【学生版】
*10.5异面直线间的距离
【知识梳理与拓展】
1、定理：
对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交；
2、两条异面直线之间的距离
我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；
我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段
求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离；
【典例注解】
例1、已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a，
E，F分别是AB，CD的中点；
（1）求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段；
（2）求异面直线AB与CD的距离．
【提示】；
【答案】
例2、在矩形ABCD中，ABa，ADbba，沿对角线AC将ADC折起，
使AD与BC垂直，求异面直线AD与BC间的距离．
【提示】
【答案】
【解析】
【精炼实践】
1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）
A．若直线a，且∥，则直线a与平面的距离等于平面、间的距离；
B．若平面∥平面，点A，则点A到平面的距离等于平面、间的距离；
C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；
D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C
2、棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________．
3、（1）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为a，则异面直线1BB与AD公垂线是______．
（2）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为a，则异面直线1AA与11BC距离是______．
异面直线距离的向量公式法推导
两条不平行的直线可以确定一个平面，我们可以利用该平面来求解异面直线的距离。在推导异面直线距离的向量公式前，我们先来回顾一下向量的基本概念和运算法则。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头上的字母表示。向量可以通过坐标表示也可以使用定点表示。两个向量之间可以进行加法、减法、数乘等运算。
设两条异面直线分别为L1和L2,并设相应的参数方程为：
L1:X=a1+t1m1,Y=b1+t1n1,Z=c1+t1p1
L2:X=a2+t2m2,Y=b2+t2n2,Z=c2+t2p2
其中（a1,b1,c1）和（a2,b2,c2）为两条直线上已知的点，（m1,n1,p1）和（m2,n2,p2）为方向向量。
想要求解异面直线的距离，我们需要找到两条直线上的两个点，使得连接这两个点的向量和两条直线的方向向量垂直。
选择L1上的一点P1，我们可以取t1=0，此时P1的坐标为（a1,b1,c1）。根据向量的线性组合，L2上对应的点坐标为（a2,b2,c2）+t2（m2,n2,p2）。
两个点之间的向量AB可以表示为:
AB=P2-P1=(a2,b2,c2)+t2(m2,n2,p2)-(a1,b1,c1)
要使得向量AB垂直于L1和L2的方向向量，我们需要满足两个条件：
AB·(m1,n1,p1)=0 AB·(m2,n2,p2)=0
展开上述两个等式得到：
(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)+t2(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)=0
(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m2,n2,p2)+t2(m2,n2,p2)·(m2,n2,p2)=0
我们可以将这两个等式整理成一个方程组形式：
[(m1,n1,p1)·(m1,n1,p1)]t2+[(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)]t2=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)]
知识创造未来
1 / 2 异面直线间距离公式
异面直线是三维几何中一个重要的概念，指的是两条不在同一个平面上的直线。在三维空间中，两条异面直线之间存在唯一的距离，这个距离是非常重要的，因为它可以帮助我们解决很多实际问题。
那么什么是异面直线之间的距离公式呢？下面让我们来详细介绍。
首先，我们需要明确一点：异面直线之间的距离不能直接通过计算两个直线的距离得出。这是因为两条直线之间的距离并不一定是两个直线之间最近点的距离，因为它们可能会在某一个角度上相交。因此，我们需要找到一条垂直于两条直线的直线，才能求出它们之间的距离。
具体来说，设两条直线为L1和L2，我们需要找到一条直线L3，它既垂直于L1，又垂直于L2。这样，我们就可以通过求取L1和L2在L3上的投影长度来计算它们之间的距离。
如何求出直线L3呢？下面是一个简单的方法：
首先，我们可以选择一个点P1，它在L1上。然后，我们再选择一个点P2，它在L2上。利用向量的知识，我们可以求出向量v1，它从点P1到点P2的矢量。接下来，我们可以选择一个点P3，它在L2上，并且位于向量v1所在的平面上。这样，我们就可以求出向量v2，它从点P1到点P3的矢量。最后，我们就可以通过向量叉乘的方法，求出知识创造未来
2 / 2 L3所在的方向向量，然后与L1上的任意一点连接，就可以得到直线L3了。
有了L3之后，我们就可以求出L1和L2在L3上的投影长度了。具体来说，我们可以选择L1上的一个点P4和L2上的一个点P5，然后分别求出它们到直线L3的距离，这两个距离的和就是L1和L2之间的距离了。
至此，我们就得到了异面直线之间的距离公式：
d = |P4P5|
其中d表示L1和L2之间的距离，P4表示L1上距离L3最近的点，P5表示L2上距离L3最近的点。
需要注意的是，求出L3的方法不止一种，也可以利用解方程的方法来求出它的参数方程。不过无论采用哪种方法，异面直线之间的距离公式都是一样的。
向量法求异面直线所成的距离
异面直线是指不在同一平面上的两条直线。求解这两条异面直线所成的距离，可以使用向量法。
向量法可以通过向量的数量积和向量的模长求得两条直线之间的距离。下面我们通过实例来详细说明向量法如何求解两条异面直线之间的距离。
假设有两条异面直线，它们的方程分别为：
直线1:
$x = 3 + 2t$
$y = 1 - t$
$z = -2 + 3t$
首先我们需要确定两条直线上的任意两个点，然后用这两个点之间的连线构成的向量来表示两条直线之间的直线向量。所以我们任意选择直线1上的两个点 $A(3,1,-2)$ 和
$B(5,-1,4)$ ，计算它们之间的向量：
$\vec{AB} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ -1 - 1 \\ 4 - (-2)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$
同样，我们任意选择直线2上的两个点 $C(1,2,5)$ 和 $D(5,6,15)$，计算它们之间的向量：
然后，我们需要求解两条直线之间的最短距离，也就是求解这两个向量的数量积：
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 2 \times 4 + (-2) \times 4 + 6 \times 10 = 52$
接下来，我们需要计算两个向量的模长：
因此，两条直线之间的距离为：
因此，两条异面直线所成的距离为 $\frac{13}{19}$。
