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数字图像处理方法第五章图像复原和重建

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《数图》第5章 图像复原

《数图》第5章 图像复原

点扩展函数（ 点扩展函数（PSF ）
3.图像降质实例 图像降质实例
（1）孔径衍射造成的图像降质 ）
物平面上的点光源（二维冲激函数） 物平面上的点光源（二维冲激函数） 物平面上场景＝ 物平面上场景＝众多点光源的集合 像平面上的光斑（系统冲激响应） 像平面上的光斑（系统冲激响应） 像平面上图像＝众多光斑的集合。 像平面上图像＝众多光斑的集合。
2 2
(5.12)
惠更斯-菲涅尔原理 光学成像的惠更斯 菲涅尔原理：对于相干光， 光学成像的惠更斯 菲涅尔原理：对于相干光， 点扩展函数在幅值上就是光瞳函数的二维傅立叶变换。 点扩展函数在幅值上就是光瞳函数的二维傅立叶变换。即： (5.13) j 2π ( xξ + yη)]dξ dη λd2
ξ λ d2
Digital Image Processing
6
考虑加性噪声n(x , y)： 考虑加性噪声 ：
g( x, y) = ∫∫ f (α, β )h( x −α, y − β )dαd β + n( x, y) = f ( x, y) ∗ h( x, y) + n(x, y) (5.7)
−∞ +∞
对应的频率域表达式： 对应的频率域表达式：
(a) 原始图像
(b) 运动造成的模糊图像
(c) 复原后的图像
图5.4 相对运动造成的图像模糊及其复原
Digital Image Processing 13
在一平面内运动， 设：物体 f(x,y) 在一平面内运动， 是物体在x方向的位移 是物体在y方向的位移 x0(t)是物体在 方向的位移，y0(t)是物体在 方向的位移，t 表示运动的时间； 是物体在 方向的位移， 是物体在 方向的位移， 表示运动的时间； 感光单元的总曝光量是在快门打开到关闭这段曝光时间T 内的积分。 感光单元的总曝光量是在快门打开到关闭这段曝光时间 内的积分。 曝光成像后的降质图像为： 曝光成像后的降质图像为：

图像复原与重建

图像复原与重建

图像退化的数学模型 1.线性位移不变成像系统图像退化模型
g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)
g(x,y)—退化图像
f(x,y)--理想图像
h(x,y)--点扩散函数
n(x,y)
n(x,y)--加性噪声
f(x,y)
第五章 图像复原与重建
H
降质系统 12
g(x,y)
2020年9月19日11时43分
第五章 图像复原与重建
h(i)
1 ,if L
L 2
i
L 2
0,
其他
(3). 大气湍流造成的图像降质
这种模糊经常出现在遥感和航空摄影中，由于曝光 时间过长引起的模糊可用高斯点扩散函数来表示：
h(i,
j)
K
exp(
i2
2
j2
2
)
式中K是一个归一化常数，保证模糊的大小为单位 值，σ2可以决定模糊的程度。
找退化原因→建立退化模型→反向推演→ 恢复图像
可见，图像复原主要取决于对图像退化过程 的先验知识所掌握的精确程度，体现在建立的退 化模型是否合适。
4
图像复原和图像增强的区别： 图像增强不考虑图像是如何退化的，而 是试图采用各种技术来增强图像的视觉效果 。因此，图像增强可以不顾增强后的图像是 否失真，只要看得舒服就行。 而图像复原就完全不同，需知道图像退 化的机制和过程等先验知识，据此找出一种 相应的逆处理方法，从而得到复原的图像。 如果图像已退化，应先作复原处理，再 作增强处理。 二者的目的都是为了改善图像的质量。
像，其方法是添加零。即：
f (x, y) fe (x, y) 0
0 x A 1 0 y B 1
其它

数字图像处理课件 第5章：图象恢复

数字图像处理课件 第5章：图象恢复

g e ( m, n )
M 1 N 1 i 0 j 0
f (i , j ) h ( m i , n j ) ( m , n )
e e e
该退化模型也称为变形退化模型，见图 5.1.3 所示，其中 表示循环卷积。
ηe(m,n)
fe(m,n)

he(m,n)
变形退化模型
2013-7-29
Digital Image Processing
第13页
5.2
常见退化函数及其辨识方法

退化函数h(m,n)的先验知识：
(1) h(m,n)是确定性并且非负的。
(2) h(m,n)具有有限支持域。 (3) 退化过程并不损失图像的能量,即
h(m,n) = 1。
m n
2013-7-29
2013-7-29
Digital Image Processing
第5页
5.1

退化模型
图像退化的一般模型 图像的退化过程一般都看作是噪声的污染过程，而且假定 噪声是加性白噪声，这时退化后的图像为
g ( x, y) H [ f ( x, y)] ( x, y)
可理解为综合所有退化因素的函数。此时图像的退化模型 如图5.1.1所示。 (x, y)
( m, n ) ; e ( m, n ) ; 0
2013-7-29
0 m A 1且0 n B 1 A m M 1或B n N 1
第7页
Digital Image Processing
5.1
退化模型
0 m A 1且0 n B 1 g ( m, n ) ; g e ( m, n ) ; A m M 1或B n N 1 0 所以线性时不变系统的离散退化模型为：

5-第五章数字图像恢复1、2

5-第五章数字图像恢复1、2
在频域上： G(u, v) F(u, v)H (u, v) N(u, v)
图像恢复实际上就是已知g(x，y)求f(x，y)的问题，或者已知
G(u,v)求F(u,v)。关键是求解冲激响应函数h(x,y),一般来说， H(u,v)比较容易获得。
采用线性位移不变系统模型的原由：
1）由于许多种退化都可以用线性位移不变模型来 近似，这样线性系统中的许多数学工具如线性 代数，能用于求解图像恢复问题，从而使运算 方法简捷和快速。
此时输出：
M 1
ge (x) fe (x) he (x) fe (m)he (x m) m0
x 0,1,K M 1
上式写成矩阵的形式：
g=Hf
用矩阵表示为
g(0) he (0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
g (1)
he (1)
he (1) L he (0) L
g(2) he (2)
M
M
假设： 1. H是线性的
H k1 f1 x, y k2 f2 x, y k1H[ f1 x, y] k2H[ f2 x, y]
2. H 是空间（或移位）不变的。如果系统的输入输出
关系满足 g(x, y) H[ f x, y] ，则对于任意的 f(x,y)，a 和 b 都有下列关系：
he (1) L M
g(M 1) he (M 1) he (M 2) L
he (M 1) fe (0)
he
(M
2)
fe (1)
he
(M M
3)
fe (2) M
he (0) fe (M 1)
M×M阶矩阵H可写为 根据he (x)的周期性 he (x)=he (x M )
二维离散退化模型

5-第五章-图像恢复

5-第五章-图像恢复

(5.8)
可以看出，矩阵H是一个循环矩阵(circulant matrix)。
5.1.3
2.
离散退化模型
二维离散退化模型(2D degradation model)
设f(x,y)具有A×B个均匀采样值，h(x,y)具有C×D
个均匀采样值，并把它们都周期性地延拓(periodic
extension)成M×N个样本。即有：
J ( f ) g Hf
（5.16）
பைடு நூலகம்
也即求退化后的实际图像g与退化图像 Hfˆ的估值的模(范 数)平方。这显然是典型的最小二乘方最佳估值问题。
5.2.1
1.
基于最小二乘方的代数恢复方法
无约束的最小二乘方恢复(续1)
ˆ求偏导数，也即令： 对上式中原图像f的估值 f
ˆ) J( f ˆ ( g Hf ˆ ˆ f f
5.2.1
2.
基于最小二乘方的代数恢复方法
有约束的最小二乘方恢复
有约束的最小二乘方恢复方法需要知道噪声的模平
2 2 方 n ,可以证明， n 能用噪声的均值 e n 和方差 n
表示为：
n
2
2 ( M 1)( N 1) en2 n


（5.20）
可见，有约束的最小二乘方恢复方法只需要知道噪 声的均值和方差。
设f(x)是具有A个均匀采样值的一维离散函数， h(x)为具有C个均匀采样值的系统脉冲响应，g(x)是
系统的输出函数。
当利用卷积计算时，由A个样本表示的函数与由 C个样本表示的另一个函数进行卷积将得到A+C-1个 样本序列。
5.1.3
1.
离散退化模型
一维离散退化模型（续1）

数字图像处理图像复原.

数字图像处理图像复原.

复
式中N(u,v)是噪声n(x,y)的傅立叶变换。
原
这种方法要求噪声的类型及表达式为可知，因为噪声是
简 一个随机函数，它的傅立叶变换未知。所以即使知道退化函
介 数，也不能准确地复原未退化的图像（F(u,v)的傅立叶反变
换）。
由上式，如果H(u,v)在u,v平面上取零或很小，就会带来 计算上的困难。另一方面，噪声还会带来更严重的问题， N(u,v)/H(u,v)会使恢复结果与预期的结果有很大差距。
(2)
像
假设h(x,y)为已知的，现在观察到了g(x,y)。在没有噪声
复 的情况下，因以上两式成立，则为了复原出没有退化的图
原 像f(x,y)，只需用
简 介
Fˆ (u, v) G(u, v) H (u, v)
(3)
来计算原始图像的傅立叶变换的估计，并进行傅立叶逆变
换即可。
fˆ ( x, y) 1[F (u, v)] 此方法称为逆滤波方法。
复 原
关于原点对称的形式出现
简 √ 如果陷波滤波器位于原点处，则以它本身形式
介 出现
5.5.3 陷波滤波器
第 五 章 图 像 复 原 简 介
5.5.3 陷波滤波器
第
五 1. 理想陷波带阻滤波器
章 图 像 复 原 简 介
5.5.3 陷波滤波器
第
五 2. 巴特沃思陷波带阻滤波器
章
图
像
复
原
简 介
3. 高斯陷波带阻滤波器
像
复
原 简
√ 周期噪声可以通过频率域滤波显著减少
介
5.4 空间域滤波复原（唯一退化是 噪声）
第 五 章
图 像 复 原 简 介
5.4 空间域滤波复原（唯一退化是
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大气
图像
流的
运动
扰动
造成
效应 的模 数字图像处理方法第五章图像复原和重
建
糊
背景知识
几何畸变
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
背景知识
运动模糊
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
背景知识
图像复原是试图利用退化过 程的先验知识去除已退化的 图像的退化因素，尽可能恢 复图像本来面目的技术。
g ex ,y fe(m ,n )h e(x m ,y n )ex ,y
m 0 n 0
向量矩阵形式为
gHfn
其中，H为MN×MN的矩阵。
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复 频域恢复 几何校正
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
图像退化/复原过程的模型
图像复原的关键在于建立图像退化模型, 反映图像退化原因 通常将成像系统作为线性位移不变系统，点扩散函数用h （x，y）表示，获取退化图像为g（x，y），建立系统退
化模型如下：
退化函数 H
复原滤波
F(u) f(x)ej2uxdx
退化
复原
λ为常数系数（拉格朗日系数），γ为1/ λ 指定不同Q，得到不同复原图像
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
约束最小二乘复原
能量约束 Q=I
I表示单位矩阵
解得最佳复原解为
fˆ(H'HI)1H'g
物理意义为在约束条件下复原图像能量 | | fˆ | |2 最小
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
约束最小二乘复原
平滑约束
Q描述图像平滑程度，对应一个二阶平
滑算子，如拉普拉斯算子，则
0 1 0
Q C 1
4
1
0 1 0
约束条件为应用各点二阶导数的平方
和最小， C fˆ 2 其值越小f越平滑。
最佳复原解为
fˆ(H 'HC'C )1H 'g
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
约束最小二乘复原
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
逆滤波
原 始 图 像 的 傅 立 叶 变 换 估 计 F ˆ( u ,v ):
Fˆ(u,v)G(u,v)+N(u,v) H(u,v)
F(u,v) N(u,v) H(u,v)
做傅里叶反变换得复原图像
f ˆ ( x , y ) f ( x , y ) N ( u , v ) H 1 ( u , v ) e j 2 ( u x v y ) d u d v
思路：即找出退化的原因,分 析引起退化的环境因素,建立 相应的数学模型,并沿着使图 像降质的逆过程恢复图像。
过程: 找退化原因→建立退化模型 →反向推演→恢复图像。
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
背景知识
与图像增强技术比较：
➢ 同：改善图像质量
➢ 异：图像增强技术不考虑图像退化原因，通 过基本探索性各种技术过程增强图像，一般
无噪声退化模型 g x ,y f( x ,y ) * h ( x ,y )
有噪声退化模型 g x ,y f ( x ,y ) * h ( x ,y ) n 重 建
离散图像退化模型
对图像和点扩散函数均匀采样，得到离散的退 化模型：
M 1 N 1
均方误差最小约束（维纳滤波） 将f和n视为随机变量，令
QRf 1/2Rn1/2
Rf，Rn分别为信号和噪声的协方差矩阵。
使Q fˆ 最小，解得最佳复原为
fˆ (H 'H R f-1 R n) 1H 'g
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复 频域恢复 几何校正
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
逆滤波
对于线性位移不变系统，进行傅里叶变换后表 现为频率域图像
G ( u ,v ) F ( u ,v ) H ( u ,v ) N ( u ,v )
无噪声理想情况下
G(u,v)F(u,v)H(u,v) 则F(u,v)G(u,v)/H(u,v)
1/H(u，v)称为逆滤波器
第五章 图像复原与重建
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复(选) 频域恢复(选) 几何校正
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
背景知识
光学 系统 的像 差
摄影 胶片 的非 线性
传感 器非 线性 畸变
产生原因
光学 系统 中的 衍射
几何 畸变
➢ 定义准则函数为关于f的估计最小的问题
J(fˆ)||gHfˆ||2
➢ 求极f 值ˆ 可( 得H 'H ) 1 H 'g H 1 H ' 1 H 'g H 1 g
频率域则表现为两者乘积。 频率域去卷积公式 Fˆ(u,v) G(u,v)
H(u,v)
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
约束最小二乘复原
退化图像中噪声问题：在H(u,v)为零或很小，N(u,v)/H(u,v) 会变得很大，会对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，使 估计图像与原图像差别很大
粗放型 要借助人的视觉系统的特性，以取得看起来 好的视觉结果；
图像复原则认为图像是在某种情况下退化
严谨型
或恶化，需要根据相应的退化模型和知识重 建，恢复原始的图像。通常会涉及到设立一
个最佳的准则,它将会产生期望的最佳估计。
退化图像处理：先复原再增强
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复 频域恢复 几何校正
图像复原过程
图像复原过程相当于设计一个滤波器，使 其能从退化图像中复原出真实图像的估值 ，这种估值根据预定的最佳准则，具有最 优的性质。
代数恢复法讨论均方误差最小意义下，图 像的最佳估计
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
无约束复原
准则函数
➢ 退化模型的噪声项为 ngHf
➢ 使噪声范数尽可能小，即使||n||2||gHfˆ||2最小
当H为奇异的，会导致无约束复原问题的病态
性，因此需要在恢复过程中施加某种约束，即
约束复原。
约束最小二乘复原问题是使形式为
Q
fˆ
2
的函数
，在约束条件|| gHfˆ ||2 = n2 时最小
准则函数 J (f ˆ) ||Q f ˆ||2 ||g H f ˆ||2 ||n ||2
求极小值得 fˆ(H 'H Q 'Q ) 1H 'g