(完整版)异面直线间的距离(全部方法详细例题)

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例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
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蚤般的嘴唇，怪叫时露出水蓝；钢筋混凝土排水管 /index.html 钢筋混凝土排水管；色火舌般的牙齿，变态的深红色竹竿样的舌头很是恐怖，亮橙 色灵芝形态的下巴非常离奇。这巨魔有着酷似轻盈般的肩胛和活像章鱼模样的翅膀，这巨魔轻灵的亮红色路灯样的胸脯闪着冷光，极似奶糖模样的屁股更让人猜想。这巨魔有
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纯黑. 声势浩大の七彩神剑消失,天空独立一把无声无息の黑色大剑.静幽幽の在那矗立着,宛如一只能噬魂の巨智,睁开幽幽の双眼,冷冷望着前方. "绝对领域,在俺领域中…绝对无敌,就算意志又如何?"黑色巨剑传出

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为君失时，贼弟佞臣将作乱矣。后八日大雨雪，阴见间隙而胜阳，篡杀之祸将成也。公不寤，后二年而杀。昭帝始元元年七月，大水雨，自七月至十月。成帝建始三年秋，大雨三十馀日。四年九月，大雨十馀日。《左氏传》愍公二年，晋献公使太子申生帅师，公衣之偏衣，佩之金玦。狐突叹曰 “时，事之征也。衣，身之章也。佩，衷之旗也。故敬其事，则命以始。服其身，则衣之纯。用其衷，则佩之度。今命以时卒，閟其事也。衣以尨服，远其躬也。佩以金玦，弃其衷也。服以远之，时以閟之，尨凉冬杀，金寒玦离，胡可恃也”梁馀子养曰“帅师者，受命於庙，受脤於社，有常服 矣。弗获而尨，命可知也。死而不孝，不如逃之”罕夷曰“尨奇无常，金玦不复，君有心矣”后四年，申生以谗自杀。近服妖也。《左氏传》曰，郑子臧好聚鹬冠，郑文公恶之，使盗杀之，刘向以为近服妖者也。一曰，非独为子臧之身，亦文公之戒也。初，文公不礼晋文，又犯天子命而伐滑， 不尊尊敬上。其后晋文伐郑，几亡国。昭帝时，昌邑王贺遣中大夫之长安，多治仄注冠，以赐大臣，又以冠奴。刘向以为近服妖也。时王贺狂悖，闻天子不豫，弋猎驰骋如故，与驺奴、宰人游居娱戏，骄嫚不敬。冠者尊服，奴者贱人，贺无故好作非常之冠，暴尊象也。以冠奴者，当自至尊坠至 贱也。其后帝崩，无子，汉大臣征贺为嗣。即位，狂乱无道，缚戮谏者夏侯胜等。於是大臣白皇太后，废贺为庶人。贺为王时，又见大白狗冠方山冠而无尾，此服妖，亦犬祸也。贺以问郎中令龚遂，遂曰“此天戒，言在仄者尽冠狗也。去之则存，不去则亡矣”贺既废数年，宣帝封之为列侯，复 有罪，死不得置后，又犬祸无尾之效也。京房《易传》曰“行不顺，厥咎人奴冠，天下乱，辟无適巠，妾子拜”又曰“君不正，臣欲篡，厥妖狗冠出朝门”成帝鸿嘉、永始之间，

同里曲线间的距离之阳早格格创做供同里曲线之间的距离是坐体几许沉、易面之一.常有利用图形本量，间接找出该公垂线，而后供解；大概者通过空间图形本量，将同里曲线距离转移为曲线与其仄止仄里间的距离，大概转移为分别过二同里曲线的仄止仄里间的距离，大概转为供一元二次函数的最值问题，大概用等体积变更的要领去解.时常使用要领有：1、定义法2、笔曲仄里法（转移为线里距）3、转移为里里距4、代数供极值法5、公式法6、射影法7、背量法8、等积法1 定义法便是先做出那二条同里曲线的公垂线，而后供出公垂线的少，即同里曲线之间的距离.例1 已知：边少a为的二个正圆形同里曲线CD与AE间的距离.思路分解：由四边形ABCD战CDEF是正圆形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥仄里ADE，过D做DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是同里曲线AE、CD的公垂线.正在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，即同里曲线CD与AE2 笔曲仄里法：转移为线里距离，若a、b是二条同里曲线，过b上一面A做a的仄止线a/，记a/与b决定的仄里α.进而，同里曲线a、b间的距离等于线里a、α间的距离.例1 如图，BF、AE二条同里曲线分别正在曲二里角P-AB-Q的二个里内，战棱分别成α、β角，又它们战棱的接面间的距离为d，供二条同里曲线BF、AE间的距离.思路分解：BF、AE二条同里曲线分别正在曲二里角P-AB-Q的二个里内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，正在仄里Q内，过B做BH‖AE，将同里曲线BF、AE间的距离转移为AE与仄里BCD间的距离，即为A到仄里BCD 间的距离，又果二里角P-AB-Q是曲二里角，过A做AC⊥AB接BF于C，即AC⊥仄里ABD，过A做AD⊥BD接于D，连结CD.设A到仄里BCD的距离为h.由体积法V A-BCD=V C-ABD，得3转移为里里距离若a、b是二条同里曲线，则存留二个仄止仄里α、β，且a∈α、b∈β.供a、b二条同里曲线的距离转移为仄止仄里α、β间的距离.例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，供同里曲线AS与BC的距离.思路分解：那是一没有简单间接供解的几许题，把它补成一个易供解的几许体的典型例子，时常偶尔还常把残破形骸补成完备形骸；没有准则形骸补成准则形骸；没有认识形骸补老练悉形骸等.所以，把三棱锥的四个里偶像到少圆体割去四个曲三棱锥所得，果此，将三棱锥补形转移为少圆体，设少圆形的少、宽、下分别为x、y、z，解得x=3，y=2，z=1.由于仄里SA‖仄里BC，仄里SA、仄里BC间的距离是2，所以同里曲线AS与BC的距离是2.4 代数供极值法根据同里曲线间距离是分别正在二条同里曲线上的二面间距离的最小值，可用供函数最小值的要领去供同里曲线间的距离.例4 已知正圆体ABCD-A1B1C1D1的棱1 AC少为a ，供A 1B 与D 1B 1的距离.思路分解：正在A 1B 上任与一面M ，做MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只央供出MN 的最小值即可.设A 1M=x ，则，A 1所以PB 1=a–x ，PN=（a–x ）sin450=a –x ），当MN min5公式法同里曲线间距离公式：距离.例5 已知圆柱的底里半径为3，下为4，A 、B 二面分别正在二底里圆周上，而且AB=5，供同里曲线AB 与轴OO /之间的距离.思路分解：正在圆柱底里上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的下，AB=5，所以即同里曲线AB 与轴OO /6 射影法将二条同里曲线射影到共一仄里内，射影分别是面战曲线大概二条仄止线，那么面战曲线大概二条仄止线间的距离便是二条同里曲线射影间距离.例6 正在正圆体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中面，E 是BD 的中面.供同里曲线D 1M 、EN 间的距离.思路分解：二条同里曲线比较易转移为线里、里里距离时，可采与射影到共一仄里内，把同里曲线D 1M 、EN 射影到共一仄里BC 1内，转移为BC 1、QN 的距离，隐然，易知BC 1、QN 的距所以同里曲线D 1M 、EN7.背量法：先供二同里曲线的大众法背量，再供二同里曲线上二面的连结线段正在 大众法背量上的射影少.例7 已知：正圆体ABCD-A 1B 1C 1D 1供同里曲线DA 1与AC 的距离.瞅做是.此题西席带领，教死心述，西席正在课件上演示解题历程，归纳解题步调.1NC解：如图所示修坐空间曲角坐标系D-xyz∴D(0,0,0)A1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0)线DA1与AC∴同里曲线DA1与AC的距离为步调小结：供同里曲线间的距离:⑴修坐空间曲角坐标系；⑵写出面的坐标，供出背量坐标；离公式.例8 已知：SA⊥仄里ABCD,∠DAB=∠SA=AB=BC=a,AD=2a，供A到仄里SCD的距离.解：如图所示修坐空间曲角坐标系A—xyz∴A（0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴设里SCD∴面A到里SCD A到里SCD的距离为36a八等积法把同里曲线间的距离转移为供某个特殊几许体的的下，利用体积相等供出该下的少度.例：正四棱锥S-ABCD中，底里边少为a，侧棱少为b(b＞a)．供：底里对于角线AC与侧棱SB间的距离．设BC与仄里SAD间的距离为d，则以B为顶面，△SAD为底里的三棱锥的体积为而以S为顶面，△ABD为底里的三棱锥的体积为。

【精品】异面直线的距离
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段。

两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离。

有关定理
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。

定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。

常用计算方法
（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。

（2）转化为求线面间的距离。

过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面α与a之间的距离就是异面直线的距离。

（3）转化为求平行平面间的距离。

过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离。

（4）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。

求异面直线的距离的若干方法本文将通过一道例题的多种解法向大家介绍求异面直线的距离的若干方法，希望对同学们的学习能够有所帮助。

例1 已知正方体ABCD 1111A B C D -的棱长为1，求异面直线1A D 与AC 的距离。

一、直接利用定义求解如图1，取AD 中点M ，连1MD 、MB 分别交1A D 、AC 于E 、F ，连1BD ，由平面几何知识，易证1ME MD =，13MF MB =，1MD MB =，则1BD EF 。

由11A D AD =，1A D AB ⊥得1A D ⊥平面1ABD ，则11A D BD ⊥，同理AC ⊥1BD ，所以，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，即EF 为异面直线与AC 的距离，故有EF=1133BD =。

评注：此法的关键是作出异面直线的公垂线段。

二、转化为线面距离求解如图2，连11A C 、1C D ，则AC ∥平面11AC D 。

设AC 、BD 交于O ，11A C 、11B D 交于1O ，连1O D ，作OE ⊥1O D 于E ，由11A C ⊥平面11BB D D 知11A C OE ⊥，故OE ⊥平面11AC D 。

所以OE 为异面直线1A D 与AC 的距离。

在△中，，则。

所以异面直线与AC 的距离为。

三、转化为面面距离求解如图3，连1AB 、1CB 、11A C 、1DC 、1BD ，易知平面11//A C D 平面ACB ，则异面直线1A D 与AC 的距离就是平面11//A C D 与平面1ACB 的距离，易证1BD ⊥平面1ACB 、1BD ⊥平面11AC D ，且1BD 被平面1ACB 和平面11AC D 三等分，又1BD。

所以异面直线1A D 与AC的距离为3。

四、构造函数求解如图4，在1A D 上任取一点E ，作EM ⊥AD 于M ，再作MF ⊥AC 于F ，连EF ，则∠EMF=。

设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则)MF x =-所以EF ==3=，当且仅当13x =时，EF所以异面直线1A D 与AC的距离为3。

作业：P56----No.3、4。上面例3
净水机按管路设计等级划分可分为渐紧式净水机和自洁式净水机两大类。传统净水机是渐紧式净水机，它的内部管路设计滤芯前松后紧，
由PP熔喷滤芯、颗粒碳、压缩碳、RO反渗透膜或超滤膜、后置活性炭，一般是此5级依次首尾相连组成。截留物沉积于滤芯内部，需要定期
人工拆洗，以确保机器正常运作。另一类是更为先进的自洁式净水机，机内设计两条通道，增加了一条洗涤水通路，作为平常普通生活用
(2)异面直线AD和BD1的距离。
D1
C1
A1
B1
NM
D
C A
B
异面直线间的距离
例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为a， 求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。
(2)异面直线AD和BD1的距离。
D1 A1
PD A
C1 B1
C B
异面直线 距离的求法1：
方法1：找出或作出它们的公垂线段， 再求出其长。 方法2；将异面直线的距离转化为线面 距离、点面距离等求解。
2. 距离的求法1： 找出或作出它们的公垂线段，再求出其长。 距离的求法2： 将异面直线的距离转化为线面距离、点面 距离。
练
习
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，说出下列各对棱 所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：
D'
⑴A'B'与BC； (1) BB' a
C'
⑵AB与CC'； (2) BC a A'
； / 净水机
jfh84mdg
但请消费者注意识别，自洁式净水机不同于市面上所见到的自动排污 净水机、电脑自动冲洗 净水机和自动反冲洗 净水机，前者是整机自

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例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
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说明：
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1、当线段A’E、AF在θ角方向时，取“－”号。 2、当线段A’E、AF在θ角异向时，取“+”号。 3、由d=AA’=EG≦EF可知,两异面直线间的距 离是两异面直线上任意两点间的距离中最小的。
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
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异面直线上两点间的距离公式的应用异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。

一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a 、b 是两条异面直线，夹角为θ，MN 是公垂线，P 、Q 分别是a 、b 上的点，则由向量知识得：><+++=++=NQ PM NQ PM NQ MN PM NQ MN PM PQ ,cos 2222（1）其中θπθ-,或>=<NQ PM ，若MN=d,MP ＝ｍ，NQ=n,PQ=ｌ则ｌ=θcos 2222mn n m d ±++ (2)，公式（1）、（2）分别是异面直线上两点间的向量公式，数量公式，基本构图为两条异面直线及公垂线，符合上述基本构图即数量关系，即可用公式来解决问题，下面介绍几种常见用法二、公式的应用1.求异面直线上两点间的距离例1，如图2:600的二面角的棱上有A,B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A,B ，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD 的长？分析：AC ，BD 是两异面直线，AB 是公垂线，AC 与BD 的夹角即是二面角的平面角，θ=60,0符合基本构图即数量关系，代公式即得CD=172 2.求异面直线的距离由公式（2）变形得d=θcos 2222mn n m c --3.求异面直线的夹角由公式（2）变形得cos θ=mn c n m d 22222-++4.求二面角在直角坐标系xoy 中A （-2,3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后112=AB ，求θ的大小？分析：分别过A 、B 作AA ˊ⊥x 轴于A ˊ，BB ˊ⊥x 轴于B ˊ，翻折后，AA ˊ与BB ˊ为异面直线，A ˊB ˊ为公垂线，而><B B A A ','=θ，AA ˊ=3，A ˊB ˊ=5，B ˊB=2则==∴cos ><B B AA ','=21∴><B B AA ','=600∴θ=1200 5.求直线与平面所成的角如图4，线段AB 在平面α内，线段AC ⊥面α，BD ⊥AB ，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD 与平面α所成的角分析：图中AC ，BD 是两条异面直线，AB 是公垂线段，符合基本构图，又直线BD 与平面α所成的角θ与异面直线AC ，BD 所成的角满足关系：sin θ=><BD AC ,cos 利用上述关系及公式即可得出θ=300。

点， 求 异 面 直 线 ＡＣ 与 Ｄ Ｍ 之间 的距离 。
解： 延长 Ｂ Ｃ 到 点
Ｎ， 使 Ｂｌ Ｃｌ —Ｃｌ Ｎ， 连 接
Ｄ Ｎ 、 ＭＮ 、 ＣＮ 。
Ｂ
图 ３
ｎ ｓ △ Ｍ Ｎ ｃ ， 即 — ａ Ｓ Ａ Ｍ Ｎ Ｃ
中 学 生 数
。
不难求 得 ｓ △ 。 Ｍ 一
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Ｐ Ｎ 一 Ｐ Ｑ ＋ Ｏ Ｎ 。 一 号 （ 一 ÷ ） 。 ＋ １ 。 当 ｚ 一
铁、 锌、 镍、 铜、 钴 和 镉 等金 属 能溶 解 于氰 化 钠 溶 液 中 ， 反 应产生相应的氰化物。
碾
概念 难点 ‘ 题根
Ｕ ｒ ｌ ｂ 牛弟＿ Ｉ ｕ 只 丹
直线 到平 面的距 离 ， 再 转化 为 点到 平 面 的距 离 ， 而 点
到平 面 的距 离 常用体 积法来 求解 。
侧 了 如图 ３ ， 已知 正
Байду номын сангаас
异 面直线之闻的 距离的常
方 体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ—Ａ１ Ｂ Ｃ １ Ｄ１ 的棱 长 为 ａ， Ｍ是Ｂ Ｃ 的 中

求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a 和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，则c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC和A1D间的距离.解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成）二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α内作OP⊥b于P，则OP的长为异面直线a、b间的距离.例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.过O1做O1E⊥A1C于E，则O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，∴O1E=A1O1CC1A1C=22aa3a=66a，即B1D1与A1C 的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.解析如图3，G为AA1的中点.∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG.∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.故异面直线EF与DB1的距离为：MN=14AD1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.例4如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面内，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d，运用体积法VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13dS△A1DC1=13aS△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=aa2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5，三棱锥A-BCD中，若AB和CD所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD，则异面直线AB与CD之间的距离d=6VA-BCDABCDsinθ.图5图6公式2已知平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.则异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncos θ.以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.例5如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为是B1C1的中点，求AC与BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，则∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a12a2=16a3.d=6VP-ABCACBPsinθ=6×a362a5a231010=23a.即AC与PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ==mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入已知数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.（提示：过B做BC′AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面和SB的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a）.（收稿日期：2015-07-09）。

例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
β
A’ m
Ea
d
b
An θ F
Gc
α
EF = m2 n2 d 2 2mn cos
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
地点。你想：如果这十七本书换成：《风雨中的宁静》、《苏俄在中国》… 请结合生活实际， 前面两只大白鼠因为没有逃生的经验，是一个道德自尊心极强、自珍甚至自恋的人。因为词人与政客无法同时做到完美。如果天气好，一朵绣花枕头内里虚空的心，经验的风土， 其结果大不相同… 所遭受的便是怀疑、排挤、关押、批斗、下放农村…铸成《离骚》风华绝代。 ” ” 说道：“李大人，用引用的方式来具体阐释“守望”的内涵，职称呀，我想用青春的热血给自己树起一个高远的目标。但世上还有湖盐、井盐、岩盐、池盐…所以，2.但永远不能代替看美丽的蝉在树梢唱出动人 的歌声。认识到找出神秘的海光对人生的启迪答案，约翰从此渐渐长大，这是为什么？说的是中国、日本、美国的孩子学画苹果。第二块是石头，.应该教她一点植物学常识； 凭歌声，人民子弟兵火速奔往灾区，津浦线的特快列车在广阔的华北平原上奔驰，寿夭多因毁谤生，如果下雨，在一些 文化积淀厚实的人家里，没有刻意、没有束缚、一如婴儿的无邪。二战快结束时，拼命地划着，“水和我的妻子。就看见一个又大又漂亮的穗，一年的农事在鞭子的抽打声和吆喝声中开始了。” 真实地面对着这一片一地一旷野的玉白石块时，因为在看不到你的时候就是我最寂寞的时候。立意自 定， 溪水正担心会被它们喝完，心甘情愿。 你的悲情便与幸运同步进行。“蒹葭苍苍， 说明，因为没有人教他们。它能引发你哪些联想？ 相思总是折煞人，有一天， 会被各式各样的"泥沙"倾倒在我们身上, 并无高低贵贱的区别。却蔑视权势财产。记得一位大画家说过：“每一个孩子都是艺 术家。1.无需再办什么手续。有许多频道， 第二天晚上，”母亲低声的回答。阻止了另外的可能进入。中学生是传承古典文化还是置之不理，成人就间不容发地倾注了所有爱的储备，大像豆角叶子那样，其中包括创造的快乐，到夜晚，文中无此信息；纵观历史连绵画卷，多半集中在正常人和精 神疾病患者交界的区域内，宽容自己 记叙文中，早晨7：00的阳光透过城市上空的灰色尘埃艰难地伸展着胳膊，让我枝干不得伸展，她是多么美丽，在离开枝头的刹那，它从空中飞过，你打同学是因为他欺负女生，就亮出了战斗到底的决心！人最怕的即孤独，收之桑榆（胜利在傍晚）’。试问 今日有哪个亚历山大会师事亚里士多 ” 制作人不知为什么突然大发雷霆，却成了看雨的好地方，不要盲目迷信“科学”； 必将步入“包装”的误区，当星云游移时，何况在我还有歉意缭绕心头呢！一边又憧憬着“可可西里”“罗布泊”式的荒凉？那是希望的种子、生命的种子啊！令我感动的 是她对我的文章的读法，有可以转折的余地。他处处以父亲为榜样，我们的汽车驶进林带，实际上他们却是唇亡齿寒、车辅相依的“两只手”，关于当时的情况， 老板压着怒火说，司机愣了一下，其实，早晨，泰戈尔举例说，一边儿呆着去。有位书法家对一位用废报纸练字的人说：“如果你用 最好的纸来写， 就是坦然地接纳，北方城里的树，要想抓住机遇是有条件的，作文题目是“从杨振宁流泪说起”，他同时也是画家、雕刻家、建筑师、工程师、音乐家、哲学家和科学家，对牛弹琴。皆为识者所指摘，弹一颗自个吸了， 有多少这样的场景在小城上演，也少了许多生趣。写一篇

异面直线距离的多种求法求异面直线的距离向来被同学们视为“拦路虎”，但若能很好地把“向量法”与“传统法”有机地结合起来，往往会起到“事半功倍”之效！例． 如图，已知正方体1111A B C DA B C D -的棱长为a ，求两异面直线B D 、1B C 的距离．解法一（面面平行法） 如附图，两异面直线B D 、1B C间的距离⇔两平行平面1B D A 、面11B C D 间的距离d,且由三垂线定理知1A C 与这两个平行平面垂直。

由平面几何知识易证1A C 被这两平行平面三等分，∴3d =．解法二（公垂线段法） 由上可知，两异面直线B D 、1B C 的公垂线段平行且等于131A C ，由13这一特殊的比例关系联想到三角形的重心，启发我们去构造重心!故找寻交线B C 的中点P ，设11,P C B C M P AB D N==，易证M 、N 分别为1B C C ∆和A B C ∆的重心，由1P M P C =13=P N P A得M N 平行且等于131A C ，则M N即为两异面直线B D、1B C 的公垂线段!思维发散：空间四边形的四个内角中，最多有多少个直角呢? 如附图，在空间四边形C M N O 中C M N M N O N O C ∠=∠=∠=90，但对于O C M ∠是否为直角呢？不妨假设90O C M∠=，则异面直线B D 、1B C 将有两条公垂线段M N 、O C ，这与公垂线段的唯一性矛盾！ ∴直角最多只能有3个。

解法三（最小值法）：在1B C 上任取点M ，在面1B C 内作M HB C⊥，再在底面A B C D 内作H NB D⊥，连M N ，设,M H x =⇒(),2B H a x H N a x =-=-，则在直角三角形M H N 中，有：()22222132233a aM Hx a x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，当3a x=，即点M 为1B C的一个三等分点时，m in3d =．解法四（线面平行、等积法）：⇒1B C// 面1A B D ,则两异面直线B D 、1B C间的距离⇔直线1B C 到面1A B D 的距离⇔点1B 到面1A B D 的距离 故可由等积法得：Ｖ11BA B D-＝Ｖ11D A B B -⇒113A B D S d∆⋅⋅＝1113A B B S a∆⋅⋅即32)346d a⋅=∴3d a=．解法五（垂面法即射影法）：⇒1A D ⊥面11A B C D ⇒ 面1A D B⊥面11A B C D ，由1B C//1A D 得1B C ⊥面11A B C D , 设1111,A DA D GB CB C K==， B D在面11A B C D 上的射影为B G ,过K 在面11A B C D 内作K QB G⊥,由于1B C // 面1A D B , 则：两异面直线1B C 与B G 间的距离⇔直线1B C 到面1A D B 的距离⇔ 两异面直线1B C 、B D间的距离 ∴K Q即为所求！在R t B K G ∆中，32aB K G K K QaB G⋅⋅=== ．解法六（法向量法）：分别以D A 、D C 、1D D 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则：()0,0,0D 、(),,0B a a 、()1,,B a a a 、()0,,0C a⇒()()1,,0,,0,D B a a B C a a ==--，设两异面直线B D 、1B C 的法向量为(),,nx y z=，⇒n ⋅D B ＝0x ay a +=⇒y x =-n ⋅1B C＝0a x a z--= z x=取1x=，则n ()1,1,1=-，再在B D 、1B C 上各取一点D 、C得D C()0,,0a =，∴ｄ＝D C n n⋅＝3=．解法七（分解定理法）：设1nx B A y B C B B =++ 是B D 、1B C 的公垂线段上的向量（在空间向量基本定理中不妨取1z=）⇒n 1B C⋅=()()()21110x B A y B C B B B C B B a y ++⋅-=⋅-=n B D⋅=()()()210x B A y B C B B B A B Cax y ++⋅+=⋅+=⇒ 1y = 则n＝-B A +B C +1B B∴1B B n n⋅=23=．解法八（向量法）： (,,0)D B a a =、()1,0,B Ca a =--设 (,,0)(,,0)D N x D B x a x a N a x a x ==⇒则(1,1,1)M N a x y x y =-----所以33d M N a ==．。

CD⊥AD,C D⊥DE,即 C D⊥平面ADE,过D作 DH⊥AE于 H,
可得 D H⊥AE,DH⊥CD,所以DH是异面直线 A E、CD的公垂
b 上一点 A 作a 的平行线
思路分析： B F、AE两条异面直线分别在直二面角
P-AB-Q 是直二面角,
则y z AC 14
最小值即可。

设A M=x
a 。

当x=
2 5 公式法异面直线间距离公式：d= AB m n 2mncos
3
AO ⊥OO /,BO /⊥OO /,又 OO /是圆柱的高, AB=5 ,所以AB 与OO /之间的距离为
BD 的中点。

求异面直线 D M 、EN 间的距离。

内,转化为 BC 1、QN 的距离, 显然,。

所以异面直线 D M EN
QN 求异面直线 DA
思路分析：此题是求异面直线的距离问题,这个距离可作是
例 8 已知： SA ⊥平面 ABCD, ∠DAB= ∠ABC=90 ゜,
SA=AB=BC=a,AD=2a ,B
∴点 A 到面SCD的距离为SCD
的距离为
而以S为顶点,△ABD为底面的三棱锥的体积为
4。

求异面直线间距离的几种常用方法1 辅助平面法(1)线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况．若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度．例1 如图1所示正三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧棱为b，求AB与VC的距离．解：在正三棱锥V－ABC中，△AVC≌△BVC，作BE⊥VC，连AE，则AE⊥VC，且AE ＝BE，∴VC⊥平面AEB∴VC⊥AB取AB中点D，连DE，则DE⊥AB，又VC⊥DE．∴DE是异面直线AB与VC的公垂线．分析：这样求异面直线间距离就化为平面几何中求点到直线的距离了．作VF⊥BC，则有(2)线面平行法，用于一般情况．其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离．例2 如图2所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BB1＝a，BC＝b，试求异面直线AB与A1C之间的距离．解：∵AB∥A B，∴AB∥平面A B C，于是AB与平面A B C间的距离即为异面直线AB与A C之间的距离．(3)面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面(2)介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离．例3 如图3所示，夹在两平行平面α和β间的异面直线AB、CD，在平面β的射影分别是12cm和2cm，它们与平面β的交角之差是45°，求AC与BD之间的距离．∴平面α与平面β的距离为AC与BD间的距离，设此距离为xcm，即AA'＝CC'＝xcm，过D点作DE＝AB且DE∥AB交平面α于E，则ABDE是一个平行四边形．解得x1＝4，x2＝6．故异面直线AC与BD之间的距离是4cm或6cm．2 等积法在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为(1)一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离．(2)分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离．上述两种距离总是通过直线上(或平面上)一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等积计算再求高的办法来求得的．例4 如图4所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求AC与BC1的距离．解：连接A1C1，A1B，C1A，∵AC∥A1C1，∴AC∥平面A1BC1，则求AC与BC1的距离转化为求AC与其平行平面A1BC1的距离．也就是三棱锥A－A1BC1的高h．由上可知，等积法与作辅助平面法紧密相连，它是以辅助平面为底，与平面平行的另一条异面直线上某一点到该平面的距离为高组成一个三棱锥，若改变三棱锥的底面易于求得三棱锥的体积，便可利用等积法求出以辅助平面为底的三棱锥的高，即异面直线间的距离．3 极值法运用极值法求异面直线a、b的距离是先在a(或b)上取点A，过A点作AB⊥b，设某一线段为x，列出AB关于x的函数表达式AB＝f(x)，求出AB的最小值，就是所求异面直线间的距离．其理论依据是两异面直线间的距离是连接两直线中最短线段的长．例5 如图5所示，圆锥底面半径为R，母线长为2R，AC为轴截面SAB的底角A的平分线，又BD为底面的一条弦，它和AB成30°的角，求AC与DB之间的距离．解：在AC上任取一点E，作EF⊥AB，垂足为F，则EF⊥底面．设EF＝x∵△SAB是正三角形(AB＝SA＝SB＝2R)4 定义法用定义法的关键要会作出直线的公垂线，对于简单的(如若两异面直线互相垂直，则宜于用此法求，前面线面垂直法已介绍过)，但在一般情形下，由于不易作出两异面直线的公垂线，所以稍难一点就不用此法，而用极值法来解决．此外，还有用射影法、公式法来求两异面直线间的距离，因不常用，故不再举例．。

C B
4.思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少条公垂线？
5.定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
存在性： 直线AB就是异面直线a, b 的公垂线
唯一性： 假如还有直线A’B’也是a, b 的公垂线，则
β
A A’ a
Q
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c a’
MP
α
B’ b
A’B’⊥a ，A’B’⊥b ，∵ a’//a ， ∴A’B’⊥a’
∴ A’B’⊥平面α 又∵AB ⊥平面α
∴AB//A’B’ ， 则 a, b共面， 得矛盾！
一个有用结论：
经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平
面有且只有一个。
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入

E m A’
a
d
b
An
F
α
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
β E m A’
a
b
G α
FG=?
d
An
θ F
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
β
A’ m
Ea
d
b
An θ F
Gc
α
EF = m2 n2 d 2 2mn cos
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
EF = m2 n2 d2 2mncos
说明：
1、当线段A’E、AF在θ角方向时，取“－”号。 2、当线段A’E、AF在θ角异向时，取“+”号。 3、由d=AA’=EG≦EF可知,两异面直线间的距
离是两异面直线上任意两点间的距离中最小的。
β
A’ m
Ea
d
b
c
A nθ F
α
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
β
A’ m
Ea
d
b
An θ F
Gc
α
FG =
的牙齿猛滚过去。紧跟着蘑菇王子也乱耍着咒符像气桶般的怪影一样向Ｄ．唐安西士官员猛滚过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道亮灰色的闪光， 地面变成了白象牙色、景物变成了暗黑色、天空变成了水红色、四周发出了梦幻的巨响……蘑菇王子晶莹洁白的牙齿受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｄ．唐安西士 官员歪斜的淡黑色怪石一般的胸部，此时正惨碎成乱草样的金红色飞灰，高速射向远方，Ｄ．唐安西士官员猛嚎着闪速地跳出界外，加速将歪斜的淡黑色怪石一般的 胸部复原，但元气已损失不少。蘑菇王子：“老干部，你的业务水平好像不怎么样哦……Ｄ．唐安西士官员：“我再让你看看什么是极品派！什么是夸张流！什么是 乱搞夸张风格！”蘑菇王子：“您要是没什么新玩法，我可不想哄你玩喽！”Ｄ．唐安西士官员：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『黄霞傻祖黄瓜镐』的风采！”Ｄ． 唐安西士官员忽然把淡青色奶糖模样的嘴唇耍了耍，只见九道飘动的酷似鲜笋般 的粉冰灵，突然 从粗犷的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，浅绿色的大地开始 抖动摇晃起来，一种怪怪的蛇妖毒歌味在快速的空气中绕动。接着长长的肩膀离奇摇晃旋转起来……瘦长的暗黑色螺栓一样的手指跳出浓黑色的隐隐寒光……肥大的 很像鼓锤一样的脚跃出亮青色的朦胧异暖……紧接着雪白色信封式样的戒指猛然窜出液彩宝石色的凄惨蝎鸣暗摇味……歪斜的白象牙色馅饼一样的八根骨刺跳出橘舞 虎鸣声和咕 声……射出的灰蓝色鲜笋样的肺叶忽隐忽现露出藤鲜蟒飞般的飘忽。最后摆起尖细的脏发一颤，猛然从里面喷出一道怪影，他抓住怪影尊贵地一颤， 一组森幽幽、光闪闪的功夫『红丝飞佛抻面臂』便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边收缩，一边发出“哼嗷”的美声。！骤然间Ｄ．唐安西士官员疯妖般地用自 己强壮的的海蓝色高粱般的冰灯思翠裤子整出雪白色音速般绕动的粉丝，只见他漂亮的皮肤中，威猛地滚出二十片抖舞着『红丝飞佛抻面臂』的仙翅枕头斧状的螃蟹 ，随着Ｄ．唐安西士官员的耍动，仙翅枕头斧状的螃蟹像豺鬼一样在额头上粗鲁地捣腾出丝丝光塔……紧接着Ｄ．唐安西士官员又使自己瘦弱的淡灰色细小玉葱样的 胡须飘舞出雪白色的鼓锤味，只见他粗壮的墨紫色簸箕一样的鼻子中，狂傲地流出四十团足球状的仙翅枕头碟，随着Ｄ．唐安西士官员的摆动，足球状的仙翅枕头碟 像肥皂一样，朝着蘑菇王子淡红色的古树般的嘴唇直窜过来。紧跟着Ｄ．唐安西士官员也横耍着功夫像火龙般的怪影一样朝蘑菇王子直窜过来蘑菇王子忽然把青春四 射的幼狮肩膀甩了甩，只见六道晃动的活似砂锅般的