数学分析习题及答案 (29)

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习 题 14.5 场论初步

1．设kjia15203，对下列数量场fxyz(,,)，分别计算fgrad和)(divaf：

（1）fxyzxyz(,,)()22212；

（2）fxyzxyz(,,)222；

（3）fxyzxyz(,,)ln()222。

解（1）)()(grad23222kjizyxzyxf，

)15203()()(div23222zyxzyxfa。

（2） )(2gradkjizyxf，

)15203(2)(divzyxfa。

（3）)()(2grad1222kjizyxzyxf，

)15203()(2)(div1222zyxzyxfa。

2．求向量场kjia222zyx穿过球面xyz2221在第一卦限部分的通量，其中球面在这一部分的定向为上侧。

解 设)0,0,0(1:222zyxzyx，方向取上侧，则所求通量为

dxdyzdzdxydydzx222，

由于 84)1(10320222drrddxdyyxdxdyzxy，

同理可得 822dzdxydydzx，

所以 83222dxdyzdzdxydydzx。

3．设kjirzyx，||rr，求：

（1）满足0])([divrrf的函数fr()；

（2）满足0)](div[gradrf的函数fr()。

解（1）经计算得到

rxrfrfxxrf2)()())((，

,)()())((2ryrfrfyyrf

rzrfrfzzrf2)()())((，

所以

)()(3])([divrfrrfrfr。 2 由0])([divrrf，得0)()(3rfrrf，解此微分方程，得到

3)(rcrf，

其中c为任意常数。

（2）由)()(rfrxxrf，)()(rfrxxrf，)()(rfrxxrf，得到

)()()(22322rfrxrfrxrrfrxx，

)()()(22322rfryrfryrrfryy，

)()()(22322rfrzrfrzrrfrzz，

所以

2div[grad()]()"()frfrfrr。

由0)](div[gradrf，得0)()(2rfrrf，解此微分方程，得到

12()cfrcr，

其中21,cc为任意常数。

4. 计算

)ln(21gradrcrc

其中c是常矢量，kjirzyx，且0rc。

解 设 ),,(321cccc，)ln(21rcrcu，则

)(2,)(2,)(2332211rcrcrccczuccyuccxu，

所以

rcccrcrc21)ln(21grad。

5. 计算向量场xyarctangrada沿下列定向曲线的环量：

（1）圆周()(),xyz221022，从z轴正向看去为逆时针方向；

（2）圆周xyz2241,，从z轴正向看去为顺时针方向。

解 经计算，可得

xyarctangrada221(,,0)yxxy， 3 2222rot

0yzyxxyxy0ijka=x，

它在除去z轴的空间上是无旋场。

（1）设22(,,)(2)(2)1,0Lxyzxyz，从z轴正向看去为逆时针方向；22(,,)(2)(2)1,0xyzxyz，方向取上侧。由于z轴不穿过曲面，根据Stokes公式，

drotd0LasaS。

（2）令2cos,2sin,0xyz，则

22dLLxdyydxxyas202d。

6. 计算向量场)(kjirxyz在点M(,,)132处的旋度，以及在这点沿方向kjin22的环量面密度。

解 由

rot()()()xzyyxzzyxxyzxyzxyzxyzijkrijk，

可得

)(rotMrkji43。

向量场)(kjirxyz在点M(,,)132沿方向n的环量面密度为

rrdmM)(1lim)(rotMr31nn。

7. 设kjiazyxaaa向量场，fxyz(,,)为数量场，证明：（假设函数aaaxyz,,和f具有必要的连续偏导数）

（1）0)div(rot a；

（2）)(gradrot f0；

（3）aaa)(rot rot)grad(div。

证（1） rotyyxxzzaaaaaayzzxxyaijk。

设zyxaaa,,二阶偏导数连续，则

4 0)div(rot yaxazxazayzayaxxyzxyza。

（2）rot (grad)fyzfffxyz0xijk。

（3）由

kajaiaazyxdivdivdiv)grad(div

jizyayayxazxayxaxazyxzyx22222222

k2222zazyazxazyx，

以及

kjiayaxaxazazayaxyzxyzrot，

)(rot rota=izxazayayxazxxy222222

kjzyayaxazxayxaxazazyayzzxxyyz222222222222，

得到

akjiaazyxaaa)(rot rot)grad(div。

8. 位于原点的点电荷q产生的静电场的电场强度为)(430kjiEzyxrq，其中rxyz222，0为真空介电常数。求Erot 。

解 0334433ryzryzryzrzy，

33xzzrxr44330zxzxrr，

33yxxryr44330xyxyrr，

所以

rot ,(,,)xyzE00。 5 9. 设a为常向量，kjirzyx，验证：

（1）0)(ra；

（2）ara2)(；

（3）ararr2))((。

证（1）zyxaaazyxzyx)(ra

0)()()(zxayayzaxaxyazayxxzzy。

（2） ()yzzxxyxyzazayaxazayaxijkar

2()xyzaaaijka2。

（3） 222()()()(())2yxzayaxazxyzrrara。

10. 求全微分()()()xyzdxyxzdyzxydz222222的原函数。

解 记 kjia)2()2()2(222xyzxzyyzx，由于

yazxaxayzazaxyaxyzxyz2,2,2，

所以向量场kjia)2()2()2(222xyzxzyyzx是一个无旋场，其原函数为

(,,)222(0,0,0)(,,)(2)(2)(2)xyzUxyzxyzdxyxzdyzxydzC

2222220001(2)()23xyzxdxydyzxydzxyzxyzC。

11. 证明向量场)0(2222xyxyxyxyxjia是有势场并求势函数。

证 当0x时，

2222222222yxyxxyxxyxyyxyxy)(，

所以向量场a是有势场，其势函数为

(,)22(1,0)()()(,)(,)xyxydxxydyVxyUxyCxy

2222101arctanln()2xydxxyydyCxyCxxyx。

12. 证明向量场kjiaxyzyxzxzyxyzzyx)2()2()2(是有势场， 6 并求出它的势函数。

证 设kjiazyxaaa，则

xazxyyzazazyxxyazxyz)(2,)(222，

yayxzzxaxy)(22，

所以向量场a是有势场。设原函数为(,,)UUxyz，则

(2)(2)(2)dUxyzyzdxxyzzxdyxyzxydz

])([)]([2222zxdyxdzzdxyydzzdyxyzdx

])([22xydzxdyydxz

)]([)()()(222zyxxyzdxyzdzxydyzxd，

所以势函数为

(,,)(,,)()VxyzUxyzxyzxyzC。

13. 验证：

（1）uyxy323为平面2R上的调和函数；

（2）22)()(lnbyaxu为)},{(\2baR上的调和函数；

（3）2221zyxu为)}0,0,0{(\3R上的调和函数。

解（1）因为

yyuyxuxyyuxyxu6,6,33,6222222，

所以

02222yuxu，

即uyxy323为平面2R上的调和函数。

（2）因为

2222)()(,)()(byaxbyyubyaxaxxu，

22222222222222])()[()()(,])()[()()(byaxbyaxyubyaxaxbyxu，

所以

02222yuxu，

即22)()(lnbyaxu为)},{(\2baR上的调和函数。

（3）记222zyxr，则

321rxrxrxu，52343223131rxrrxrxrxu，