2019年北京中考数学习题精选：函数初步(含平面直角坐标系)(含答案)

一、选择题1. （2018北京东城区一模）当函数()212y x =--的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是A ．x ＞0B ．x ＜1C ．1x ＞D ．x 为任意实数 答案B2、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+- 答案：C3、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为（﹣2，3）、 （1，3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为(A) －1 (B) －3 (C) －5 (D) －7答案：C4、（20183的顶点坐标是 A.（-2,3） B.） 答案：B5、（20182个单位，再向下平移3个单位，可以A.2(5+=x y 3+ C.2(5+=x y 3- 答案：D6、（2018北京东城第一学期期末）3．若要得到函数()21+2y x =+的图象，只需将函数2y x =的图象A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 答案：BxyNMB A OP7、（2018北京东城第一学期期末）已知函数2-y x bx c =++，其中00b c ＞，＜，此函数的图象可以是答案：D 8、（2018北京房山区第一学期检测）已知点（-1，2）在二次函数2y ax =的图象上，那么a 的值是A ．1B ．2C ．12D ．12-答案：B9、（2018北京丰台区第一学期期末）将抛物线y = x 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+D ．()22y x =-答案：A10、（2018北京丰台区第一学期期末）已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x … 1- 0 1 2 3 … y…31-m3…①抛物线2y ax bx c =++的开口向下；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-； ③方程20ax bx c ++=的根为0和2； ④当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2. 其中正确的是 A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．③④答案：D11、（2018年北京海淀区第一学期期末）1．抛物线()212y x =-+的对称轴是 A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =答案：B12.（2018北京怀柔区第一学期期末）2.若将抛物线y = －12x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是A ．2)3(212-+-=x y B ．2)3(212---=x y C ．2)3(2-+=x y D. 2)3(212++-=x y答案：A13.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）2．将抛物线y = x 2的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么新图象的表达式是 A ．()23y x =- B ．()23y x =+C ．23y x =-D ．23y x =+ 答案：D14.（2018北京密云区初三（上）期末）2. 将抛物线2y x =先向左平移2个单位再向下平移1个单位，得到新抛物线的表达式是A. 2(2)1y x =++ B. 2(2)1y x =+- C. 2(2)1y x =-+ D. 2(2)1y x =-- 答案：B15.（2018北京密云区初三（上）期末）8. 已知抛物线2y ax bx c =++（x 为任意实数）经过下图中两点M （1，2）、N （m ，0），其中M 为抛物线的顶点，N 为定点.下列结论：①若方程20ax bx c ++=的两根为12,x x （12x x <），则1210,23x x -<<<<；②当x m <时，函数值y 随自变量x 的减小而减小.③0a >，0b <，0c >.④垂直于y 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，其C 、D 两点的横坐标分别为s 、，则s t +=2 . 其中正确的是A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④答案：B16.（2018北京平谷区第一学期期末）3．下列各点在函数21y x =-+图象上的是 （A ）（0,0） （B ）（1,1） （C ）（0,﹣1） （D ）（1,0） 答案：D17.（2018北京石景山区第一学期期末）5．如果在二次函数的表达式c bx ax y ++=2中，0>a ，0<b ，0<c ，那么这个二次 函数的图象可能是xy Ox y Oxy O xyO（A ） （B ） （C ） （D ）答案：C18.（2018北京石景山区第一学期期末）6．若二次函数m x x y ++=22的图象与坐标轴有3个交点，则m 的取值范围是（A ）1>m（B ）1<m（C ）1>m 且0≠m （D ）1<m 且0≠m答案：D19.（2018北京石景山区第一学期期末）7．如图，将函数()12312+-=x y 的图象沿y 轴向上平移得 到新函数图象，其中原函数图象上的两点),1(m A 、),4(n B 平移后对应新函数图象上的点分别为点'A 、'B ．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为 （A ）()22312+-=x y （B ）()32312+-=x y （C ）()12312--=x y （D ）()32312--=x y答案：B20.（2018北京顺义区初三上学期期末）5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是1x =-， 则这个二次函数的表达式为A. 223y x x =-++ B. 223y x x =++C. 223y x x =-+- D. 223y x x =--+答案：D21.（2018北京通州区第一学期期末）5. 二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，ac b 42-=∆，则下列四个选项正确的是（ ）A ．0<b ，0<c ，0>∆B ．0>b ，0<c ，0>∆C ．0>b ，0<c ，0>∆D ．0<b ，0>c ，0<∆ 答案：A22.（2018北京西城区第一学期期末）3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. A .(4,5)-，开口向上 B .(4,5)-，开口向下 C .(4,5)--，开口向上 D .(4,5)--，开口向下 答案：A23.（2018北京西城区第一学期期末）6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A. m ≤4 B .<4m C . m ≥4- D .>4m - 答案：C24.（2018北京西城区第一学期期末）8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =， 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）． A ．4- B ．2- C ．1 D ． 3答案：B二、填空题25、（2018北京东城区二模）抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.答案：()1,1m --26．（2018北京燕山地区一模）写出经过点（0，0），（-2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可） 答案：x x y 22+=27.（2018北京市朝阳区一模）抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为 ． 答案（3，-4）28.（2018北京市大兴区检测）请写出一个开口向下，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y= ．答案答案不唯一，如221y x x =-+-；29.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）抛物线2y x bx c =++经过点A （0，3），B （2，3），抛物线的对称轴为 ． 答案：直线x=130.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，双曲线xk y =与抛物线c bx ax y ++=2交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），由图象可得不等式组c bx ax xk++<<20的解集为 .答案： x 2<x < x 331.（2018北京大兴第一学期期末）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0，2)的抛物线的表达式：_________．答案： 22y x =+.（答案不唯一）32.（2018北京大兴第一学期期末）若函数231y ax x =++的图象与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是．答案： a ＜94且a ≠0. 33.（2018北京东城第一学期期末）若抛物线22y x x c =++与x 轴没有交点，写出一个满足条件的c 的值： . 答案：答案不唯一，1c ＞即可34.（2018北京东城第一学期期末）已知函数2-2-3y x x =，当-1x a ≤≤时，函数的最小值是-4，则实数a 的取值范围是 . 答案： 1a ≥35.（2018北京房山区第一学期检测）请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0， 1）的抛物线的表达式：_______． 答案：36.（2018北京房山区第一学期检测）如图，抛物线y ax =2和直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的根为 .答案：37、（2018北京房山区第一学期检测）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠ 的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为 2188423x -+-⨯⨯=，2288423x ---⨯⨯=. 则此二次函数图象的对称轴为 .答案：x=-238.（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为 ．答案：（2-，0）39.（2018北京怀柔区第一学期期末）抛物线y =2(x +1)2+3 的顶点坐标是 . 答案：(﹣1，3)40.（2018北京怀柔区第一学期期末）把二次函数y =x 2-4x +5化成y=a (x -h )2+k 的形式为__________________． 答案：y =(x -2)2+141.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）二次函数2351y x x =++－的图象开口方向__________. 答案：向下42.（2018北京密云区初三（上）期末）抛物线223y x x =-+的对称轴方程是____________________. 答案：1x =43.（2018北京平谷区第一学期期末）关于x 的二次函数221y ax ax a =-+-（a ＞0）的图象与x 轴的交点情况是 ．答案：有两个不同交点44.（2018北京平谷区第一学期期末）将二次函数223y x x =-+化为()2y x h k =-+的形式，则h = ，k = ．答案：1；245.（2018北京顺义区初三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2122y x x =++可以看作是抛物线2221y x x =---经过若干次图形的变化（平移、翻折、旋转）得到的，写出一种由抛物线y 2得到抛物线y 1的过程： ． 答案：略46.（2018北京通州区第一学期期末）请你写出一个顶点在x 轴上的二次函数表达式 . 答案：y=x 2(答案不唯一)47.（2018北京通州区第一学期期末）二次函数c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，由图象可知，不等式02<++-c bx x 的解集为___________________.答案：x ＜-1或x ＞548.（2018北京西城区第一学期期末）抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 . 答案：（0，3）49.（2018北京西城区第一学期期末）如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .答案：-1＜x ＜250.（2018北京西城区第一学期期末）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .答案：②④51.（2018北京西城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .答案：答案不唯一，例如，将抛物线23(2)1y x =+-先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+52.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … 4- 3- 2- 1- 01 2 … y…50 3-4-3-5…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象． 解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1-，4-）．………………………………… 1分设二次函数的解析式为：2(1)4y a x =+-………………2分 把点（0，3）代入2(1)4y a x =+-得1a = ∴2(1)4y x =+-…………………………………3分（2）如图所示 ……………………………………………………… 5分53.（2018北京大兴第一学期期末）已知二次函数y = x 2 ＋4x +3.（1）用配方法将y = x 2 ＋4x +3化成2()=-+y a x h k 的形式；xy –1–2–3–4123–1–2–3–4123O（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图象.解：（1）342++=x x y1442-++=x x2(2)1x =+-…………………………… 2分（2………………. 5分54.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 顶点为C 点． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）若∠ACB =45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2），与直线AB 交于点N （x 3，y 3），若x 3<x 1<x 2，结合函数的图象，直接写出x 1+x 2+x 3的取值范围为 .y=x 2+4x+3x=-2y-2-154321-5-4-3-2-1321Oxy –1–2–3–4–512345–1–212345O解：（1）∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为,3-（0）；…………………… 1分 ∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)的对称轴为直线1x =，∴点B 的坐标为,0（1）．…………………… 2分 （2）∵∠ACB =45°，∴点C 的坐标为,4-（1），…………………… 3分把点C 代入抛物线y=mx 2－2mx －3 得出1m =，∴抛物线的解析式为y=x 2－2x －3． …………………… 4分 （3）123523x x x <++< ……………………6分 55.（2018北京大兴第一学期期末）已知一次函数1112=-y x ，二次函数224=-+y x mx （其中m ＞4）． （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若5=m ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时自变量x 的取值范围内有 且只有一个整数，直接写出m 的取值范围．解：（1）∵224y x mx =-+，∴二次函数图象的顶点坐标为2(,4)24m m -+………………………………………………2分 （2）①当5m =时，2254y x x =-+．…………………………………………………………… 4分 如图, 因为10y >且2y ≤0，由图象,得 2＜x ≤4． ……………………………………………… 5分 ②133≤m ＜5 …………………………………………………7分56.（2018北京东城第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2﹣2mx+n （m ≠0）与x轴交于点A, B ，点A 的坐标为（02-，）． （1）写出抛物线的对称轴； （2）直线n m x y -4-21=过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ． ①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l 1: y=x+a 和l 2 : y=-x+ b 组成图形G .当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围.解：（1）抛物线的对称轴为直线1x =；………………2分 （2）根据抛物线的对称性，∵点A (-2，0) ， ∴ ()4,0B ．①抛物线过点A ，直线n m x y -4-21=过点B ， 可得440,14402m m n m n ++=⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得1,24.m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线的表达式是122y x =-，抛物线的表达式2142y x x =-++．………………5分 ②1532t -≤≤． ………………7分57.（2018北京房山区第一学期检测）下表是二次函数2y ax bx c =++的部分x ，y 的对应值： x… 1-12-12 132 252 3 … y…2141-74-2-74-1-142…（2）当抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x n =+的下方时，n 的取值范围 是 ．答案：58.（2018北京丰台区第一学期期末）已知二次函数y = x 2 - 4x + 3． （1）用配方法将y = x 2 - 4x + 3化成y = a (x - h )2 + k 的形式； （2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象； （3）当0≤x ≤3时，y 的取值范围是 .解：（1）2444+3y x x =-+-()221x =--. ……2分（2）如图： ….3分 （3）13y -≤≤ ….5分59.（2018北京丰台区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BC -AC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.解：（1）1,242 3.bb c ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分 其他方法相应给分.554444123123321213xOyx =2y =x 2-4x +354411231213xO y（3）点Q 的坐标为（12,2-）或（12,2-）．……7分60.（2018年北京海淀区第一学期期末）已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值； （3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．解：（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分61.（2018北京怀柔区第一学期期末）一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … -4-3 -2-1 01 2 3 4… y…25- 023 223 0m-6221-…xy11O (1)求这个二次函数的表达式； (2)求m 的值；(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (4)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围.解：(1)设这个二次函数的表达式为2()y a x h k =-+.依题意可知，顶点为（-1，2），………………………1分 ∴ ()212++=x a y .∵图象过点（1，0）， ∴()21102++=a .∴12a =-. ∴这个二次函数的表达式为()21212++-=x y ………2分 (2)25-=m .………………………………………………3分 (3)如图…………………………………………………………………………………………5分 (4)x <-3或x >1..…………………………………………………………………………………6分 62.（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l :n x y +-=2与抛物线3242---=m mx mx y 相交于点A （2-,7）.(1)求m 、n 的值；(2)过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ，设抛物线 与x 轴交于点C 、D (点C 在点D 的左侧)，求△BCD 的面积；(3)点E （t ,0）为x 轴上一个动点，过点E 作平行于y 轴的直线与直线l 和抛物线分别交于点P 、Q .当点P 在点Q 上方时，求线段PQ 的最大值.解：(1)m =1………………………………………………………………………1分n =3………………………………………………………………………………………………2分 (2)由(1)知抛物线表达式为y =x 2-4x -5 令y =0得，x 2-4x -5=0.解得x 1=-1，x 2=5，……………………………………………………………………………3分∴抛物线y =x 2-4x -5与x 轴得两个交点C 、D 的坐标分别为C (-1，0)，D (5，0) ∴CD =6.∵A (2-,7)，AB ∥x 轴交抛物线于点B ，根据抛物线的轴对称性，可知B (6，7)………4分∴S △BCD =21.……………………………………………………………………………………5分(3) 据题意，可知P (t ，-2 t +3)，Q ( t ，t 2-4 t -5),由x 2-4x -5=-2x +3得直线y =-2x +3与抛物线y = x 2-4x -5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5) ……………………………………………………………………………………………6分 ∵点P 在点Q 上方∴-2＜t ＜5, ∴PQ = -t 2+2 t +8=-( t -2) 2+9 ∵a =-1∴PQ 的最大值为9.……………………………………………………………………………7分63.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）已知二次函数2(1)1(0)y kx k x k =+++≠． （1）求证：无论k 取任何实数时，该函数图象与x 轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x 轴交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 值. 答案：（1）证明：令y =0，可得2(1)10kx k x +++=∵11a k b k c ==+=，， ∴△=221k k -+……………………………1分=2(1)k - ………………………………………………2分 ∵2(1)0k -≥∴此二次函数的图象与x 轴总有交点．………………………………3分（2）解：令y =0，得2(1)10kx k x +++=解得 x 1=1(1)12k k k k --+-=-，x 2=1(1)12k k k----=-………………4分∵k 为整数，解为整数∴1k =±. ……………………………………5分64.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象如图所示．（1）求二次函数的表达式；（2）函数图象上有两点1(,)P x y ，2(,)Q x y ，且满足12x x <，结合函数图象回答问题； ①当3y =时，直接写出21x x -的值； ②当213x x -2≤≤，求y 的取值范围.答案：（1）选择坐标代入正确 ………………………………………………1分 得出表达式243y x x =-+………………………………………………3分（2）找到位置画出示意图 ① 214x x -= ………………………………………………4分②由图象易得当y=0时212x x -=由于该函数图象的对称轴为2x =， 1(,)P x y ，2(,)Q x y ，在对称轴左右两侧对称分布，所以两点到对称轴的距离相等 所以，当213x x -=时即PQ =3 ∴MP = MN －PN =31222-=………………………………………………5分 ∴112x =代入243y x x =-+，解得54y =………………………………………6分 综上所述：504y ≤≤………………………………………7分y 12345–112345–1O y12345–112345–1O65.（2018北京密云区初三（上）期末）已知二次函数2y x bx c =++图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表:（1）求二次函数的表达式.（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y<0 时自变量x 的取值范围.解:（1）由已知可知，二次函数经过（0，3），（1，0）则有22003110b c b c ⎧+⨯+=⎪⎨+⨯+=⎪⎩ …………………………………………..2分 解得：34c b =⎧⎨=-⎩……………………………………………3分（2） 13x << …………………………………………………………………………5分（其中画出二次函数示意图给1分）66.（2018北京密云区初三（上）期末）已知抛物线:221(0)y mx mx m m =-++≠. （1）求抛物线的顶点坐标.（2）若直线1l 经过（2，0）点且与x 轴垂直，直线2l 经过抛物线的顶点与坐标原点，且1l 与2l 的交点P在抛物线上.求抛物线的表达式. （3）已知点A （0，2），点A 关于x 轴的对称点为点B.抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象写出m 的取值范围.x … 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 0 … yx-5-4-3-154321-5-4-3-2-15432-2O 1y x-154321-5-4-3-2-15432O1答案： （1）解：将221y mx mx m =-++ 配方得 2(1)1y m x =-+∴ 抛物线的顶点坐标为（1，1）. ………………..3分 （2）由已知，2l 的表达式为y x =，1l 的表达式为2x = ∴交点(2,2)P代入221y mx mx m =-++，解得1m = . …………….5分 （3）当抛物线过（0，2）时，解得1m =结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB 恰有一个公共点，则 01m <≤当抛物线过（0，-2），解得3m =-结合图象可知，当抛物线开口向下且和线段AB 恰有一个公共点，则 30m -≤<综上所述，m 的取值范围是 01m <≤ 或30m -≤< ………….7分67.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，函数2y x bx c =-++的图象经过点A ，B ，C ． （1）求b ，c 的值；（2）画出这个函数的图象．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣1,0），B （0,3），∴10,3 .b c c --+=⎧⎨=⎩ ． (2)解得23b c =⎧⎨=⎩． (4)（2）图略． (5)68.（2018北京平谷区第一学期期末）已知函数22y x mx =-的顶点为点D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）求函数22y x mx =-的图象与x 轴的交点坐标；（3）若函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围． 解：（1）22y x mx =-()22x m m =-- ............................................................................................. 1 ∴D （m ,2m -）． ................................................................................................ 2 （2）令y =0，得220x mx -=． 解得1202x ,x m ==．∴函数的图象与x 轴的交点坐标（0,0）,（2m ,0）． (4)（3）方法一：∵函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，∴顶点D 在直线y=m 的上方． ......................................................................... 5 ∴2m -＞m ． ........................................................................................................ 6 即2m m +＜0．由y =2m m -的图象可知，m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． ...................... 7 方法二：∵函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，∴22x mx -＞m ． ............................................................................................... 5 ∴当22x mx -=m 时，抛物线和直线有唯一交点．∴()()2=24m m ∆---=2440m m += ．解得120,1m m ==-． ................................................................................... 6 ∴m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． .. (7)69.（2018北京石景山区第一学期期末）用配方法求二次函数3102+-=x x y 的顶点坐标．答案： 解：3102+-=x x y325-52102++-=x x22-）5（2-=x ………………………………………………… 4分∴顶点坐标是)22,5(-．.…………………………………………… 5分70.（2018北京石景山区第一学期期末）次函数m mx x y 522+-=的图象经过点)2,1(-． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）当14≤≤-x 时，求y 的取值范围．解：（1）∵二次函数m mx x y 522+-=的图象经过点(1,-2). ∴m m 5212+-=-解得1-=m .………………………………………………………1分 ∴二次函数的表达式522-+=x x y∴二次函数的对称轴为：直线-1=x ． (2)分（2）二次函数的表达式6-）1（5222+=-+=x x x y . 当-1=x 时，-6最小=y ， …………………………………………3分当1=x 时，2-=y ， 当-4=x 时，3=y ，∴14≤≤-x 时，y 的取值范围是36≤≤-y . (5)分71.（2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线n mx x y ++-=2经过点)0,1(-A 和)3,0(B .（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x 轴的正半轴交于点C ，连接BC ．设抛物线的顶点P 关于直线t y =的对称点为点Q ，若点Q 落在△OBC 的内部，求t 的取值范围．解：（1）∵抛物线n mx x y ++-=2过点)01(，-A 和)30(，B . ∴⎩⎨⎧==+--301n n m解得：2=m∴抛物线的表达式为：322++-=x x y …………………………3分（2）∵抛物线322++-=x x y∴抛物线的顶点)41(，P ，对称轴为直线1=x 令0=y 得：0322=++-x x ， 解得：3,121=-=x x ∴ 点C 的坐标为)03(，∵直线BC 经过点)30(，B 和C )03(， ∴3+-=x y BCxyAC Bt 2=3t 1=2M 2M 1PO∴直线1=x 与直线BC 的交点为)21(1，M 、与x 轴的交点)01(2，M 如图所示∴2<t <3 ……………………………………………………………7分72.（2018北京顺义区初三上学期期末）已知二次函数243y x x =-+．（1）在网格中，画出该函数的图象． （2）（1）中图象与x 轴的交点记为A ，B ，若该图象上存在一点C ，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标．答案：（1）…………………………….……….,…….2分（2）令y =0，代入243y x x =-+，则x =1，3，∴A （0，1），B （0，3），∴AB =2，……….……….,.………………..…….….3分∵△ABC 的面积为3，∴AB 为底的高为3，令y =3，代入243y x x =-+，则x =0，4，∴C （0，3）或（4，3）．…………….……….,…………………….….……….5分（各1分） 73.（2018北京顺义区初三上学期期末）28．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线219y x bx =+经过点A （-3，4）．（1）求b 的值；（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，在直线AB 上任取一点P ，作点A 关于直线OP 的对称点C ；①当点C 恰巧落在x 轴时，求直线OP 的表达式； ②连结BC ，求BC 的最小值． 答案：28． （1）∵抛物线219y x bx =+经过点A （-3，4） 令x =-3，代入219y x bx =+，则()14939b =⨯+⨯-，∴b =-3．………………………………………………………………………....2分（2）①…………………………………….....3分由对称性可知OA =OC ，AP =CP ， ∵AP ∥OC ，∴∠1=∠2，又∵∠AOP =∠2，∴∠AOP =∠1， ∴AP =AO ， ∵A （-3，4），∴AO =5，∴AP =5， ∴P 1（2，4），同理可得P 2（-8，4），∴O P 的表达式为2y x =或12y x =-． ………………………………….5分（各1分）…………………………………….....6分②以O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，连接BO ，交⊙O 于点C ∵B （12，4），∴OB =410， ∴BC 的最小值为4105-． ………………………….7分74.（2018北京通州区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()0122>+-=a ax ax y 的对称轴为b x =．点()m A ,2-在直线3+-=x y 上.（1）求m ，b 的值； （2）若点()23，D在二次函数()0122>+-=a ax ax y 上，求a 的值；（3）当二次函数()0122>+-=a ax ax y 与直线3+-=x y 相交于两点时，设左侧的交点为()11,y x P ，若131-<<-x ，求a 的取值范围．答案：75.（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：抛物线顶点坐标 与x 轴交点坐标 与y 轴交点坐标22y x x =-+(1,1)(0,0)（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间 距离的多少倍．答案：76.（2018北京西城区第一学期期末）已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）． （1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物 线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ． 答案：x… － 2 － 10 1 2 … y…－ 4 － 48…77.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）抛物线 y=ax 2+bx+c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如下表：（1）根据上表填空：①抛物线与 x 轴的交点坐标是 和；②抛物线经过点 ( － 3，)；（2）试确定抛物线 y=ax 2+bx+c 的解析式． 答案：x … －2 －1 0 1 2 … y…－4－48…① (－2，0) 和 (1，0) ……………………..…………….2′ ； ②抛物线经过点 (－3，8)； ……………………..…………….3′ （2）试确定抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式．设抛物线y=a （x+2）（x-1）将（0，-4）带入得 a=2 ……………………..…………….4′ 抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式是y=2（x+2）（x-1）=2x 2+2x -4 ……………………..…………….5′78.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）在平面直 角坐标系 xOy 中，反比例函数k y x=的图象经过点 A(1，4)，B(m ，n)．（1）求反比例函数k y x=的解析式；（2）若二次函数 y ＝ (x － 1)2 的图象经过点 B ，求代数式的值； （3）若反比例函数ky x=的图象与二次函数 y ＝ a(x － 1)2 的图象只有一个交点，且该交 点在直线 y ＝ x 的下方，结合函数图象，求 a 的取值范围．解：(1)将A(1，4)代入函数y ＝kx．k=4反比例函数y ＝kx 的解析式是xy 4= ……………………..…………….1′(2)二次函数y ＝(x －1)2的图象经过点 B(m ，n)， ∴nm =-2)1( 即122-=-n m m又B(m ，n)在反比例函数y ＝kx 上，∴mn=4,454)1(4)32(143222-=+---=+---mn n m m mn mn n m m ……………………..…………….4′(3)由反比例函数的解析式为y ＝4x .令y ＝x ，可得x 2＝4，解得x ＝±2.∴反比例函数y ＝4x 的图象与直线y＝x 交于点(2，2)，(－2，－2)．如图，当二次函数y ＝a(x －1)2的图象经过点(2，2)时，可得a ＝2；当二次函数y ＝a(x －1)2的图象经过点(－2，－2)时，可得a ＝－29.∵二次函数y ＝a(x －1)2图象的顶点为(1，0)，∴由图象可知，符合题意的a 的取值范围是0<a<2或a<－29.……………………..…………….7′79.（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P （m ，n ）是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①在0a >的条件下，当22m -≤≤时，n 的取值范围是45n -≤≤，求抛物线的表达式；②若D 点坐标（4，0），当PD AD >时，求a 的取值范围. 答案.解：（1）把0y = 代入二次函数得：2(23)0a x x --=即(3)(1)0a x x -+= ∴123,1x x ==- ∵点A 在点B 的左侧，∴(1,0)A -，(3,0)B ………………………………2分 （2）①抛物线的对称轴为直线：21ax a-=-=； 由题意二次函数的顶点为(1,4)-，…………………………………3分 代入解析式，可得1a =抛物线的解析式为223y x x =--……………………………………………………4分 ②∵D 点坐标（4，0），PD x ⊥轴∴点P 的横坐标为4，代入223y ax ax a =--得5y a =……………………………………………5分 ∵D 点坐标（4，0），A 点坐标（1-，0） ∴5AD = ∵PD AD >∴1a >……………………………………6分80.（2018北京朝阳区二模）已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ．（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；（2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为211，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤ x 1 ≤ t +1，当x 2≥3时，均有y 1 ≥ y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．答案：（1）x =1 …………………………………………………………………………1分（2）解：∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x =1，-1≤x ≤5，∴当x =5时，y 的值最大，即M （5，211）. ……………………………3分把M （5，211）代入y =ax 2－2ax －2，解得a =21. …………………………4分∴该二次函数的表达式为y =2212--x x .当x =1时，y ＝25-，∴N （1，25-）. ……………………………………………………5分（3）－1≤t ≤2. ………………………………………………………………7分81.（2018北京东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．解：（1）把点(10)-，和(45)，分别代入23(0)y ax bx a =+-≠，得 0--35164-3a b a b =⎧⎨=+⎩，，解得12a b ==-，． ∴抛物线的表达式为223y x x =--． -------------------------------------------------------------2分（2）设点()45B ，关于x 轴的对称点为B '，则点B '的坐标为()45，-.∴直线AB 关于x 轴的对称直线为直线AB '. 设直线AB '的表达式为y mx n =+， 把点(10)-，和(45)-，分别代入y mx n =+，得054m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，，解得11m n =-=-，．∴直线AB '的表达式为1y x =--．即直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式为1y x =--. --------------------------------------4分（3）如图，直线AB '与抛物线223y x x =--交于点C .设直线l 与直线AB '的交点为N '， 则 'PN PN =． ∵PM PN <， ∴'PM PN <.∴点M 在线段'NN 上（不含端点）．∴点M 在抛物线223y x x =--夹在点C 与点B 之间的部分上．联立223y x x =--与1y x =--，可求得点C 的横坐标为2． 又点B 的横坐标为4，∴点P 的横坐标P x 的取值范围为24P x <<． --------------------------------------------------7分82.（2018北京房山区二模）在平面直角坐标系x O y 中，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过A（0，4），B （2，0），C （－2，0）三点. （1）求二次函数的表达式；（2）在x 轴上有一点D （－4，0），将二次函数的图象沿射线DA 方向平移，使图象再次经过点B .①求平移后图象顶点E 的坐标；②直接写出此二次函数的图象在A ，B 两点之间（含A ，B 两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.解:（1）∵A （0，4），B （2，0），C （－2，0） ∴二次函数的图象的顶点为A （0，4） ∴设二次函数表达式为24y ax =+ 将B （2，0）代入，得44=0a + 解得，1a =-∴二次函数表达式24y x =-+ ……………………………………2′ （2）①设直线DA ：()0y kx b k =+≠ 将A （0，4），D （－4，0）代入，得yxO440b k b =⎧⎨-+=⎩解得，14k b =⎧⎨=⎩∴直线D A : 4y x =+……………………………………………………3分 由题意可知，平移后的抛物线的顶点E 在直线DA 上 ∴设顶点E （m ，m +4）∴平移后的抛物线表达式为()24y x m m =--++ 又∵平移后的抛物线过点B （2，0） ∴将其代入得，()224=0m m --++解得，15m =，20m =（不合题意，舍去）∴顶点E （5，9）…………………………………………………………5分 ② 30.………………………………………………………………………………7分83.（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y = x 2 - 4x + 2m - 1与x 轴交于点A ，B .（点A 在点B 的左侧）（1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大整数时，求点A 、点B 的坐标．解：（1）∵抛物线y =x 2-4x +2m -1与x 轴有两个交点，令y =0.∴x 2-4x +2m -1=0. ∵ 与x 轴有两个交点， ∴方程有两个不等的实数根. ∴Δ>0.即Δ=(-4)2-4•(2m -1)>0∴m <2.5. ………………………2分 （2） ∵m <2.5，且m 取最大整数，∴m =2. ………………………3分 当m =2时，抛物线y =x 2-4x +2m -1= x 2-4x +3. 令y =0，得x 2-4x +3=0，解得x 1 = 1，x 2=3.∴抛物线与x 轴两个交点的坐标为A （1，0），B （3，0）. ……………5分84.（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y x hx h =-+的图象的顶点为点D ．（1）当1h =-时，求点D 的坐标； （2）当≤≤11x -≤≤≤时，求函数的最小值m ．（用含h 的代数式表示m ）解：（1）∵抛物线22y x hx h =-+=（x -h ）2+h -h 2，∴顶点D 的坐标为（h ，h -h 2），∴当h =-1时，点D 的坐标是（-1，-2）． …………3分（2）当x =-1时，y = 3h+1，当x =1时，y =-h+1． …………4分4411231213xOy432432① 当h <-1时，函数的最小值m = 3h+1 …………5分 ② 当-1≤h ≤1时，，函数的最小值m = h -h 2 …………6分 ③ 当h >1时，，函数的最小值m =-h+1 …………7分85.（2018北京西城区二模） 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.解：如图8.（1）.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线 241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得.解得 . ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分 （3）。

2021年中考数学一轮复习(通用版)第09章平面直角坐标系与函数初步考点梳理考点一平面直角坐标系及点的坐标1．平面直角坐标系(1)在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，就建立了平面直角坐标系．其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取为正方向；两轴的交点为原点．(2)坐标平面内点与有序实数对建立的关系，即坐标平面内的任何一点可以用一对有序实数来表示；反过来，每一对有序实数都表示坐标平面内的一点．2．点的坐标(1)各象限内点的坐标的符号特征. 如图所示．①点P(x，y)在第一象限①x>0，y>0；①点P(x，y)在第二象限①；①点P(x，y)在第三象限①；①点P(x，y)在第四象限①；①坐标轴不属于任何象限．(2)坐标轴上点的坐标特征①点P(x，y)在x轴上①y＝0；①点P(x，y)在y轴上①＝0；①原点的坐标为．(3)各象限角平分线上点的坐标特征①点P(x，y)在第一、三象限角平分线上①x＝y；①点P(x，y)在第二、四象限角平分线上①.(4)对称点的坐标特征①点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；①点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为；①点P(x，y)关于原点对称的点的坐标为.(5)平行于坐标轴的点的坐标特征①平行于x轴，纵坐标都，直线上两点A(x1，y)，B(x2，y)的距离为|x1－x2|；①平行于y轴，横坐标都，直线上两点A(x，y1)，B(x，y2)的距离为|y1－y2|.(6)点平移的坐标特征(7)①点P(a，b)到x轴的距离为|b|；①点P(a，b)到y轴的距离为；①点P(a，b)到原点的距离为①.考点二函数的概念及其表示方法1．函数及相关概念(1)变量与常数：在一个变化过程中，可以变化的量，是变量；保持不变的量，是常量．(2)函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，且对于x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．(3)函数值：对于一个函数，取自变量x在允许范围内的一个确定值，代入函数表达式求得的函数y的值，就叫做函数值．2．函数的表示方法(1)列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数的方法叫做列表法．(2)解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法．其中的等式叫做函数表达式(或函数解析式或函数关系式)．(3)图象法：用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫做图象法．①函数的图象：对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形就是这个函数的图象．①画函数图象的步骤：列表、描点、连线．3．函数自变量取值范围重难点讲解考点一点的坐标与图形的变化规律方法指导：点的坐标在变换中的规律：(1)平移：左右平移时横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移时纵坐标上加下减，横坐标不变；(2)关于坐标轴对称，与其同名的坐标不变，另一个坐标变为相反数；(3)关于原点对称，其坐标互为相反数；(4)点(x，y)关于原点顺时针旋转90°后的点坐标为(y，－x)，点(x，y)关于原点逆时针旋转90°后的点坐标为(－y，x)．经典例题1 (2020•安徽宿州模拟)已知点M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第四象限内，则点M 的坐标为()A．(2，3) B．(2，－3) C．(3，2) D．不能确定【解析】M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第四象限内，则点M的坐标为(2，－3).【答案】B考点二函数图象的分析与判断方法指导：根据函数的图象分析实际意义：要读懂图象的意义，就要会析图、用图．在解答过程中，要弄清楚图象的横、纵坐标表示的意义，函数图象上的点的意义，图象的变化趋势、变化快慢等，特别地，若是问题在整体过程中分为几个阶段，则其对应的图象也应分段分析，注意特殊点，如起点、终点、交点、转折点等的实际意义．经典例题2 (2020•湖南衡阳模拟)如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B 出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y与x 的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是()图1 图2A．20B．24C．48D．60【解析】如图2所示，当OP⊥BC时，BP＝CP＝4，OP＝3，所以AB＝2OP＝6，BC＝2BP＝8，所以矩形ABCD的面积＝6×8＝48．【解析】C过关演练1. (2020•湖南长沙模拟)点P在第二象限内，若P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标为()A．(－4，3) B．(－3，－4) C．(－3，4) D．(3，－4)2. (2020·安徽阜阳模拟)如果m是任意实数，则点P(m－4，m－1)一定不在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. (2020•湖南邵阳中考)已知a＋b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是()A．(a，b) B．(﹣a，b) C．(﹣a，﹣b) D．(a，﹣b)4．(2020•山东滨州中考)在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为()A．(﹣4，5) B．(﹣5，4) C．(4，﹣5) D．(5，﹣4)5．(2020•四川甘孜州中考)函数y＝13x中，自变量x的取值范围是()A．x＞﹣3 B．x＜3 C．x≠﹣3 D．x≠36．(2020•江苏无锡中考)函数y＝2＋31x-中自变量x的取值范围是()A．x≥2 B．x≥13C．x≤13D．x≠137．(2020•四川遂宁中考)函数y中，自变量x的取值范围是()A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠18．(2020·河北模拟)如图所示，两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系；①甲的速度比乙快1.5米/秒；①乙的起跑点在甲的前方12米处；①8秒钟后，甲超过了乙其中正确的说法是()A．①① B．①①① C．①① D．①①①9．(2020·安徽模拟)小明、小刚兄弟俩的家离学校的距离是5km.一天，兄弟俩同时从家里出发到学校上学，小刚以匀速跑步到学校；小明骑自行车出发，骑行一段路程后，因自行车故障，修车耽误了一些时间，然后以比出发时更快的速度赶往学校，结果比小刚早一点到了学校．下列能正确反映两人离家的距离y(米)与时间x(小时)之间的函数关系的图象是()A BC D10．(2020·江苏徐州一模)已知A，B两地相距1000米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，若甲行走的速度为100米/分钟，乙行走的速度为150米/分钟，且两人同时出发，相向而行，则两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数图象是()A BC D11．(2020•安徽淮南模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠B＝60°，点E在边BC上(与B，C不重合)EF ∥AC，交AB于点F，记BE＝x，△DEF的面积为S，则S关于x的函数图象是()A B C D 12．(2020•四川州模拟)小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S(km)与所花时间t(min)间的函数关系；下列说法：①他步行了1km到校车站台；①他步行的速度是100m/min；①他在校车站台等了6min；①校车运行的速度是200m/min；其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．413. (2020•湖北黄冈中考)2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y(吨)与时间t(天)之间函数关系的大致图象是()A B C D14. (2020•青海中考)将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为图中的()A B C D 15．(2020•贵州遵义中考)新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是()A B C D 16．(2020·贵州贵阳模拟)在平面直角坐标系中，y轴的左侧有一点P(x，y)，且满足|x|＝2，y2＝9，则点P的坐标是．17．(2020·安徽铜陵模拟)若点P(a，b)在第四象限，则点M(b－a，a－b)在第象限．18．(2020·安徽合肥二模)函数y的自变量取值范围是．19．(2020•上海一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(4，3)为O上一点，B为O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标．20．(2020·河南模拟)A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回，返回途中与乙车相遇．如图是它们离A城的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象．当它们行驶7h时，两车相遇，则乙车速度的速度为．21．(2020•浙江金华中考)点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)．22．(2020•黑龙江齐齐哈尔中考)在函数y中，自变量x的取值范围是．23．(2020•上海中考)已知f(x)＝21x-，那么f(3)的值是．参考答案考点梳理考点一 1. (1)向右向上(2)一一对应 2. (1)①x<0，y>0 ①x<0，y<0 ①x>0，y<0 (2)①x ①(0，0) (3)①x＝－y (4)①(－x，y) ①(－x，－y) (5)①相等①相等(6)(x，y＋b) (x，y－b) (7)①|a|考点二 1. (2)唯一确定 3.不等于0 非负数不为0过关演练1. A解析：∵点P在第二象限内，∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0，又∵P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4可知，∴点P的横坐标是－4，纵坐标是3，即点P的坐标为(－4，3)．2. D 解析：①(m－1)－(m－4)＝m－1－m＋4＝3，①点P的纵坐标大于横坐标，①点P一定不在第四象限．3. B 解析：①a＋b＞0，ab＞0，①a＞0，b＞0．(a，b)在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故选项A不符合题意；(﹣a，b)在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故选项B符合题意；(﹣a，﹣b)在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故选项C不符合题意；(a，﹣b)在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故选项D不符合题意．4. D 解析：①在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，①点M 的纵坐标为﹣4，横坐标为5，即点M的坐标为(5，﹣4)．5. C 解析：由题意得x＋3≠0，解得x≠﹣3．6. B 解析：由题意得，3x﹣1≥0，解得x≥13．7. D 解析：根据题意，得21xx≥-⎨≠+⎧⎩，，解得x≥﹣2且x≠1．8. B9. A 解析：由题意可知，小刚匀速从家去学校，故小刚对应的函数图象是一条线段，故选项D错误；小明骑自行车先行一段路程，中途出现故障需要维修，然后以更快的速度赶往学校，比小刚早到一点到达学校，故选项B、C错误，选项A正确．10. C 解析：两人相遇时所用时间为1000÷(100＋150)＝4(分钟)，乙从B 地步行到A 地所用时间为1000÷150＝203(分钟)，则203分钟后，甲、乙两人之间距离的变化变缓，甲从A 地步行到B 地所用时间为1000÷100＝10(分钟)，由此可知选项C 能反映两人之间的距离y (米)与时间t (分钟)之间的关系．11. C 解析：∵菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∵EF ∥AC ，∴△BFE 是等边三角形，∴BE ＝BF ＝x ，∵BE ＝x ，∴S △BFE ＝12x ﹒＝x 2，∵AB ＝1，∴EC ＝AF ＝1－x ，∴S △AFD ＝S △CED ＝12(1－x )﹒＝－x ，∵S 菱形ABCD ＝12×1×＝，∴S △DFE ＝－x 2－2(－x )＝－4(x －1)2(其中0＜x ＜1)．符合此图象表达式为选项C ．12. C 解析：根据题意得：小明用了10分钟步行了1km 到校站台，即小明步行了1km 到校车站台，①正确，1000÷10＝100m/min ，即他步行的速度是100m/min ，①正确，小明在校车站台从第10min 等到第16min ，即他在校车站台等了6min ，①正确，小明用了14min 的时间坐校车，走了7km 的路程，7000÷14＝500m/min ，即校车运行的速度是500m/min ，①不正确，即正确的是①①①．13. D 解析：根据题意：时间t 与库存量y 之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．14. B 解析：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化．15. C 解析：此函数图象中，S 2先达到最大值，即兔子先到终点，故选项A 不符合题意；此函数图象中，S 2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，故选项B 不符合题意；此函数图象中，S 1，S 2同时到达终点，故选项C 符合题意；此函数图象中，S 1先达到最大值，即乌龟先到终点，故选项D 不符合题意．16. (－2，3)或(－2，－3)17. 二 解析：①点P (a ，b )在第四象限，①a ＞0，b ＜0，①b －a ＜0，a －b ＞0，①点M (b －a ，a －b )在第二象限．18. x≤2且x≠0 解析：根据题意得，2－x≥0，且x≠0，解得x≤2且x≠0.19. (2，2) 解析：连结OA，OA5，∵B为O内一点，∴符合要求的点B的坐标(2，2)答案不唯一．20. 75千米/小时解析：甲返程的速度为600÷(14－6)＝75(千米/时)，设乙车的速度为x(千米/时)，由题意得600＝7x＋75，解得x＝75.21. ﹣1(答案不唯一) 解析：①点P(m，2)在第二象限内，①m＜0，则m的值可以是﹣1．(答案不唯一)22. x≥﹣3且x≠2 解析：由题可得，3020xx+≥⎧⎨-≠⎩，，解得32xx≥-⎧⎨≠⎩，，①自变量x的取值范围是x≥﹣3且x≠2．23. 1 解析：①f(x)＝21x-，①f(3)＝231-＝1．。

2019中考数学试题分类汇编：考点13 平面直角坐标系与函数基础知识一．选择题（共31小题）1．（2019•港南区一模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．故选：B．2．（2019•东营）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，∴，解得﹣1＜m＜2．故选：C．3．（2019•扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M 的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）【分析】根据第二象限内点的坐标特征，可得答案．【解答】解：由题意，得x=﹣4，y=3，即M点的坐标是（﹣4，3），故选：C．4．（2019•金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（）A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）【分析】先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标．【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于D，∴BD=5，CD=50÷2﹣16=9，OA=OD﹣AD=40﹣30=10，∴P（9，10）；故选：C．5．（2019•呼和浩特）下列运算及判断正确的是（）#ERR1A．﹣5×÷（﹣）×5=1B．方程（x2+x﹣1）x+3=1有四个整数解C．若a×5673=103，a÷103=b，则a×b=D．有序数对（m2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限【分析】依据有理数的乘除混合运算法则、零指数幂、同底数幂的乘法法则以及点的坐标，进行判断即可得出结论．【解答】解：A．﹣5×÷（﹣）×5=﹣1×（﹣5）×5=25，故错误；B．方程（x2+x﹣1）x+3=1有四个整数解：x=1，x=﹣2，x=﹣3，x=﹣1，故正确；C．若a×5673=103，a÷103=b，则a×b=×=，故错误；D．有序数对（m2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限或第四象限或x轴正半轴上，故错误；故选：B．6．（2019•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n 次移动到A n．则△OA2A2019的面积是（）A．504m2B． m2 C． m2 D．1009m2【分析】由OA4n=2n知OA2019=+1=1009，据此得出A2A2019=1009﹣1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．【解答】解：由题意知OA4n=2n，∵2019÷4=504…2，∴OA2019=+1=1009，∴A2A2019=1009﹣1=1008，则△OA2A2019的面积是×1×1008=504m2，故选：A．7．（2019•北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④ D．①②③④【分析】由天安门的位置确定原点，再进一步得出广安门和左安门的坐标即可判断．【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论错误；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（6，﹣5），此结论错误；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：C．8．（2019•宿迁）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＜1 C．x＞1 D．x≠1【分析】根据分母不等于零分式有意义，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣1≠0，解得x≠1，故选：D．9．（2019•包头）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得x＞1．故选：D．10．（2019•重庆）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=﹣1代入y=2x+b可得答案．【解答】解：∵当x=7时，y=6﹣7=﹣1，∴当x=4时，y=2×4+b=﹣1，解得：b=﹣9，故选：C．11．（2019•通辽）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可．【解答】解：根据题意得：小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是故选：B．12．（2019•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合 B．类比 C．演绎 D．公理化【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．【解答】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．故选：A．13．（2019•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（）A．B．C．D．【分析】根据兔子的路程在一段时间内保持不变、乌龟比兔子所用时间少逐一判断即可得．【解答】解：由于兔子在图中睡觉，所以兔子的路程在一段时间内保持不变，所以D选项错误；因为乌龟最终赢得比赛，即乌龟比兔子所用时间少，所以A、C均错误；故选：B．14．（2019•金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；C、利用待定系数法求出：当x≥25时，y A与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x=35时y A的值，将其与50比较后即可得出结论C正确；D、利用待定系数法求出：当x≥50时，y B与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x=70时y B的值，将其与120比较后即可得出结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；C、设当x≥25时，y A=kx+b，将（25，30）、（55，120）代入y A=kx+b，得：，解得：，∴y A=3x﹣45（x≥25），当x=35时，y A=3x﹣45=60＞50，∴每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，结论C正确；D、设当x≥50时，y B=mx+n，将（50，50）、（55，65）代入y B=mx+n，得：，解得：，∴y B=3x﹣100（x≥50），当x=70时，y B=3x﹣100=110＜120，∴结论D错误．15．（2019•滨州）如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（）A．B．C．D．【分析】根据定义可将函数进行化简．【解答】解：当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1当0≤x＜1时，[x]=0，y=x当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣1……故选：A．16．（2019•齐齐哈尔）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是（）A．0点时气温达到最低B．最低气温是零下4℃C．0点到14点之间气温持续上升D．最高气温是8℃【分析】根据齐齐哈尔市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．【解答】解：A、由函数图象知4时气温达到最低，此选项错误；B、最低气温是零下3℃，此选项错误；C、4点到14点之间气温持续上升，此选项错误；D、最高气温是8℃，此选项正确；17．（2019•绍兴）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（）A．当x＜1时，y随x的增大而增大B．当x＜1时，y随x的增大而减小C．当x＞1时，y随x的增大而增大D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】根据函数图象和题目中的条件，可以写出各段中函数图象的变化情况，从而可以解答本题．【解答】解：由函数图象可得，当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项A正确，选项B错误，当1＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项C、D错误，故选：A．18．（2019•达州）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：由题意可知，铁块露出水面以前，F拉+F浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故选：D．19．（2019•长沙）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（）A．小明吃早餐用了25minB．小明读报用了30minC．食堂到图书馆的距离为0.8kmD．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min【分析】根据函数图象判断即可．【解答】解：小明吃早餐用了（25﹣8）=17min，A错误；小明读报用了（58﹣28）=30min，B正确；食堂到图书馆的距离为（0.8﹣0.6）=0.2km，C错误；小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min，D错误；故选：B．20．（2012•内江）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【分析】需要分类讨论：①当0≤x ≤3，即点P 在线段AB 上时，根据余弦定理知cosA=，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y 与x 的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x ≤6，即点P 在线段BC 上时，y 与x 的函数关系式是y=（6﹣x ）2=（x ﹣6）2（3＜x ≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．【解答】解：∵正△ABC 的边长为3cm ， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm ．①当0≤x ≤3时，即点P 在线段AB 上时，AP=xcm （0≤x ≤3）；根据余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x 2﹣3x+9（0≤x ≤3）； 该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C 作CD ⊥AB ，则AD=1.5cm ，CD=cm ，点P 在AB 上时，AP=x cm ，PD=|1.5﹣x|cm ，∴y=PC 2=（）2+（1.5﹣x ）2=x 2﹣3x+9（0≤x ≤3）该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x ≤6时，即点P 在线段BC 上时，PC=（6﹣x ）cm （3＜x ≤6）； 则y=（6﹣x ）2=（x ﹣6）2（3＜x ≤6）， ∴该函数的图象是在3＜x ≤6上的抛物线； 故选：C ．21．（2019•潍坊）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．【解答】解：当0≤t＜2时，S=2t××（4﹣t）=﹣t2+4t；当2≤t＜4时，S=4××（4﹣t）=﹣2t+8；只有选项D的图形符合．故选：D．22．（2019•孝感）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意表示出△PBQ 的面积S 与t 的关系式，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：PB=3﹣t ，BQ=2t ，则△PBQ 的面积S=PB•BQ=（3﹣t ）×2t=﹣t 2+3t ，故△PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下． 故选：C ．23．（2019•河南）如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．2【分析】通过分析图象，点F 从点A 到D 用as ，此时，△FBC 的面积为a ，依此可求菱形的高DE ，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE 和a ．【解答】解：过点D 作DE ⊥BC 于点E由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，△FBC 的面积为acm 2． ∴AD=a∴∴DE=2当点F 从D 到B 时，用s∴BD=Rt △DBE 中，BE=∵ABCD是菱形∴EC=a﹣1，DC=aRt△DEC中，a2=22+（a﹣1）2解得a=故选：C．24．（2019•东营）如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知： =，即EF=2（6﹣x）所以y=×2（6﹣x）x=﹣x2+6x．（0＜x＜6）该函数图象是抛物线的一部分，故选：D．25．（2019•烟台）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A出发，以lcm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据动点P和Q的运动时间和速度表示：AP=t，AQ=2t，①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，发现是开口向上的抛物线，可知：选项C、D不正确；②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项B不正确，从而得结论．【解答】解：由题意得：AP=t，AQ=2t，①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，S△APQ=AP•AQ==t2，故选项C、D不正确；②当4＜t ≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，S △APQ =AP•AB==4t ，故选项B 不正确； 故选：A ．26．（2019•广东）如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿在A→B→C→D 路径匀速运动到点D ，设△PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】设菱形的高为h ，即是一个定值，再分点P 在AB 上，在BC 上和在CD 上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【解答】解：分三种情况： ①当P 在AB 边上时，如图1， 设菱形的高为h ，y=AP•h，∵AP 随x 的增大而增大，h 不变， ∴y 随x 的增大而增大， 故选项C 不正确；②当P在边BC上时，如图2，y=AD•h，AD和h都不变，∴在这个过程中，y不变，故选项A不正确；③当P在边CD上时，如图3，y=PD•h，∵PD随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，∴P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确；故选：B．27．（2019•香坊区）如图，平行四边形ABCD的周长为12，∠A=60°，设边AB的长为x，四边形ABCD的面积为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）A． B．C．D．【分析】过点B作BE⊥AD于点E，构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得BE的长度，然后利用平行四边形的面积公式列出函数关系式，结合函数关系式找到对应的图象．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，∵∠A=60°，设边AB的长为x，∴BE=AB•sin60°=x．∵平行四边形ABCD的周长为12，∴AD=（12﹣2x）=6﹣x，∴y=AD•BE=（6﹣x）×x=﹣x2+3x（0≤x≤6）．则该函数图象是一开口向下的抛物线的一部分，观察选项，C选项符合题意．故选：C．28．（2019•广安）已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【分析】先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P 点在圆上运动时，PM总上等于半径，则可对D进行判断，从而得到正确选项．【解答】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；D选项中的封闭图形为圆，y为定中，所以D选项不正确；A选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．故选：A．29．（2019•安徽）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1．正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】当0＜x≤1时，y=2x，当1＜x≤2时，y=2，当2＜x≤3时，y=﹣2x+6，由此即可判断；【解答】解：当0＜x≤1时，y=2x，当1＜x≤2时，y=2，当2＜x≤3时，y=﹣2x+6，∴函数图象是A，故选：A．30．（2019•黄石）如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD 以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3）4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可．【解答】解：∵∠P=90°，PM=PN，∴∠PMN=∠PNM=45°，由题意得：CM=x，分三种情况：①当0≤x≤2时，如图1，边CD与PM交于点E，∵∠PMN=45°，∴△MEC是等腰直角三角形，此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC，∴y=S△EMC=CM•CE=；故选项B和D不正确；②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，∵∠N=45°，CD=2，∴CN=CD=2，∴CM=6﹣2=4，即此时x=4，当2＜x≤4时，如图3，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，过E作EF⊥MN于F，∴EF=MF=2，∴ED=CF=x﹣2，∴y=S梯形EMCD=C D•（DE+CM）==2x﹣2；③当4＜x≤6时，如图4，矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H，∴EH=MH=2，DE=CH=x﹣2，∵MN=6，CM=x，∴CG=CN=6﹣x，∴DF=DG=2﹣（6﹣x）=x﹣4，∴y=S梯形EMCD﹣S△FDG=﹣=×2×（x﹣2+x）﹣=﹣+10x﹣18，故选项A正确；故选：A．31．（2019•乌鲁木齐）如图①，在矩形ABCD中，E是AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止，速度均为每秒1个单位长度．如果点P、Q同时开始运动，设运动时间为t，△BPQ的面积为y，已知y与t的函数图象如图②所示．以下结论：①BC=10；②cos∠ABE=；③当0≤t≤10时，y=t2；④当t=12时，△BPQ是等腰三角形；⑤当14≤t≤20时，y=110﹣5t中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据题意，确定10≤t≤14，PQ的运动状态，得到BE、BC、ED问题可解．【解答】解：由图象可知，当10≤t≤14时，y值不变，则此时，Q点到C，P从E到D．∴BE=BC=10，ED=4故①正确．∴AE=6Rt△ABE中，AB=∴cos∠ABE=；故②错误当0≤t≤10时，△BPQ的面积为∴③正确；t=12时，P在点E右侧2单位，此时BP＞BE=BCPC=∴△BPQ不是等腰三角形．④错误；当14≤t≤20时，点P由D向C运动，Q在C点，△BPQ的面积为则⑤正确故选：B．二．填空题（共10小题）32．（2019•柳州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3）．【分析】直接利用平面直角坐标系得出A点坐标．【解答】解：由坐标系可得：点A的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．33．（2019•临安区）P（3，﹣4）到x轴的距离是 4 ．【分析】根据点在坐标系中坐标的几何意义即可解答．【解答】解：根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，P（3，﹣4）到x轴的距离是|﹣4|=4．故答案为：4．34．（2019•新疆）点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．故答案为：二．35．（2019•齐齐哈尔）在平面直角坐标系中，点A（，1）在射线OM上，点B（，3）在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，…，依次规律，得到Rt△B2017A2019B2019，则点B2019的纵坐标为32019．【分析】根据题意，分别找到AB、A1B1、A2B2……及 BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可【解答】解：由已知可知点A、A1、A2、A3……A2019各点在正比例函数y=的图象上点B、B1、B2、B3……B2019各点在正比例函数y=的图象上两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为：①由已知，Rt△A1B1A2，…，到Rt△B2017A2019B2019都有一个锐角为30°∴当A（B）点横坐标为时，由①AB=2，则BA1=2，则点A1横坐标为，B1点纵坐标为9=32当A1（B1）点横坐标为3时，由①A1B1=6，则B1A2=6，则点A2横坐标为，B2点纵坐标为27=33当A2（B2）点横坐标为9时，由①A2B2=18，则B2A3=18，则点A3横坐标为，B3点纵坐标为81=34依稀类推点B2019的纵坐标为32019故答案为：3201936．（2019•绵阳）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为（﹣2，﹣2）．【分析】首先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．【解答】解：“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），故答案为：（﹣2，﹣2）．37．（2019•资阳）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2019的坐标是（0，21007）．【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系．【解答】解：由已知，点A每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍∵2019=252×8+2∴点A2019的在y轴正半轴上，OA2019==21007故答案为：（0，21007）38．（2019•黑龙江）在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠0 ．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2≥0且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0．故答案为：x≥﹣2且x≠0．39．（2019•香坊区）函数y=中自变量x的取值范围是x≠﹣3 ．【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x+3≠0，解得x的范围．【解答】解：根据分式有意义的条件得：x+3≠0，解得：x≠﹣3．故答案为：x≠﹣3．40．（2019•大庆）函数y=的自变量x取值范围是x≤3 ．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：3﹣x≥0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．41．（2019•枣庄）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是12 ．【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，即BC=5，由于M是曲线部分的最低点，∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP=4，∴由勾股定理可知：PC=3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∴PA=3，∴AC=6，∴△ABC的面积为：×4×6=12故答案为：12三．解答题（共1小题）42．（2019•嘉兴）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？【分析】（1）根据图象和函数的定义可以解答本题；（2）①根据函数图象可以解答本题；②根据函数图象中的数据可以解答本题．【解答】解：（1）由图象可知，对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，∴变量h是关于t的函数；（2）①由函数图象可知，当t=0.7s时，h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m；②由图象可知，秋千摆动第一个来回需2.8s．。

中考数学二次函数的推理计算与证明综合问题【方法归纳】据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。

在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式．(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式． (可以看成的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)． 3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12c x x a⋅=ax2+bx(a>0)上．（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+ bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．【真题再现】1．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．2．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，−2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围．3．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.4．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.6．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+ bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1,x2为何值时，y1=y2=c;（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．【模拟精练】一、解答题(共30题)1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．2．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2)，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．3．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；②当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若(−4,y1)，(−2,y2)，(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+ 1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值的取值范围是−1≤y≤4−n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（－1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1<y2<y3，求a的取值范围．6．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB≤4，求a的取值范围．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当y1=y3时，求b的值；(3)当y3>y1>1>y2时，求b的取值范围．8．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t．①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；②若对于x1,x2，都有y1<y2，直接写出t的取值范围．9．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)为该抛物线上的两点，若x1=1−2a，x2=a+1，且y1>y2，求a的取值范围．10．（2022·北京密云·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2)．(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，求二次函数的解析式；(3)当a<0时，该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若满足x1=−2，y1>y2，求x2的取值范围．11．（2022·北京大兴·二模）关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0)．(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式；(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x，一次函数y3=kx+b(k≠0)，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．12．（2022·北京顺义·xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n．(1)当m=−3时，①求抛物线的对称轴；②若点A(1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2<y1，求x2的取值范围；(2)已知点P(−1,1)，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n=2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．13．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若△ABD是等腰直角三角形，求a的值；(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）已知二次函数y=ax2−4ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________；(2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．15．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．16．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<7．直接写出a2的取值范围．17．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+1与y 轴交于点A．点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+b(k≠0)经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点C(m−2,a)，D(m+2,b)在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于x1<−3时，总有k<0，求m的取值范围．18．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上．(1)当t=4时，求抛物线对称轴的表达式；(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上．①当这个函数的最小值为0时，求t的值；②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．19．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且t<x1<t+1，4−t<x2<5−t．①当t=3时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；2②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．20．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x2−2ax+ 6．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若a<−2，当−2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．21．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−(a+ 4)x+3经过点(2,m)．(1)若m=−3，①求此抛物线的对称轴；②当1<x<5时，直接写出y的取值范围；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在此抛物线上，其中x1<x2．若m>0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a=1时，求m−n的最小值；②若存在实数t，使得m−n=1，直接写出a的取值范围．23．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．24．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+ m−2（m是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；(3)如果点A(a,y1)，B(a+2,y2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1>y2，求a的取值范围．25．（2022·北京房山·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．26．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3值的取值范围．27．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D 两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．28．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点(n−2,y1)，(n−1,y2)，(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．若0<n< 1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．29．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．30．（2022·北京市第七中学一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x=a时，求y的值；②若y1=y2=0，求x1的值（用含a；(3)若对于x1+x2<−5，都有y1<y2，求a的取值范围．。

1．（2018北京海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b=-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点． （1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程； （2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．解：抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，24(2)04b a --∴=.2b a ∴=.………………1分 （1）1a =，1b ∴=.∴抛物线的解析式为221y x x =-+.①1m b ==，2211x x ∴-+=，解得10x =，22x =. ………………2分②依题意，设平移后的抛物线为2(1)y x k =-+.抛物线的对称轴是1x =，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4，∴(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点.2(31)0k ∴-+=，即4k =-.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………4分（2）16m ≥. ……6分2. （2018北京市朝阳区综合练习（一））在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .（1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.解：（1）44)2(4422---=--=a x a ax ax y ．∴A （0，－4），B （2，0）．…………………………………2分 （2）当抛物线经过点（1，0）时，34-=a ．……………………………4分 当抛物线经过点（2，0）时，1-=a ． …………………………6分 结合函数图象可知，a 的取值范围为134<≤-a ．……………………7分3．（2018北京东城区一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax axy 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分 (2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥解得2.3a ≥（ii ）当0a ＜时， 依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分4．（2018北京丰台区一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．解：（1）∵抛物线()22432y ax ax a a x a =-+=--，∴对称轴为x = 2．………………………………………1分∵抛物线最高点的纵坐标是2，∴a = -2． ………………………………………2分 ∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-. ……………3分（2）由图象可知，2b = 或-6≤b <0. ………………6分由图象的对称性可得：x 1+x 2=2． ……………… 7分。

函数操作专题东城区25. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC,点D,E 分别为BC ，AB 的中点，连接AD.在线段AD 上任取一点P,连接PB ,PE.若BC =4,AD=6，设PD=x （当点P 与点D 重合时，x 的值为0），PB+PE=y. 小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变换而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表： （说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）. （参考数据：1.414≈1.732≈， 2.236≈）(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）函数y的最小值为______________(保留一位小数)，此时点P在图1中的位置为________________________.25.解：（1）4.5 . --------------------2分（2）--------------------4分(3) 4.2，点P是AD与CE的交点. --------------------6分西城区25．如图，P为⊙O的直径AB上的一个动点，点C在»AB上，连接PC，过点A作PC的垂线交⊙O 于点Q ．已知5cm AB =，3cm AC =．设A 、P 两点间的距离为cm x ，A 、Q 两点间的距离为cm y ．BA某同学根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究． 下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题：当2AQ AP =时，AP 的长度均为__________cm ．【解析】（1）（2）如图5图5（3）2.42． 海淀区25．在研究反比例函数1y x=的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析. 首先，确定自变量x 的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y 轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y 随x 的变化趋势：当0x >时，随着x 值的增大，1x的值减小，且逐渐接近于零，随着x 值的减小，1x的值会越来越大，由此，可以大致画出1y x=在0x >时的部分图象，如图1所示：利用同样的方法，我们可以研究函数y 的图象与性质. 通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示.（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A；（画出网格区域内的部分即可）（2）观察图象，写出该函数的一条性质：____________________；（3）若关于x(1)a x=-有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数a的取值范围：__________.25．（1）如图：………………2分（2）当1x >时，y 随着x 的增大而减小；（答案不唯一） ………………4分 （3）1a ≥. ………………6分 丰台区25．如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，点D 为AB 边上的动点（点D 不与点A ，点B 重合），过点D 作ED ⊥CD 交直线AC 于点E ．已知∠A = 30°，AB = 4cm ，在点D 由点A 到点B 运动的过程中，设AD = xcm ，AE = ycm.AB CED小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在下面的平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE =12AD 时，AD 的长度约为 cm ． 25．解：（1）1.2； ………………………2分 （2）如右图； ………………………4分 （3）2.4或3.3 ………………………6分 石景山区25．如图，半圆O 的直径5cm AB =，点M 在AB 上且1cm AM =，点P 是半圆O 上的动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q .设cm PM x =，cm BQ y =.（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ 与直径AB 所夹的锐角为60 时，PM 的长度约为 cm .25.解：（1）2分 （2）………………4分（3）1.1或3.7 . ………………6分朝阳区25.如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x cm，DE=y cm （当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为cm（结果保留一位小数）．25. 解：本题答案不唯一，如：（1）………………………………………………1分（2）…………………………………………4分（3）3.5．………………………6分燕山区26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，下表是y与x的几组对应值．小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：(1)从表格中读出，当自变量是-2时，函数值是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；(3)在画出的函数图象上标出x=2时所对应的点，并写出m=(4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：____________ ．26.解：(1)当自变量是-2时，函数值是32…………………………………1′（2）如图,该函数的图象；(略) …………………………………3′(3)标出x=2时所对应的点…………………………………4′且m= …………………………………5′(4)写出该函数的性质(一条即可)：_____ ．…………………………………7′门头沟区25.在正方形ABCD中,4AB cmAC为对角线，AC上有一动点P,M是AB边的中点，连接PM、PB, 设A、P两点间的距离为xcm，PM PB长度为ycm.小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM PB 的长度最小值约为__________cm ．25.（本小题满分6分）（1）5 ……………………………………………………………………1分（2）坐标系正确 ……………………………………………………3分 描点正确 ……………………………………………………4分 连线正确 ……………………………………………………5分 （3）4.5 ……………………………………………………………………6分 大兴区25.如图，在△ABC 中，AB=4.41cm,BC=8.83cm ，P 是BC 上一动点，连接AP ，设P ，C 两点间的距离为x cm ，P ，A 两点间的距离为y cm ．（当点P 与点C 重合时，x 的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整:（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PA=PC时，PC的长度约为cm．（结果保留一位小数）25.（1）4.6 ………………………………………………………………1分（答案不唯一）（2）………………………………………………………………4分(3) 4.4 ………………………………………………………………6分（答案不唯一）平谷区25．如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．B小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：经测量m的值是（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．25．解：（1）3.0； (1)（2）如图所示； (4)（3）如图 (5)怀柔区25、如图，在等边△ABC中，BC=5cm，点D是线段BC上的一动点，连接AD，过点D作DE⊥AD，垂足为D，交射线AC与点E．设BD为x cm，CE为y cm．小聪根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小聪的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表：(说明：补全表格上相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当线段BD是线段CE长的2倍时，BD的长度约为________cm.25.(1)约1.1；………………………………………………………………………………………1分(2)如图：xy –1123456–1123456O ……………………………………………………………4分(3)约1.7. ………………………………………………………………………………………5分 延庆区25．如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=6cm ，设弦AP 的长为x cm ，△APO 的面积为y cm 2，（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0）．A B小明根据学习函数的经验，对函数y 随 自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整；（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表：那么m= ；（保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数图象．（3）结合函数图象说明，当△APO 的面积是4时，则AP 的值约为 ．（保留一位小数）25． (2)-16123454321O（画此函数图象时要体现出x约为4.2时，y有最大值，为4.5）……4分(3) 3.1或是5.1 ……6分顺义区25．如图，P是半圆弧AB上一动点，连接PA、PB，过圆心O作OC∥BP交PA于点C，连接CB．已知AB=6cm，设O，C两点间的距离为x cm，B，C两点间的距离为y cm．A小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：直接写出△OBC周长C的取值范围是．25．(1)4.6．………………………………………………………………………1分(2)……………………………………………………………………………3分(3)6＜C＜12．……………………………………………………………5分。

2019年中考怎么考自检自查必考点知识点一平面直角坐标系（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．（2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，在表示横轴，纵轴的字母后附上单位．知识点二函数及其图象一、函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：⑴整式：自变量的取值范围是任意实数．⑵分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数．⑶根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．⑷零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．知识点三一次函数一、一次函数的概念一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可． ①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．三、一次函数的性质1．一次函数图象的位置在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴 交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号． 2．一次函数图象的增减性 在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大；⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．知识点四：反比例函数 1、图象反比例函数k y x =与ky x=-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称，一个反比例图象的两支还关于原点对称．2、性质反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．注意：⑴反比例函数ky x=（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此， ①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k >时，双曲线ky x=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．3、 k 的几何意义过反比例函数()0ky k x=≠，图象上一点()P x y ，，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==.1.在平面直角坐标系中,点P (-2,3)关于原点的对称点Q 的坐标为 ( ) A .(2,-3) B .(2,3) C .(3,-2) D .(-2,-3)2.[2017·怀柔二模] 在平面直角坐标系中,将点A (-1,2)向右平移3个单位长度得到点B ,则点B 关于x 轴的对称点C 的坐标是 ( )A .(-4,-2)B .(2,2)C .(-2,2)D .(2,-2)3.[2017·朝阳二模] 中国象棋是中华民族的文化瑰宝,它源远流长,趣味浓厚.如图K9-1,在某平面直角坐标系中,所在位置的坐标为(-3,1),所在位置的坐标为(2,-1),那么,所在位置的坐标为( )图K9-1A .(0,1)B .(4,0)C .(-1,0)D .(0,-1) 4.[2017·门头沟一模] 小军邀请小亮去他家做客,以下是他俩的对话:小军:“你在公交总站下车后,往正前方直走400米,然后右转直走300米就到我家了.”中考满分必做题小亮:“我是按照你说的走的,可是走到了邮局,不是你家……”小军:“你走到邮局,是因为你下公交车后朝向东方走的,应该朝向北方走才能到我家……”根据两人的对话记录,从邮局出发走到小军家应()A.先向北直走700米,再向西走100米B.先向北直走100米,再向西走700米C.先向北直走300米,再向西走400米D.先向北直走400米,再向西走300米5.[2017·东城二模]如图K9-2,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系中,若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,a),(-3,2),(b,m),(-b,m),则点E的坐标是()图K9-2A.(2,-3)B.(2,3)C.(3,2)D.(3,-2)6.[2016·海淀二模]随着“互联网+”时代的到来,一种新型的打车方式受到大众欢迎.该打车方式采用阶梯收费标准.打车费用y(单位:元)与行驶里程x(单位:千米)的函数关系如图K9-3所示.如果小明某次打车行驶里程为20千米,则他的打车费用为()A.32元B.34元C.36元D.40元7.[2018·平谷中考统一练习]“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事.如图K9-4所示,表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系(其中直线段表示乌龟,折线段表示兔子).下列叙述正确的是()图K9-4 图K9-5A.赛跑中,兔子共休息了50分钟B.乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C.兔子比乌龟早到达终点10分钟D.乌龟追上兔子用了20分钟8.[2018·石景山初三毕业考试]甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地(轿车的平均速度大于货车的平均速度),如图K9-5,线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y(单位:千米)与时间x(单位:小时)之间的函数关系.则下列说法正确的是()A.两车同时到达乙地B.轿车在行驶过程中进行了提速C.货车出发3小时后,轿车追上货车D.两车在前80千米的速度相等9.[2017·石景山一模]某雷达探测目标得到的结果如图K9-6所示,若记图中目标A的位置为(3,30°),目标B 的位置为(2,180°),目标C的位置为(4,240°),则图中目标D的位置可记为.图K9-6 图K9-710.[2017·通州一模]函数y=-自变量x的取值范围是.11.[2018·西城期末]点P(3,4)关于y轴的对称点P'的坐标是.12.[2018·东城期末]如图K9-7,在平面直角坐标系xOy中,若点B与点A关于点O中心对称,则点B的坐标为.13.如图K9-8是轰炸机机群的一个飞行队形,如果最后两架轰炸机的平面坐标分别是A(-2,1)和B(-2,-3),那么第一架轰炸机C的平面坐标是.图K9-8 图K9-914.[2017·西城二模]如图K9-9,在平面直角坐标系xOy中,☉O的半径是5,点A为☉O上一点,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,若四边形ABOC的面积为12,写出一个符合条件的点A的坐标.15.[2018·朝阳一模]在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点分别为A(1,1),B(2,4),C(4,2).(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;(2)点C关于x轴的对称点C2的坐标为;(3)点C2向左平移m个单位后,落在△A1B1C1内部,写出一个满足条件的m的值:.16.[2017·通州二模] 如图K9-11,直线m ⊥n.在平面直角坐标系xOy 中,x 轴∥m ,y 轴∥n ,如果以O 1为原点,点A 的坐标为(1,1),将点O 1平移2 个单位长度到点O 2,点A 的位置不变,如果以O 2为原点,那么点A 的坐标可能是( )图K9-11A .(3,-1)B .(1,-3)C .(-2,-1)D .(2 +1,2 1)（1）反比例、一次函数基础1.（18石景山一模9）对于函数6y x=，若2x >，则y 3（填“>”或“<”）． 2.（18朝阳毕业7）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数xk y =的图象经过点T . 下列各点()46P ，，()38Q -，，()212M --，，()1482N ，中，在该函数图象上的点有A.4个B.3个C.2个D.1个3.（18西城一模14）在平面直角坐标系xOy 中，如果当0x >时，函数1y kx =-（0k ≠）图象上的点都在直线1y =-上方，请写出一个符合条件的函数1y kx =-（0k ≠）的表达式：__________．4.（18朝阳毕业14）一次函数y =kx +2（0≠k ）的图象与x 轴交于点A （n ，0），当n >0时，k 的取值范围是 ．5.（18东城一模14）将直线y =x 的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为____________，这两条直线间的距离为____________. 6.（18丰台一模10）写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少，则这个函数的表达式为 ．（2）反比例、一次函数综合1.（18平谷一模21）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象与直线y =x +1交于点A （1，a ）．（1）求a ，k 的值；（2）连结OA ，点P 是函数()0ky k x=≠上一点，且满足OP=OA ，直接写出点P 的坐标（点A 除外）．2.（18延庆一模22）在平面直角坐标系xOy 中，直(0)y kx b k =+≠与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数(0)my m x =≠的图象在第一象限交于点P （1，3），连接OP ．（1）求反比例函数(0)my m x=≠的表达式； （2）若△AOB 的面积是△POB 的面积的2倍，求直线y kx b =+3. （18石景山一模22）在平面直角坐标系xOy 中，函数a y x=（0x >）的图象与直线1l y x b =+：交于点(3,2)A a -． （1）求a ，b 的值；（2）直线2l y x m =-+：与x 轴交于点B ，与直线1l 交于点C ，若S △ABC 6≥，求m 的取值范围．4. （18房山一模23）如图，直线26y x =+与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A m ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ）()06n <<，过点P 作平行于x 轴的直线,交反比例函数的图象于点M ，交直线AB 于点N ，连接BM ．若12BMN BOD S S ∆∆=，求n 的值．5.（18西城一模22）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -，与y 轴的交点为B ，线段AB 的中点M 在函数ky x=（0k ≠）的图象上 （1）求m ，k 的值; （2）将线段AB 向左平移n 个单位长度（0n >）得到线段CD ，A ，MB 的对应点分别为C ，N ，D ．①当点D 落在函数ky x=（0x <）的图象上时，求n 的值．②当MD MN ≤时，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．6.（18怀柔一模22）在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y=kx+b 的图象与y 轴交于点B （0,1），与反比例函数 的图象交于点A(3，-2). （1）求反比例函数的表达式和一次函数表达式；（2）若点C 是y 轴上一点，且BC=BA ，直接写出点C 的坐标.7.（18海淀一模22）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），Q （－1，2），函数my x=. （1）当函数my x=的图象经过点P 时，求m 的值并画出直线y x m =+． （2）若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0），求m 的取值范围．xmy =8.（18朝阳一模22）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数xky =的图象在第四象限交于点C ，CD ⊥x 轴于点D ，tan ∠OAB ＝2，OA ＝2，OD ＝1． （1）求该反比例函数的表达式； （2）点M 是这个反比例函数图象上的点，过点M 作MN ⊥y 轴，垂足为点N ，连接OM 、AN ，如果S △ABN ＝2S △OMN ，直接写出点M 的坐标.9.（18东城一模18）已知函数()30y x x=＞的图象与一次函数()20y ax a =-≠的图象交于点()3,A n . （1）求实数a 的值；（2）设一次函数()20y ax a =-≠的图象与y 轴交于点B .若点C 在y 轴上，且=2ABC AOB S S △△，求点C 的坐标.10.（18丰台一模22）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数2y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象的交点分别为P (m ，2)，Q (-2，n ). （1）求一次函数的表达式；（2）过点Q 作平行于y 轴的直线，点M 为此直线上的一点，当MQ = PQ 时，直接写出点M 的坐标.11.（18门头沟一模20）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x =与反比例函数k y x=（k ≠0）的图象相交于点)A a . （1）求a 、k 的值；（2）直线x =b （0b >）分别与一次函数y x =、反比例函数ky x=的图象相交于点M 、N ，当MN =2时,画出示意图并直接写出b 的值.12.（18大兴一模22）如图，点A 是直线2y x =与反比例函数1m y x-=（m 为常数）的图象的交点．过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，且2OB =． （1）求点A 的坐标及m 的值；（2） 已知点()()0,08P n n <≤，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =于点()11,C x y ，交反比例函数1m y x-=（m 为常数）的图象于点()22,D x y ，交垂线AB 于点()33,E x y .若231x x x <<，结合函数的图象，直接写出123x x x ++的取值范围．13.（18顺义一模22）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =+与双曲线ky x=（k ≠0）相交于 A （-3，a ），B 两点． （1）求k 的值；（2）过点P （0，m ）作直线l ，使直线l 与y 轴垂直，直线l 与直线AB 交于点M ，与双曲线k y x=交于点N ，若点P 在点M 与点N 之间，直接写出m 的取值范围．14.（18通州一模20）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数ay x=的图象交于点()43A ,，与y 轴的负半轴交于点B ，连接OA ，且OA=OB ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）过点()0P k ,作平行于y 轴的直线，交一次函数2y x n =+于点M ，交反比例函数a y x=的图像于点N .若NM NP =，求n 的值.15.（18燕山一模24）如图，在平面直角坐标系中，直线l : y=kx+k (k≠0)与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，且点B(0,2)，点P 在y 轴正半轴上运动，过点P 作平行于x 轴的直线y=t ． （1）求 k 的值和点A 的坐标；（2）当t=4时，直线y=t 与直线l 交于点M ，反比例函数xny =（n≠0）的图象经过点M ，求反比例函数的解析式；（3）当t<4时，若直线y=t 与直线l 和（2）反比例函数的图象分别交于点C ，D ，当CD 间距离大于等于2时，求t 的取值范围.【作业】1.[2018·朝阳一模]如图K11-1,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象经过点T.下列各点P(4,6),Q(3,-8),M(-2,-12),N,48中,在该函数图象上的点有()图K11-1 图K11-2A.4个B.3个C.2个D.1个2.[2018·丰台期末]如图K11-2,点A为函数y=(x>0)图象上的一点,过点A作x轴的平行线交y轴于点B,连接OA,如果△AOB的面积为2,那么k的值为()A.1B.2C.3D.43.[2018·燕山期末]若点(x1,y1),(x2,y2)都是反比例函数y=图象上的点,并且y1<0<y2,则下列结论中正确的是()A.x1>x2B.x1<x2C.y随x的增大而减小D.两点有可能在同一象限4.已知反比例函数y=-的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1>y2,则x1-x2的值是 ()A.正数B.负数C.非正数D.不能确定5.如图K11-3,A,B两点在双曲线y=上,分别过A,B两点向坐标轴作垂线段,已知S阴影=1,则S1+S2=()图K11-3 图K11-4A.3B.4C.5D.66.如图K11-4,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是()A.2≤k≤B.6≤k≤10C.2≤k≤6D.2≤k≤7.[2018·平谷期末]请写出一个过点(1,1),且与x轴无交点的函数表达式.8.下列关于反比例函数y=的三个结论:①它的图象经过点(7,3);②它的图象在每一个象限内,y随x的增大而减小;③它的图象在第二、四象限内.其中正确的是(填序号即可).9.对于反比例函数y=-,当x<2时,y的取值范围是.10.[2018·门头沟期末]如图K11-5,在平面直角坐标系xOy中有一矩形,顶点坐标分别为(1,1),(4,1),(4,3),(1,3),有一反比例函数y=(k≠0),它的图象与此矩形没有交点,该表达式可以为.图K11-511.[2018·门头沟初三综合练习]如图K11-6,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于点A(,a).(1)求a,k的值;(2)直线x=b(b>0)分别与一次函数y=x、反比例函数y=的图象相交于点M,N,当MN=2时,画出示意图并直接写出b的值.图K11-612.[2018·东城期末]如图K11-7,在平面直角坐标系xOy中,已知A(8,0),C(0,6),矩形OABC的对角线交于点P,点M在经过点P的函数y=(x>0)的图象上运动,k的值为,OM长的最小值为.。

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：平面直角坐标系一．选择题1．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（）A．（5，﹣4）B．（﹣1，﹣6）C．（﹣3，10）D．（7，3）2．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标（0，2），∠AOC＝45°，∠ACO ＝30°，则OC的长为（）A． +B．﹣C．2+D． + 3．点P（4，3）到x轴的距离为（）A．4 B．3 C．5 D．7 4．在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣a2﹣3）一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．在平而直角坐标系中，点E在x轴上方，y轴的左侧，距离x轴3个单位，距离y轴4个单位，则E点的坐标为（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）6．点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，则a+b的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣1或﹣6 D．﹣2或﹣67．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A1，A2A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），点A2019的坐标为（）A．（﹣3，3）B．（﹣2，﹣2）C．（3，﹣1）D．（2，4）8．小王和小丽下棋，小王执圆子，小丽执方子，如图是在直角坐标系中棋子摆出的图案，若再摆放一圆一方两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标分别是（）A．圆子（2，3），方子（1，.3）B．圆子（1，3），方子（2，3）C．圆子（2，3），方子（4，0）D．圆子（4，0），方子（2，3）9．若点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，则点A的坐标是（）A．（0，﹣9）B．（2.5，0）C．（2.5，﹣9）D．（﹣9，0）10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是（）A．（2018，0）B．（2017，1）C．（2019，1）D．（2019，2）二．填空题11．如果点P（﹣5，y）在第三象限，请写出一个符合条件的点P的坐标．12．已知P（2+x，3x﹣2）到x轴的距离是到y轴的距离的2倍，则x的值为．13．在平面直角坐标系中，线段AB＝5，AB∥x轴，若A点坐标为（﹣1，3），则B点坐标为．14．如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1，过点作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B 1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…，按着这个规律进行下去，点An的坐标是．15．如图，在直角坐标系中，△ABC是边长为a的等边三角形，点B始终落在y轴上，点A始终落在x轴上，则OC的最大值是．16．平面直角坐标系xOy中，已知线段AB与x轴平行，且AB＝5，若点A的坐标为（3，2），则点B的坐标是．17．如图，把“QQ”笑脸图标放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），右眼B的坐标为（0，3），则嘴唇C点的坐标是．18．已知点A（2a+3，a﹣4）在二、四象限的角平分线上，则a＝．19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2019个点的横坐标为．20．如图，在一单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7……，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2 （1．﹣1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2018的坐标为 ．三．解答题21．已知平面直角坐标系中有一点M （2m ﹣3，m+1）． （1）若点M 到y 轴的距离为2时，求点M 的坐标； （2）点N （5，﹣1）且MN ∥x 轴时，求点M 的坐标．22．在平面直角坐标系xOy 中，有一点P （a ，b ），实数a ，b ，m 满足以下两个等式：2a ﹣6m+4＝0，b+2m ﹣8＝0．（1）当a ＝1时，点P 到x 轴的距离为 ；（2）若点P 在第一三象限的角平分线上，求点P 的坐标； （3）当a ＜b 时，则m 的取值范围是 ．23．如图，在正方形网格中，若点A 的坐标是（1，1），点B 的坐标是（2，0）．（1）依题意，在图中建立平面直角坐标系；（2）图中点C的坐标是，点C关于x轴对称的点C'的坐标是；（3）若点D的坐标为（3，﹣1），在图中标出点D的位置；（4）将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点B'的坐标是，△AB'C的面积为．24．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为；（Ⅱ）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标；（Ⅲ）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．25．如图，四边形ABCD为平行四边形，OD＝3，CD＝AB＝5，点A坐标为（﹣2，0）（1）请写出B、C、D各点的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．26．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．（2）求△ABC的面积；（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．27．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，点C为OP的中点，回答下列问题：（1）图中距小明家距离相同的是哪些地方？（2）学校、商场、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？（3）若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？28．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）．（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？29．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D均在坐标轴上，AB∥CD．（1）求证：∠ABO+∠CDO＝90°；（2）如图2，BM平分∠ABO交x轴于点M，DN平分∠CDO交y轴于点N，求∠BMO+∠OND的值．30．如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣OB的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．参考答案一．选择题1．解：因为目标在第四象限，所以其坐标的符号是（+，﹣），观察各选项只有A符合题意，故选：A．2．解：连接BC，过点B作BD⊥CO于D，∵∠AOC＝45°，∴∠BOD＝45°，∵点B的坐标（0，2），∴OB＝2，∴BD＝OD＝，∵A，O，B，C四点共圆，∴∠CAO+∠CBO＝180°，∵∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，∴∠CAO＝105°，∴∠CBO＝75°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝，∴CO＝+，故选：A．3．解：∵点P（4，3），∴点P（4，3）到x轴的距离为|3|＝3，故选：B．4．解：∵a2+3≥3＞0，∴﹣a2﹣3＜0，∴点（﹣2，﹣a2﹣3）一定在第三象限．故选：C．5．解：∵点E在x轴上方，y轴的左侧，∴点E在第二象限，∵距离x轴3个单位长度，距离y轴4个单位长度，∴点E的横坐标为﹣4，纵坐标为3，∴点E的坐标是（﹣4，3）．故选：C．6．解：∵点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，∴b+1＝0，|a+3|＝2，∴a＝﹣1或﹣5，b＝﹣1，∴a+b＝﹣2或﹣6，故选：D．7．解：观察发现：A1（2，4），A2（﹣3，3），A3（﹣2，﹣2），A4（3，﹣1），A 5（2，4），A6（﹣3，3）…∴依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴点A2019的坐标与A3的坐标相同，为（﹣2，﹣2），故选：B．8．解：如图所示：9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，∴这两枚棋子的坐标分别是圆子（2，3），方子（1，.3），故选：A．9．解：∵点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，∴m+2＝0，解得：m＝﹣2，故2m﹣5＝﹣9，故点A的坐标为：（0，﹣9）．故选：A．10．解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∴2019＝4×504+3，当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2），故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：∵点P（﹣5，y）在第三象限，∴y＜0，∴符合条件的点P的坐标，可以是（﹣5，﹣3）等，故答案为：（﹣5，﹣3）（答案不唯一）．12．解：∵点P（2+x，3x﹣2）到x轴的距离是到y轴距离的2倍，∴2|2+x|＝|3x﹣2|，∴2（2+x）＝3x﹣2或2（2+x）＝﹣（3x﹣2），解得x＝6或x＝﹣．故答案为：或6．13．解：∵AB∥x轴，A点坐标为（﹣1，3），∴点B的纵坐标为3，当点B在点A的左边时，∵AB＝5，∴点B的横坐标为﹣1﹣5＝﹣5，此时点B（﹣6，3），当点B在点A的右边时，∵AB＝5，∴点B的横坐标为﹣1+5＝4，此时点B（4，3），综上所述，点B 的坐标为（﹣6，3）或（4，3）．故答案为：（﹣6，3）或（4，3）．14．解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝1，∠ABC ＝∠A ＝∠ACB ＝60°，∴A （，），C （1，0），∵BA 1⊥AC ，∴AA 1＝A 1C ，∴A 1（，），∵A 1B 1∥OA ，∴∠A 1B 1C ＝∠ABC ＝60°，∴△A 1B 1C 是等边三角形，∴A 2是A 1C 的中点，∴A 2（，），同理A 3（，），…∴A n （，），故答案为：（，）．15．解：如图，取AB 的中点D ，连接OD 、CD ，则OD ＝AB ＝a ，CD ＝a ，在△OCD 中，OD+CD ＞OC ，所以，当点O、D、C三点共线时，OC的长度最大，最大值为a+a＝a．故答案为： a．16．解：∵线段AB与x轴平行，∴点B的纵坐标为2，点B在点A的左边时，3﹣5＝﹣2，点B在点A的右边时，3+5＝8，∴点B的坐标为（﹣2，2）或（8，2）．故答案为：（﹣2，2）或（8，2）．17．解：∵左眼A的坐标是（﹣2，3），右眼B的坐标为（0，3），∴嘴唇C的坐标是（﹣1，1），故答案是：（﹣1，1）．18．解：∵点A（2a+3，a﹣4）在二、四象限的角平分线上，∴2a+3+a﹣4＝0，解得a＝．故答案为：．19．解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，…右下角的点的横坐标为n 时，共有n 2个，∵452＝2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2019个点是（45，6），所以，第2019个点的横坐标为45．故答案为：45．20．解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，A 2（1，﹣1），A 4（2，2），A 6（1，﹣3），A 8（2，4），A 10（1，﹣5），A 12（2，6）， …，∴当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数 ∴点A 2018在第四象限，横坐标是1，纵坐标是﹣2018÷2＝﹣1009，∴A 2018的坐标为（1，﹣1009）．故答案为（1，﹣1009）．三．解答题（共10小题）21．解：（1）∵点M （2m ﹣3，m+1），点M 到y 轴的距离为1，∴|2m ﹣3|＝2，解得m ＝2.5或m ＝0.5，当m ＝2.5时，点M 的坐标为（2，3.5），当m ＝0.5时，点M 的坐标为（﹣2，0）；综上所述，点M 的坐标为（2，3.5）或（﹣2，0）；（2）∵点M （2m ﹣3，m+1），点N （5，﹣1）且MN ∥x 轴，∴m+1＝﹣1，解得m ＝﹣2，故点M 的坐标为（﹣7，﹣1）．22．解：（1）当a ＝1时，则2×1﹣6m+4＝0，解得m ＝1．把m ＝1代入b+2m ﹣8＝0中，得b ＝6．所以P 点坐标为（1，6）， 所以点P 到x 轴的距离为6．故答案为6．（2）当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a＝b．由2a﹣6m+4＝0，可得a＝3m﹣2；由b+2m﹣8＝0，可得b＝﹣2m+8．则3m﹣2＝﹣2m+8，解得m＝2．把m＝2分别代入2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0中，解得a＝b＝4，所以P点坐标为（4，4）．（3）由（2）中解答过程可知a＝3m﹣2，b＝﹣2m+8．若a＜b，即3m﹣2＜﹣2m+8，解得m＜2．故答案为m＜2．23．解：（1）如图所示．（2）C（﹣1，﹣2）；C'（﹣1，2）．（3）如图所示：D点即为所求；（4）B'（﹣1，1）；△AB'C的面积＝＝3．故答案为：（﹣1，﹣2）；（﹣1，2）；（﹣1，1）； 3．24．解：（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（﹣2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3），故答案为：（7，﹣3）；（Ⅱ）设P（x，y），依题意，得方程组：，解得，∴点P（﹣2，1）．（Ⅲ）∵点P（a，b）在x轴的正半轴上，∴b＝0，a＞0．∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka），∴线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|，∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，根据题意，有|PP'|＝2|OP|，∴|ka|＝2a，∵a＞0，∴|k|＝2．从而k＝±2．25．解：（1）∵OD＝3，∴D（0，3），∵CD＝AB＝5，点A坐标为（﹣2，0），∴C的坐标为（5，3），B（3，0）；（2）平行四边形ABCD的面积＝AB•OD＝5×3＝15．26．解：（1）如图所示：（2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E．∴四边形DOEC的面积＝3×4＝12，△BCD的面积＝＝3，△ACE的面积＝＝4，△AOB的面积＝＝1．∴△ABC的面积＝四边形DOEC的面积﹣△ACE的面积﹣△BCD的面积﹣△AOB 的面积＝12﹣3﹣4﹣1＝4．当点p在x轴上时，△ABP的面积＝＝4，即：，解得：BP＝8，所点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）；当点P在y轴上时，△ABP的面积＝＝4，即，解得：AP＝4．所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）或（10，0）或（﹣6，0）．27．解：（1）∵点C为OP的中点，∴OC＝OP＝×4＝2cm，∵OA＝2cm，∴距小明家距离相同的是学校和公园；（2）学校北偏东45°，商场北偏西30°，公园南偏东60°，停车场南偏东60°；公园和停车场的方位相同；（3）图上1cm表示：400÷2＝200m，商场距离小明家：2.5×200＝500m，停车场距离小明家：4×200＝800m．28．解：（1）过点B，A分别作BF，AE垂直于x轴，所以四边形的面积＝×3×6+×（6+8）×9+×2×8＝80；（2）根据平移的性质可知，平移后的图形形状和大小不变，所以所得的四边形面积是80．29．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠DCO，∵∠DCO+∠CDO＝90°；∴∠ABO+∠CDO＝90°；（2）∵BM平分∠ABO，DN平分∠CDO，∴∠MBO＝∠ABO，∠NDO＝∠CDO，∴∠MBO+∠NDO＝（∠ABO+∠CDO）＝45°，∴∠BMO+∠OND＝135°．30．（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（3，3），∴PE＝PF＝3，在Rt△APE和Rt△BPF中，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴PA⊥PB；（2）解：由（1）证得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴PF＝PE，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝4，∵A（9，0），∴OA＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，∴点B的坐标为（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）；（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OB+OF＝OB+3，∴OA﹣3＝OB+3，∴OA﹣OB＝6；（4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，∴OA﹣3＝3﹣OB，∴OA+OB＝6．。

2019-2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类（北京专版）（一）——二次函数一．选择题1．（2020•海淀区一模）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2 2．（2019•房山区二模）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（）A．小球的飞行高度不能达到15mB．小球的飞行高度可以达到25mC．小球从飞出到落地要用时4sD．小球飞出1s时的飞行高度为10m3．（2019•通州区三模）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是（）A．y1B．y2C．y3D．y4 5．（2019•道外区二模）将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣1 6．（2019•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），（5，3），则下列说法正确的是（）①抛物线与y轴有交点②若抛物线经过点（2，2），则抛物线的开口向上③抛物线的对称轴不可能是x＝3④若抛物线的对称轴是x＝4，则抛物线与x轴有交点A．①②③④B．①②③C．①③④D．②④7．（2019•丰台区模拟）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m 的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定二．填空题8．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D，抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D．下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当x＜0时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小；③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；④抛物线y4与y轴的交点在点B的上方．所有正确结论的序号为．9．（2020•朝阳区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长AB的最小值是．10．（2020•西城区校级模拟）已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：．11．（2020•海淀区校级一模）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数为；若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是．12．（2020•西城区校级模拟）如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为．13．（2019•朝阳区模拟）在平面直角坐标系中xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数y＝﹣x2+a（a＞0）的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域（不含边界）为W．当a＝2时，区域W内的整点个数为，若区域W内恰有7个整点，则a 的取值范围是．14．（2019•大兴区一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．15．（2019•朝阳区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为．16．（2019•朝阳区模拟）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式，y＝．17．（2019•石景山区二模）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取A点为坐标原点时的抛物线的表达式为y＝﹣，则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为，水管AB的长为m．三．解答题18．（2020•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax（a≠0）与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点P（2，2），Q（2+2a，5a），若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．19．（2020•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4）．抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式x2﹣5x+a﹣2≤0的x的最大值为3．直接写出实数a的值．20．（2020•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．（1）求点B的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．21．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax+3的图象与y 轴交于点A，与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G．（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；（2）①当a＝﹣1时，直接写出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G的公共点个数．②如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．22．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．23．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．24．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．25．（2020•西城区校级模拟）定义：点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W的距离．例如，如图，正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果点G（0，b）（b＜0）到抛物线y＝x2的距离为3，请直接写出b的值．（2）求点M（3，0）到直线y＝x+3的距离．（3）如果点N在直线x＝2上运动，并且到直线y＝x+4的距离为4，求N的坐标．参考答案一．选择题1．解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为（0，﹣3），由平移不改变二次项系数，故得到的抛物线解析式为：y＝2x2﹣3．故选：B．2．解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选：C．3．解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；故选：D．4．解：由图象可知：抛物线y1的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，4），根据待定系数法求得y1＝2（x ﹣1）2；抛物线y2的顶点为（1，0），与y轴的一个交点为（0，2），根据待定系数法求得y2＝（x﹣1）2；抛物线y3的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y3＝（x ﹣1）2；抛物线y4的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣b）且﹣b＜﹣4，根据待定系数法求得y4＝﹣（x﹣1）2；综上，二次项系数绝对值最小的是y3故选：C．5．解：抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x+1）2﹣1．故选：D．6．解：①当x＝0时，y＝c，∴与y轴有交点；①正确；②抛物线经过（1，2），（2，2），（5，3），∴，∴a＝，∴抛物线开口向上；∴②正确；③如果抛物线的对称轴x＝3，（1，2）关于对称轴对称的点为（5，2），与经过点（5，3）矛盾，∴对称轴不能是x＝3，∴③正确；④对称轴是x＝4，∴﹣＝4，∴b＝﹣8a，将点（1，2），（5，3）代入得，，∴24a+4b＝1，∴﹣8a＝1，∴a＝﹣，∴b＝1，c＝△＝b2﹣4ac＝64a2﹣4ac＞0，∴抛物线与x轴有交点，∴④正确；故选：A．7．解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝﹣，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）故会出界．故选：C．二．填空题（共10小题）8．解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线y1的表达式为：y1＝﹣x2+x+3，顶点（，）；同理可得：y2＝﹣x2+x+3，顶点坐标为：（，）；y3＝﹣x2+x+3，顶点坐标为（1，）；y4＝﹣x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）；①由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，故正确，符合题意；②当x＜0时，y3随x的增大而增大，故错误，不符合题意；③由顶点坐标知，抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方，错误，不符合题意；④抛物线y4与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意．故答案为：①④．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，∴当x＝2时，AC有最小值2，即正方形的边长AB的最小值是．故答案为：．10．解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上，∴a＞0，又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，∴|a|＞3，∴a＞3，取a＝4即符合题意，故答案为：4（答案不唯一）．11．解：函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象有3个交点，则方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解有3个；方程x2（x﹣3）＝1的解为函数图象与直线y＝1的交点的横坐标，x﹣3＝1的解为一次函数y＝x﹣3与直线y＝1的交点的横坐标，如图，由图象得m＜n．故答案为3，m＜n．12．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．故答案为：x2＜x＜x3．13．解：（1）当a＝2时，函数y＝﹣x2+2，函数与坐标轴的交点坐标分别为（0，2），（﹣，0），（，0），函数y＝﹣x2+2的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域中，整数点有（﹣1，1），（1，1），（0，2）在边界上，不符合题意，点（0，1）在W区域内．所以此时在区域W内的整数点有1个．（2）由（1）发现，当（0，2）是顶点时，在W区域内只有1个整数点，边界上有3个整数点；当a＝3时，在W区域内有4个整数点（﹣1，1），（1，1），（0，2），（0，1），边界上有3个整数点（0，3），（﹣1，2），（1，2）；当a＝4时，在W区域内有7个整数点（﹣1，1），（1，1），（0，2），（0，1），（0，3），（﹣1，2），（1，2）；所以区域W内恰有7个整点，3＜a≤4．故本题答案是1；3＜a≤4．14．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．15．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即x＝1或﹣3时，函数值y＝0，所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．16．解：函数解析式为y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：﹣x2+2（答案不唯一）．17．解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，故平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x+2）2+3（﹣3≤x≤0）；令x＝﹣3，则y＝﹣+3＝2.25．故水管AB的长为2.25m．故答案为：y＝﹣（x+2）2+3（﹣3≤x≤0）；2.25．三．解答题（共8小题）18．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax＝ax（x﹣4），∴y＝0时，ax（x﹣4）＝0，∴x＝0或x＝4，∴抛物线与x轴交于点A（0，0），B（4，0）．∴抛物线y＝ax2﹣4ax的对称轴为直线：．（2）y＝ax2﹣4ax＝a（x2﹣4x）＝a（x﹣2）2﹣4a，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣4a）．令y＝5a，得ax2﹣4ax＝5a，a（x﹣5）（x+1）＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴当y＝5a时，抛物线上两点M（﹣1，5a），N（5，5a）．①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且Q（2+2a，5a）位于点P的右侧，如图1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2+2a≥5，解得a．②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q（2+2a，5a）位于点P的左侧，（ⅰ）如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时﹣4a≤2，解得a．（ⅱ）如图3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2+2a≤﹣1，解得a．综上，a的取值范围是a≥或﹣a＜0或a．19．解：（1）由题意可得：4＝36﹣5×6+a﹣2，∴a＝0，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣5x﹣2，∴顶点C坐标为（，﹣），（2）如图，当顶点C在线段AB下方时，由题意可得：，解得：0≤a＜6；当顶点C在AB时，当x＝时，y＝4，∴，∴a＝，综上所述：当0≤a＜6或时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；（3）由题意可得当x＝3时，y＝0，即9﹣15+a﹣2＝0，∴a＝8．20．解：（1）∵二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，∴令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），把A（﹣3，0）代入y＝mx2+2mx+3，求得m＝﹣1，∴函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）画出函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象如图所示：把A（﹣3，0）代入y＝x2+2x+a得0＝9﹣6+a，解得a＝﹣3，二次函数y＝x2+2x+a的的顶点与图象F的顶点（﹣1，4）重合时，则4＝1﹣2+a，解得a＝5，由图象可知，二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，a的取值范围为﹣3≤a＜3或a＝5．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），∴对称轴x＝﹣＝1，∵一次函数y＝﹣ax+3的图象与y轴交于点A，∴A（0，3），∵点A向右平移5个单位得到点C，∴C（5，3）．（2）①如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G的交点有3个，②∵抛物线的顶点（1，﹣4a），当a＜0时，由①可知，a＝﹣1时，抛物线经过A，B，∴当a＜﹣1时，抛物线与图象G有且只有一个公共点，当抛物线的顶点在线段AC上时，如图2中，也满足条件，∴﹣4a＝3，∴a＝﹣，当a＞0时，如图3中，抛物线经过点C时，25a﹣10a﹣3a＝3，解得a＝，抛物线经过点B时，﹣4a＝﹣a+3，解得a＝﹣（舍弃）不符合题意．观察图象可知a≥时，满足条件，综上所述，满足条件的a的取值范围：a＜﹣1或a≥或a＝﹣．22．解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，故答案为：1；（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，∴3a﹣（﹣a）＝4．∴a＝1，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；当a＜0时，同理可得y有最大值为﹣a；y有最小值为3a，∴﹣a﹣3a＝4，∴a＝﹣1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，∴t≥﹣1，t+1≤3，∴﹣1≤t≤2．23．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与y轴交于点C（0，﹣3），∴m﹣4＝﹣3，∴m＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得到x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，∴﹣k+5＝0，∴k＝5．（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），当点C落在直线y＝5x+5+n上时，﹣3＝﹣5n+5+n，解得n＝2，当点B落在直线y＝5x+5+n上时，0＝5（3﹣n）+5+n解得n＝5，观察图象可知，满足条件的n的取值范围为2≤n≤5．24．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于A，令x＝0，得到y＝a+1，∴A（0，a+1）．（2）由抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1，可知x＝﹣＝，∴抛物线的对称轴x＝．（3）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），∴y c＝11a+1，①如图1中，当a＞0时，y c＞﹣a﹣2，∴点C在点M的上方，结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点．②当a＜0时，（a）如图2中，当抛物线经过点M时，y c＝﹣a﹣2，∴a＝﹣，结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．（b）当﹣＜a＜0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点．（c）如图3中，当a＜﹣时，y c＜﹣a﹣2，∴点C在点M的下方，结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤﹣．25．解：（1）①当G在原点下方时，b＝﹣3，②当G在原点上方时，＝3，整理得：x4+（1﹣2b）x2+b2﹣9＝0，△＝（1﹣2b）2﹣4（b2﹣9）＝0，解得：b＝（舍去），故答案为：﹣3；（2）如图1，作直线y＝x+3与x轴交于点B（﹣3，0），过点M作MN⊥BN交于点N，则MN的长度为所求值，则△BMN为等腰直角三角形，故MN＝BM＝3，故点M（3，0）到直线y＝x+3的距离为3；（3）①当点N在直线BH和x＝2的交点下方时，如图2，作直线y＝x+4交x轴于点B，过点N作NH⊥BH于点H，过点N作MN∥x轴交直线BH于点M，则HN＝4，由（2）同理可知，△HMN为等腰直角三角形，MN ＝HN＝4，故x M＝2﹣4，y M＝x M+4＝6﹣4＝y N，故点N的坐标为：（2，6﹣4）；②当点N在直线BH和x＝2的交点上方时，同理可得：点N的坐标为：（2，6+4）；综上，点N的坐标为：（2，6﹣4）或（2，6+4）．。

一、选择题1、（2018北京房山区第一学期检测）小明以二次函数2248y x x =-+的图象为灵感为 “2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿， 若AB=4，DE=3，则杯子的高CE 为A ．14B ．11C ．6D ．3答案：B2、（2018北京怀柔区第一学期期末）网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB 的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D 点处接球，设计打出直线．．穿越球，使球落在对方底线上C 处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为A. 1.65米B. 1.75米C.1.85米D. 1.95米 答案：D3、（2018北京丰台区第一学期期末）在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG = 2BE . 如果设BE 的长为x （单位：m ），绿地AEFG 的面积为y （单位：m 2），那么y 与x 的函数的表达式为 ；当BE = m 时，绿地AEFG 的面积最大.答案：22864(08)y x xx =-++<<（可不化为一般式），24、（2018北京密云区初三（上）期末）学校组织“美丽校园我设计”活动.某同学打算利用学E DGFHACB第6题图C校文化墙的墙角建一个矩形植物园.其中矩形植物园的两邻边之和为4m ，设矩形的一边长为x m ，矩形的面积为y m 2.则函数y 的表达式为______________，该矩形植物园的最大面积是_______________ m 2. 答案：(4)y x x =- ，45、（2018北京顺义区初三上学期期末）如图，利用成直角的墙角（墙足够长），用10m 长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积S （m 2）与它一边长a （m ）的函数关系式是 ，面积S 的最大值是 ．答案：220S a a =-+6、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面 的最大距离是5m ．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图），你选择的方案是_____(填方案一，方案二，或方案三)，则B 点坐标是______，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，求水面上涨的高度．解：方案1：（1）点B 的坐标为（5,0）…………… 1分设抛物线的解析式为：(5)(5)y a x x =+-…………… 2分由题意可以得到抛物线的顶点为（0,5），代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为：1(5)(5)5y x x =-+-…………… 3分 （2）由题意：把3x =代入1(5)(5)5y x x =-+-解得：165y ==3.2…………… 5分 y方案 2方案 3方案 1∴水面上涨的高度为3.2m …………… 6分方案2：（1）点B 的坐标为（10,0）…………… 1分 设抛物线的解析式为：(10)y ax x =-…………… 2分由题意可以得到抛物线的顶点为（5,5），代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为：1(10)5y x x =--…………… 3分 （2）由题意：把2x =代入1(10)5y x x =--解得：165y ==3.2…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.2m …………… 6分方案3：（1）点B 的坐标为（5, 5-）…………… 1分 由题意可以得到抛物线的顶点为（0,0） 设抛物线的解析式为：2y ax =…………… 2分 把点B 的坐标（5, 5-），代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为：215y x =-…………… 3分（2）由题意：把3x =代入215y x =-解得：95y =-= 1.8-…………… 5分 ∴水面上涨的高度为5 1.8-=3.2m …………… 6分7、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时， 水面宽8m. 水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种方法.方法一 如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x 轴，建立 平面直角坐标系xOy ，这时这条抛物线所表示的二次函数 的表达式为 ；当y ＝3时，求出此时自变量x 的取值，即可解决这个问题. 图1方法二 如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的 对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 ；当y ＝ 时， 求出此时自变量x 的取值，即可解决这个问题.图2解：方法一 x x y 2412+-=； ……………………………………………………2分 方法二 241x y -=； ……………………………………………………4分－1. ……………………………………………………5分 8、（2018北京东城第一学期期末）如图，以40 m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位： s ）之间具有函数关系2205h t t =-． （1）小球飞行时间是多少时，小球 最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t 在什么范围时， 飞行高度不低于15 m?答案：23．解：()222055220h t t t =-=--+（1）当t =2时，小球最高，最大高度是20 m; ………………3分 （2）令()222055220h t t t =-=--+=15， 解得11t =，23t =．当13t ≤≤时，小球飞行高度不低于15 m ． ………………5分9、（2018北京丰台区第一学期期末）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m ，求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离.解：建立平面直角坐标系，如图. 于是抛物线的表达式可以设为()2y a x h k =-+根据题意，得出A ，P 两点的坐标分别为A （0，2），P （1，3.6）. ……2分 ∵点P 为抛物线顶点， ∴1 3.6h k ==， .∵点A 在抛物线上， ∴ 3.62a +=， 1.6a =-.…3分∴它的表达式为()21.61 3.6y x =--+. ……4分当点C 的纵坐标y =0时，有()21.61 3.6=0x --+.10.5x =-（舍去），2 2.5x =.∴BC =2.5.∴水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m. ……5分10.（2018北京通州区第一学期期末）如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD . 已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD 的边x AB =米，面积为S 平方米.（1）请写出活动区面积S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围； （2）当AB 为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？答案：11.（2018北京西城区第一学期期末）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次．t （s ） 0 0.5 h （m ）8.75（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）； （2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．一、选择题1、（2018北京顺义区初三上学期期末）8．如图1，点P 从△ABC 的顶点A 出发，沿A -B -C匀速运动，到点C 停止运动．点P 运动时，线段AP 的长度y 与运动时间x 的函数关系如图2所示，其中D 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 A ．10 B ．12 C ．20 D ．24答案：B 二、解答题 2．（2018北京市朝阳区一模）抛物线c bx x y ++=2的对称轴为直线x =1，该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B ，与 y 轴的交点为C ，其中A （-1，0）. （1）写出B 点的坐标 ；（2）若抛物线上存在一点P ，使得△POC 的面积是△BOC 的面积的2倍，求点P 的坐标；（3）点M 是线段BC 上一点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，求线段MD 长度的最大值.解：（1）（3，0）． ………………………………………………………………………1分 （2）由A （-1，0），B （3，0），求得抛物线的表达式为322--=x x y ．…………2分 ∴C (0，-3)． ∴193322BOC S =⨯⨯=△. ∴29POC BOC S S ==△△.设点P 的横坐标为P x ，求得6P x =±.代入抛物线的表达式，求得点P 的坐标为(6，21)，(-6，45)． ………………4分 （3）由点B (3，0) ，C (0，-3)，求得直线BC 的表达式为3y x =-. ……………5分设点M (a ，a -3),则点D (a ，a 2-2a -3). ∴MD = a -3-( a 2-2a -3) =-a 2 +3a=239()24a --+. ……………………………………………………6分 ∴当32a =时，MD 的最大值为94. …………………………………………………7分3.（2018北京怀柔区一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ． (1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．解：(1)M(2，-1)； ………………………………………………………………………………2分(2)B(4，3)； …………………………………………………………………………………3分 (3)∵抛物线y=mx 2-4mx+4m-1(m ≠0)与y 轴交于点A （0,3）,∴4n-1=3.∴n=1. ……………………………………………………………………………………4分∴抛物线的表达式为342+-=x x y .由34212++=+x x m x . 由△=0，得: 161-=m ……………………………………………………………………5分∵抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点C 的坐标为（1,0），∴点C 关于y 轴的对称点C 1的坐标为（-1,0）.把（-1,0）代入m x y +=21，得：21=m .……………………………………………6分 把（-4,3）代入m x y +=21，得：5=m .∴所求m 的取值范围是161-=m 或21＜m ≤ 5. (7)分 4、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）已知抛物线l 1与l 2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l 1：2782--=ax ax y 交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝6；抛物线l 2与l 1交于点A 和点C （5，n ）. （1）求抛物线l 1，l 2的表达式；（2）当x 的取值范围是 时，抛物线l 1与l 2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线MN ∥y 轴，交x 轴，l 1，l 2分别相交于点P （m ，0），M ，N ，当1≤m ≤7时，求线段MN 的最大值. 答案：（1）由题意可知，抛物线l 1的对称轴为直线428=--=aax . ………………1分 ∵抛物线l 1交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且AB ＝6， ∴A （1，0），B （7，0）.把A （1，0）代入2782--=ax ax y ，解得21-=a . ∴抛物线l 1的表达式为274212-+-=x x y . ………………………………………………2分把C （5，n ）代入274212-+-=x x y ，解得4=n . ∴C （5，4）.∵抛物线l 1与l 2形状相同，开口方向不同，. ∴设抛物线l 2的表达式为c bx x y ++=221. 把A （1，0），C （5，4）代入c bx x y ++=221，得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=c b c b 52254210，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=232c b . ∴抛物线l 2的表达式为232212+-=x x y .（2）2≤x ≤4；（3）∵直线MN ∥y 轴，交x 轴，l 1，l 2于点P （m ，0），∴M （m ，274212-+-m m ），N （m ，2212-m m① 如图1，当1≤m ≤5时，4)3(5622+--=-+-=m m m MN∴当m ＝3时，MN 的最大值为4；……………6分② 如图2，当5﹤m ≤7时， 4)3(5622--=+-=m m m MN4﹤m ≤7在对称轴m ＝3右侧，MN 随m 的增大而增大.∴当m ＝7时，MN 的最大值是12.……………7分M DCBA综上所述，线段MN 的最大值是12.5.（2018北京大兴第一学期期末）ABCD 是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB 上选取一点M ，分别以AM 和MB 为边截取两块相邻的正方形板料. 当AM 的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?解：设AM 的长为x 米 , 则MB 的长为(2)x -米，以AM 和MB 为边的两个正方形面积之和为y 平方米. 根据题意，y 与x 之间的函数表达式为222(2).................................................................22(1) 2.....................................................................3y x x x =+-=-+分分因为2>0于是，当1=x 时，y 有最小值………………………..4分所以，当AM 的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小.…………………………………………………… 一、选择题1. （2018北京东城区一模）当函数()212y x =--的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是A ．x ＞0B ．x ＜1C ．1x ＞D ．x 为任意实数 答案B2、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+- 答案：C3、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为（﹣2，3）、 （1，3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为(A) －1(D) －7答案：C4、（2018北京大兴第一学期期末）1．抛物线3)2-(2+=x y 的顶点坐标是 A.（-2,3） B.（2,3） C.（2,-3） D.（-3,2） 答案：B5、（2018北京大兴第一学期期末）5. 将抛物线25x y =先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是A.3)2(52++=x y B.3)2(52+-=x y C.3)2(52-+=x y D. 3)2(52--=x y 答案：D6、（2018北京东城第一学期期末）3．若要得到函数()21+2y x =+的图象，只需将函数2y x =的图象A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 答案：B7、（2018北京东城第一学期期末）已知函数2-y x bx c =++，其中00b c ＞，＜，此函数的图象可以是答案：D8、（2018北京房山区第一学期检测）已知点（-1，2）在二次函数2y ax =的图象上，那么a 的值是A ．1B ．2C ．12D ．12-答案：B9、（2018北京丰台区第一学期期末）将抛物线y = x 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为A ．22y x =+B ．22y x =-C ．()22y x =+D ．()22y x =-答案：A10、（2018北京丰台区第一学期期末）已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线2y ax bx c =++的开口向下；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-； ③方程20ax bx c ++=的根为0和2； ④当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2. 其中正确的是 A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．③④答案：D11、（2018年北京海淀区第一学期期末）1．抛物线()212y x =-+的对称轴是 A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =答案：B12.（2018北京怀柔区第一学期期末）2.若将抛物线y = －12x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是A ．2)3(212-+-=x yB ．2)3(212---=x y C ．2)3(2-+=x y D. 2)3(212++-=x y答案：A13.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）2．将抛物线y = x 2的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么新图象的表达式是 A ．()23y x =- B ．()23y x =+C ．23y x =-D ．23y x =+ 答案：D14.（2018北京密云区初三（上）期末）2. 将抛物线2y x =先向左平移2个单位再向下平移1个单位，得到新抛物线的表达式是A. 2(2)1y x =++ B. 2(2)1y x =+- C. 2(2)1y x =-+ D. 2(2)1y x =--答案：B15.（2018北京密云区初三（上）期末）8. 已知抛物线2y ax bx c =++（x 为任意实数）经过下图中两点M （1，2）、N （m ，0），其中M 为抛物线的顶点，N 为定点.下列结论：①若方程20ax bx c ++=的两根为12,x x （12x x <），则1210,23x x -<<<<；②当x m <时，函数值y 随自变量x 的减小而减小.③0a >，0b <，0c >.④垂直于y 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，其C 、D 两点的横坐标分别为s 、，则s t +=2 .其中正确的是A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④答案：B16.（2018北京平谷区第一学期期末）3．下列各点在函数21y x =-+图象上的是 （A ）（0,0） （B ）（1,1） （C ）（0,﹣1） （D ）（1,0） 答案：D17.（2018北京石景山区第一学期期末）5．如果在二次函数的表达式c bx ax y ++=2中，0>a ，0<b ，0<c ，那么这个二次函数的图象可能是（A ） （B ） （C ） （D ）答案：C18.（2018北京石景山区第一学期期末）6．若二次函数m x x y ++=22的图象与坐标轴有3个交点，则m 的取值范围是（A ）1>m（B ）1<m（C ）1>m 且0≠m （D ）1<m 且0≠m答案：D19.（2018北京石景山区第一学期期末）7．如图，将函数()12312+-=x y 的图象沿y 轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点),1(m A 、),4(n B 平移后对应新函数图象上的点分别为点'A 、'B ．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为 （A ）()22312+-=x y （B ）()32312+-=x y （C ）()12312--=x y （D ）()32312--=x y答案：B20.（2018北京顺义区初三上学期期末）5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是1x =-， 则这个二次函数的表达式为A. 223y x x =-++ B. 223y x x =++C. 223y x x =-+- D. 223y x x =--+答案：D21.（2018北京通州区第一学期期末）5. 二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，ac b 42-=∆，则下列四个选项正确的是（ ）A ．0<b ，0<c ，0>∆B ．0>b ，0<c ，0>∆C ．0>b ，0<c ，0>∆D ．0<b ，0>c ，0<∆ 答案：A22.（2018北京西城区第一学期期末）3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下 答案：A23.（2018北京西城区第一学期期末）6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）. A. m ≤4 B.<4m C. m ≥4- D.>4m - 答案：C24.（2018北京西城区第一学期期末）8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =， 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3答案：B二、填空题25、（2018北京东城区二模）抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.答案：()1,1m --26．（2018北京燕山地区一模）写出经过点（0，0），（-2，0）的一个二次函数的解析式（写一个即可） 答案：x x y 22+=27.（2018北京市朝阳区一模）抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为 ． 答案（3，-4）28.（2018北京市大兴区检测）请写出一个开口向下，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y= ．答案答案不唯一，如221y x x =-+-；29.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）抛物线2y x bx c =++经过点A （0，3），B （2，3），抛物线的对称轴为 ．答案：直线x=130.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，双曲线xk y =与抛物线c bx ax y ++=2交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），由图象可得不等式组c bx ax xk++<<20的解集为 .答案： x 2<x < x 331.（2018北京大兴第一学期期末）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0，2)的抛物线的表达式：_________． 答案： 22y x =+.（答案不唯一）32.（2018北京大兴第一学期期末）若函数231y ax x =++的图象与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是．答案： a ＜94且a ≠0. 33.（2018北京东城第一学期期末）若抛物线22y x x c =++与x 轴没有交点，写出一个满足条件的c 的值： . 答案：答案不唯一，1c ＞即可34.（2018北京东城第一学期期末）已知函数2-2-3y x x =，当-1x a ≤≤时，函数的最小值是-4，则实数a 的取值范围是 . 答案： 1a ≥35.（2018北京房山区第一学期检测）请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0， 1）的抛物线的表达式：_______． 答案：36.（2018北京房山区第一学期检测）如图，抛物线y ax =2和直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的根为 .答案：37、（2018北京房山区第一学期检测）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠ 的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为18322x -=⨯，2822x --=⨯. 则此二次函数图象的对称轴为 .答案：x=-238.（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为 ．答案：（2-，0）39.（2018北京怀柔区第一学期期末）抛物线y =2(x +1)2+3 的顶点坐标是 .答案：(﹣1，3)40.（2018北京怀柔区第一学期期末）把二次函数y =x 2-4x +5化成y=a (x -h )2+k 的形式为__________________． 答案：y =(x -2)2+141.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）二次函数2351y x x =++－的图象开口方向__________. 答案：向下42.（2018北京密云区初三（上）期末）抛物线223y x x =-+的对称轴方程是____________________. 答案：1x =43.（2018北京平谷区第一学期期末）关于x 的二次函数221y ax ax a =-+-（a ＞0）的图象与x 轴的交点情况是 ．答案：有两个不同交点44.（2018北京平谷区第一学期期末）将二次函数223y x x =-+化为()2y x h k =-+的形式，则h = ，k = ．答案：1；245.（2018北京顺义区初三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2122y x x =++可以看作是抛物线2221y x x =---经过若干次图形的变化（平移、翻折、旋转）得到的，写出一种由抛物线y 2得到抛物线y 1的过程： ． 答案：略46.（2018北京通州区第一学期期末）请你写出一个顶点在x 轴上的二次函数表达式 . 答案：y=x 2(答案不唯一)47.（2018北京通州区第一学期期末）二次函数c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，由图象可知，不等式02<++-c bx x 的解集为___________________.答案：x ＜-1或x ＞548.（2018北京西城区第一学期期末）抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .答案：（0，3）49.（2018北京西城区第一学期期末）如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .答案：-1＜x ＜250.（2018北京西城区第一学期期末）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .答案：②④51.（2018北京西城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .答案：答案不唯一，例如，将抛物线23(2)1y x =+-先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+52.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象． 解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1-，4-）．………………………………… 1分设二次函数的解析式为：2(1)4y a x =+-………………2分 把点（0，3）代入2(1)4y a x =+-得1a =∴2(1)4y x =+-…………………………………3分（2）如图所示 ……………………………………………………… 5分53.（2018北京大兴第一学期期末）已知二次函数y = x 2 ＋4x +3.（1）用配方法将y = x 2 ＋4x +3化成2()=-+y a x h k 的形式； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图象.解：（1）342++=x x y1442-++=x x2(2)1x =+-…………………………… 2分（2………………. 5分54.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 顶点为C 点．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若∠ACB =45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2），与直线AB 交于点N （x 3，y 3），若x 3<x 1<x 2，结合函数的图象，直接写出x 1+x 2+x 3的取值范围为 .解：（1）∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为,3-（0）；…………………… 1分∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)的对称轴为直线1x =，∴点B 的坐标为,0（1）．…………………… 2分（2）∵∠ACB =45°，∴点C 的坐标为,4-（1），…………………… 3分把点C 代入抛物线y=mx 2－2mx －3 得出1m =，∴抛物线的解析式为y=x 2－2x －3． …………………… 4分 （3）123523x x x <++< ……………………6分55.（2018北京大兴第一学期期末）已知一次函数1112=-y x ，二次函数224=-+y x mx （其中m ＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若5=m ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时自变量x 的取值范围内有 且只有一个整数，直接写出m 的取值范围．解：（1）∵224y x mx =-+，∴二次函数图象的顶点坐标为2(,4)24m m -+………………………………………………2分 （2）①当5m =时，2254y x x =-+．…………………………………………………………… 4分 如图, 因为10y >且2y ≤0，由图象,得2＜x ≤4． ……………………………………………… 5分 ②133≤m ＜5 …………………………………………………7分56.（2018北京东城第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2﹣2mx+n（m ≠0）与x 轴交于点A, B ，点A 的坐标为（02-，）． （1）写出抛物线的对称轴； （2）直线n m x y -4-21=过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ． ①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l 1: y=x+a 和l 2 : y=-x+ b 组成图形G .当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围.解：（1）抛物线的对称轴为直线1x =；………………2分 （2）根据抛物线的对称性，∵点A (-2，0) ， ∴ ()4,0B ．①抛物线过点A ，直线n m x y -4-21=过点B ， 可得440,14402m m n m n ++=⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得1,24.m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线的表达式是122y x =-，抛物线的表达式2142y x x =-++．………………5分 ②1532t -≤≤． ………………7分57.（2018北京房山区第一学期检测）下表是二次函数2y ax bx c =++的部分x ，y 的对应值：（2）当抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x n =+的下方时，n 的取值范围 是 ．答案：58.（2018北京丰台区第一学期期末）已知二次函数y = x 2 - 4x + 3． （1）用配方法将y = x 2 - 4x + 3化成y = a (x - h )2 + k 的形式； （2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象； （3）当0≤x ≤3时，y的取值范围是 .解：（1）2444+3y x x =-+-()221x =--. ……2分（2）如图： ….3分x +3（3）13y -≤≤ ….5分59.（2018北京丰台区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BC -AC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.解：（1）1,242 3.bb c ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分 其他方法相应给分.（3）点Q的坐标为（12-）或（12-）．……7分60.（2018年北京海淀区第一学期期末）已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．解：（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分61.（2018北京怀柔区第一学期期末）一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：(2)求m 的值；(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (4)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围.解：(1)设这个二次函数的表达式为2()y a x h k =-+.依题意可知，顶点为（-1，2），………………………1分∴ ()212++=x a y .∵图象过点（1，0）， ∴()21102++=a .∴12a =-. ∴这个二次函数的表达式为()21212++-=x y ………2分 (2)25-=m .………………………………………………3分 (3)如图…………………………………………………………………………………………5分 (4)x <-3或x >1..…………………………………………………………………………………6分 62.（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l : n x y +-=2与抛物线3242---=m mx mx y相交于点A （2-,7）.(1)求m 、n 的值；(2)过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ，设抛物线 与x 轴交于点C 、D (点C 在点D 的左侧)，求△BCD 的面积；(3)点E （t ,0）为x 轴上一个动点，过点E 作平行于y 轴的直线与直线l 和抛物线分别交于点P 、Q .当点P 在点Q 上方时，求线段PQ 的最大值.解：(1)m =1………………………………………………………………………1分n =3………………………………………………………………………………………………2分 (2)由(1)知抛物线表达式为y =x 2-4x -5 令y =0得，x 2-4x -5=0.解得x 1=-1，x 2=5，……………………………………………………………………………3分 ∴抛物线y =x 2-4x -5与x 轴得两个交点C 、D 的坐标分别为C (-1，0)，D (5，0) ∴CD =6.∵A (2-,7)，AB ∥x 轴交抛物线于点B ，根据抛物线的轴对称性，可知B (6，7)………4分∴S △BCD =21.……………………………………………………………………………………5分(3) 据题意，可知P (t ，-2 t +3)，Q ( t ，t 2-4 t -5),由x 2-4x -5=-2x +3得直线y =-2x +3与抛物线y = x 2-4x -5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5) ……………………………………………………………………………………………6分 ∵点P 在点Q 上方∴-2＜t ＜5, ∴PQ = -t 2+2 t +8=-( t -2) 2+9 ∵a =-1∴PQ 的最大值为9.……………………………………………………………………………7分63.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）已知二次函数2(1)1(0)y k x k x k =+++≠． （1）求证：无论k 取任何实数时，该函数图象与x 轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x 轴交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 值. 答案：（1）证明：令y =0，可得2(1)10kx k x +++=∵11a k b k c ==+=，， ∴△=221k k -+ (1)分=2(1)k - ………………………………………………2分 ∵2(1)0k -≥∴此二次函数的图象与x 轴总有交点．………………………………3分（2）解：令y =0，得2(1)10kx k x +++=解得 x 1=1(1)12k k k k --+-=-，x 2=1(1)12k k k----=-………………4分∵k 为整数，解为整数∴1k =±. ……………………………………5分64.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象如图所示．（1）求二次函数的表达式；（2）函数图象上有两点1(,)P x y ，2(,)Q x y ，且满足12x x <，结合函数图象回答问题； ①当3y =时，直接写出21x x -的值； ②当213x x -2≤≤，求y 的取值范围.答案：（1）选择坐标代入正确 ………………………………………………1分 得出表达式243y x x =-+………………………………………………3分（2）找到位置画出示意图 ① 214x x -=………………………………………………4分②由图象易得当y=0时212x x -=由于该函数图象的对称轴为2x =， 1(,)P x y ，2(,)Q x y ，在对称轴左右两侧对称分布，所以两点到对称轴的距离相等 所以，当213x x -=时即PQ =3 ∴MP = MN －PN =31222-=………………………………………………5分 ∴112x =代入243y x x =-+，解得54y =………………………………………6分 综上所述：504y ≤≤ ………………………………………7分65.（20182x bx c =++图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表:（1）求二次函数的表达式.（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y<0 时自变量x 的取值范围.解:（1）由已知可知，二次函数经过（0，3），（1，0）则有22003110b c b c ⎧+⨯+=⎪⎨+⨯+=⎪⎩ …………………………………………..2分 解得：34c b =⎧⎨=-⎩ ……………………………………………3分（2） 13x << …………………………………………………………………………5分 （其中画出二次函数示意图给1分）66.（2018北京密云区初三（上）期末）已知抛物线:221(0)y mx mx m m =-++≠. （1）求抛物线的顶点坐标.（2）若直线1l 经过（2，0）点且与x 轴垂直，直线2l 经过抛物线的顶点与坐标原点，且1l 与2l 的交点P 在抛物线上.求抛物线的表达式.（3）已知点A （0，2），点A 关于x 轴的对称点为点B.抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象写出m 的取值范围.答案： （1）解：将221y mx mx m =-++ 配方得 2(1)1y m x =-+∴ 抛物线的顶点坐标为（1，1）. ………………..3分 （2）由已知，2l 的表达式为y x =，1l 的表达式为2x = ∴交点(2,2)P代入221y mx mx m =-++，解得1m = . …………….5分 （3）当抛物线过（0，2）时，解得1m =结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB 恰有一个公共点，则 01m <≤当抛物线过（0，-2），解得3m =-结合图象可知，当抛物线开口向下且和线段AB 恰有一个公共点，则 30m -≤<综上所述，m 的取值范围是 01m <≤ 或30m -≤< ………….7分67.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，函数2y x bx c =-++的图象经过点A ，B ，C ．（1）求b ，c 的值；（2）画出这个函数的图象．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣1,0），B （0,3），∴10,3 .b c c --+=⎧⎨=⎩ ． (2)解得23b c =⎧⎨=⎩． (4)（2）图略． (5)68.（2018北京平谷区第一学期期末）已知函数22y x mx =-的顶点为点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）求函数22y x mx =-的图象与x 轴的交点坐标；（3）若函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围． 解：（1）22y x mx =-()22x m m =-- ............................................................................................. 1 ∴D （m ,2m -）． ................................................................................................ 2 （2）令y =0，得220x mx -=． 解得1202x ,x m ==．∴函数的图象与x 轴的交点坐标（0,0）,（2m ,0）． (4)（3）方法一：∵函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，∴顶点D 在直线y=m 的上方． ......................................................................... 5 ∴2m -＞m ． ........................................................................................................ 6 即2m m +＜0．由y =2m m -的图象可知，m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． ...................... 7 方法二：∵函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，∴22x mx -＞m ． ............................................................................................... 5 ∴当22x mx -=m 时，抛物线和直线有唯一交点． ∴()()2=24m m ∆---=2440m m += ．解得120,1m m ==-． ................................................................................... 6 ∴m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． .. (7)69.（2018北京石景山区第一学期期末）用配方法求二次函数3102+-=x x y 的顶点坐标． 答案： 解：3102+-=x x y325-52102++-=x x22-）5（2-=x ………………………………………………… 4分。

初三中考第一轮复习课题11：平面直角坐标系与函数初步【课前练习】1．（2018·扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．（3，－4）B ．（4，－3）C ．（－4，3）D ．（－3，4）2．(2018·沈阳)在平面直角坐标系中，点B 的坐标是(4，－1)，点A 与点B 关于x 轴对称，则点A 的坐标是A ．(4，1)B ．(－1，4)C ．(－4，－1)D ．(－1，－4)3.（2018海南）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第一象限，点A 的坐标是（4， 3），把△ABC 向左平移 6个单位长度，得到△A 1B 1C 1，则点B 1的坐标是A ．（－2，3）B ．（ 3，－1）C ．（－3，1）D ．（－5， 2） xy–1–2–3–4–512345–11234OA CB A1B1C14.（2018·宿迁）函数11-=x y 中，自变量x 的取值范围是 A ．0≠x B ．1<x C ．1>xD ．1≠x5.（2019•南岸区）在平面直角坐标系中，将点A （2，﹣3）向右平移3个单位后得到点B ，则点B 的坐标为 ．6.（2018秋•高邮市期末）已知点A （m ﹣1，﹣5）和点B （2，m +1），若直线AB ∥x 轴，则线段AB 的长为 ．7.（2018•资阳）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是 ．【知识点回顾】（1）平面上的点与一对有序实数对一一对应（2） 坐标的意义：1.位置 2.距离 3.平移（3） 各个位置上的点的特征：第一象限（＋，＋）；第二象限（—，＋）；第三象限（—，—）；第四象限（＋,—）；x 轴上的点纵坐标=0；y 轴上的点横坐标=0；一三象限的角平分线（直线y=x ）横坐标=纵坐标；二四象限的角平分线（直线y=-x ）横坐标、纵坐标互为相反数（4）点的位置变换：a) 平移：左右平移变化横坐标，左减右加，上下平移变化纵坐标，上加下减b) 轴对称：关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数 c) 中心对称：关于O 点对称，横纵坐标都互为相反数d) 位似：相似比为k ，则横纵坐标都乘以k 或﹣k（1）变量，函数的概念（2）函数的自变量a) 整式中的自变量取值为任意实数。

2019年北京市中考数学试卷一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（）A.0.439×106B.4.39×106C.4.39×105D.139×103【解析】本题考察科学记数法较大数，Na 10⨯中要求10||1<≤a ，此题中5,39.4==N a ，故选C2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选C 3．正十边形的外角和为（）A.180°B.360°C.720°D.1440°【解析】多边形的外角和是一个定值360°，故选B4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO=BO ，则a 的值为（）A.-3B.-2C.-1D.1【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点A 表示数为a ，点B 表示数为2，点C 表示数为a+1，由题意可知，a ＜0，∵CO=BO，∴2|1|=+a ，解得1=a （舍）或3-=a ，故选A5．已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ； （3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A.∠COM=∠COD B.若OM=MN ，则∠AOB=20°C.MN∥CDD.MN=3CD【解析】连接ON ，由作图可知△COM≌△DON. A. 由△COM≌△DON.，可得∠COM=∠COD，故A 正确.B. 若OM=MN ，则△OMN 为等边三角形，由全等可知∠COM=∠COD=∠DON=20°，故B 正确C.由题意，OC=OD ，∴∠OCD=2COD180∠-︒.设OC 与OD 与MN 分别交于R ，S ，易证△MOR≌△NOS，则OR=OS ，∴∠ORS=2COD180∠-︒，∴∠OCD=∠ORS.∴MN∥CD，故C 正确.D.由题意，易证MC=CD=DN ，∴MC+CD+DN=3CD.∵两点之间线段最短.∴MN＜MC+CD+DN=3CD ，故选D6．如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（） A .-3B.-1C.1D.3【解析】：()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅-⎪-⎝⎭))(()()(2n m n m n m m n m n m m n m -+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+=)(3))(()(3n m n m n m n m m m+=-+⋅-=1=+n m∴原式=3，故选D7．用三个不等式a b >，0ab >，11a b<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3【解析】本题共有3种命题： 命题①，如果0,>>ab b a ，那么ba 11<. ∵b a >，∴0>-b a ，∵0>ab ，∴0>-ab b a ，整理得ab 11>，∴该命题是真命题. 命题②，如果,11,ba b a <>那么0>ab . ∵,11b a <∴.0,011<-<-aba b b a ∵b a >，∴0<-a b ，∴0>ab . ∴该命题为真命题. 命题③，如果ba ab 11,0<>，那么b a >. ∵,11b a <∴.0,011<-<-aba b b a ∵0>ab ，∴0<-a b ，∴a b < ∴该命题为真命题. 故，选D8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．学生类型人数时间010t≤＜1020t≤＜2030t≤＜3040t≤＜40t≥性别男7 31 25 30 4 女8 29 26 32 8 学段初中25 36 44 11 高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是（）A.①③B.②④C.①②③D.①②③④【解析】①由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为24.5h ，女生为25.5h ，则平均数一定在24.5~25.5之间，故①正确②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15,60,51,62,12，则中位数在20~30之间，故②正确.③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10的人数在0~15之间，当人数为0时，中位数在20~30之间；当人数为15时，中位数在20~30之间，故③正确.④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为0~15，35,15，18,1.当0≤t＜10时间段人数为0时，中位数在10~20之间；当0≤t＜10时间段人数为15时，中位数在10~20之间，故④错误 故，选C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式1x x-的值为0，则x 的值为______.【解析】本题考查分式值为0，则分子01=-x ，且分母0≠x ，故答案为110．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC 的面积约为cm 2.（结果保留一位小数） 【解析】本题考查三角形面积，直接动手操作测量即可，故答案为“测量可知”11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号） 【解析】本题考查对三视图的认识.①长方体的主视图，俯视图，左视图均为矩形；②圆柱的主视图，左视图均为矩形，俯视图为圆；③圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为圆.故答案为①②第11题图③圆锥②圆柱①长方体第12题图PBA12．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝__________°（点A ，B ，P 是网格线交点）.【解析】本题考查三角形的外角，可延长AP 交正方形网格于点Q ，连接BQ ，如图所示，经计算105===PB BQ PQ ，，∴222PB BQ PQ =+，即△PBQ 为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∵∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为4513．在平面直角坐标系xOy 中，点A()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x=上，则12k k +的值为______. 【解析】本题考查反比例函数的性质，A （a ，b ）在反比例xk y 1=上，则ab k =1，A 关于x 轴的对称点B 的坐标为),(b a -，又因为B 在xk y 2=上，则ab k -=2，∴021=+k k 故答案为014．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．【解析】设图1中小直角三角形的两直角边分别为a ，b （b ＞a ），则由图2，图3可列方程组,15⎩⎨⎧=-=+a b b a 解得⎩⎨⎧==32b a ，所以菱形的面积.126421=⨯⨯=S 故答案为12. 15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，则21s ______2s . (填“>”，“=”或“<”) 【解析】本题考查方差的性质。

初中数学函数之平面直角坐标系基础测试题含答案解析(1)一、选择题1．根据下列表述，能确定位置的是()A．天益广场南区B．凤凰山北偏东42oC．红旗影院5排9座D．学校操场的西面【答案】C【解析】【分析】根据有序数对可以确定坐标位置对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、天益广场南区，不能确定位置，故本选项错误；B、凤凰山北偏东42o，没有明确具体位置，故本选项错误；C、红旗影院5排9座，能确定位置，故本选项正确；D、学校操场的西面，不能确定位置，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了坐标位置的确定，有序数对可以确定一个具体位置，即确定一个位置需要两个条件，二者缺一不可．2．点P（a，b）在y轴右侧，若P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（3，2）或（3，﹣2）D．（2，3）或（2，﹣3）【答案】C【解析】【分析】根据点P在y轴右侧可知点P在第一象限或第四象限，结合点P到x轴的距离是2可知点P的纵坐标是2或2-，而再根据其到y轴的距离是3得出点P的横坐标是3，由此即可得出答案．【详解】∵点P在y轴右侧，∴点P在第一象限或第四象限，又∵点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，-，横坐标是3，∴点P的纵坐标是2或2-)，∴点P的坐标是(3，2)或(3，2故选：C．【点睛】本题主要考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征，熟练掌握相关概念是解题关键.3．如果点P（3x+9，1 2x﹣2）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由点P（3x+9，12x﹣2）在平面直角坐标系的第四象限内，得：3901202xx+⎧⎪⎨-⎪⎩＞＜．解得：﹣3＜x＜4，在数轴上表示为：故选C．4．如图，动点P从()0,3出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为() A．()1,4B．()5,0C．()7,4D．()8,3【答案】C【解析】【分析】理解题意，由反射角与入射角的定义作出图形，观察出反弹6次为一个循环的规律，解答即可.【详解】如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2018÷6=336…2，∴当点P 第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹，点P 的坐标为（7，4）．故选C ．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，首先作图，然后观察出每6次反弹为一个循环，据此解答即可.5．如图，ABCDEF 是中心为原点O ，顶点A ，D 在x 轴上，半径为4的正六边形，则顶点F 的坐标为（ ）A ．()2,23B ．()2,2-C ．()2,23-D ．()1,3- 【答案】C【解析】【分析】 连接OF ，设EF 交y 轴于G ，那么∠GOF=30°；在Rt △GOF 中，根据30°角的性质求出GF ，根据勾股定理求出OG 即可．【详解】解：连接OF ，在Rt △OFG 中，∠GOF=13603026⨯=oo ，OF=4． ∴GF=2，3∴F （-2，3）．故选C ．【点睛】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的对称性是解答本题的关键．6．已知点() ,3A a 、点()3, B b -关于y 轴对称，点(),P a b --在第( )象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】【分析】根据点A 、点B 关于y 轴对称，求出a ，b 的值，然后根据象限点的符号特点即可解答.【详解】∵点() ,3A a 、点()3, B b -关于y 轴对称，∴a=3，b=3，∴点P 的坐标为()3, 3 --，∴点P 在第三象限，故答案为：C.【点睛】本题考查了轴对称和象限内点的符号特点，解题的关键是熟练掌握其性质.7．已知点A 的坐标为（a +1，3﹣a ），下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在y 轴上，则a ＝3B ．若点A 在一三象限角平分线上，则a ＝1C ．若点A 到x 轴的距离是3，则a ＝±6D ．若点A 在第四象限，则a 的值可以为﹣2【答案】B【解析】【分析】依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论.【详解】解：A ．若点A 在y 轴上，则a +1＝0，解得a ＝﹣1，故本选项错误；B ．若点A 在一三象限角平分线上，则a +1＝3﹣a ，解得a ＝1，故本选项正确；C ．若点A 到x 轴的距离是3，则|3﹣a |＝3，解得a ＝6或0，故本选项错误；D ．若点A 在第四象限，则a +1＞0，且3﹣a ＜0，解得a ＞3，故a 的值不可以为﹣2； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0.8．平面直角坐标系中，点A(-3，2)，()3,5B ，(),C x y ，若AC ∥x 轴，则线段BC 的最小值及此时点C 的坐标分别为( )A ．6，()3,4-B ．2，()3,2C ．2，()3,0D ．3，()3,2【答案】D【解析】【分析】由AC ∥x 轴，A （-3，2），根据坐标的定义可求得y 值，根据线段BC 最小，确定BC ⊥AC ，垂足为点C ，进一步求得BC 的最小值和点C 的坐标．【详解】∵AC ∥x 轴，A （-3，2），(),C x y ，()3,5B ，∴y=2，当BC ⊥AC 于点C 时， 点B 到AC 的距离最短，即：BC 的最小值=5−2=3，∴此时点C 的坐标为(3，2)．故选D ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中的点的坐标，根据题意，画出图形，掌握“直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短”，是解题的关键．9．在平面直角坐标系中，点(),P x y 经过某种变换后得到点()'1,2P y x -++，我们把点()'1,2P y x -++叫做点(),P x y 的终结点．已知点1P 的终结点为2P ，点2P 的终结点为3,P 点3P 的终结点为4P ，这样依次得到1234,,,,,n P P P P P ⋅⋅⋅.若点1P 的坐标为(50,)，则2017P 点的坐标为( )A ．()2,0B ．()3,0C ．()4,0D ．()5,0【答案】D【解析】【分析】根据题意先求出12345,,,,P P P P P L 的坐标，然后找到规律，利用规律即可求出答案．【详解】∵点1P 的坐标为(5)0，，根据题意有 ∴2345(1,7),(6,3),(2,4),(5,0)P P P P ---，由此可见，n P 点的坐标是四个一循环，201745041÷=Q L ，∴2017P 点的坐标为()5,0，故选：D ．【点睛】本题主要考查点的坐标的规律，找到规律是解题的关键．10．根据下列表述，能确定位置的是( )A ．红星电影院第2排B ．北京市四环路C ．北偏东30°D ．东经118°，北纬40°【答案】D【解析】解：在平面内，点的位置是由一对有序实数确定的，只有D 能确定一个位置， 故选D ．点睛：本题考查了在平面内，如何表示一个点的位置的知识点．11．在平面直角坐标中，点M(－2，3)在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】∵−2<0，3>0，∴(−2,3)在第二象限，故选B.12．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的13，则点A 的对应点A′的坐标是( )A．(2，3) B．(6，1) C．(2，1) D．(3，3)【答案】A【解析】【分析】先写出点A的坐标为（6，3），纵坐标保持不变，横坐标变为原来的13，即可判断出答案．【详解】点A变化前的坐标为(6,3)，将纵坐标保持不变,横坐标变为原来的13，则点A的对应点A′坐标是(2,3).故选A.【点睛】本题考查的是坐标，熟练掌握坐标是解题的关键.13．如图，象棋盘上，若“将”位于点（1，﹣2），“象”位于点（5，0），则炮位于点（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，2）【答案】C【解析】【分析】根据“将”的位置向左平移一个单位所得直线是y轴，向上平移2个单位所得直线是x轴，根据“炮”的位置，可得答案．【详解】解：根据题意可建立如图所示坐标系，由坐标系知炮位于点（﹣2，1），故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用“将”的位置向左平移一个单位所得直线是y 轴，向上平移2个单位所得直线是x 轴是解题关键．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为()2,3，则菱形OABC 的面积是（ ）A ．6B ．13C ．3132D ．313【答案】D【解析】【分析】 作CH ⊥x 轴于点H ，利用勾股定理求出OC 的长，根据菱形的性质可得OA ＝OC ，即可求解．【详解】如图所示，作CH ⊥x 轴于点H ，∵四边形OABC 是菱形，∴OA ＝OC ，∵点C 的坐标为()2,3，∴OH ＝2，CH ＝3，∴OC ＝22OH CH +＝2223+＝13∴菱形OABC 的面积＝OA·CH ＝313 故选：D【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质、菱形的面积公式，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形．15．会议室2排3号记作（2，3），那么3排2号记作（）A．（3，2）B．（2，3）C．(-3，-2) D．（-2，-3）【答案】A【解析】【分析】根据有序数对的意义求解.【详解】会议室2排3号记作（2，3），那么3排2号记作（3，2）.故选：A【点睛】关键是理解题意，理解有序数对的意义.．16．在平面直角坐标系中．对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：①f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；②g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g（2，1）=（﹣2，﹣1）．按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（3，2）]等于（）A．（3，2） B．（3．﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）【答案】C【解析】【分析】根据f、g的规定进行计算即可得解．【详解】g[f（3，2）]=g（3，﹣2）=（﹣3，2）．故选C．【点睛】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解f、g的运算方法是解题的关键．17．若点A(a＋2，b－1)在第二象限，则点B(－a，b－1)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【分析】【详解】解：因为点A(a＋2，b－1)在第二象限，所以a＋2＜0，b－1＞0，则-a＞2，，b－1＞0，即点B的横坐标为正数，纵坐标为正数，所以点B在第一象限，故选A18．在平面直角坐标系中，点(一6，5)位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】根据所给点的横纵坐标的符号可得所在象限．【详解】解：∵所给点的横坐标是-6为负数，纵坐标是5为正数，∴点（-6，5）在第二象限，故选：B ．【点睛】本题考查象限内点的符号特点；用到的知识点为：符号为（-，+）的点在第二象限．19．点P(a,b)在第四象限,则点P 到x 轴的距离是（ ）A ．aB ．bC ．|a|D ．|b|【答案】D【解析】∵点P （a ，b ）在第四象限，∴b ＜0，∴点P 到x 轴的距离是|b|．故选D ．20．在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点()2,3A 逆时针旋转180︒，得到点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．(2,3)-D ．(3,2)-- 【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的性质解决问题即可．【详解】由题意A ，B 关于O 中心对称，∵A （2，3），∴B （-2，-3），故选：B ．【点睛】此题考查中心对称，坐标与图形的变化，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（A）60.43910´（B）64.3910´（C）54.3910´（D）343910´2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）3．正十边形的外角和为（A）180o（B）360o（C）720o（D）1440o4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（A）3-（B）2-（C）1-（D）15．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC 长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（A）∠COM=∠COD （B）若OM=MN，则∠AOB=20°（C）MN∥CD （D）MN=3CD6．如果1m n+=，那么代数式()22221m nm nm mn m+⎛⎫+⋅-⎪-⎝⎭的值为（A）3-（B）1-（C）1 （D）3NMDO BCPA7．用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．学生类别5下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是 （A ）①③ （B ）②④（C ）①②③（D ）①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式1x x -的值为0，则x 的值为______.10．如图，已知ABC !，通过测量、计算得ABC !的面积约为______cm2.（结果保留一位小数）11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）第10题图CBA第11题图③圆锥②圆柱①长方体第12题图BA12．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝__________°（点A ，B ，P 是网格线交点）.13．在平面直角坐标系xOy 中，点A()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x =上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x =上，则12k k +的值为______.14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．图3图2图115．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，则21s ______20s . (填“>”，“=”或“<”)16．在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()01142604sinπ----++o（）.18．解不等式组：4(1)2,7.3x xxx-<+⎧⎪+⎨>⎪⎩19．关于x的方程22210x x m-+-=有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=1 2，求AO的长．21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b ．国家创新指数得分在60≤x ＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：40/万元d ．中国的国家创新指数得分为69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》） 根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线1l的上方．请在图中用“d ”圈出代表中国的点； （3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是______．①相比于点A ，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B ，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ． （1）求证：AD=CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．CBA23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有i x 首，i =1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（1i +）天背诵第二遍，第（3i +）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题： （1）填入3x 补全上表；（2）若14x =，23x =，34x =，则4x 的所有可能取值为_________；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．24．如图，P 是与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上一动点，连接PC 交弦AB 于点D ．ABCDP小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C 在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度 的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和 ______的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD 时，AD 的长度约为______cm ．25. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：()10y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A ，B ，直线x k =与直线y k =-交于点C ．（1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA ，，围成的区域（不含边界）为W ． ①当2k=时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数；②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx a =+-与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2Pa-，(2,2)Q．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．已知30AOB∠=︒，H为射线OA上一定点，31OH=+，P为射线OB上一点，M 为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP∠为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150︒，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN∠=∠；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．备用图图1BAOO AB28．在△ABC中，D，E分别是ABC!两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．（1）如图，在Rt△ABC中，22AB AC D E==，，分别是AB AC，的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t>，，，在△ABC中，D E，分别是AB AC，的中点．①若12t=，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2019年北京市中考数学答案一. 选择题.二. 填空题.9. 1 10. 测量可知11. ①②12. 45°13. 0 14. 12 15. =16. ①②③三. 解答题.17．【答案】18．【答案】2 x<19.【答案】m=1，此方程的根为121x x== 20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD，AC平分∠BAD∵BE=DF∴AB BE AD DF-=-∴AE=AF∴△AEF是等腰三角形∵AC平分∠BAD∴AC⊥EF（2）AO =1.21.【答案】（1）17（2）（3）2.7（4）①②22.【答案】（1）∵BD平分∠ABC∴∠=∠ABD CBD∴AD=CD（2）直线DE与图形G的公共点个数为1.23．【答案】（1）如下图第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组第2组第3组3x3x3x第4组（2）4，5，6（3）2324．【答案】（1）AD， PC，PD；（2）（3）2.29或者3.98 25. 【答案】 （1）()0,1（2）①6个 ②10k -≤<或2k =-26. 【答案】（1）1(2,)B a -； （2）直线1x =；（3）1a -≤２．27. 【答案】 （1）见图 （2）在△OPM 中，=180150OMP POM OPM OPM ∠︒-∠-∠=︒-∠150OPN MPN OPM OPM ∠=∠-∠=︒-∠ OMP OPN ∴∠=∠（3）OP=2. 28. 【答案】（1）如图：1801180180n r l πππ===g（2）①1Py ≥或12P y ≤；②0t<≤BC。

一、选择题1、(2018北京昌平区初一第一学期期末)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a .如：1☆3=1×32+1=10.则（-2）☆3的值为 A ．10 B ．-15C . -16 D ．-20 答案：D 二、填空题3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当a ≤b 时，都有2a b a b ∆=；当a ＞b 时，都有2a b ab ∆=．那么，2△6 = ，2()3-△(3)-=． 答案：24，-64．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°． 答案605、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．三、解答题图2图1DE CBAF MCBA6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：a c =bad bc d-．例如：1214-23=-2.34××=（1）按照这个规定，请你计算5624的值．（2）按照这个规定，当5212242=-+-x x 时求x 的值． 答案（1）5624=20-12=8 (2)（2）由5212242=-+-x x 得5224221=++-)()(x x ...............................................................4 解得，x =1 (5)7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2． 根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=;（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x =;（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值． 答案.解：（1）﹣5……………………..２分（2）1 ……………………..４分（3）∵等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数 ∴（2x ﹣1）k ﹣（﹣3）（x ﹢k ）=5﹢2k ∴（2k ﹢3）x =5∴523x k =+∵k 是整数 ∴2k +3=±1或±5∴k =1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =()1a a b +-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)-⊙(5)-＝3(35)123-⨯---=．（1）求(2)-⊙132的值；（2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m ⊕n＝（用含m ，n 的式子表示）．答案解：（1）(2)-⊙1132(23)122=-⨯-+- 4=-.（2）答案不唯一，例如：m n ⊕=(1)m n +.9．（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线y = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围． 解：（1）25π；………………… 2分（2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积为9π，∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．①当0b >时，则点B 在第二象限． 过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴2BE AE ==．∴22B-（，． ②当0b <时，则点'B 在第四象限．同理可得'22B -（．综上所述，点B 的坐标为22-（，或22-（． ………………… 6分（3）5m -≤或11m ≥．10．（2018北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中，与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4）（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标px 的取值范围；（3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取值范围． 解：(1)F ……1分(2)-3≤p x ≤3 且p x ≠0……4分(3)4< r≤5……7分11. （2018北京市朝阳区综合练习（一））对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为 线段AB 的伴随点． （1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是； ②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ，且MN 5=，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围． 解：（1）①线段AB 的伴随点是:23,P P . ………………………………………………2分 ②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.…………………………………………………………4分如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值. ………………………………………………………5分 ∴b 的取值范围是3≤b ≤5. ………………………………………6分（2）t 的取值范围是-12.2t ≤≤……………………………………8分 12．（2018北京丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ． 已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． （1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标； （3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．解：（1）点和线段（2）点A 和⊙G 半径为1的圆上运动. 因为点K 在直线y =- x +1上，A BC 图1图2设点K 的坐标为（x ，- x +1）， 则x 2+（- x +1）2=12，解得x 1=0，x 2=1.所以点K 的坐标为（0，1）或（1，0）.………5分（3）（说明：点与⊙C 的“中立点”在以线段NC 的中点P 为圆心、半径为1的圆上运动.圆P 与y 轴相切时，符合题意.） 所以点N 的横坐标的取值范围为-6≤x N ≤-2. ………8分13．（2018北京海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C e ，给出如下定义：若C e 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C e 上，则称P 为C e 的反射点．下图为C e 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A e 的半径为2， ①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A e 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为A e 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C e 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C e 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围． 解（1）①A e 的反射点是M ，N ．………………1分 ②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图． 可求得点D 的横坐标为32-． 同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为2-，2，32． 点P 是A e 的反射点，则A e 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在A e 上，则'OP OP =. ∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ．反之，若13≤≤OP ，A e 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的N yxPOC T P’垂直平分线经过原点，且与A e 相交．因此点P 是A e 的反射点． ∴点P 的横坐标x的取值范围是22≤x --22≤x ．………………4分 （2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是44≤≤x -．………………7分14、．（2018北京西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的”，直接写出b的取值范围．解：（11分②是．……………………………………………………………………………2分x（2）①如图9，当r =1时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM ⊥CM ． ∵(1,0)Q -，(1,0)C ，r =1， ∴2CQ =，1CM =．∴MQ =此时2MQk CQ==．……………………………………………………3分②如图10，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN ＜QM ，点N ，M 在x 轴下方时同理）． 作CD ⊥QM 于点D ，则MD=ND ．∴()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=． ∵2CQ =， ∴2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===．∴当k DQ = 此时1CD ==． 假设⊙C 经过点Q ，此时r= 2． ∵点Q 在⊙C 外，∴r 的取值范围是1≤r ＜2．……………………………………………5分（3）b ＜7分15. （2018北京怀柔区一模）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PA PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是； ②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围； (2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．解：(1)①P 1（,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2分 ②如图，在y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点P ，点O到直线y=x+b 的距离m ≤2. 直线y=x+b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y=x+b 1于点H. 因为OH=2，在Rt △DOE 中，可知OE=2. 可得b 1=2.同理可得b 2=-2.∴b 的取值范围是:≤b ≤. …………………………………………………6分 (2)x>或.…………………………………………………………………………8分16. （2018北京平谷区中考统一练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；⋅2222222-2233-<x（3）⊙O的半径为2，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．解：（1）60； ······························································································· 1 （2）∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°． 过点C 作CE ⊥DE 于E ．∴D （4,5）或()2,5-． .......................................................... 3 ∴直线CD 的表达式为1y x =+或3y x =-+． .. (5)（3）15m ≤≤或51m -≤≤-． (7)17．（2018北京顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”． 图1Q 2Q 12L 1P64225510D CBAO例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、12''r O M O N r =2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'． 2y x =、（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．解：（1）是．过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ．∴AD ∥BC ． ∴122===OA OD k OB OC k ． ∴两抛物线曲似，曲似比是12．………… 3分（2）假设存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切．则OA=OC=2k ，又∵OD=k ，AD=k 2，并且OD 2+AD 2= OA 2，图2C 2C 1NMO'∴k 2+（k 2）2=（2k ）2． ∴3k =±．（舍负） 由对称性可取3k =-．综上，3k =±．………………………… 6分（3）m 的取值范围是m ＞1，k 与m 之间的关系式为k 2=m 2-1 ．………8分18、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称2d 为点P 的最大距离.例如：点P （3-，4）到到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3<4，所以点P 的最大距离为4. （1）①点A （2，5-）的最大距离为；②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为；（2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，（3）若⊙O 直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.xy –1–2–3–4–512345–112345O解：（1）①5………………………1分②5±………………………3分 （2）∵点C 的最大距离为5，∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时，5x =±.………………4分 分别把5x =±，5y =±代入得： 当5x =时，7y =-，当5x =-时，3y =，当5y =时，7x =-，当5y =-时，3x =，∴点C （5-，3）或（3，5-）.………………………5分（3）5r ≤≤…………………………………7分19、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0, 6），点B 在x 轴的正半轴上. 若点P ,Q 在线段AB 上，且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P ,Q 的“X 矩形”.下图为点P ,Q 的“X 矩形”的示意图.（1）若点B （4,0），点C 的横坐标为2，则点B ,C 的“X 矩形”的面积为. （2）点M ，N 的“X 矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围.备用图答案：（1）6；…………………………………………………………………………1分（2）①B（6,0）………………………………………………………………………2分N（1,5）或N（5,1）…………………………………………………………4分xy5=；……………………………………………………………………………5分②23230-<<r或229>r. …………………………………………………8分20、（2018北京东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1,0），P2,1），P3（72,0），P4（5,0）中，⊙O的和睦点是________；（2）若点P（4,3）为⊙O的和睦点，求⊙O 的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．答案：解：（1）P 2，P 3； ………………2分 （2）由勾股定理可知，OP =5，以点O 为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP 于点Q ，R ，可知PQ =PR =1，此时P 是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足0<r <4时，点OP -r >1，此时，P 不是⊙O 的和睦点； 若⊙O 半径r 满r >6时，r -OP >1，此时，P 也不是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足4<r <6时，设⊙O 与射线OP 交于点T 即PT <1时，可在⊙O 上找一点S ，使PS =1，此时P 是⊙O 的和睦点；综上所述，46r ≤≤． ………………4分（3）53A x --≤11A x ≤≤． ………………8分21、（2018北京丰台区第一学期期末）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”.（1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12），P 2（0，－2），P 3，0）中，⊙O 的“离心点”是；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围； （2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B .如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.解：（1）①2P ，3P ；……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分 故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分22、（2018年北京海淀区第一学期期末）对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________； （2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分（2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B . 作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ， ∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴∠OAM =∠HMC .∴1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85， 故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ……………3分 由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.……………4分 ∴点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤. （3）431b -≤≤-或143b ≤≤- ………………7分23、（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为x ，纵坐标为2x ，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (21，1)、N (1，21)中，是“关系点”的； (2)⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ，求点P 坐标；(3)点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有一个．．．．．．“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．解：(1)A 、M . ……………………………………………………………………………………2分 (2)过点P 作PG ⊥x 轴于点G …………………………………………………………………3分 设P （x ，2x ）∵OG 2+PG 2=OP 2………………………………………………………………………………4分 ∴x 2+4x 2=1 ∴5x 2=1∴x 2=∴x = ∴P (，)或P (，)……………………………………………………5分(3)r =或…………………………………………………………7分24、（2018P 为端点竖直向下的一条射线PN ，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线1PN ，2PN ，我们规定：12N PN ∠为点P 的“摇摆角”，射线PN 摇摆扫过的区域叫作点P 的“摇摆区域”（含1PN ，2PN ）.5155±5555255-552-5564117≤<r在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)P .（1）当点P 的摇摆角为60︒时，请判断(0,0)O 、(1,2)A 、(2,1)B、(20)C 属于点P 的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；（2）如果过点(1,0)D ，点(5,0)E 的线段完全在点P 的摇摆区域内，那么点P 的摇摆角至少为_________°； （3）⊙W 的圆心坐标为(,0)a ，半径为1，如果⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60︒时的摇摆区域内，求a 的取值范围．解：（1）点B ，点C （2）90°………………………………………………………3分 （3）当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 左边的射线相切时如图28-1∵点(2,3)P 的摇摆角为60° ∴30KPF∠=︒，3PF =在Rt △PFK 中，tan tan 30KFKPF PF∠=∠︒=在 可求得KF ∵30KPF ∠=︒， ∴60PKF ∠=︒在Rt △PFK 中，sin sin 60QKF KW∠=∠︒=，可求得KW =x∴22OW OF KF KW =-+=-=-当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 右边的射线相切时如图28-2同理可求得OW∴2a ≤25、（2018北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点. （1）当O e 的半径为1时，①点11(,0)2P,2P ,3(0,3)P中，O e 的关联点有_____________________. ②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是O e 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.备用图备用图答案：（1）12P P 、 ………2分x（2）如图，以O 为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于12,P P 两点.线段12P P 上的动点P （含端点）都是以O 为圆心，1为半径的圆的关联点.故此x ≤≤…………………………………………………………6分（3）由已知，若P 为图形G 的关联点，图形G 必与以P 为圆心1为半径的圆有交点.Q 正方形ABCD 边界上的点都是某圆的关联点∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O 为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，1为半径的圆.综上所述，13r ≤≤.………………………..8分26、（2018北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）以O 为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”； （2）点M ,N 是一对“互换点”，点M 的坐标为(m ,n )，且(m ＞n )，⊙P 经过点M ,N ．①点M 的坐标为(4,0)，求圆心P 所在直线的表达式； ②⊙P 的半径为5，求m －n 的取值范围．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； (2)（2）①连结MN ，∵OM =ON =4，∴Rt △OMN 是等腰直角三角形． 过O 作OA ⊥MN 于点A ，∴点M ,N 关于直线OA 对称． ......................................................... 3 由圆的对称性可知，圆心P 在直线OA 上． ................................. 4 ∴圆心P 所在直线的表达式为y=x ． ................................................ 5 ②当MN 为⊙P 直径时，由等腰直角三角形性质，可知m －n= ..... 6 当点M ,N 重合时，即点M ,N 横纵坐标相等，所以m －n =0； ................. 7 ∴m －n 的取值范围是0＜m －n≤ (8)27、（2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式；（3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线xy 3-=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．解：（1）120º； ……………………………………………………………2分 （2）∵C ,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x 轴平行，∴直线CD 与x 轴成60°角，与y 轴成30°角，通过解直角三角形可得D 的坐标为)343(，或)343(，-，进一步得直线CD的表达式为33+=x y 或33+-=x y . …………………………………………5分（3）31N x -≤≤-或13N x ≤≤. ……………………8分28、（2018北京通州区第一学期期末）点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为P d .特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0. 当⊙O 的半径为2时： （1）若点⎪⎭⎫⎝⎛-0,21C ，()4,3D ，则=C d _________，=D d _________； （2）若在直线22+=x y 上存在点P ，使得2=P d ，求出点P 的横坐标； （3）直线()033>+-=b b x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在点P ，使得32<≤P d ，请你直接写出b 的取值范围.答案：29、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点． （1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．答案：30、（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A (2-,0)，点B (1,1)，点C (1-,2-)，则A 、B 、C 三点的“横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的“纵长”b =|1(2)--|=3.因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点.（1）在点R (3，5)，S (3，2-)，T (4-，3-)中，与点A 、B 为正方点的是；（2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为；（3）已知点D (1，0).①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形；②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．（备用图）解：（1）点R ………………………1分 （2）−2或3………………………3分（3）①画出如图所示的图像………………………5分y xxyyx②52m ≥或2m ≤-………………………7分31、（2018北京朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点． （1）当直线m 的表达式为y =x 时，①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-，22）中，直线m 的平行点是； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标.（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n 的取值范围．答案：（1）①P 2，P 3 ……………………………………………………………………2分②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线.设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1. 由直线m 的表达式为y =x ，可知∠OAB=∠OBA =45°. 所以OB=2.直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q . 连接OQ 1，作Q 1N ⊥y 轴于点N ，可知OQ 1=10. 在Rt △OHQ 1中，可求HQ 1=3. 所以BQ 1=2.在Rt △BHQ 1中，可求NQ 1=NB=2. 所以ON=22.所以点Q 1的坐标为（2，22）.同理可求点Q 2的坐标为（22-，2-）.……………………………4分如图2，当点B 在原点下方时，可求点Q 3的坐标为（22，2）点Q 4的坐标为 （2-，22-）.………………………………………………………6分综上所述，点Q 的坐标为（2，22），（22-，2-），（22，2），（2-，22-）. （2）334-≤n ≤334.……………………………………………………………8分32、（2018北京东城区二模）研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =. 基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ； （2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C (t . ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________. (1)12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF = ∴.AF d CF ≤≤ ∵=4=29AF CF ，∴29.d 4≤≤ ---------------------------------------------------------------------------------- 5分 ②33 1.t --2≤≤2 ------------------------------------------------------------------------8分33、（2018北京房山区二模）已知点P ，Q 为平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q作⊙P ，则称点Q 为⊙P 的“关联点”，⊙P 为点Q 的“关联圆”.（1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （－12，32 ），M （0，－1）中，⊙O 的“关联点”为； （2）若点P （2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为 5 ，求n 的值；（3）已知点D （0，2），点H （m ，2），⊙D 是点H 的“关联圆”，直线443y x =-+与 x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围.解：（1）①F ，M .………………………………………………………………………2′（注：每正确1个得1分） （2）如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H . ∵PH =1，QH =n ，PQ =5 ∴由勾股定理得，PH 2+QH 2=PQ 2 即()22215n +=解得，2n =或－2. ………………………………………………………4′（3）由443y x =-+，知A （3，0），B （0，4） y T B∴可得AB =5I. 如图2（1），当⊙D 与线段AB 相切于点T 时，连接DT .则DT ⊥AB ，∠DTB =90°∵OA DTsin OBA AB BD∠== ∴可得DT =DH 1=65∴165m =…………………………………………………5′II. 如图2（2）, 当⊙D 过点A 时，连接AD .由勾股定理得DA =OD 2+OA 2=DH 2=13 ……………………6′ 综合I ，II 可得：65m ≤-或65m ≤8′34、（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q，之间的“直距”定义为：2121y y x x D PQ -+-=.例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MN D =-+---=.已知点A (1，0)、点B (-1，4). （1）则_______=AO D ，_______=BOD ；（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标； （3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.答案. （1）1AO D =，5BO D =；………………2分（2）如图：解法1：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则222x x +-+=，则点C 的坐标为（0，2）或42(,)33-. 解法2：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.点C 与点O 之间的“直距CO D ”为2的运动轨迹为以点O 为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为4的正方形.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则利用直线解析式可求得，点C 的坐标为（0，2） 或42(,)33-. ………………5分（3）EO D 的取值范围为45EO D -≤+7分35、（2018北京海淀区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数；（2）0m >，已知1y x=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围． （3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．答案28．解：（1）函数21y x =-的限减系数是2；（2）若1m >，则10m ->，（1m -，11m -）和（m ，1m）是函数图象上两点，11101(1)m m m m -=-<--，与函数的限减系数4k =不符，∴1m ≤．若102m <<，（1t -，11t -）和（t ，1t）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，1111(1)t t t t -=---， ∵(1)0t t -->，且2211111(1)()()24244t t t m --=--+≤--+<，∴1141t t ->-，与函数的限减系数4k =不符. ∴12m ≥． 若112m ≤≤，（1t -，11t -）和（t ，1t ）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，1111(1)t t t t -=---， ∵(1)0t t -->，且2111(1)()244t t t --=--+≤，∴11141(1)t t t t -=≥---，当12t =时，等号成立，故函数的限减系数4k =． ∴m 的取值范围是112m ≤≤． （3）11-n ≤≤．36．（2018北京市东城区初二期末）定义：任意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1） 若1,a b ==直接写出,a b 的“如意数”c ；（2） 如果4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数”0c ≤（3）已知2=1(0)a x x -≠，且,a b 的“如意数”3231,c x x =+-，则b =(用含x 的式子表示).解：（1） 1.2c =L L 分2224,(4)()(4)()44444(m 2)05a m b mc m m m m m m c m m c （2）分分=-=-∴=-⨯-+-+-=-+-=-+-=--∴≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q L Q26b x =+L L （3）分37.（2018北京市平谷区初二期末）对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于a 的最大整数，称[]a 为a 的根整数，例如：[]39=，[]310=.(1)仿照以上方法计算：[]=4_______;[]=26________.（2）若[]1=x ，写出满足题意的x 的整数值______________.如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次[][]13310=→=，这时候结果为1.（3）对100连续求根整数，______次之后结果为1.（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是________. 解：(1)2, 5 (2)1,2,3 (3) 3 (4)25538.（2018北京市顺义区八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.（1）下列分式: ①211x x -+；②222a b a b --；③22x y x y +-；④222()a b a b -+. 其中是“和谐分式”是 (填写序号即可)；（2）若a 为正整数，且214x x ax -++为“和谐分式”，请写出a 的值;（3）在化简22344a a bab b b -÷-时， 小东和小强分别进行了如下三步变形:小东：22344=a a ab b b b -⨯-原式223244a a ab b b =--()()222323244a b a ab b ab b b --=- 小强：22344=a a ab b b b -⨯-原式()22244a a b a b b =--()()2244a a a b a b b --=- 显然，小强利用了其中的和谐分式, 第三步所得结果比小东的结果简单，。