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圆锥曲线的相关二级结论192条(PDF版)

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1 结论 1：过圆 x 2  y 2  2a 2 上任意点 P 作圆 x 2  y 2  a 2 的两条切线，则两条切线垂直．

结论 2：过圆 x 2  y 2  a 2  b 2 上任意点 P 作椭圆 x

a 2  y 2

b 2  1（ a  b  0 ）的两条切线，

则两条切线垂直．

2 2 2 2

x 2 y 2

结论 3：过圆 x  y  a  b （ a  b  0 ）上任意点 P 作双曲线 a 2 b 2  1 的两条切

线，则两条切线垂直．

结论 4：过圆 x 2  y 2  a 2 上任意不同两点 A ， B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于 P ，

则动点 P 的轨迹为圆： x 2  y 2  2a 2 ．

结论 5：过椭圆 x

a 2  y 2

b 2  1（ a  b  0 ）上任意不同两点 A ， B 作椭圆的切线，如果切

线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2  y 2  a 2  b 2 ．

结论 6：过双曲线 x a 2  y 2

b 2  1 （ a  b  0 ）上任意不同两点 A ， B 作双曲线的切线，如

果切线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2  y 2  a 2  b 2 ．

x 2 y 2

结论 7：点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆 a 2  b 2

程为 x0 x  y0 y  1．  1（ a  b  0 ）上，过点 M 作椭圆的切线方

a 2 b 2

x 2 y 2

结论 8：点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆 a 2  b 2  1（ a  b  0 ）外，过点 M 作椭圆的两条切

线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 x0 x  y0 y  1．

a 2 b 2

x 2 y 2

结论 8：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆 a 2  b 2  1（ a  b  0 ）内，过点 M 作椭圆

的弦 AB （不过椭圆中心），分别过 A、B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程

为直线： x0 x  y0 y  1 ．

a 2 b 2 2

2

2 2 0 0

0 0

0 0 x 2 y 2

结论 9：点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线 a 2  b 2

切线方程为 x0 x  y0 y  1 ．  1（ a  0, b  0 ）上，过点 M 作双曲线的

a 2 b 2

x 2 y 2

结论 10：点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线 a 2  b 2  1 （ a  0, b  0 ）外，过点 M 作双曲线

的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 x0 x  y0 y  1．

a 2 b 2

x 2 y 2

结论 10：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线 a 2  b 2  1（ a  0, b  0 ）内，过点 M 作

双曲线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P

的轨迹方程为直线： x0 x  y0 y  1 ．

a 2 b 2

结论 11：点 M （ x ， y ）在抛物线 y 2  2 px （ p  0 ）上，过点 M 作抛物线的切线方程为 y0 y  p(x  x0 ) ．

结论 12：点 M （ x ， y ）在抛物线 y 2  2 px （ p  0 ）外，过点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 y0 y  p(x  x0 ) ．

结论 12：（补充）点 M （ x ， y ）在抛物线 y 2  2 px （ p  0 ）内，过点 M 作抛物线的弦 AB ， 分别过 A、B 作抛物线的切线， 则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：

y0 y  p(x  x0 ) ．

结论 13：点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆 x  m2

a 2 y  n2

b 2

 1上，过点M 作椭圆的切线方程

为(x0  m)(x  m)  ( y0  n)( y  n)  1．

a 2 b 2

x  m2 y  n2

结论 14：点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线 a 2  b 2  1上，过点 M 作双曲线的切线

方程为 x0  mx  m  y0  ny  n 1 ．

a 2 b 2 3 0 0

0 0 结论 15：点 M （ x ， y ）在抛物线y  n2  2 px  m上，过点M 作抛物线的切线方程为y0  ny  n  px  x0  2m．

结论 16：点M （ x0 ， y0 ）在椭圆 x  m2

a 2 y  n2

b 2

 1外，过点 M 作椭圆的两条切线，

切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为(x0  m)(x  m)  ( y0  n)( y  n)  1．

结论 17：点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线

x  m2

a 2 a 2

y  n2

b 2 b 2

 1外，过点 M 作双曲线的两条

切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为

x0  mx  m  y0  ny  n 1 ．

a 2 b 2

结论 18：点 M （ x ， y ）在抛物线y  n2  2 px  m外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为

y0  ny  n  px  x0  2m．

结论 16：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆 x  m2

a 2 y  n2

b 2

 1内，过点 M 作椭圆的

弦 AB （不过椭圆中心），分别过 A、B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为

直线： (x0  m)(x  m)  ( y0  n)( y  n)  1．

a 2 b 2 x  m2 y  n2

结论 17：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线 a 2  b 2  1内，过点 M 作双曲

线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 的轨

x0  mx  m y0  ny  n迹方程为直线： a 2   1 ． b 2

结论 18：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线y  n2  2 px  m内，过点 M 作抛物线的弦 AB ，分别过 A、B 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：

y0  ny  n  px  x0  2m．

结论 19：过椭圆准线上一点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ．

结论 20：过双曲线准线上一点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 4 2 的直线必过相应的焦点 F ，且MF 垂直切点弦 AB ．

结论 21：过抛物线准线上一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB

的直线必过焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ．

结论 22: AB 为椭圆的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上． 结论 23: AB 为双曲线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上． 结论 24: AB 为抛物线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在准线上．

结论 25:点 M 是椭圆准线与长轴的交点，过点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ， B ，

则切点弦 AB 就是通径．

结论 26: 点 M 是双曲线准线与实轴的交点，过点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ，

B ，则切点弦 AB 就是通径．

结论 27: M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为

A ， B ，则切点弦 AB 就是其通径．

结论 28：过抛物线 y 2  2 px （ p  0 ）的对称轴上任意一点 M (m,0) （ m  0 ）作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 N (m,0) ．

结论 29：过椭圆 x a 2  y 2

b 2  1（ a  b  0 ）的对称轴上任意一点 M (m, n) 作椭圆的两条切

线，切点分别为 A ， B ．

（1） 当n  0 ， m  a 时，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P( a

m

,0) ；

（2） 当m  0 ， n  b 时，则切点弦 AB 所在的直线必过点Q(0, b ) ．

n

结论 30：过双曲线 x

a 2  y 2

b 2  1（ a  0, b  0 ）的实轴上任意一点 M (m,0)（ m  a ）作

双曲线（单支）的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P( a

m

,0) ．

结论 31：过抛物线 y 2  2 px（ p  0 ）外任意一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，

B ，弦 AB 的中点为 N ，则直线 MN 必与其对称轴平行．

结论 32：若椭圆 x a 2  y 2

b 2  1 （ a  b  0 ）与双曲线 x m 2  y 2

n 2

 1（ m  0 ， n  0 ）共

焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．

结论 33：过椭圆外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ， B ，则满足 AP  BQ AQ  BP

的动点Q 的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论 34：过双曲线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，则满足 AP  BQ  AQ  BP 2

2

2

2

2 2

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高中数学圆锥曲线二级结论

高中数学圆锥曲线二级结论

高中数学圆锥曲线二级结论

高中数学二级结论

1.任意的简单n 面体内切球半径为表

S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C

推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形

3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的4

2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点

5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x x

x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122

22>>=+b a b

y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导

推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--

①过椭圆)0,0(122

22>>=+b a b

y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程

①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02

20000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b

a b y a x 的切点弦方程为12020

=+b y y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020

=-b

y y a x x ①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y

圆锥曲线二级结论及证明

圆锥曲线二级结论及证明

圆锥曲线二级结论及证明

圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：

焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。

证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。

切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。

证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)。求出该点处的导数即为切线的斜率。利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。

离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。

证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。

以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。

圆锥曲线的二级结论及证明

圆锥曲线的二级结论及证明

圆锥曲线的二级结论及证明

圆锥曲线是在平面上由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）所确定的曲线。它包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。

首先我们来看椭圆。椭圆定义为到焦点和准线距离之和为常数的点的轨迹。我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。（2）椭圆上任意一点处的法线交准线于焦点。

证明（1）：设椭圆的焦点为F，准线为L。取椭圆上一点P，分别连接PF和PL。根据椭圆的定义，我们知道PF + PL = 定值。又根据椭圆的特性，PL = 长轴长度的一半。因此，PF + PL = 定值 = 长轴长度。所以，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

证明（2）：设椭圆上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。我们需要证明N恰好是焦点F。首先，由于N位于P处的法线上，所以PN垂直于椭圆的切线。其次，设椭圆的焦距为2c，P到焦点F的距离为PF = d。根据椭圆的性质，我们知道PF / c

= PL / a，其中a为椭圆的长半轴。而又由于PL = PN + NL，其中NL为椭圆的短半轴b。所以，d / c = (d - NL) / a + NL / b。通过化简，我们得到d = NL，即焦点到椭圆上的点处的法线与准线的交点恰好是焦点F。

接下来我们来看双曲线。双曲线定义为到焦点和准线距离之差为常数的点的轨迹。我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。（2）双曲线上任意一点处的法线交准线于焦点。

证明（1）：设双曲线的焦点为F，准线为L。取双曲线上一点P，分别连接PF和PL。根据双曲线的定义，我们知道PF - PL = 定值。又根据双曲线的特性，PL = 双曲线的距离差。因此，PF - PL = 定值

= 双曲线的距离差。所以，焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。

证明（2）：设双曲线上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。我们需要证明N恰好是焦点F。首先，由于N位于P处的法线上，所以PN垂直于双曲线的切线。其次，设双曲线的焦距为2c，P到焦点F的距离为PF = d。根据双曲线的性质，我们知道PF / c = PL / a，其中a为双曲线的半轴。而又由于PL = PN -

高考数学圆锥曲线常用二级结论(20200618183957)

高考数学圆锥曲线常用二级结论(20200618183957)

高考数学圆锥曲线常用二级结论春雷滚滚电劈石击雷电交加小雨阴雨连绵牛毛细雨秋雨连绵随风飘洒大雨倾盆大

雨狂风暴雨大雨滂沱瓢泼大雨大雨淋漓暴雨如注风秋风送爽金风送爽北风呼啸

微风习习寒风刺骨风和日丽雾大雾迷途云雾茫茫雾似轻纱风吹雾散云消雾散云

彩云满天天高云淡乌云翻滚彤云密，布霞彩霞缤纷晚霞如火朝霞灿烂丹霞似锦

星最远的地方：天涯海角最远的分离：天壤之别最重的话：一言九鼎最可靠的话：一言

为定其它成语一、描写人的品质：平易近人宽宏大度冰清玉洁持之以恒锲

而不舍废寝忘食大义凛然临危不俱光明磊落不屈不挠鞠躬尽瘁死而后已二、

描写人的智慧：料事如神足智多谋融会贯通学贯中西博古通今才华横溢出

类拔萃博大精深集思广益举一反三三、描写人物仪态、风貌：憨态可掬文质

彬彬风度翩翩相貌堂堂落落大方斗志昂扬意气风发，威风凛凛容光

焕发神采奕奕四、描写人物神情、情绪：悠然自得眉飞色舞喜笑颜开神采奕

奕欣喜若狂呆若木鸡喜出望外垂头丧气无动于衷勃然大怒五、描写人

的口才：能说会道巧舌如簧能言善辩滔滔不绝伶牙俐齿，出口

成章语惊四座娓娓而谈妙语连珠口若悬河六、来自历史故事的成语：三

顾茅庐铁杵成针望梅止渴完璧归赵四面楚歌负荆请罪精忠报国手不释卷

悬梁刺股凿壁偷光七、描写人物动作：走马——花欢呼雀跃扶老携幼手

舞足蹈促膝谈心前俯后仰奔走相告跋山涉水前赴后继张牙舞爪八、描

写人间情谊：恩重如山深情厚谊手足情深形影不离血浓于水志同道合

风雨同舟赤诚相待肝胆相照生死相依九、说明知事晓理方面：循序渐进

日积月累温故——新勤能补拙笨鸟先飞学无止境学海无涯滴水穿石发奋

图强开卷有益十、来自寓言故事的成语：夏天的，景色鸟语蝉鸣万木葱茏枝

繁叶茂莲叶满池秋天秋高气爽天高云淡秋风送爽秋菊怒放秋菊傲骨秋色迷人秋色

宜人金桂飘香秋天的景色果实累累北雁南飞满山红叶五谷丰登芦花飘扬冬天天寒

地冻北风呼啸滴水成冰寒冬腊月瑞雪纷飞冰天雪地冬天的景色冰封雪盖漫天飞雪

白雪皑皑冰封大地冰天雪地早晨东方欲晓旭日东升万物初醒空气清醒雄鸡报晓晨