圆锥曲线二级结论(1)

圆锥曲线二级结论大全及证明过程
一般圆锥曲线（也称为双曲线）的定义为：在空间中，任一点到光源的距离（可以取
为两个焦点）的和等于它到曲线的距离。

因此，讨论一般圆锥曲线的两个焦点的性质则成
为讨论圆锥曲线二级结论的基础。

1. 一般圆锥曲线的两个焦点处都有曲线切线：
证明：设$F_1,F_2$分别为曲线$C$的两个焦点。

令$P$为曲线$C$上一点，$a$为$P$到$F_1F_2$的距离，则$P$到$F_1$的距离记为$b$，$P$到$F_2$的距离记为$c$。

又由距离公式，记$P$到曲线$C$的距离为$d$，有$b + c = a + d$
将直线$F_1F_2$上点$Q$作曲线上$P$的切线，由距离公式可得：$PQ = d$
由于$F_1,F_2$都是$C$的焦点，有$F_1P + F_2P = a$，令$PQ = b$
可得$F_1Q + F_2Q = a - b$
证明：设圆锥曲线$C$的两个焦点为$F_1,F_2$，当$F_1$和$F_2$越靠近时，曲线
$C$的形状越扁平。

当$F_1$和$F_2$在靠近时，$a$接近于0，则$F_1P + F_2P接近于0$，即$F_1P 接近
于- F_2P$，由弦距定义可知，$F_1P$ 和$F_2P$ 分别成正负对称，由此可知当$F_1$ 和$F_2$ 相越靠近时，直线$F_1F_2$ 和曲线$C$ 的斜率越加小，曲线$C$ 的形状越扁平。

综上所述，证明一般圆锥曲线的两焦点越近，曲线形状越扁平。

圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是平面上一类特殊的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在数学中，对于圆锥曲线，有一些常用的二级结论，它们的推导和应用具有重要意义。

本文将介绍圆锥曲线常用的二级结论，包括离心率和焦点与直径的关系、切线与法线的性质、以及曲线参数方程等。

一、离心率和焦点与直径的关系对于椭圆和双曲线而言，离心率是一个重要的参数，它描述了曲线的扁平程度。

对于椭圆而言，离心率的取值范围是0到1之间，而对于双曲线而言，离心率大于1。

离心率和焦点与直径之间存在着紧密的关系。

对于任意一点P在椭圆或双曲线上，假设焦点为F，直径为D，那么有以下结论：1. 离心率与焦点到点P的距离与直径之间的关系：离心率e等于焦点到点P的距离PF与直径D的比值，即e=PF/AD，其中AD为直径D 的长度；2. 焦点到点P的两条切线的夹角等于直径与椭圆或双曲线的短轴之间的夹角；3. 过焦点F的切线与过点P的切线的交点为曲线上的另一点P'，那么点P与点P'到直径D的距离之比等于焦点到点P的距离与焦点到点P'的距离之比。

二、切线与法线的性质曲线上的每一点都可以有一条切线和一条法线，它们有一些重要的性质。

1. 切线与曲线的斜率之积等于-1，即两者是互相垂直的；2. 切线的斜率等于曲线在该点的导数，法线的斜率等于切线的负倒数；3. 曲线上任意一点的切线与法线的交点即为该点在曲线上的坐标。

三、曲线的参数方程曲线的参数方程是描述曲线上每一点的坐标的函数。

对于圆锥曲线而言，它们都可以用参数方程表达。

1. 椭圆的参数方程为：x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，θ为参数；2. 双曲线的参数方程为：x = a*coshθ，y = b*sinhθ，其中a和b分别为双曲线的长轴和短轴的长度，θ为参数；3. 抛物线的参数方程为：x = a*t，y = b*t^2，其中a和b分别为抛物线的参数，t为参数。

圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。

这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。

以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。

证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。

利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。

切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。

同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。

证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。

求出该点处的导数即为切线的斜率。

利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。

离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。

证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。

对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。

以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。

结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)

圆锥曲线常考的93 个二级结论一、椭圆1.是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围是.2.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.3.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.4.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，，则..5.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，则为短轴端点时最大.6.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右顶点，则为短轴端点时最大.7.已知椭圆，若点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭P 12222=+by a x 1F 1PF [,]a c a c -+P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅22[,]b a P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅u u u r u u u r2222[,]b c a c --P ()012222>>=+b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2F PF S b θ∆=1222F PF C a c ∆=+P ()012222>>=+b a by a x 21,F F P 12F PF ∠P ()012222>>=+b a by a x 12,A A P 12A PA ∠12222=+by a x ()0>>b a B A ,M圆上异于的一点.若的斜率分别为，则.8.若是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则. 9.若是椭圆不垂直于对称轴的切线，为切点，则.10.过圆上任意点作椭圆（）的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆（）上任意不同两点作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆. 12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.14.设为椭圆的左、右顶点，则在边（或）上的旁切圆，必与所在的直线切于（或）.15.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时与交点的轨迹方程是.16.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.,A B MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=-AB 22221x y a b +=M AB 22OM ABb k k a⋅=-l 22221x y a b +=M 22l OM b k k a ⋅=-2222x y a b +=+P 22221x y a b+=0a b >>22221x y a b+=0a b >>,A B P P 2222x y a b +=+1PF 12,A A 12F PF ∆2PF 1PF 12A A 2A 1A 22221x y a b +=()0>>b a 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b-=00(,)P x y 22221x y a b +=P 00221x x y ya b+=17.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 18.若点在椭圆（）内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线. 19.若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是. 20.若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是. 21.若是椭圆上对中心张直角的弦，则. 22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值.23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是00(,)P x y 22221x y a b+=P 12,P P 12PP 00221x x y ya b+=()00,M x y 22221x y a b+=0a b >>M AB ,A B P 00221x x y ya b+=00(,)P x y 22221x y a b +=P 2200002222x x y y x y a b a b+=+00(,)P x y 22221x y a b +=P 22002222x x y yx y a b a b+=+PQ 22221x y a b+=()0>>b a 22221111||||OP OQ a b+=+22ab2222a b ab +.25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是.26.设为椭圆上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.27.若是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 28. 若是椭圆（）的左右顶点，点是直线（）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，则直线必与轴相交于定点.29.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与轴相交于，若，，则为定值，且.30.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.2422228[,2](+)a b b a b 2222282(+)[,]+ab a b a b a()000,y x P ()012222>>=+b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-022*******,y b a b a x b a b a M AB 22221x y a b+=0a b >>F AB x N 2AB NF e=,A B 22221x y a b+=0a b >>P x t =,0t a t ≠≠P PA PB ,M N MNx 2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b+=0a b >>F ,M N y P PM MF λ= PN NF λ= λμ+222a bλμ+=-22221x y a b+=0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=31.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.32.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.33.若是椭圆（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.34.若是椭圆（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交椭圆于另一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.35.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦.36.为椭圆的焦点弦，则过的切线的交点必在相应的准线上.注：本文以焦点在轴上的椭圆为例，焦点在轴时上述结论未必完全一致，请慎用.MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b+=0a b >>M x N ,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b +=0a b >>x (),0P m x PB C E AE x 2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭M ,A B AB F MF AB AB ,A B M x y二、双曲线1.为双曲线左上一点，若是左焦点，则的取值范围是，若是右焦点，则的取值范围是.2.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.3.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.4.为双曲线上一点，其中是双曲线的左右焦点，，则.5.已知双曲线，若点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点.若的斜率分别为，则.6.是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则.7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.P )0,0(12222>>=-b a b y a x F PF [,)c a -+∞F PF [,)c a ++∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b +∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b -+∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2FP F b S θ∆=)0,0(12222>>=-b a b y a x B A ,M B A ,MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=AB 22221x y a b -=M AB 22OM AB b k k a⋅=8.以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设为双曲线上一点，则的内切圆必切于与在同侧的顶点.10.双曲线的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时与交点的轨迹方程是.11.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是. 12.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 13.若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是. 14.若在双曲线内，则过的弦中点的轨迹方程是. 15.设为双曲线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.PF P 12F PF ∆P )0,0(12222>>=-b a b y a x 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b+=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a by a x P 12,P P 12PP 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 2200002222x x y y x y a b a b-=-00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 22002222x x y yx y a b a b-=-()000,y x P ()012222>>=-b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+022*******,y b a b a x b a b a M16.为双曲线上一点，若是一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值. 18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.19.过双曲线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.21.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.22.若是双曲线（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.23.若是双曲线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交双曲线一点，则直线恒过轴上的定P )0,0(12222>>=-b a by a x F PF 222a y x =+22ab 2222a b ab +22221x y a b-=0,0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ=OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b -=0,0a b >>M x N,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b-=0,0a b >>x (),0P m x PB C E AE x点，且定点为.24.从双曲线（）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：.25.双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且.26.若是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b-=0,0a b >>222x y a +=P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22221x y a b-=0,0a b >>F AB x M 2AB MF e=三、抛物线1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y 轴作垂线，垂足为M ，则以OM 为直径的圆与焦半径相切.5.若线段为抛物线的一条焦点弦，则. 6.设抛物线方程为，过焦点的弦的倾斜角为，则焦点弦. 7.若是抛物线的焦点弦，且，，则，. 8.抛物线方程为，过的直线与之交于、两点，则.反之也成立.9.抛物线上一点处的切线方程为.10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上. 11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.y AB 2:2(0)C y px p =>112AF BF p+=)0(22>=p px y AB α222sin 2sin AOB p p AB S αα∆==，AB 22(0)y px p =>11(,)A x y 22(,)B x y 2124p xx =212y y p =-22(0)y px p =>(2,0)p A B OA OB ⊥22y px =00(,)x y 00()y y p x x =+13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值. 14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是.16.过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点，且有. 17.过抛物线（）的对称轴上任意一点（）作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点.18.若是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.19.过抛物线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.12p2[8,)p +∞[8,)p +∞x m =0m ≠22y px =0p >M ,A B AB (),0N m -2AB MN p k k m=22y px =0p >(),0M m -0m >,A B AB (),0N m MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ= λμ+0λμ+=22y px =0p >F ,M N P PM MF λ= PN NF μ= λμ+0λμ+=MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ= λμ+112λμ+=21.若是抛物线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交抛物线一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.22.抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且.23.抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且.24.若是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 25.设为抛物线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.26.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，过作，则动点的轨迹方程为（）.27.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，则.28.过抛物线（）上任一点作两条弦，则（）的充要条件是直线过定点. 29.在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任,A B 2:2C y px =0p >x (),0P m x PB E AE x (),0Q m -M PQ F MF PQ ⊥P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22y px =0p >F AB x M 2AB MF=()00,N x y px y 22=AB AB AB ()002,x p y +-,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥O OM AB ⊥M 2220x y px +-=0x ≠,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥()2min 4AOB S p ∆=22y px =0p >()00,M x y ,MA MB MA MB k k λ=0λ≠AB 002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭22y px =0p >(),0M p意弦恒有. 30.抛物线（）上两点、连线斜率若存在即为. 31.抛物线（）上一点处切线的斜率若存在即为. 注：本文以为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.AB 222111p MA MB +=22y px =0p >A B 2A Bp k y y =+22y px =0p >A A p k y =22y px =。

学习好资料_______________________________________________________________________________________________圆锥曲线部分二级结论一：1：定圆上一动点与圆内一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是椭圆。

2：定圆上一动点与圆外一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是双曲线。

3：定直线上一动点与直线外一定点的线段垂直平分线，与过动点和定直线垂直的直线的交点的轨迹是抛物线。

二：1：动点到一定点和一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。

2：动点到一定点和一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。

3：动点到一定点和一定直线的距离之比等于1，则动点的轨迹是抛物线。

三：圆锥曲线上任一点的切线和过焦点与该点焦半径垂直的直线的交点，轨迹为该圆锥曲线相应之准线。

四：椭圆，双曲线的焦点在切线上的射影的轨迹是一个以原点为圆心，以a 为半径的圆。

抛物线的焦点在切线上的射影的轨迹为过抛物线顶点的切线。

五：1：以椭圆焦半径以为直径的圆和以长轴为直径的圆相切。

2：以双曲线焦半径以为直径的圆和以实轴为直径的圆相切。

3：以抛物线焦半径为直径的圆必与过顶点的切线相切。

六：1：椭圆中以焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线相离。

2：双曲线中以焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线相交。

3：抛物线中以焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

七：1：椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹为以原焦点为顶点的椭圆（不含焦点）。

2：双曲线焦点三角形的内切圆圆心的轨迹是过双曲线实轴顶点的两条开线段。

①都垂直实轴。

②纵坐标范围（-b ，b ）。

椭圆和双曲线在这里还各有一个重要性质。

八：1：圆锥曲线焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。

2：圆锥曲线相互垂直的两个焦点弦长度倒数之和为常数。

九：圆锥曲线焦点弦的中垂线与长轴（或实轴或对称轴）的交点到焦点的距离，与焦点弦长度之比为离心率的一半。

圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。

3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。

4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。

5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。

6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。

7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。

10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。

圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。

圆锥曲线二级结论高中
圆锥曲线是高中数学中的重要内容之一，其二级结论也是备考中不可或缺的一部分。

这些结论可以帮助考生简化解题过程、加快解题速度，从而提高考试成绩。

以下是一些常见的圆锥曲线二级结论:
1. 过曲线上的点 P(x,y) 的切线方程为 y = mx + b，其中 m 为切线与曲线的斜率，b 为切线与曲线的截距。

2. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式为：|AB| = |AC| ×√
(1-e^2),其中 A、B、C 分别表示直线与曲线相交的三点，e 为直线的倾斜角度。

3. 涉及到曲线上的点 A、B 及线段 AB 的中点 M 的关系时，可以利用点差法：设 MP = x，则 MP + PM = 2x，即 x = (MP + PM) / 2。

4. 圆锥曲线的两类对称问题：曲线关于点成中心对称的曲线是本身;曲线关于直线成轴对称的曲线是圆。

这些二级结论在高考圆锥曲线题目中经常会被用到，掌握它们可以帮助考生更好地应对高考考试。

同时，考生也应该注重对这些结论的推导和熟练掌握，以在实际考试中快速、准确地运用它们。

圆锥曲线的二级结论及证明圆锥曲线是在平面上由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）所确定的曲线。

它包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。

首先我们来看椭圆。

椭圆定义为到焦点和准线距离之和为常数的点的轨迹。

我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

（2）椭圆上任意一点处的法线交准线于焦点。

证明（1）：设椭圆的焦点为F，准线为L。

取椭圆上一点P，分别连接PF和PL。

根据椭圆的定义，我们知道PF + PL = 定值。

又根据椭圆的特性，PL = 长轴长度的一半。

因此，PF + PL = 定值 = 长轴长度。

所以，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

证明（2）：设椭圆上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。

我们需要证明N恰好是焦点F。

首先，由于N位于P处的法线上，所以PN垂直于椭圆的切线。

其次，设椭圆的焦距为2c，P到焦点F的距离为PF = d。

根据椭圆的性质，我们知道PF / c = PL / a，其中a为椭圆的长半轴。

而又由于PL = PN + NL，其中NL为椭圆的短半轴b。

所以，d / c = (d - NL) / a + NL / b。

通过化简，我们得到d = NL，即焦点到椭圆上的点处的法线与准线的交点恰好是焦点F。

接下来我们来看双曲线。

双曲线定义为到焦点和准线距离之差为常数的点的轨迹。

我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。

（2）双曲线上任意一点处的法线交准线于焦点。

证明（1）：设双曲线的焦点为F，准线为L。

取双曲线上一点P，分别连接PF和PL。

根据双曲线的定义，我们知道PF - PL = 定值。

又根据双曲线的特性，PL = 双曲线的距离差。

因此，PF - PL = 定值= 双曲线的距离差。

所以，焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。

证明（2）：设双曲线上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。

高中数学圆锥曲线二级结论大全
以下是一些高中数学圆锥曲线的二级结论:
1. 过曲线和直线的交点的曲线系方程为 ,其中为参数。

2. 共焦点的有心圆锥曲线系方程为 ,其中表示椭圆，表示双曲线。

3. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式为 ,其中为直线的倾斜角，为直线的斜率。

4. 涉及到曲线上的点 A、B 及线段 AB 的中点 M 的关系时，可以利用点差法：当曲线上的点 A 和 B 重合时，线段 AB 的中点 M 的横坐标等于 A、B 两点的横坐标之差。

5. 圆锥曲线的两类对称问题：曲线关于点成中心对称的曲线是 ;曲线关于直线成轴对称的曲线是。

6. 椭圆与双曲线对偶结论：椭圆双曲线标准方程中，焦点焦点焦半径为离心率，为点的横坐标。

为椭圆上一点，为焦点;为双曲线上一点，为焦点。

7. 通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径，通径长为。

8. 直线过焦点与椭圆相交于两点，则的周长为 ;直线过焦点与双曲线相交于两点，则。

9. 焦点弦倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点，焦点弦长最长为长轴，最短为通径;倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点，焦点弦长最长为通径，最短为。

10. 与数量关系直线过焦点与椭圆相交于两点，则 ;直线过焦点
与双曲线相交于两点，则。

这些结论有助于更好地理解和掌握圆锥曲线的性质和结构，有助于提高解题速度和效率。

二级结论专题11解析几何2二级结论1：圆锥曲线中的定值问题【结论阐述】1．在椭圆中：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，定点00(,)P x y （000x y ≠）在椭圆上，设A ，B 是椭圆上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率2020=AB b x k a y ．2．在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>中，定点00(,)P x y （000x y ≠）在双曲线上，设A ，B 是双曲线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PBk k +=．则直线AB 的斜率2020=AB b x k a y -．3．在抛物线C ：22(0)y px p =>，定点00(,)P x y （000x y ≠）在抛物线上，设A ，B 是抛物线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率0=AB p k y -．【应用场景】在圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点P （非顶点）与曲线上的两动点A ，B 满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数（倾斜角互补），则直线AB 的斜率为定值．【典例指引1】1．已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为1-，则点P 坐标为（）A ．()1,2B ．()1,2-C ．(2,D ．(2,-【典例指引2】2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点为12,F F ，椭圆的离心率为12，点2⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)点T 为椭圆C 上的点，若点T 在第一象限，且2TF 与x 轴垂直，过T 作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C 交于点M ，N ，探究直线MN 的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．【针对训练】3．已知抛物线2:4C y x =，点Q 在x 轴上，直线:(2)240l m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是_____.（2022·山西晋中·高二期末）4．已知点()2,1P -是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的一点，且椭圆C 的离心率2e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)两动点,A B 在椭圆C 上，总满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数，求证：直线AB 的斜率为定值.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率e 为12(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.6．已知动点M 到直线+2=0x 的距离比到点(1,0)F 的距离大1．(1)求动点M 所在的曲线C 的方程；(2)已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；7．如图，已知9(,3)4M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，直线AM ，BM 的斜率互为相反数，与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且均在M 点的下方．证明：直线AB 的斜率为定值．8．已知()1,2A 为抛物线22(0)y px p =>上的一点，E ，F 为抛物线上异于点A 的两点，且直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数．求直线EF 的斜率．9．已知点)Q，点P 是圆C ：22(x y 12+=上的任意一点，线段PQ 的垂直平分线与直线CP 交于点M ．()1求点M 的轨迹方程；()2过点()A 作直线与点M 的轨迹交于点E ，过点()B 0,1作直线与点M 的轨迹交于点F(E,F 不重合)，且直线AE 和直线BF 的斜率互为相反数，直线EF 的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF 的斜率；若不是定值，请说明理由．10．已知，椭圆C 过点35A ,22⎛⎫⎪⎝⎭，两个焦点为()0,2，()0,2-，,E F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数．()1求椭圆C 的方程；()2求证：直线EF 的斜率为定值．（2022沙坪坝·重庆八中）11．在平面直角坐标系xOy 中，设点()00,M x y 是椭圆22:1205x y C +=上一点，以M 为圆心的一个半径2r =的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q .（1）若点M 在第一象限且直线,OP OQ 互相垂直，求圆M 的方程；（2）若直线,OP OQ 的斜率都存在，且分别记为12,k k .求证：12k k 为定值；（3）探究22OP OQ +是否为定值，若是，则求出OP OQ ⋅的最大值；若不是，请说明理由.（2022沙坪坝·重庆南开中学）12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点为1F 、2F ，离心率2e =，过圆2221:C x y b +=上一点Q （Q 在y 轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E 于A 、B 两点，交圆2222:C x y a +=于C 、D 两点（如图所示）．当切线AB 与x 轴垂直时，2CDF V 的面积为3．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）（ⅰ）求ABO 的面积的最大值；（ⅱ）求证：2AC AF +为定值，并求出这个定值．13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过点()3,2A -，且离心率e =(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果B ，C 为双曲线上的动点，直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，证明直线BC 的斜率为定值，并求出该定值.（2021全国高考真题）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.二级结论2：圆锥曲线中的定点问题【结论阐述】若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点．（1）对于椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点(,0)a ，则直线AB l 过定点2222()(+a b aa b -．同理，当以AB 为直径的圆过左顶点(,0)a -时，直线AB l 过定点2222()(+a b a a b --．（2）对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点(,0)a ，则直线AB l 过定点2222(+)(,0)a b aa b-．同理，对于左顶点(,0)a -，则定点为2222(+)(,0)a b aa b --．（3）对于抛物线22(0)y px p =>上异于顶点的两动点A ，B ，若0OA OB ⋅=，则弦AB所在直线过点(2,0)p ．同理，抛物线22(0)x py p =>上异于顶点的两动点A ，B ，若0OA OB ⋅=，则直线AB 过定点(0,2)p ．【应用场景】一般情况下，若方程(),0f x y =中含有一个或者多个参数，当x 取某个常数0x 时，求得的y 也是一个与参数无关的常数0y ，这样就可以说方程(),=0f x y 对应的曲线经过定点()00,x y ．有时圆锥曲线中的定点问题，可以充分考虑几何性质，从特殊情况出发，对可能的定点有初步的判断，争取确定出定点，这样可以转化为有方向、有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．【典例指引1】（2022·安徽蚌埠·高二期末）15．已知直线l 与抛物线24y x =交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若直线,OA OB 的斜率之积为1-，则直线l 恒过定点（）A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(0,4)-D ．(4,0)-【典例指引2】16．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【反思】在分析直线方程时，要考虑直线的特殊情况，注意分类讨论．要想整理得出k 和m 的关系，需要借助韦达定理建立关于k 和m 方程，注意化简运算的技巧．【针对训练】17．已知双曲线2212y x -=，点()1,0A -，在双曲线上任取两点P 、Q 满足AP AQ ⊥，则直线PQ 恒过定点__________；（2022·四川巴中·一模）18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）的左､右焦点分别为1F ，2F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足122MF MF a +=，且12MF F △的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的上顶点为P ，不过点P 的直线l 交C 于A ，B 两点，若PA PB ⊥，证明直线l 恒过定点.19．已知椭圆22132x y E +=：的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率乘积为定值；(2)设()(0Q t t ≠，，过点Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点．问：是否存在实数t ，使得以MN 为直径的圆恒过定点B ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期检测）20．已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线20x y -+=的距离点()()000,0N x y y >为此抛物线上的一点，52NF =.直线l 与抛物线交于异于N的两点A ，B ，且2NA NB k k ⋅=-.(1)求抛物线方程和N 点坐标；(2)求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.（2022届河南省焦作市高三上学期开学考试）21．在PAB 中，已知()2,0A -、()2,0B ，直线PA 与PB 的斜率之积为34-，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 为曲线C 上一点，直线AP 与BQ 交点的横坐标为4，求证：直线PQ 过定点.（2022届陕西省西安市高三上学期模拟）22．已知与圆22:(1)3C x y ++=相切的直线l ，过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F ，且直线l 的倾斜角为23π.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线1l 与抛物线E 交于点A ，B 两点，且A ，B 关于直线y x =+对称，在12y x=-上是否存在点N ，使得以AB 为直径的圆恰好过点N ，若存在，求出点N 的坐标；否则，请说明理由.（2022届河南省名校联盟高三上学期阶段性测试）23．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若AM MB =，且直线l 的斜率为4，求直线OM (点O 为坐标原点)的斜率．(2)若直线FA ，FB 的斜率互为相反数，且直线l 不与x 轴垂直，探究：直线l 是否过定点?若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．24．过点(0,2)D 的任一直线l 与抛物线220C :x py(p )=＞交于两点,A B ，且4OA OB =-．(1)求p 的值．(2)已知,M N 为抛物线C 上的两点，分别过,M N 作抛物线C 的切线12l l 和，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点．（2022届上海市进才中学高三上学期12月联考）25．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线4x =的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为12的直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点，若直线l 不过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PA PB 、的斜率分别为PA PB k k 、，求PA PB k k +的值；(3)设点Q 为曲线C 的上顶点，点E 、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）26．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .离心率等于3，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.二级结论3：圆锥曲线中的定直线问题【结论阐述】1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 必在定直线00221x x y ya b+=上；2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 必在定直线00221x x y ya b+=上；3．已知抛物线22y px =(>0)p ，定点00(,)P x y 不在抛物线上，过点P 的动直线交抛物线于,A B 两点，在直线AB 上取点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 在定直线00()y y p x x =+上．【应用场景】定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题．证明动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，解决这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：（1）设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；（2）待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；（3）验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证．【典例指引1】27．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 上顶点为A ，过点A与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过A ，Q ，2F 三点的圆与直线:30l x -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆C 的长轴两端点，直线m 过点()4,0P 交C 于不同两点G ，H ，证明：四边形MNHG 的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．【反思】解决直线与圆锥曲线相交的相关问题时，关键在于将目标条件转化为交点的坐标间的关系，交点坐标的韦达定理上去可得以解决．【典例指引2】（2022江苏南通·高二开学考试）28．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92．(1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l '与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【针对训练】29．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点)，且离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点F 且不与x 轴重合的直线与椭圆交于M ，N 两点，已知()3,0D ，过M 且与y 轴垂直的直线与直线DN 交于点P ，求证：点P 在一定直线上，并求出此直线的方程.30．已知点P 是离心率为12的椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上位于第一象限内的点，过点P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ，N 两点，交直线by x a=-于Q ，R 两点，记OMQ 与ONR 的面积分别为1S ，2S ，且12S S +=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的上、下顶点分别为1B ，2B ，过点()0,1D 的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．【反思】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．31．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点1F 与抛物线24y x =的焦点重合，原点到过点()(),0,0,A a B b -的直线距离是7（1）求椭圆C 的方程（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，过1F 作1PF 的垂线与直线l 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上，并求出定直线的方程32．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点()0,1．如图所示，斜率为()0k k >且过点()1,0-的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，若F 在射线OE 上，且2OG OE OF =⋅．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：点F 在定直线上．【反思】求定线问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．33．已知椭圆22:142x y C +=，点()4,1P 为椭圆外一点．（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅ ，证明：点Q 总在某定直线上．【反思】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解．参考答案：1．A【分析】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，求得直线AB 的斜率为1241AB k y y ==-+，可得124y y +=-，再由直线PA 和PB 的斜率互为相反数可求得0y 的值，进而可求得0x 的值，由此可求得点P 的坐标.【详解】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的斜率为12221212414AB y y k y y y y -===--+，可得124y y +=-，同理可得直线PA 的斜率为014PA k y y =+，直线PB 的斜率为024PB k y y =+，PAPB k k =- ，所以，()()01020y y y y +++=，则12022y y y +=-=，20014y x ∴==，因此，点P 的坐标为()1,2.故选：A.【点睛】本题考查利用抛物线中直线的斜率关系求点的坐标，考查点差法的应用，属于中等题.2．(1)22143x y +=；(2)直线MN 的斜率为定值，且定值为12.【分析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a 、b ，即可得椭圆标准方程.（2）由题设得31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭，法一：设TM 为3(1)2y k x -=-，联立椭圆方程应用韦达定理求M的坐标，根据TM 与TN 斜率关系求N 的坐标，应用两点式求斜率；法二：设MN 为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立椭圆方程，应用韦达定理及0TM TN k k +=得到关于参数m 、k 的方程，即可判断是否为定值.（1）由题意，12c a =则2a c =，又===b ，所以椭圆C 的方程为2222143x y c c +=，代入⎛ ⎝⎭有22331412+=c c ，解得1c =，所以2b a ==，故椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由题设易知：31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭，法一：设直线TM 为3(1)2y k x -=-，由221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去y ，整理得()2223348412302k x k k x k k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭，因为方程有一个根为1x =，所以M 的横坐标为22412334M k k x k --=+，纵坐标()223121291286M M k k y k x k --+=-+=+，故M 为2222412312129,3486k k k k k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，用k -代替k ，得N 为2222412312129,3486k k k k k k ⎛⎫+--++ ⎪++⎝⎭，所以12M N MN M N y y k x x -==-，故直线MN 的斜率为定值12．法二：由已知直线MN 的斜率存在，可设直线MN 为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，由22143x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得()2223484120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，而12123322011TM TN y y k k x x --+=+=--，又1122,kx m y kx m y =+=+，代入整理得()()1212123322022kx x m x x k x x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()24832(21)0-++-=k k m k ，即(21)(232)0--+=k k m ，若2320k m -+=，则直线MN 过点T ，不合题意，所以210k -=．即12k =，故直线MN 的斜率为定值12.【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及0TM TN k k +=得到关于直线斜率的方M 、N 程，或求出的坐标，应用两点式求斜率.3．(2,0)-【分析】将直线l 方程代入抛物线C 中，得到关于y 的一元二次方程，设出M ，N 两点坐标，利用韦达定理写出12y y +，12y y 的关系，利用斜率坐标公式结合已知条件，得到 0+=QM QN k k ，即可求解Q 的坐标.【详解】易知2m ≠，由(2)240m x y m ---+=得22y x m =+-，代入抛物线方程得24802y y m --=-，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1242y y m +=-①，128y y =-②.设(,0)Q a ，则11QM y k x a =-，22QN y k x a=-，依题意有1 1QM QN yk k x a +=+-220yx a =-，所以()()12210y x a y x a -+-=，即211222022y y y a y a m m ⎛⎫⎛⎫+-+⋅+-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理并把①②代入可得2a =-，故Q 点的坐标为(2,0)-.故答案为：(2,0)-.4．(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得22,a b ，从而求得椭圆C 的标准方程.（2）设出直线PA 的方程并与椭圆方程联立，由此求得A x ，同理求得B x ，从而化简求得直线AB 的斜率A BAB A By y k x x -=-为定值.（1）由题可知22222411c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，从而粚圆方程为22182x y +=.（2）证明设直线PA 的斜率为k ，则():12PA y k x +=-，21y kx k =--，联立直线与椭圆的方程，得()221248y k x x y ⎧+=-⎨+=⎩，整理得()(2221416k x k +-+()28)161640k x k k ++-=，从而2216164214A k k x k +-=+，于是2288214A k k x k+-=+，由题意得直线PB 的斜率为k -，则():12PB y k x +=--，21y kx k =-+-，同理可求得2288214B k k x k --=+，于是A BAB A B y y k x x -=-()2121A B A Bkx k kx k x x ----+-=-()4A B A Bk x x kx x +-=-2221644114.16214k k k k k k-⋅-+==-+即直线AB 的斜率为定值.5．(1)22143x y +=；(2)证明见解析，12.【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，结合代入法、椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出E 、F 两点坐标，最后根据直线斜率的公式进行求解即可.（1）根据题意，22222914112a bc e a a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=；（2）证明：设直线AE 的方程为：()312y k x -=-，由()22312143y k x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()2223442341230k x k k x k k +--+--=，显然1是该方程的根，因此有22224123412313434x x k k k k E E k k ----⋅=⇒=++，()2222412312129,34234k k k k E k k ⎛⎫----+ ⎪∴ ⎪++⎝⎭，由题可知直线AF 的方程为()312y k x -=--，同理可得()2222412312129,34234k k k k F k k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭，()()222222221212912129234234121412341232423434EF k k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++∴===+----++，∴直线EF 的斜率为定值，且这个定值为12.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系求出两点坐标是解题的关键.6．(1)24y x =(2)证明见解析，1-.【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；（2）分别设出直线,PA PB 的方程，与抛物线方程联立，求出点A B 、坐标，再求直线AB 的斜率即可.【详解】（1）已知动点M 到直线+2=0x 的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得：动点M 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，可得=2p ，抛物线开口向右，∴曲线C 的方程为24y x =．（2）设直线PA 的斜率为k ，∵直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，∴直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，:2(1)PB l y k x -=--，联立方程组22=(1)=4y k x y x--⎧⎨⎩，整理得2-4-4+8=0ky y k ，即[](24)(2)0ky k y +--=，42ky k-=或=2y （舍）可得22(2)42(,)k kA k k--联立方程组22=(1)=4y k x y x---⎧⎨⎩，整理得24480ky y k +--=，即[](24)(2)0ky k y ++-=，42ky k--=或=2y （舍）可得22(2)42(,)k kB k k+--则222242421(2)(2)ABk kk k k k k k k ----==-+--即直线AB 的斜率为定值1-．【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．7．证明见解析.【分析】设出直线MA 和MB 的方程，与抛物线方程联立求出点A B ，的坐标，再求直线AB 的斜率即可.【详解】证明：∵9(,3)4M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，∴9924p =⨯，得=2p ，∴抛物线方程为24y x =，设直线MA 的方程为93()4y k x -=-，由293=()4=4y k x y x--⎧⎪⎨⎪⎩，得241290y y k k -+-=，即4[(3)](3)0y y k +--=，解得43A y k=-或3A y =(舍)∵直线AM ，BM 的斜率互为相反数，∴直线BM 的方程为93(4y k x -=--，同理可得43B y k=--，∴224424433344B A B A AB B A B A B A y y y y k y y x x y y k k =====------+--+，∴直线AB 的斜率为定值23-，8．1-【分析】先利用已知条件求出抛物线得方程，然后利用直线斜率公式求直线,AE AF 的斜率，在由直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数，求出124y y +=-，在根据2121214==+EF y y k x x y y --即可求出答案.【详解】设()11,E x y ，()22,F x y ，∵点()1,2A 为抛物线()220y px p =>上的一点，∴42p =，解得=2p ，∴24y x =，同时，有211=4y x ，222=4y x ，()()()()()()11111111112+22444====11+21+2+2AE y y y x k x x y x y y ------，同理，22224==1+2AF y k x y --，∵直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数，∴1244=+2+2y y -，即124y y +=-，()22222121212121212144===44=1+EF y y y y y y k x x y y y y y y ------∴=-，故直线EF 的斜率为1-.9．（1）22x y 13+=；（2）定值【分析】（1）根据中垂线的性质得出MQ MP =，然后计算出MC MQ +=，结合椭圆的定义得知点M 的轨迹为椭圆，可得出a 和c 的值，进而求得b 的值，于是可得出点M 的轨迹方程；（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，将直线AE 、BF 的方程分别与曲线E 的方程联立，利用韦达定理求出的点,E F 的坐标，然后利用两点间的斜率公式求出直线EF 的斜率，从而证明结论．【详解】（1）如下图所示，连接MQ，则MC MQ MC MP CP +=+==又CQ =M 的轨迹是以,C Q 为焦点的椭圆，因为22a c ==1a c b ===．故点M 的轨迹方程是2213x y +=；（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，由(2233y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()222231930k x x k +++-=．设交点()11,E x y 、()22,F x y ，则1x()1111x y k x ==+=．由22133y kx x y =-+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得()223160k x kx +-=，则222222613,11313k k x y kx k k-==-+=++．所以，1212EFy y k x x -===-故直线EF的斜率为定值，其斜率为3-．【点睛】（1）求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.（2）当直线与椭圆的两个交点中有一个是定点时，我们常用动直线的斜率表示另一个动交点的坐标，进而讨论与动交点相关的数学问题（常称为知点求点法）.10．（1）22y x 1106+=；（2）见解析【分析】()1由焦点坐标求得2c =，可设椭圆方程为22221y xa b +=，可得22222591444a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解方程即可；()2设()11,E x y ，()22,F x y ，设直线AE 的方程为3522y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入221106y x +=，求出点E 的坐标，再将k 换为k -，求出F 的坐标，即可求出直线的斜率，再化简即可得结果.【详解】()1由题意c 2=，可设椭圆方程为22221y x a b +=，22222591444a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得210a =，26b =，∴椭圆的方程为221106y x +=.()2设()11E x ,y ，()22F x ,y ，设直线AE 的方程为3522y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入221106y x +=得()()22233353533()30022k x k k x k ++-+-+-=，()123353352k k x k -∴=-+，113522y kx k ∴=-+，又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，再上式中以k -代k ，可得()223353352k k x k ---=-+，2235y kx k 22∴=-++，∴直线EF 的斜率()()()()()2212212121223353353333523523133533533352352k k k k k k k k k x x k y y k k k k k x x x x k k ----⎛⎫-+-+ ⎪++-++-⎝⎭====--------+++.【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，考查了运算求解能力，化归与转化思想的应用，属于难题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.11．（1）()()22224x y -+-=；（2）证明见解析；（3）是，252.【分析】（1）由切线性质得OM =，由此可求得M 点坐标，从而得圆方程．（2）设切线方程为y kx =，由直线与圆相切得出k 的方程，结合韦达定理得12k k ，并结合M 在椭圆上可得．（3）当直线OP OQ ，不落在坐标轴上时，设()()1122,,P x y Q x y ，，利用1214k k =-可得22221212116y y x x =，利用,P Q 在椭圆上可求得2212x x +及2212y y +，从而得22OP OQ +，当直线OP OQ ，有一条落在坐标轴上求出22OP OQ +，从而得定值，再由基本不等式得最大值．【详解】（1）OM ==则22008x y +=，又2200220012058x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，又000,0x y >>，故解得0022x y =⎧⎨=⎩，所以()2,2M ，所以圆M 的方程为()()22224x y -+-=（2）因为直线12::OP y k x OQ y k x ==，与圆M 相切，所以直线1:OP y x k =与圆()()2200:4M x x y y -+-=联立，可得()()222210100012240k x x k y x x y +-+++-=同理()()222222000012240k x x k y x x y +-+++-=，由判别式为0，可得12k k ，是方程()2220004240xk x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∴20122044y k k x -=-因为点00(,)M x y 在椭圆C 上，所以220054x y =-，所以1214k k =-；（3）（i ）当直线OP OQ ，不落在坐标轴上时，设()()1122,,P x y Q x y ，，因为12410k k +=，所以22221212116y y x x =，因为()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上.所以2222221212121554416x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得221220x x +=，所以22125y y +=所以2225OP OQ +=.（ii ）当直线落在坐标轴上时，圆M 方程为22(2)(2)4x y -+-=，易求得2225OP OQ +=，综上：2225OP OQ +=，所以|()2212522OP OQ OP OQ ⋅≤+=所以OP OQ ⋅的最大值为252．【点睛】本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题，考查学生的运算求解能力，逻辑思维能力，对斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程y kx =，利用直线与圆相切得出关于k 的二次方程，由韦达定理得出结论；设()()1122,,P x y Q x y ，，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点M 在椭圆上求得22OP OQ +的值，注意分类讨论．12．（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）1；（ⅱ2.【分析】（1）由三角形面积得()3c b c +=+222a c b -=求得,,a b c 后得椭圆方程；（2）（ⅰ）直线AB 的斜率不会为零，设其方程为x ty m =+，由直线与圆相切求得,t m 的关系，设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立，消元后求出判别式的值（利用,t m 关系），应用韦达定理，得弦长AB ，计算OAB 面积，应用基本不等式得最大值；（ⅱ）CQ c ==，AC CQ AQ AQ =-=，用A 点坐标表示出2,AQ AF ，计算可得．【详解】（1）2CD c ==，于是有2()3CDF S c b c =+=+ 又222,2c a b c a =-=，解得2,1c a b ===，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．（2）（ⅰ）因Q 在y 轴左侧，故直线AB 的斜率不会为零，设其方程为x ty m =+，由直线AB 与圆1C 2211m t =⇒=+，由2244x ty m x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()2224240t y tmy m +++-=，()()()222222444416448t m t m t m ∆=-+-=+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12||AB y y =-=所以()2231212||124OABt S AB b t ++⋅=⋅⋅=≤=+ ，当且仅当213t+=，即t =时取等号．故ABO 的面积的最大值为1．（ⅱ）因点()11,A x y 在椭圆E 上，且在y 轴左侧，故10x <，221114x y +=，由（1）CQ c ==故12AC CQ AQ x =-====，2122AF x ====-，故2112222AC AF x +=+-=为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆标准方程的关键是列出关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c ，直线与椭圆相交一般是设交点坐标，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，由韦达定理的结果求弦长等等．13．(1)221832x y -=(2)证明见解析，6【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点A 可得方程；（2）设点B 与点C 的坐标，根据直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，可得直线BC 的斜率.【详解】（1）由题意22941a b c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得28a =，232b =，故双曲线方程为221832x y -=（2）设点()11,B x y ，()22,C x y ，设直线AB 的方程为()23y k x -=+，代入双曲线方程，得()()()222423232320kxk k x k --+-+-=，2126434k k x k +∴-+=-，21234124k k x k ++=-，21222484k k y k ++=-，222234122248,44k k k k B k k ⎛⎫++++∴ ⎪--⎝⎭同理222234122248,44k k k k C k k ⎛⎫-+-+ ⎪--⎝⎭，4868BC kk k∴==.14．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值.【详解】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥.（2）[方法一]【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB =-=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21(2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-．因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=．[方法二]：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==，同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=，故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．[方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆．设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=．又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得：[]2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=，其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.15．A【分析】设出直线方程x my t =+，联立抛物线方程，得到12124,4y y m y y t +==-，进而得到。

圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是一个非常重要的数学话题，它被广泛地应用于各种科学领域中。

在圆锥曲线的研究中，有很多二级结论是非常重要的。

这些结论与圆锥曲线的方程有关，可以帮助我们更好地理解这些曲线的性质和特点。

下面，我们将介绍一些常用的二级结论。

1. 判别式在研究二次曲线的性质时，很重要的一个问题是如何判断其类型。

一个二次曲线的类型取决于其方程的系数。

比如，二次曲线的方程可以表示为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E和F都是常数。

二次曲线的类型如下：如果B² - 4AC > 0，则为双曲线。

如果B² - 4AC = 0，则为抛物线。

如果B² - 4AC < 0，则为椭圆。

这个判别式非常有用，可以帮助我们快速地判断一个二次曲线的类型。

在实际应用中，我们可以用这个结论来分析椭圆、双曲线和抛物线这些曲线的性质。

2. 焦半径公式圆锥曲线中最常见的二次曲线就是椭圆和双曲线。

在研究这些曲线的性质时，焦半径公式是非常重要的一个结论。

对于一个椭圆或双曲线，假设其焦点为F1和F2，离心率为e，焦距为2a，则任何一点P到F1和F2的距离之和等于2a。

即：PF1 + PF2 = 2a这个式子可以用来计算与椭圆或双曲线相关的各种参数。

比如，我们可以用这个式子计算出椭圆的周长和面积。

在应用中，我们经常需要用这个结论来计算椭圆和双曲线的各种参数。

3. 长短轴公式对于一个椭圆，它有两个特殊的轴，分别称为长轴和短轴。

这两个轴对于椭圆的性质有很大的影响。

在研究椭圆的性质时，长短轴公式是非常重要的一个结论。

对于一个椭圆，设其长轴长为2a，短轴长为2b，则有以下两个关系式：a² = b² + c²其中，c是椭圆的焦距，即焦点到中心的距离。

这个结论可以帮助我们计算椭圆的长轴和短轴长度。

在实际应用中，我们经常需要用这个结论来计算各种椭圆的参数。

高中数学圆锥曲线二级结论圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其二级结论也是必须掌握的一部分。

下面是关于圆锥曲线二级结论的详细内容：1.椭圆的性质（1）椭圆的长轴是离心率e和主轴长度a的函数，即2a=2/(1-e^2)。

（2）椭圆的焦距为f，离心率为e，长轴长度为2a，则有f^2=a^2-b^2，b=a√(1-e^2)。

（3）椭圆的几何中心和重心重合，位于椭圆的中心点。

2.双曲线的性质（1）双曲线的长轴是离心率和虚轴半径的函数，即2a=2/|e^2-1|。

（2）双曲线的焦距为f，离心率为e，长轴长度为2a，则有f^2=a^2+b^2，b=a√(e^2-1)。

（3）双曲线的几何中心和重心重合，位于双曲线的中心点。

3.抛物线的性质（1）抛物线的焦点在自由定点上，几何中心和重心均在抛物线的对称轴上。

（2）抛物线的离心率e=1，即是一个特殊的圆锥曲线。

（3）抛物线的焦距为f，几何中心和重心位于抛物线的对称轴上，满足f=a/4。

4.直线与圆锥曲线的交点数设一条直线L的方程为ax+by+c=0，圆锥曲线F(x,y)=0。

则直线L与圆锥曲线F(x,y)=0的交点个数为：（1）若L不过圆锥曲线F(x,y)=0，则交点个数为0或2个；（2）若L经过圆锥曲线F(x,y)=0的中心点，则交点个数为2个；（3）若L经过圆锥曲线F(x,y)=0的顶点，则交点个数为1个；（4）若L经过圆锥曲线F(x,y)=0的焦点，则交点个数为1个或2个。

总之，圆锥曲线二级结论是高中数学中的重要内容，对于掌握圆锥曲线的基本概念和求解方法有着重要的作用。

在学习和掌握这些结论时，需要认真理解，多做练习，加强对数学概念的理解和运用能力。

圆锥曲线的二级结论总结
圆锥曲线以其独特的几何形状在数学界占据了重要地位。

它以一种旋转而绕着某个轴而形成的曲线，具有令人晕眩的外形，以至于它在数学研究领域中被认为是一个令人兴奋的研究领域。

它接受了大量的研究，并产生了许多有趣的结论。

本文旨在总结圆锥曲线的一些相关结论。

一级结论：
圆锥曲线的一个关键特征是，它是一种可以旋转的曲线，可以在单个平面内旋转数次，同时保持其初始形状。

它的另一个特征是，它的几何图形具有一定的非对称性，当它被旋转时，它的外形会有所不同。

圆锥曲线有许多参数，这些参数有助于描述它的几何图形。

一些重要的参数包括半径，焦距，轴的倾斜角度，以及可能的切线角度。

二级结论：
圆锥曲线的几何图形特征也具有更加深刻的数学特性。

关于圆锥曲线的结论之一是，它可以用来构造复杂的图形，这就意味着它可以在特定的平面上构造出环状图案（例如椭圆）。

它也被用来构造多边形、曲面图像等。

此外，圆锥曲线还可以用来求解许多数学问题，例如用来求解最优化问题、求解复杂几何问题以及定义复杂数学函数的特征。

另外，圆锥曲线也可以用来表示一系列的几何运动。

它可以用来模拟轨道运动，例如行星的运行轨道，也可以用来模拟自由落体运动。

这两类运动都可以用来阐述许多重要的物理问题，例如力学原理，宇
宙学规律等。

总结来说，圆锥曲线非常有用，它具有许多非常有趣的数学特性和几何特性，可以用来求解各种复杂的数学问题，也可以用来表示各种运动轨迹。

因此，研究圆锥曲线是一个令人兴奋的课题，可以使我们更深入地理解它的多样性与复杂性。

关于圆锥曲线的二级结论一、什么是圆锥曲线？圆锥曲线是平面上一种特殊的曲线，它们可以由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定。

根据焦点和准线的相对位置和形状不同，圆锥曲线可分为四种基本类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。

二、椭圆 (Ellipse)2.1 定义椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

这个常数称为椭圆的焦距，焦点与准线之间的距离称为椭圆的半长轴，准线上的一个固定点称为椭圆的中心。

2.2 二级结论•椭圆具有对称性，关于其中心点对称。

•椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数。

•椭圆的离心率大于0且小于1。

三、双曲线 (Hyperbola)3.1 定义双曲线是平面上到两个固定点（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。

这个常数称为双曲线的焦距，与准线相交的两条直线称为双曲线的渐近线。

3.2 二级结论•双曲线具有对称性，关于其中心点对称。

•双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于常数。

•双曲线的离心率大于1。

四、抛物线 (Parabola)4.1 定义抛物线是平面上到一个固定点（焦点）的距离等于到一个定直线（准线）的距离的点的集合。

焦点和准线之间的距离称为抛物线的半焦距，与准线平行且与抛物线相切的直线称为抛物线的切线。

4.2 二级结论•抛物线具有对称性，关于其焦点和准线都对称。

•抛物线上的任意一点到焦点的距离等于到准线的距离。

•抛物线的离心率等于1。

五、直线 (Line)5.1 定义直线是平面上任意两点之间的最短路径。

5.2 二级结论•直线可以看作两个无穷远的焦点之间的双曲线。

•直线的离心率为无穷大。

六、总结圆锥曲线是平面几何中非常重要的曲线类型，椭圆、双曲线、抛物线和直线都是常见的圆锥曲线。

每种曲线都有其独特的性质和特点，如对称性、焦点和准线之间的关系等。

了解和理解圆锥曲线的性质和特点，有助于在几何问题中的应用和解题。

在进一步研究和应用圆锥曲线时，可以通过焦点、准线、离心率等概念来深入理解和分析不同曲线的性质和特点。