二项展开式共有12项，要求展开式中的有理项，只要在通项335116111(2)3r rrrr T C x--+=-?中，让3356r-为整数，求解符合条件的r 即可.【详解】由题意可得二项展开式的通项3351111611111((2)3r r rr r rr r T C C x---+=-=-?根据题意可得，3356r-为整数时，展开式的项为有理项，则r ＝3，9共有2项， 故选C.【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项，找出符合条件的项数是关键．8.若x ，y 满足约束条件10326020x y x y y x Zì-+?ïï+-?ïí+?ïïÎïî，则123z x y =+的最大值为A. 15B. 30C. 632D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z ＝12x +3y 得y ＝﹣4x 13+z ，根据平移直线确定目标函数的最大值．【详解】作出x ，y 满足约束条件10326020x y x y y x Z ì-+?ïï+-?ïí+?ïïÎïî，对应的平面区域内的x ∈Z 点，如图：由z ＝12x +3y 得y ＝﹣4x 13+z ，平移直线y ＝﹣4x 13+z ，由图象可知当直线经过x=3上的点A 时，直线的截距最大，此时Z 最大， 由图形可知A （3，-32），代入z ＝12x +3y 得最大值为z ＝12×3﹣92＝632．故选：C ．【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．9.ABC D 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，a c <，且61cos 72B =，则ca= A.169 B. 32 C. 85 D. 94【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的性质和正弦定理，得到2b ac =，利用cos B 列方程，分子分母同时除以2a 可将方程变为含有c a 的式子，解方程求得ca的值. 【详解】由于sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，故2sin sin sin B A C =?，由正弦定理得2b ac =，根据余弦定理有22222221c o s 2222a c b a c a c a c B a c a c a c +-+-+===-，对222a c ac+分子分母同时除以2a 得22211161222722ca c a c ac a骣+琪琪+桫-=-=×，由于,1ca c a，故解得94c a =. 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查利用正弦定理进行边角互化，考查余弦定理的应用，还考查了化归与转化的数学思想方法.解题的思路方面，主要采用“顺序结构”的策略来求解.也就是题目给定三个数成等比数列，那么利用等比中项的性质列出方程，由于是涉及三角形的问题，故考虑用正弦定理进行转化.然后题目给了一个角的余弦值，那么考虑用余弦定理表示出来，再转化为题目所要求的形式即可求解出结果，这个是分层推进，步步为营的方法.10.已知点(,)M x y 是抛物线24y x =A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】A （3，1）和F （1，0）与在抛物线24y x =上的动点P 的距离之和，利用抛物线的定义将到F 的距离转到到准线的距离即可求解.示A （3，1）和F （1，0）与在抛物线24y x =上的动点P 的距离之和，又F （1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点P 到F （1，0）的距离等于到x=-1的距离，\只需要过A 作x=-1的垂线交抛物线于P ，交准线于M ，则AM=4即为所求. 故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了两点之间的距离公式，属于基础题． 11.将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8p个单位长度后，得到()g x 的图像，若函数()y g x w =在[,]124p p-上单调递减，则正数w 的最大值为 A.12 B. 1 C. 32 D. 23【答案】A 【解析】 【分析】先化简()f x 的表达式，平移后得到()g x 的解析式，再求出()g x w 的解析式，然后利用()g x w 的单调减区间列不等式组，求得w 的取值范围，进而求得正数w 的最大值.【详解】依题意，()2221cos 21cos 21cos 23cos 42224x x x xf x 骣骣-+++琪琪=+==琪琪桫桫，向左平移π8个单位长度得到31π31π31cos 4cos 4sin 444844244x x x 轾骣骣犏琪琪++=++=-琪琪犏桫桫臌.故()()31sin 444g x x w w =-，下面求函数的减区间：由ππ2π42π22k x k w -+＃+，由于0w >故上式可化为ππππ8282k k x ww-++＃，由于函数()g x w 在,124p p 轾-犏犏臌上单调递减，故πππ8212πππ824k k w wì-+ïï?ïïíï+ïï³ïî，解得362122kk w w ì?ïïíï?ïî，所以当0k =时，12w =为正数w 的最大值.故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数图像变化的知识，考查三角函数的单调区间的求法，综合性较强，需要较强的运算能力.44sin cos x x +是不能够直接合并起来的，需要通过运用降次公式两次，才能化简为()sin A x B w j++的形式.求解三角函数单调区间时，要注意A 是正数还是负数.12.已知函数1,0()3,0x e x f x x ax x -ìï>=íï+?ïî，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a的取值范围是（ ）A. (,1)-?B. (0,)+?C. (0,1)D. (1,)+? 【答案】C 【解析】 【分析】设()t f x =，则()2f t =充分利用函数()f x 的图象，分类讨论ａ的取值情况，得到a 的取值范围．【详解】当0x >时，()1x e f x x-=，()()121'x e x f x x --=，当01x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减；当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增， 故()()min11f xf ==.当0x £时，()3f x ax =+的图像恒过点()0,3， 当0,0a x＃时，()()03f x f ?；当0,0a x >?时，()()03f x f ?.()()()2g x ff x =-有5个零点，即方程()()2f f x =有5个解，设()t f x =，则()2f t =.结合图像可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根()1,0t ??，()20,1t Î，()31,3t Î（∵()2323e f =>，∴313t <<），于是()1f x t =有1个解，()2f x t =有1个解，()3f x t =有3个解，共有5个解. 由32ax +=，得1x a =-，再由13ax a +=-，得2314x a a=--<-，∵0a >，∴01a <<. 而当0a £时，结合图像可知，方程()()2ff x =不可能有5个解.故选：C【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b 满足1a =，2b =，210a b -=，则a b ?__________．【答案】74【解析】 【分析】将210a b -=两边平方，化简后可求得a b ×的值. 【详解】对210a b -=两边平方得()2210a b -=，224410a a b b -?=，即2144210a b -??，解得74a b?. 【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的求解，属于基础题.解决方法是对已知条件两边平方后，代入已知向量模的条件，解方程组可求得a b ×的值.14.小周公司的班车早上7点到达A 地，停留15分钟.小周在6:50至7:45之间到达A 地搭乘班车，且到达A 地的时刻是随机的，则他能赶上公司班车的概率为__________．【答案】511【解析】 【分析】时间总长度为55分钟，其中能赶上班车的时间有25分钟，利用几何概型求得相应的概率.【详解】依题意，从6:50至7:45之间一共有55分钟，其中7点15之前能赶上班车，故能赶上班车的时间有25分钟，由几何概型的概率计算公式得2555511=，即他能赶上公司班车的概率为511. 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查实际生活中的概率问题，属于基础题.15.已知ln 20.6931»，ln 3 1.0986»，则ln 72的近似数为__________．（结果精确到0.001） 【答案】4.277 【解析】 【分析】利用对数的运算将ln72化简为3ln22ln3+，将ln2ln3、的值代入即可得出． 【详解】ln72ln8ln93ln22ln330.69312 1.0986=+=+=?? 4.2765»4.277， 故答案为4.277.【点睛】本题考查了对数的加减运算，考查了计算能力，属于基础题．16.已知正四棱锥S ABCD -的底面边长和高均为3，K ，P 分别是棱SC ，SA 上一点，且满足13SK SC =，23SP SA =，过PK 做平面与线段SB ，SD 分别交于M ，N ，则四棱锥S PMKN -的体积的最小值为__________． 【答案】89【解析】 【分析】 设SM SB =x ，SN SD =y ，借用三棱锥体积比例的性质得到xy=29(x+y)，再将S PMKN V -中的x 、y 统一用x 来表示，求导求得最值.【详解】引用三棱锥体积比例的性质：当D 、E 、F 分别在侧棱SA 、SB 、SC 上时，有S DEF S ABC V V --=SD SE SFSA SB SC成立， 设SM SB =x ，SN SD =y ，又S-ABCD 的体积133393创?， 12S PMKN S ABCD V V --\=S PMK S ABC V V --+S PNK S ADC V V --=S PMN S MKNS ABD S BCD V V SP SM SK SP SN SK SP SM SNV V SA SB SC SA SD SC SA SB SD----+?=+21x 33SM SK SN SB SC SD Þ+2133y =21xy xy 33+，\xy=29(x+y)，\y=2199222S PMKN S PMKN S ABCD V V x x V ---\=-，=29(x+y)=2 9(x+292x x -)， 即S PMKN V -=92 29(x+292x x -)= x+292x x -，求导得299x 492x x --（）（），所以当x=49时S PMKN V -最小为89. 故答案为8.9【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间体积比问题为平面中线段的比例问题，属于难题.三、 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列{}n a 是等差数列，且2116n a n a +=+，4567885a a a a a ++++=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n b a n n -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =-；（2）(31)21n n nn +++ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式将已知条件用a 1，d 来表示，求出a 1＝2，d ＝3，由此能求出数列{n a }的通项a n ．（2）由b n 11311n n n =-+-+，利用分组求和及裂项求和法能求出数列{b n }的前n 项和． 【详解】（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d ．∵2116n a n a +=+，∴316a a =+，又456786585a a a a a a ++++==， ∴126,517,d a d ì=ïí+=ïî解得12,3,a d ì=ïí=ïî∴()23131n a n n =+-=-. （2）∵111n n b a n n -=-+， ∴11311n b n n n =-+-+， ∴()2311112223n n n T +-=+-+- 111n n ++-+ ()311121n n n +=+-+ ()3121n n nn +=++ 【点睛】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分组求和及裂项求和法的合理运用．18.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ^平面ABC ，且2PAAB BC ===，AC =（1）证明：三棱锥P ABC -为鳖臑；（2）若D 为棱PB 的中点，求二面角D AC P --的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑（nào）是指四面皆为直角三角形的三棱锥.【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】【分析】（1）由条件已经知道ABC PAB D D 、，PAC D 均为直角三角形，只需证PBC D 为直角三角形即可得证.（2）利用空间向量求得两个面的法向量，求得cos ,m n 即可.【详解】（1）∵2AB BC ==，AC =222AB BC AC +=，∴AB BC ^，ABC D 为直角三角形.∵PA ^平面ABC ，∴PA BC ^，PA AB ^，PAB D ，PAC D 均为直角三角形.∵AB PA A ?，∴BC ^平面PAB .又PB Ì平面PAB ，∴BC PB ^，PBC D 为直角三角形.故三棱锥P ABC -为鳖臑.（2）解：以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()1,0,1D ， 则()1,0,1AD =-，()2,2,0AC =-.设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =，则0,220,n AD x z n AC x y ì?-+=ïí?-+=ïî 令1x =，则()1,1,1n =. 易知平面PAC 的一个法向量为()1,1,0m =，则cos ,m n 由图可知二面角D AC P --为锐角，则二面角D AC P --的余弦值为3. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四面体是否为鳖臑的判断与求法，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查空间向量的应用，是中档题． 19.2018年中秋季到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量（单位：g ）进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求？（3）由频率分布直方图可以认为，该销售范围内消费者的月饼购买量Z 服从正态分布2(,)N ms ，其中样本平均数x 作为m 的估计值，样本标准差s 作为s 的估计值，设X 表示从该销售范围内的消费者中随机抽取10名，其月饼购买量位于(781,1635)g g 的人数，求X 的数学期望.附：经计算得427s ，若随机变量Z 服从正态分布2(,)N ms ，则()0.6827P Z m s m s -<<+=，(22)0.9545P Z m s m s -<<+=.【答案】（1）0.001a =；（2）12.08；（3）6.827【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中的面积和为1，直接求解.（2）由频率分布直方图直接计算人均月饼购买量.（3）利用二项分布的性质求解．【详解】（1）由(0.00020.00055a ++ 0.00050.00025)4001++?，得0.001a =.（2）由频率分布直方图可得人均月饼购买量为(4000.00028000.00055??12000.00116000.0005+?? 20000.00025)4001208g +创=，所以2012085%1208创=万克=12.08吨.即该超市应准备12.08吨月饼恰好能满足市场需求.（3）由（2）知1208m =，427s =，计算得1208427781m s -=-=，12084271635m s +=+=， 所以(7811635)0.6827P Z <<=.由题知()10,0.6827X B ~，所以100.6826 6.827EX =?.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数的计算，考查二项分布中期望的求法，是中档题．20.在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，且过点(，若C 的两焦点与其中一个顶点能构成一个等边三角形.（1）求C 的方程.（2）已知过O 的两条直线1l ，2l （斜率都存在）与C 的右半部分（y 轴右侧）分别相交于A ，B 两点，且AOB D的面积为OA ，OB 的斜率之积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22186x y +=；（2）34- 【解析】【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．（2）设OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k .联立直线OA 与椭圆方程，求得OA 及点B 到直线OA 的距离，表示出AOB D 的面积，平方化简后得到关于1k ，2k 的二次方程，解得12k k .【详解】（1）由题意可知tan60b c =?，即b ，又222a b c =+，得224a c =.把(代入C 的方程得22431a b +=，又224a c =，解得22c =， 从而28a =，26b =，故C 的方程为22186x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k . 联立方程组122,1,86y k x x y ì=ïíï+=ïî，得21212434x k =+， 同理得22222434x k =+，则1OA x =.因为点B 到直线OA的距离d =所以AOB D 的面积为12S OA d =?==， 则222221216||34x k k S k -=+ 22122126||24123434k k k k -=?++， 整理得()22212121216249430k k k k k k ++=+=，即1234k k =-，故1l ，2l 的斜率之积为定值，且定值为34-. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，以及三角形面积问题，考查了椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于中档题.21.设函数3()2ln f x ax ax x x =--.（1）若()0f x ³，求a 的值；（2）若1()1x xf x e ->-对(1,)x ??恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1a =；（2）[1,]+?【解析】【分析】（1）()22ln g x ax a x =--，对a 分类求得()g x 的单调性，进而求得最小值，让最小值0³，解得a 的值.（2）原不等式等价于f （x ）110x xe --+>在()1,x ??上恒成立，又因为()10m =，所以只需()m x ¢在1x =处大于等于0，求得a 的范围，再去证明1a ³时不等式成立即可.【详解】（1）由题意，()0f x ³等价于22ln 0ax a x --?，令()22ln g x ax a x =--，()22222ax g x ax x x =¢-=-，0x >. ①当0a £时，2220ax -<，()0g x ¢<，()g x 在()0,+?上单调递减，而()10g =，所以不符合题意. ②当0a >时，()2a x x g x x 骣骣琪琪-琪琪桫桫¢=，当x 骣琪Î琪桫时，()0g x ¢<；当x ??时，()0g x ¢>. 故()g x在骣琪琪桫上单调递减，在+?上单调递增， 所以()min 1ln g x g a a==-+， 令()1ln h a a a =-+，()111a h a a a¢-=-+=，当()0,1a Î时，()0h a ¢>； 当()1,a ??时，()0h a ¢<，所以()()max 10h a h ==，即()0h a £，因为()0g x ³，所以()()min0g x h a =?，而()0h a £，所以1a =. （2）原不等式等价于312ln 10x x ax ax x x e ----+>在()1,x ??上恒成立， 即21112ln 0x ax a x x e ----+>在()1,x ??上恒成立，令()21112ln x m x ax a x x e -=---+， 只需()0m x >在()1,x ??上恒成立即可.又因为()10m =，所以()m x ¢在1x =处必大于等于0.令()()12212x F x m x ax e x x-=+-¢=-，由()10m ¢³，可得1a ³. 当1a ³时，()123222x F x a e x x -=+-+¢ ()31123321222x x x x e e x x x--+-?-+=+. 因为()1,x ??，所以310x x +->，又10x e ->，故()F x ¢在1a ³时恒大于0. 所以当1a ³时，()F x 在()1,x ??上单调递增.所以()()1220F x F a >=-?，故()m x 也在()1,x ??上单调递增.所以()()10m x m >=，即()m x 在()1,x ??上恒大于0.综上，a 的取值范围为[]1,+?. 【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值及其函数的最值问题，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2121x t y t ì=+ïí=-ïî（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为224cos 2sin m m rr q r q =+-.（1） 求C 和M 的直角坐标方程； （2）若C 与M 恰有4个公共点，求m 的取值范围.【答案】（1）2y x =-，22(2)()4x y m -+-=；（2）【解析】【分析】（1）利用代入消元法消去t ，得到C 的直角坐标方程.利用直角坐标和极坐标相互转化的公式求得曲线M 的直角坐标方程.（2）先利用点到直线的距离公式，求得,C M 相切时m 的值，再求得,C M 有三个公共点时m 的值，进而求得,C M 有4个公共点时m 的取值范围.【详解】（1）由21212y t t =-=+-，得2y x =-，故C 的直角坐标方程为2y x =-.由224cos 2sin m m r r q r q =+-，得22242x y x my m +=+-，故M 的直角坐标方程为()()2224x y m -+-=.（2）当C 和M 相切时，圆M 的圆心到直线2y x =-的距离2d ==，且0m >，则m =当C 与M 恰有3个公共点时，2m =.故当C 与M 恰有4个公共点时，m 的取值范围为(2,. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为直角坐标方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题.23.设函数2()333f x x a x a =-+-+.（1）当2a =-时，求不等式()0f x <的解集；（2）若()17f x >，求a 的取值范围.【答案】（1）53(,)62；（2）(,5)(4,)-???【解析】【分析】（1）当2a =-时，利用零点分段法去绝对值，将()f x 表示成分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式求得()f x 的最小值，令这个最小值大于17，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）当2a =-时，()34332f x x x =-+--= 56,141,13469,3x x x x x ìï-?ïïï-<<íïïï-?ïî， 故不等式()0f x <的解集为53,62骣琪琪桫. （2）∵()2333f x x a x a =-+-+ ()()223333x a x a a a ?--+=-+. ∴2|317a a -+， 则2317a a ->-或2317a a -<-+，解得5a <-或4a >，故a 的取值范围为()(),54,-???.【点睛】本小题主要考查不含参数的绝对值不等式的解法，也考查了含有参数的绝对值不等式的解法.属于中档题.。
