数学建模教程及例题分析

上海市考研数学建模方法与实例分析数学建模是实际问题与数学模型的数学分析和求解过程，是数学在现实应用中的重要体现。

而考研数学建模是指针对考研数学中的建模题型，运用数学方法进行问题求解的过程。

本文将以上海市考研数学建模的方法与实例为例进行详细分析。

一、问题描述假设上海市有一支足球队，经过多年的发展，该队在国内具有一定的知名度，现希望通过一些宣传和活动来增加球队的知名度，吸引更多的球迷，促进队伍的发展。

请你设计一套合理的数学建模方案，帮助该队实现目标。

二、问题分析为了实现目标，我们可以考虑以下几个方面的问题：宣传渠道选择、活动策划、效果评估等。

1. 宣传渠道选择首先，我们需要选择合适的宣传渠道，以增加球队的知名度和影响力。

可以考虑利用电视、广播、报纸、网络等媒体进行宣传，也可以寻找合作伙伴进行联合宣传。

同时，还需要考虑宣传渠道的覆盖面和受众群体的特点。

2. 活动策划其次，为了吸引更多的球迷，我们可以组织一些有吸引力和互动性的活动。

例如，可以组织足球比赛、球迷见面会、签名会等活动，以增加球迷的互动和参与感，从而提高球队的影响力和知名度。

3. 效果评估最后，为了评估宣传和活动的效果，我们可以利用数学统计方法进行数据分析。

可以通过对球队知名度、关注度以及球迷参与活动的数量等指标进行统计和比较，评估宣传和活动的效果，并根据评估结果进行相应调整。

三、数学模型的建立针对上述问题，我们可以建立如下的数学模型：1. 宣传渠道选择模型设定宣传渠道的评价指标，例如覆盖面、受众群体特点、宣传费用等，然后利用数学方法对不同宣传渠道进行评估和排序，选择最优宣传渠道。

2. 活动策划模型考虑活动策划的各个因素，如活动类型、活动内容、参与人数等，建立相应的数学模型进行活动方案的设计和优化。

3. 效果评估模型根据宣传和活动的目标，确定相关的评估指标，例如球队知名度增长率、球迷参与度等，然后利用数学统计方法对这些指标进行量化分析，评估宣传和活动的效果。

第二十讲 数学建模【趣题引路】某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元.•因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5m 3污水排出,为了净化环境,工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1:工厂污水先净化处理后再排出,每处理1m 3•污水所有原材料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30 000元;方案2:•工厂将污水排到污水厂统一处理,每处理1m 3污水需付14元排污费.问题:(1)设工厂每月生产x 件产品,每月利润为y 元,分别求出依方案1和方案2处理污水时y 与x 的函数关系式;(2)•设工厂每月生产量为6 000件产品时,你若作为厂长在不污染环境,又节约资金的前提下,•应选用哪种处理污水的方案?请通过计算加以说明. 解析 (1)设选用方案1,每月利润为y 1元,选用方案2,每月利润为y 2元,则: y 1=(50-25)x-2×0.5x-30 000=24x-30 000, y 2=(50-25)x-14×0.5x=18x. 故y 1=24x-30 000,y 2=18x;(2)当x=6000时,y 1=24×6000-30 000=114 000(元),y 2=18x=18×6000=108 •000(元). ∴y 1>y 2.答:我若作为厂长,应选方案1. 点评本例是生产经营决策问题,其难点在于建立相应的数学模型,构建函数关系式,•然后,通过问题中所给的条件判断,若不能判断,就要进行分类讨论.【知识延伸】例 某工厂有14m 长的旧墙一面,现在准备利用这面旧墙,建造平面图形为矩形,•面积为126m 2的厂房,工程条件为:①建1m 新墙的费用为a 元;②修1m 旧墙的费用为4a元;③拆去1m 旧墙,用所得材料建造1m 新墙的费用为2a元.经过讨论有两种方案:(Ⅰ)利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形厂房一面的边长;(Ⅱ)•矩形厂房利用旧墙的一面边长为x(x ≥14).问:如何利用旧墙,即x 为多少米时,建墙费用最省?(Ⅰ)(Ⅱ)两种方案哪个更好?解析 设利用旧墙的一面矩形边长为xm,则矩形的另一边长为126xm . (Ⅰ)利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形一面边长,则修旧墙费用为x ·4a元,•将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为(14-x)·2a元,其余建新墙的费用为(2x+2126x -14)·a 元.故总费用为y=x ·4a +142x -·a+(2x+252x -14)·a=a(74x+252x-7)=7a(364x x +-1).(0<x<14)∴y ≥364x x -1]=35a.当且仅当364x x=,即x=12m 时,y min =35a(元); (Ⅱ)若利用旧墙的一面矩形边长为x ≥14,则修旧墙的费用为4a ·14=72a 元,建新墙的费用为(2x+252x-14)a 元. 故总费用为y=72a+(2x+252x-14)a=72a+2a(x+126x -7) (x ≥14).设14≤x 1<x 2,则x 1-x 2<0,x 1x 2>196. 则(x 1+1126x )-(x 2+2126x )=(x 1-x 2)(1-12126x x ) ∴函数y=x+126x在区间[14,+∞]上为增函数. 故当x=14时,y min =72a+2a(14+12614-7)=35.5a>35a.综上讨论可知,采用第(Ⅰ)方案,建墙总费用最省,为35a 元.点评解答选择方案应用题同处理其他应用题一样,重点要过好三关(1)事理关:•读懂题意,知道讲的是什么事情,要比较的对象是什么;(2)文理关:•把实际问题文字语言转化为数学的符号语言,然后用数学式子表达数学关系式;(3)数理关:在构建数学模型的过程中,要对数学知识有检索的能力,认定或构建相应的数学模型,•完成由实际问题向数学问题的转化.【好题妙解】佳题新题品味例 在一次人才招聘会上,有A 、B 两家公司分别开出他们的工资标准:A 公司允诺第一年月工资为1500元,以后每月工资比上一年工资增加230元;B 公司允诺第一个月工资为2000元,以后每月工资在上一年月工资基础上递增5%,设某人年初被A 、B 两家公司同时录取,试问 :(1)若该人打算在A 公司或B 公司连续工作n 年,则他第n 年的月工资收入各为多少? (2)如该人打算连续在一家公司工作10年,仅以工资收入来看,•该人去哪家公司较合算?解析 (1)此人在A、B公司第n年的月工资数分别为a n=1 500+230(n-1),b n=2 •000(1+5%)n-1.其中n为正整数;(2)若该人在A公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12(a1+a2+…+a10)=•304 200(芜).若该人在B公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12(b1+b2+•…b10)=301 869(元).故该人应选择在A公司工作.点评最佳方案的选择问题充分体现了数学在生活中的无穷乐趣,•同时也从数学角度诠释了“知识就是力量”,“知识就是财富”的道理.中考真题欣赏例 (2002年长沙市)某商场经营一批进价为2元一件的小商品,在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系:x 3 5 9 11y 18 14 6 2(1)在所给的直角坐标系中:①根据提供的数据描出实数对(x,y)对应点;②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式,并画出图象.(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据日销售规律:①试求出日销售利润p元与日销售单价x元之间的函数关系式,•并求出日销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?试问:日销售利润p是否存在最小值?若有,试求出,若无,试说明理由;②在给定的直角坐标系中,画出日销售利润p元与日销售单价x•元之间的函数图象,观察图象,写出x与p的取值范围.解析 (1)①准确描出四点位置.②猜测它是一次函数y=kx+b.由两点(3,18),(5,14)代入上式求得k=-2,b=24,则有y=-2x+24.(9,6),(11,2)代入同样满足,∴所求函数关系式为y=-2x+24.由实际意义知,所求函数关系式为y=-•2x+24(0≤x<12)和y=0(x≥12).(2)①p=xy-2y,即p=y(x-2)=(24-2x)(x-2)=-2x2+28x-48=-2(x-7)2+50.当x=7时,日销售利润最大值50元.当x>12时,此时无人购买,故此时利润p=0(x≥12).由实际意义知,当销售价x=0即亏完本卖出,此时利润p=-48,即为最小值;②据实际意义有:0≤x<2时,亏本卖出.当x=2或x=12时,利润p=0.当x>12时,即高价卖出,无人购买,p=0.故作出图象,图(20-2)由图象知,x≥0,-48≤p≤50.竞赛样题展示例 (1998年“祖冲之杯”初中数学邀请赛)某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时,每天可卖出60个,商店经理在市场上做了一番调查后发现,•若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元,则日销售就减少5个;若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元,则日销售量就增加10个,•为获得每日最大利润,此商品售价应定为多少元?解析设商品每个售价x元,每日利润为y元,则当x>18时,y=[60-5(x-18)](x-10)=-5(x-20)2+500,即在商品提价时,提到20元时,y max=500元;当x<18时,y=[60+10(18-x)](x-10)=-10(x-17)2+490.即在商品降价时,降到17元时,y max=490元 .综上可得,此商品售价定为20元时,才能获得每日最大利润.点评本题首先应搞清题目的意思,设未知数,转化为函数问题,•因为售价的上升或下降,利润的情况是不一样的,故应分情况讨论.全能训练A级1.某移动通讯公司开设了两种通讯业务,“全球通”:使用者先缴50元月租费,•然后每通话1min,再付话费0.4元;“快捷通”:不缴月租费,每通话1min,付话费0.•6元(本题通话均指市内话话).若一个月内通话xmin,两种方式的费用分别为y1元和y2元.(1)写出y1,y2与x之间的函数关系式;(2)一个月内通话多少分钟,两种通讯费用相同?(3)某人估计一个月内通话300min,应选择哪种移动通讯合算些?2.某旅行社有客房120间,每间房的日租金为50元,每天都客满.旅行社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出租后会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房将日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?比装修前日租金总收入增加多少元?3.某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,那么经销这种商品原来的利润率是多少?A级(答案)1.(1)y1=0.4x+50,y2=0.6x;(2)令y1=y2,0.4x+50=0.6x,则x=250;故每一个月内通话250min,通讯费用相同.(3)全球通合算些.2.设每间房的日租金提高x个5元,日租金总收入为y,则y=(50+5x)(120-6x)即y=-30(x-5)2+6 750当x=5时,y max=6 750.∴日租金总收入多6 750-120×50=750(元)3.17%.B级1.某环形道路上顺时针排列着4所中学:A1,A2,A3,A4,它们顺次有彩电15台,8台,5台,12台.为使各校的彩电数相同,允许一些中学向相邻中学调出彩电.问怎样调配才能使调出的彩电台数最小?并求调出彩电的最小总台数.2.某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器,彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台,•已知生产这些家电产品每问:,•最高产值是多少?B级(答案)1.设A1中学调给A2彩电x1台(若x1<0,则认为是A2,向A1调出│x1│台),A2中学调给A3彩电x2台,A3调给A4x3台,A4调给A1x4台.因为共有40台彩电,平均每校10台,•因此,15-x1+x4=10,8-x2+x1=10,5-x3+x2=10,12-x4+x3=10,得x4=x1-5,x1=x2+2,x2=x3+5,x3=x4-2,x3=(x1-5)-2=x1-7,x2=(x1-7)+5=x1-2.本题即求y=│x1│+│x2│+│x3│+│x4│=│x1│+│x1-2│+│x1-7│+│x1-5│的最小值,其中x1是满足-8≤x1≤15的整数.设x1=x,并考虑定义在-8≤x≤15•上的函数:y=│x│+│x-2│+│x-7│+│x-5│, 当2≤x≤5时,y取最小值10,即当x1=2,3,4,5时,│x1│+│x1-2│+│x1-7│+│x1-5│取到最小值10.从而调出彩电的最小台数为10,调配方案有如下4种:2.设3种家电数量分别为x,y,z台,则各自的工时数、产值数、工时总数、•产值总数如下表所示.家电名称空调彩电冰箱总数台数x y z x+y+z=360(z≥60)工时数12x13y14z12x+13y+14z=120产值(千元) 4x 3y 2z A=4x+3y+2z ∵工时总数=12x+13y+14z=112(6x+4y+3z)=14(x+y+z)+112(3x+y)=14×360+112(3x+y)=90+112(3x+y)总产值数A=4x+3y+2z=2(x+y+z)+(2x+y) =2×360+(2x+y)=720+(2x+y)由300,190(3)120,12720(2)720(3).x yx yA x y x y x+≤⎧⎫⎪⎪⎪⎪++=⎨⎬⎪⎪=++=++-⎪⎪⎩⎭⇒A=1 080-x≤1 050.当总产值A取到最大值1 050时, x=30,y=270,z=60.。

数学建模的实例分析数学建模是一种将实际问题转化为数学模型进行求解的方法。

通过对问题的分析、建立适当的模型，运用数学方法进行求解，从而得到对实际问题的理解和解决方案。

本文将通过一个实例来具体分析数学建模在实际问题中的应用。

一、问题描述假设某城市的道路交通堵塞问题日益严重，市政府计划对交通信号灯进行优化。

为了合理地调配交通信号灯的时长，需要考虑到车辆流量、道路长度、红绿灯周期等多个因素。

具体问题如下：如何合理地设置交通信号灯的时长，以最大程度地提高交通效率并减少交通拥堵。

二、问题分析针对上述的问题，我们可以首先将道路网络抽象为一个图论模型。

将路口作为节点，道路作为边，通过各个路口之间的连接关系来描述交通情况。

而交通信号灯的时长则可以视为图论中边的权重，表示车辆通过该边所需要的时间。

基于上述分析，我们将问题进行数学建模：1. 定义变量：- $N$：路口数量- $G = (V, E)$：图，其中 $V$ 表示路口的集合，$E$ 表示道路的集合- $L$：红绿灯周期长度- $T(e)$：边 $e$ 的通过时间2. 建立模型：- 目标函数：最小化车辆的平均通过时间 $C$，即\[C = \frac{1}{N} \sum_{e \in E} \frac{T(e)}{T(L)}\]- 约束条件：- 路口的通过时间必须满足红绿灯周期长度 $L$，即对于任意路口 $i \in V$，有\[\sum_{e \in E(i)} T(e) = L\]其中 $E(i)$ 表示与路口 $i$ 相关联的道路集合。

3. 求解方法：- 利用优化算法，如遗传算法、模拟退火算法等，求解上述问题模型，得到最优的交通信号灯时长。

三、实例分析以某城市的一个交通繁忙的路口为例来具体分析。

1. 数据采集：- 通过交通监控摄像头，采集车辆通过路口的数据，并记录通过时间。

- 统计各个道路的车辆流量、道路长度等信息。

2. 建模过程：- 根据采集到的数据，构建图模型。

2024年高考数学建模案例解析2024年高考学科综合能力考试数学建模案例解析随着社会的不断发展和教育的改革，数学建模成为高中数学教育的重要组成部分。

尤其在2024年的高考中，数学建模案例成为考试的一部分。

本文将以2024年高考数学建模案例为例，进行详细解析，并探讨数学建模在培养学生综合能力方面的作用。

案例背景及要求：假设2024年某城市掀起了共享单车的热潮，共享单车数量不断增加。

由于路网条件的限制，城市规划局希望求解出一种合理的摆放方案，以保证尽可能多的市民能够方便地使用单车，并且降低管理成本。

要求学生考虑单车摆放位置、数量分布、市民的需求等因素，通过数学建模给出一种最优解，并提出相应的调整策略。

解题思路及方法：1. 研究市民需求：首先，我们需要了解市民对共享单车的需求情况，通过问卷调查、数据分析等手段，了解市民骑车的频率、时间段、出行距离等信息，从而确定出行热点区域和高峰时段。

2. 路网分析：对城市的路网进行分析，确定主要道路、交通流量等信息，了解交通状况，为后续的摆放方案提供基础数据。

3. 摆放方案优化：针对市民需求和路网状况，我们可以运用图论算法、最优化算法等数学工具，建立一个数学模型，以求解出最优的摆放方案。

可以考虑的因素包括：单车数量、摆放位置、覆盖范围、容量等。

4. 调整策略提出：根据实际情况和模型结果，我们可以提出相应的调整策略。

例如，可以针对交通拥堵区域增加摆放数量，调整单车的分布密度，以满足市民需求，并减少单车的管理成本。

案例解析：在实际解决这个问题的过程中，首先需要对市民需求进行充分了解。

通过问卷调查，我们得知市民在上下班高峰期间对共享单车的需求较大，出行热点集中在市中心和商圈周边。

同时，我们还发现了一些特殊需求，如学生、游客等群体对单车的需求量也较大。

在进行路网分析时，我们发现了一些瓶颈路段和拥堵区域。

这些信息为摆放方案的优化提供了依据。

在建立数学模型时，我们可以使用最小费用流算法来求解。

线性代数建模案例汇编目录案例一. 交通网络流量分析问题1案例二. 配方问题4案例三. 投入产出问题6案例四. 平板的稳态温度分布问题7案例五. CT图像的代数重建问题11案例六. 平衡结构的梁受力计算13案例七. 化学方程式配平问题16案例八. 互付工资问题17案例九. 平衡价格问题19案例十. 电路设计问题20案例十一. 平面图形的几何变换22案例十二. 太空探测器轨道数据问题24案例十三. 应用矩阵编制Hill密码25案例十四. 显示器色彩制式转换问题27案例十五. 人员流动问题29案例十六. 金融公司支付基金的流动31案例十七. 选举问题33案例十八. 简单的种群增长问题34案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解36 案例二十. 最值问题38附录数学实验报告模板错误!未定义书签。

案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。

根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。

【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2① 400 + x 1 = x 4 + 300 ② x 2 + x 3 = 100 + 200 ③ x 4 = x 3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩ 即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩. 为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可. 当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等.图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模. 【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克). 【模型建立】 根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩ 【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩(*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求? 【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x 元, y 元, z 元刚好满足需求. 则有下表根据需求, 应该有(0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y z y x y z z x y -+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩, 即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y z x y z x y z --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0]; >> x = A\bMatlab 执行后得 x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量,A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x-Ax = b, 即(E-A)x = b. 故x = (E-A)-1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得1231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令T 1T 2 T 3 T 4 10080908060506050>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x’Matlab执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业, 2007. 页码: 15-16.Matlab实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab中的函数mesh绘制三维平板温度分布图.案例五. CT图像的代数重建问题X射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT图像这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像. 一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以3⨯3图像为例来说明.3⨯3图像各点的灰度值水平方向上的叠加值x1 = 1 x2 = 0 x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 1x4 = 0 x5 = 0.5 x6 = 0.5 x4 + x5 + x6 = 1x7 = 0.5 x8 = 0 x9 = 1 x7 + x8 + x9 = 1.5 竖直方向上的叠加值x1 + x4 + x7= 1.5x2 + x5 + x8= 0.5x3 + x6 + x9= 1.5i色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x1 = 1,x2 + x4 = 0,x3 + x5 + x7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5, x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组. 【模型准备】设3⨯3图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5,x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1; 1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0; 0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1]; >> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol =4.2305e-015. ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000 可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的. 这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个3⨯3图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2, 1.6, 1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解. (2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况. 【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G1 = 200牛顿, 长L1 = 2米, 与水平方向的夹角为θ1 = π/6, 杆2重G2 = 100牛顿, 长L2 = 2米, 与水平方向的夹角为θ2 = π/4. 三个铰接点A, B, C所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零, 故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零, 故(L1sinθ1)N3 + (L1cosθ1)N4 = (12L1cosθ1)G1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有AC杆1杆2CN1N2N3N5N6G1G2A B杆1杆2π/6π/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin θ2)N 7 = (L 2cos θ2)N 8 + (12L 2cos θ2)G 2.此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4; >> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0; 0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2); 0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0]; >> x = A\b; x ’ Matlab 执行后得 ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反. 参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业, 2007. 页码: 157- 158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组. (2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.【模型准备】某厂废水中含K, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:K + 2KOH + Cl 2 = KO+ 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KO +KOH +Cl 2 ===CO 2+N 2+KCl +H 2O.(注: 题目摘自XX 省XX 外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷) 【模型建立】设x 1KO ＋x 2KOH ＋x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋x 5N 2 ＋x 6KCl ＋x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x xx x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得 ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1 可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KO + 4KOH + 3Cl 2 ===2CO 2+ N 2+ 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = θ中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s , 未知数的个数就是化学方程式中的项数n .当r(A ) = n -1时, Ax = θ的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k 为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A ) ≤n -2时, Ax = θ的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程. Matlab 实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO 4 + H 2SO 4—— K 2SO 4 + MnSO 4 + Fe 2(SO 4)3 + H 2O + S ↓ (2) Al 2(SO 4)3 + Na 2CO 3 + H 2O —— Al(OH)3↓+ CO 2↑+ Na 2SO 4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子), (2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间, (3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等.求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表可得2610451044310x y z xx y z y x y z z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’ Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知60 ≤3631k <98k < k ≤ 80, 即 312160≤k ≤ 80.也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160≤k ≤ 80. 为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的.Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x 1,x 2, x 3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩. 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8]; >> x = null(A,’r ’); format short, x ’ Matlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000 可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(0.9394, 0.8485, 1)T.这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:产出分配购买者煤炭石油电力钢铁制造运输0 0 0.2 0.1 0.2 0.2 煤炭0 0 0.1 0.1 0.2 0.1 石油0.5 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 电力0.4 0.1 0.2 0 0.1 0.4 钢铁0 0.1 0.3 0.6 0 0.2 制造0.1 0.7 0.1 0 0.4 0 运输等的平衡价格.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB扩展板【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v以伏特为单位, 电流i以安培为单位), 用22vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22vi⎛⎫⎪⎝⎭= A11vi⎛⎫⎪⎝⎭,则称矩阵A为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路 并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫⎪-⎝⎭. 【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为v 2这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2, 但把R 1= 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25简单的回路案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现. 【模型假设】设平移变换为(x , y ) → (x +a , y +b )旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x , y ) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ)放缩变换(沿x 轴方向放大s 倍, 沿y 轴方向放大t 倍)为(x , y ) → (sx , ty )【模型求解】R 2中的每个点(x , y )可以对应于R 3中的(x , y , 1). 它在xOy 平面上方1单E 12位的平面上. 我们称(x , y , 1)是(x , y )的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x , y ) → (x +a , y +b )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x +a , y +b , 1).于是可以用矩阵乘积1001001a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1x a y b +⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.旋转变换(x , y ) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ)可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ, 1). 于是可以用矩阵乘积cos sin 0sin cos 0001θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=cos sin sin cos 1x y x y θθθθ-⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.放缩变换(x , y ) → (sx , ty )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (sx , ty , 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现.【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译,: 人民邮电, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令 >>clear all , clc,>>t=[1,3,5,11,13,15]*pi/8; >>x=sin(t); y=cos(t); >>fill(x,y,'r'); >>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26Matlab绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标;; 最后进行横(2) 编写Matlab程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.案例十二. 太空探测器轨道数据问题太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x1, …, x k,它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图28 火星探测器【模型准备】令X k = [x1, …, x k]. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵G k = X k X k T. 一旦接收到数据向量x k+1,必须计算出新矩阵G k+1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着k的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算G k的负担不会因为k的增加而加重.【模型求解】因为G k = X k X k T=[x 1, …, x k ]T 1T k⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x =T 1k i i i =∑x x ,G k +1 = X k +1T1k +X =[X k , x k +1]T T 1k k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦X x = X k X k T +x k +1T 1k +x =G k +x k +1T 1k +x ,所以一旦接收到数据向量x k +1, 只要计算x k +1T1k +x , 然后把它与上一步计算得到的G k相加即可. 这样计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型分析】计算机计算加法的时间与计算乘法的时间相比可以忽略不计. 因此在考虑计算矩阵乘积的负担时, 只要考察乘法的次数就可以了. 设x k 的维数是n , 则X k = [x 1, …, x k ]是n ⨯k 的矩阵, G k = X k X k T 是n ⨯n 的矩阵. 直接计算G k = X k X k T 需要做n 2k 次乘法. 因而计算的负担会随着k 的增加而增加. 但是对于每一个k , 计算x k Tk x 始终只要做n 2次乘法.Matlab 实验题用Matlab 编写一个程序用于处理这个问题.案例十三. 应用矩阵编制Hill 密码密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用. 现代密码学涉及很多高深的数学知识. 这里无法展开介绍.图29 XX 通信的基本模型密码学中将信息代码称为密码, 尚未转换成密码的文字信息称为明文, 由密码表示的信息称为密文. 从明文到密文的过程称为加密, 反之为解密. 1929年, 希尔(Hill)通过线性变换对待传输信息进行加密处理, 提出了在密码史上有重要地位的希尔加密算法. 下面我们略去一些实际应用中的细节, 只介绍最基本的思想.【模型准备】若要发出信息action, 现需要利用矩阵乘法给出加密方法和加密后得到的密文, 并给出相应的解密方法.。

数学建模比赛例题解析
数学建模比赛通常提供一些实际问题，要求参赛者使用数学方法进行分析和解决。

以下是一个典型的数学建模比赛例题以及解析示例：
例题：某城市树木的生长速度问题
问题描述：某个城市的市政部门想要了解该城市内树木的生长速度，以便合理安排树木修剪和绿化工作。

为了解答该问题，需要参赛者进行如下任务：
1. 收集并分析该城市内树木的生长数据；
2. 建立数学模型，描述树木生长的规律；
3. 根据模型，预测未来某个时间点树木的高度；
4. 提出合理的树木修剪和绿化方案。

解析示例：
1. 收集并分析数据：参赛者可以通过实地调查和测量，收集不同树木在不同时间点的高度数据。

例如，可以选择20棵树木
作为样本，每个月测量它们的高度，记录在数据表中。

2. 建立数学模型：参赛者可以通过分析数据，找到树木生长的规律，建立数学模型描述树木的高度与时间的关系。

例如，可以假设树木的生长速度是线性增加的，即高度随时间的增加而增加。

3. 预测未来高度：根据建立的数学模型，参赛者可以使用已有数据预测未来某个时间点树木的高度。

例如，可以根据已有数据的拟合曲线，计算未来6个月后树木的预计高度。

4. 提出修剪和绿化方案：参赛者可以根据已有数据和预测结果，提出合理的修剪和绿化方案。

例如，可以根据树木的生长速度
和最佳高度范围，制定修剪方案，并根据城市规划要求，提出绿化方案。

总结：数学建模比赛的例题通常要求参赛者通过数据分析和数学建模，解决实际问题。

参赛者需要收集数据、建立模型、预测结果和提出解决方案。

数学建模实例及其解题思路剖析数学建模是一门将数学方法应用于实际问题解决的学科。

它通过建立数学模型，运用数学分析和计算方法，对问题进行分析、预测和优化。

数学建模的应用领域广泛，涵盖了自然科学、工程技术、经济管理等多个领域。

本文将以一个实际的数学建模实例为例，分析其解题思路和方法。

假设我们要解决一个城市交通拥堵问题。

首先，我们需要收集相关数据，包括道路网络、交通流量、交通信号灯等信息。

然后，我们可以建立一个数学模型来描述交通拥堵的程度。

常用的模型包括流体力学模型、网络模型和统计模型等。

在这个例子中，我们选择使用网络模型来描述城市道路网络。

首先，我们将城市道路网络抽象为一个有向图。

每个节点表示一个交叉口，每条边表示一条道路。

我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示这个有向图。

接下来，我们需要确定每条道路的通行能力和交通流量。

通行能力可以通过道路宽度、车道数和限速等因素来估计。

交通流量可以通过交通调查和传感器数据来获取。

将这些数据加入到图中，我们就可以得到一个具有权值的有向图。

接下来，我们需要计算每条道路的拥堵程度。

我们可以使用图论中的最短路径算法来计算每个节点之间的最短路径。

常用的最短路径算法包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

通过计算最短路径的长度和通行能力的比值，我们可以得到每条道路的拥堵指数。

拥堵指数越高，表示该道路越容易发生交通拥堵。

在得到道路的拥堵指数后，我们可以进一步分析交通拥堵的原因。

例如，我们可以通过统计每个交叉口的拥堵指数，找出拥堵最严重的交叉口。

然后，我们可以分析该交叉口的交通信号灯设置和交通流量分布，找出导致拥堵的主要原因。

通过对交通拥堵原因的分析，我们可以提出相应的改进措施，如调整交通信号灯的时序、增加道路容量等。

除了分析交通拥堵的原因，我们还可以预测交通拥堵的趋势。

通过收集历史交通数据，我们可以建立一个时间序列模型来预测未来的交通流量。

常用的时间序列模型包括ARIMA模型和神经网络模型等。

数学建模习题指导第一章 初等模型讨论与思考讨论题1 大小包装问题在超市购物时你注重到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。

（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。

（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。

提示：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。

单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低思考题2 划艇比赛的成绩赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。

各种艇虽大小不同，但形状相似。

T .A .M c M a h o n 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。

建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。

329434w w c γβ+=''-各种艇的比赛成绩与规格第二章 线性代数模型森林管理问题森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。

为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。

被出售的树木，其价值取决于树木的高度。

开始时森林中的树木有着不同的高度。

我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。

思考：试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。

练习：857.0 nR将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存达到3架；否则，不订购。

建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。

2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。

建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。

数学建模方法与分析部分习题解答第三版P38题22(a)第一步：提出问题变量：x1=蓝鲸的数量x2=长须鲸的数量r1=蓝鲸种群的内禀增长率r2=长须鲸种群的内禀增长率K1=蓝鲸的最大可生存的种群数量K2=长须鲸的最大可生存的种群数量a1=竞争对蓝鲸的影响a2=竞争对长须鲸的影响t=时间（年）Q=鲸鱼总数假设: dx1dt=r1*x1(1-x1/K1)-a1*x1*x2 dx2dt=r2*x2(1-x2/K2)-a2*x1*x2x1>=0x2>=0dx1dt>=0dx2dt>=0Q=x1+x2目标：求在满足约束条件下Q的最大值第二步：建立模型五步法和有约束的最优化模型第三步：推导模型公式设目标函数为y=f(x1, x2)=x1+x2约束条件为dx1dt=r1*x1(1-x1/K1)-a1*x1*x2>=0dx2dt=r2*x2(1-x2/K2)-a2*x1*x2>=0x1>=0x2>=0即求解y满足以上条件的最大值第四部：求解模型由y=f(x1, x2)=x1+x2得▽f=(1, 1)由g1=0.05*x1*(1-x1/150000)-10^(-8)*x1*x2g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2得▽g1(x1, x2)=(1/20 - x2/100000000 - x1/1500000, -x1/100000000)▽g2(x1, x2)=(-x2/100000000, 2/25 - x2/2500000 - x1/100000000) 设λ1, λ2为拉格朗日乘子，则在极值点满足▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2带入解得Matlab求解clc;clear;syms x1x2w vg1=0.05*x1*(1-x1/150000)-10^(-8)*x1*x2g11=diff(g1,x1)g12=diff(g1,x2)g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2g21=diff(g2,x1)g22=diff(g2,x2)s=solve(w*g11+v*g21-1,w*g12+v*g22-1,g1,g2)λ1= -20.6522λ2= -12.3567x1=138210x2=393090因此y=f(x1, x2)=x1+x2=531300第五步：回答问题由五步法和有约束的最优化模型解得当满足种群数量是可行的可持续条件时，鲸鱼总数最大的种群数量为531300，此时蓝鲸数量为138210，长须鲸数量为393090.2（b）考虑最优种群数量x1, x2对内禀增长率r1的灵敏性在模型中将此参量设为变量则有y=f(x1, x2)=x1+x2得▽f=(1, 1)此时g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2解得λ1= -475/(500*r1 - 2)λ2=-(2000*r1 - 3)/(157*r1)x1=(6000000000*r1 - 24000000)/(40000*r1 - 3)x2=(157*********r1)/(40000*r1 - 3)则计算出dx1/dr1=6000000000/(40000*r1-3)-(40000*(6000000000*r1-24000000))/(40000 *r1 - 3)^2dx2/dr1=157********/(40000*r1-3)-(628000000000000*r1)/(40000*r1 - 3)^2 在点x1=138210, x2=393090, r1=0.05, 有S(x1, r1)=dx1/dr1*r1/x1=236210*0.05/138210=0.0855S(x2, r1)=dx1/dr1*r1/x2=11810*0.05/393090=- 0.00152 (c)考虑最优种群数量x1, x2对环境承受力K1, K2灵敏性在模型中将此参量设为变量则有y=f(x1, x2)=x1+x2得▽f=(1, 1)此时g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2解得λ1= -475/23λ2=-(20*K1 - 100000000)/(K1 - 8000000)x1= - (92000000*K1)/(K 1– 100000000)x2= (5000000*K1 - 40000000000000)/(K1 - 100000000)则计算出dx1/dK1=(92000000*k1)/(k1- 100000000)^2 - 92000000/(k1 - 100000000)dx2/dK1=5000000/(k1-100000000)-(5000000*k1 - 40000000000000)/(k 1- 100000000)^2在点x1=138210, x2=393090, K1=150000, 有S(x1, K1)= dx1/dK1*K1/x1= 0.9228*150000/138210=1.0015 S(x2, K1)= dx2/dK1*K1/x2= -0.0461*150000/393090= -0.01762(d)考虑最优种群数量x1, x2对竞争强度a灵敏性在模型中将此参量设为变量则有y=f(x1, x2)=x1+x2得▽f=(1, 1)由g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-a*x1*x2▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2解得λ1= -(100000000*a - 20)/(8000000*a - 1)λ2= -(75000000*a - 25)/(3750000*a - 2)x1= (1200000000000*a - 150000)/(15000000000000*a^2 - 1) x2=(750000000000*a - 400000)/(15000000000000*a^2 - 1)则计算出dx1/da=1200000000000/(15000000000000*a^2-1)-(30000000000000*a *(1200000000000*a-150000))/(15000000000000*a^2 - 1)^2dx2/da=750000000000/(15000000000000*a^2-1)-(30000000000000*a* (750000000000*a - 400000))/(15000000000000*a^2 - 1)^2在点x1=138210, x2=393090, a=10^(-8), 有S(x1, a)=dx1/da*a/x1= -0.0840S(x2, a)=dx2/da*a/x2=-0.0161当出现某一种群灭绝时，a=0，此时以上解出的种群数量不是最优解，此时最优解为X1max=150000, X2max=400000。

一、人体重变化某人的食量是10467焦/天,最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天.每天的体育运动消耗热量大约是69焦/千克天乘以他的体重千克.假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效,而1千克脂肪含热量41868焦.试研究此人体重随时间变化的规律.一、问题分析人体重Wt随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的,假设人体重随时间的变化是连续变化过程,因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程.二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W0三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为Wt+△t-Wt；身体一天内的热量的剩余为10467-5038-69Wt将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：dWt+△t-Wt=10467-5038-69Wtdt；四、模型求解d5429-69W/5429-69W=-69dt/41686W0=W解得：5429-69W=5429-69We-69t/41686即：Wt=5429/69-5429-69W/5429e-69t/41686当t趋于无穷时,w=81;二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案.5年后,它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输.在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车,将有净成本aij 购入价减去折旧加上运营和维修成本.以千元计数aij的由下面的表给出：请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略.二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径,即为最低成本的投资策略.三、条件假设除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；四、模型建立二511 7 三 64166 13 8四一 9128 1120五10六运用Dijikstra算法1 2 3 45 60 4 6 912 206 912 20912 2012 2020可发现,在第二次运算后,数据再无变化,可见最小路径已经出现即在第一年买进200辆,在第三年全部卖出,第三年再买进200第六年全部卖出.三、飞机与防空炮的最优策略一、问题重述：红方攻击蓝方一目标,红方有2架飞机,蓝方有四门防空炮,红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜.其中共有四个区域,红方可以其中任意一个接近目标,蓝方可以任意布置防空炮,但一门炮只能防守一个区域,其射中概率为1.那么双方各采取什么策略二、问题分析该问题显然是红方与蓝方的博弈问题,因此可以用博弈论模型来分析本问题.1、对策参与者为两方红蓝两方2、红军有两种行动方案,即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动.蓝军有三种防御方案,即四个区域非别布置防空炮记为1-1-1-1、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个记为2-1-1-0、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有记为2-2-0-0.显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的.三、问题假设：（1）红蓝双方均不知道对方的策略.（2）蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮,但是大炮数量大于飞机的数量,而一门大炮已经可以击落一架飞机,因而这种方案不可取.（3）红方有两种方案,一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标,另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标.（4）假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场,且双方必须同时作出决策.四、模型建立行动及其产生的结果由此可得赢得矩阵蓝方为A,红方为BA= 1 00.75 0.50 0.50 0.83B= 0 0.25 0.5 1 0.5 0.17没有鞍点,故用混合策略模型解决本问题设蓝方采取行动i的概率为 xii=1,2,3,红方采取行动j的概率为yjj=1,2,则蓝方与红方策略集分别为：S1=｛x=x1,x2,x30< xi<1,∑xi=1｝,S2=｛y=y1,y20< yi<1,∑yi=1｝.五、模型求解下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略xMax v10x1+0.25x2+0.5x3 >v1x1+0.5x2+0.17x3 >v1x1+x2+x3 =1xi<=1下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略yMin v2y2<v20.25y1+0.5y2 <v20.5y1+0.17 y2 <v2y 1+y2=1yi<=1四、雷达计量保障人员分配开展雷达装备计量保障工作中,合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键.所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上,并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益.现某雷达团共部署12种型号共16部雷达,部署情况及计量保障任务说明：1．保障任务分区域进行保障；2．B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；5．每个保障人员只能保障一个任务；6．每个保障任务只由一个保障人员完成.雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定,即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同.各雷达的重要性如下表所示表中该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员,他们针对不同保障问题：如何给该团三个营分配计量保障人员,使他们发挥最大军事效益一、问题分析：该问题是人员指派问题,目的是得到最大效益.根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵,用0—1整数规划方法来求解,得到最大效益矩阵.二、模型假设1．保障任务分区域进行保障；2．B 、H 、L 型雷达分为两个保障任务,分别为B 1、B 2、H 1、H 2、L 1、L 2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成. 三、模型建立根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=007.09.03.08.04.002.05.03.06.08.08.06.08.03.07.02.06.07.03.07.03.04.06.07.08.07.05.06.03.05.05.07.04.02.02.01.02.02.0001.02.02.02.06.01.006.04.02.08.05.03.03.06.03.0003.03.04.03.002.0004.09.05.02.01.08.08.08.08.06.08.08.008.06.07.08.06.08.005.07.03.03.03.03.07.07.05.03.003.06.03.07.06.07.08.05.02.02.07.02.02.05.08.06.02.002.05.005.05.0007.05.04.03.04.04.004.07.04.06.04.0000009.005.05.05.05.05.005.05.05.05.05.05.0005.005.09.08.07.0006.04.04.03.09.07.06.07.08.04.07.003.08.0A 根据题目,设保障任务的重要性向量),...,,(21i b b b B =,bi 表示第i 个任务的重要性.列出保障任务重要性向量：[]7.07.06.08.09.07.06.09.09.07.08.07.07.07.08.09.09.08.0=B我们用二者的乘积表示效益矩阵：T*=BAR.我们设元素rij表示第i个人完成j件事的效益,Xij表示第i个人去保障第j件任务,如果是,其值为1,否则为0.利用这一个矩阵和0-1规划,我们就可以列出方程：∑=<=niijx11,m<=nmodel:sets:M/1..10/;N/1..18/:a;allowedM,N:b,r,x;endsetsdata:a=0.8 0.9 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8 0.7 0.9 0.9 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7 0.7;b=0.8 0.3 0 0.7 0.4 0.8 0.7 0.6 0.7 0.9 0.3 0.4 0.4 0.6 0 0 0.7 0.8 0.9 0.5 0 0.5 0 0 0.5 0.5 0.9 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0.9 0 0 0 0 0 0.4 0.6 0.4 0.7 0.4 0 0.4 0.4 0.3 0.4 0.50.4 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.2 0 0.2 0.6 0.8 0.5 0.2 0.2 0.7 0.2 0.2 0.7 0.8 0.7 0.6 0.7 0.3 0.6 0.3 0 0.3 0.5 0.7 0.7 0.3 0.3 0.3 0.3 0.70.5 0 0.8 0.6 0.8 0.7 0.6 0.8 0 0.8 0.8 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8 0.1 0.20.5 0.9 0.4 0 0 0.2 0 0.3 0.4 0.3 0.3 0 0 0.3 0.6 0.3 0.3 0.5 0.8 0.2 0.4 0.6 0 0.1 0.6 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 0.4 0.7 0.5 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.7 0.3 0.7 0.6 0.20.7 0.3 0.8 0.6 0.8 0.8 0.6 0.3 0.5 0.2 0 0.4 0.8 0.3 0.9 0.7 0 0;enddatamax=sumallowedi,j:xi,jri,j;forMi:forNj:ri,j=ajbi,j;forMi:sumNj:xi,j=1;forNj:sumMi:xi,j<=1;forMi:forNj:binxi,j;End解得最大效益为6.63,分配方案为：第5、7、8号保障人员分配到区域1,其中8号承担A 型,5、7号承担B1,B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2,其中第9号保障人员承担F型2号G型,1、3号承担H1,H2型,4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3,6号F型、10号J型.。

数学建模案例分析模型1 蠓虫分类问题背景 两种蠓虫和已由生物学家W.L.Grogon 和W.W.Wirth （1981）根据Af Apf 它们的触角长度、翅膀长度加以区分. 现测得只和只的触长、翅膀长的数据6Apf 9Af 如下：Apf()1.14,1.78()1.18,1.96()1.20,1.86()1.26,2.00()1.28,2.00()1.30,1.96Af()1.24,1.72()1.36,1.74()1.38,1.64()1.38,1.82()1.38,1.90()1.40,1.70()1.49,1.82()1.54,1.82()1.56,2.08问题 ⑴如何根据以上数据，制定一种方法正确区分两种蠓虫？⑵将你的方法用于触长、翅长分别为的个样本()()()1.24,1.80,1.28,1.84,1.40,2.043进行识别.如何考虑？该问题属于统计模型范畴！（属于黑洞问题）1.首先对已有数据进行分析.（测试）画出相应的散点图什么启发？从图中可以看出，两类蠓虫有明显的差别.问题是该如何识别.法1 用最小二乘法得到回归线：结果不理想.法2 用斜率的平均值构造直线结果？图中不同类别的蠓虫的区别还是比较明显的.如何做进一步的识别？用此方法对给定的三个蠓虫进行识别，若点在直线的上方，则判定为Apf，否则定为Af.由此建立识别函数dist.m. 对给定的样本进行识别，如果样本点在直线上方，则将该蠓虫识别为Apf（标示为1）,否则识别为Af（标示为0）.clear,clcApf1=[1.14,1.18,1.20 1.26 1.28 1.30];Apf2=[1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96];Af1=[1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56]; Af2=[1.72 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08]; x=[Apf1,Af1];y=[Apf2,Af2];n=length(x);k=sum(y./x)/n;A=[1.24,1.80;1.28,1.84;1.40,2.04];n=size(A,1);p=[];for i=1:nd=A(i,2)-k*A(i,1);if d>0p=[p,1];elsep=[p,0];endenddisp(p)结果为1 1 1即：三个新样本的判定结果均为Apf！这样的判定是否有效？（模型解释）为解释判别法的有效性，引入交叉误判率.交叉误判率是每次剔除一个样品，利用其余的训练样本建立判别准则，根据建立的判别准则对删除的样品进行判定，以其误判的比例作为误判率. 具体过程如下：①从总体为的训练样本开始，剔除其中每一个样品，剩余的个样品与中的1G 1m -2G 全部样品建立判别函数；②用建立的判别函数对剔除的样品进行判别；③重复上述步骤，直到中的全部样品依次被剔除、判别，其误判的总数记为；1G 12m ④对的样品重复步骤①②③，直到中的样品全部被剔除、判别，其误判的个数2G 2G 记为21,m 交叉误判率的估计值为1221ˆ.m m pm n+=+程序为clear,clcApf1=[1.14,1.18,1.20 1.26 1.28 1.30];Apf2=[1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96];Af1=[1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56]; Af2=[1.72 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08]; x=[Apf1,Af1];y=[Apf2,Af2];m1=length(Apf1);m2=length(Af1);n=length(x);k=sum(y./x)/n;A=[x',y'];p1=[];p2=[];for i=1:m1b=A(i,:);B=A;B(i,:)=[];b1=B(:,1);b2=B(:,2);k=sum(b2./b1)/(n-1);d=b(2)-k*b(1);if d>0p1=[p1,1];elsep1=[p1,0];endendfor i=m1+1:nb=A(i,:);B=A;B(i,:)=[];b1=B(:,1);b2=B(:,2);k=sum(b2./b1)/(n-1);d=b(2)-k*b(1);if d>0p2=[p2,1];elsep2=[p2,0];endenddisp(p1),disp(p2)结果为1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0结论：在这样的判定法则下，交叉误判率为零，说明方法还是有效的.模型2 饮酒驾车问题一、问题背景据报道，2003年全国道路交通死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例.针对这种严重的道路交通情况，国际质量监督检查检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升、小于毫克/百毫升为饮酒驾车；2080血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升为醉酒驾车.大李在中午点喝了一瓶啤酒，8012下午点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为保险起见他6呆到凌晨点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，2为什么喝同样多的酒，两次检查结果却会不一样？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1.对大李的情况做出解释；2.在喝了瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情3况下回答：⑴酒是自很短时间内喝的；⑵酒是在较长一段时间（比如小时）内喝的.23.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间内最高？4.根据你的模型论证;如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你的论证并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车的忠告.参考数据⑴人的体液占人的体重左右，其中血液只占体重的7%左右.而药物（包括65%70%:酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大致相同.⑵体重在的某人在短时间内喝下瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含70kg 2量（毫克/百毫升），得到数据如下：时间/小时0.250.50.751 1.252 2.53 3.544.55酒精含量306875828277686858515041时间/小时678910111213141516酒精含量3835282518151210774（酒精含量单位：毫克/百毫升）二、问题分析显然，该问题是微分方程模型.饮酒后，酒精先从肠胃吸收进入血液与体液中，然后从血液与体液向外排泄.由此建立二室模型：大李在喝酒以后，酒精先从吸收室（肠胃）进入中心室（血液也体液），然后从中心室向体外排除.设在时刻时，吸收室的酒精含量为，中心室的酒精含量为，酒精t ()1x t ()2x t 从吸收室进入中心室的速率系数为，分别表示在时刻时两室的酒精含量1k ()()12,y t y t t （毫克/百毫升），为中心室的酒精向外排泄的速率系数.在适度饮酒没有酒精中毒的条2k 件下，都是常量，与饮酒量无关.12,k k假定中心室的容积（百毫升）是常量，在时刻时中心室的酒精含量为，而吸V 0t =0收室的酒精含量为，酒精从吸收室进入中心室的速率与吸收室的酒精含量成正比；大02g 李第二次喝一瓶啤酒是在第一次检查后的两小时后.三、建模与解模1.模型建立由已知条件得到吸收室酒精含量应满足的微分方程为，()111d d x k x t t=-做学相应的初始条件是；而中心室酒精含量应满足的微分方程为()1002x g =()()21122d d x k x t k x t t=-相应的初始条件为.()20x t =由此建立问题的数学模型：()()()()()11121122102,,02,00.x k x t x k x t k x t x g x ⎧=-⎪=-⎨⎪==⎩2.解模调用MatLab 下的求解函数，输入下面语句syms x1 x2 k1 k2 g0[x1,x2]=dsolve('Dx1=-k1*x1','Dx2=k1*x1-k2*x2','x1(0)=2*g0','x2(0)=0');x=simple([x1,x2]);该微分方程组的解为()()()12110012122e ,2e e .k t k t k t x t g g k x t k k ---⎧=⎪⎨=-⎪-⎩中心室的酒精含量（百毫升）()()()()21210122e e e e V k t k t k t k t g k y t k k k ----=---:其中，上式即为短时间内喝完两瓶啤酒后中心室酒精含量率所对应()()0112122V g k k k k k k =≠-的数学模型.为得到模型中的未知参数，采用非线性拟合方法.编写求解程序：k0=[2,1,80];fun=inline('k(3)*(exp(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t))','k','t');[k,r]=nlinfit(t,x,fun,k0);disp(k)hold onx1=k(3)*(exp(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t));plot(t,x1)此时相应的值为k 2.00790.1855 114.4325图形为图形表明，拟合效果不错.再画出相应的残差图：残差分析表明模型比较理想.将计算结果代入表达式，得到在时刻时中心室酒精含量（百毫升）的函数表达式t .()()0.1855 2.00792114.4325e e t t y t --=- 模型应用若大李仅喝一瓶酒，此时，因此相应的模型为12k k '=()()0.1855 2.0079257.2163e e t t y t --=-再将代入得6t =()()0.18556 2.0079626114.4325e e 18.799320y -⨯-⨯=-≈<即大李此时符合驾车标准.假设大李在晚上点迅速喝完一瓶啤酒，以和分别代表在时刻时吸收室及8()1z t ()2z t t 中心室的含酒量（代表晚上点），则，由此得到微分方程：0t =8()()10108z g x =+一）题()()()()()()()()()1112112210122d ,d d ,d 08,08.z t k z t t z t k z t k z t tz g x z x ⎧=-⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪=⎪⎩而由前面计算结果知：.将其代入到前面微分方()()()12188801102128e ,8e e k k k g k x g x k k ---==--程的初值问题中，则有()()()()()()()()1211112112281008801212d ,d d ,d 0e ,0e e .k k k z t k z t t z t k z t k z t t z g g g k z k k ---⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=+⎪⎪=-⎪-⎩在MatLab 下，编写相应的求解程序：clear,clcsyms z1 z2 k1 k2 g0[z1,z2]=dsolve('Dz1=-k1*z1','Dz2=k1*z1-k2*z2', ...,'z1(0)=g0*(1+exp(-8*k1))','z2(0)=(k1*g0/(k1-k2))*(exp(-8*k2)-exp(-8*k1))');z=simple([z1,z2]);此时问题的解为()()()1122118108802121e e ,1e e 1e e .k k t k k t k k tz g g z k k ------⎧=+⎪⎨⎡⎤=+-+⎪⎣⎦-⎩记，()()()()()2211221188880121e e 1e e 1e e 1e e V k k t k k t k k t k k tg z k k k --------⎡⎤⎡⎤'=+-++-+⎣⎦⎣⎦-:最后代入得到在时刻时大李中心室的酒精含量函数122.0079,0.1855,57.2163k k k '===t .()()1.48400.185516.0632 2.007957.21631e e 1e e t tz ----⎡⎤=+-+⎣⎦取，即有6t = z=57.2163*((1+exp(-1.4840))*exp(-0.1855*6)-(1+exp(-16.0632))*exp(-2.0079*6))返回值23.0618即此时中心室的酒精含量率大于规定标准，属于饮酒驾车.用同样的方法可以讨论其它问题，在此不一一叙述.。

数学建模例题及解析例1差分方程一一资金的时间价值问题1:抵押贷款买房一一从一那么广告谈起每家人家都希望有一套〔甚至一栋〕属于自己的住房,但又没有足够的资金一次买下,这就产生了贷款买房的问题.先看一下下面的广告〔这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一那么广告〕,任何人看了这那么广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢？银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付1200元呢？是怎样算出来的？由于人们都知道,假设知道了房价〔一次付款买房的价格〕,如果自己只能支付一局部款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息, 就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比拟简单无需太多的抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面的量是要考虑的：需要借多少钱,用记；月利率〔贷款通常按复利计〕用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月.b.建立变量之间的明确的数学关系.假设用**■记第k个月时尚欠的款数,那么一个月后〔加上利息后〕欠款月, 不过我们又还了x元所以总的欠款为—=〔1+犬〕4或k=0 ,1, 2, 3,而一开始的借款为所以我们的数学模型可表述如下上1 1 —〔.1+2?〕 A1-x尢=O1 11 2 > 3 , 离〔不妨假设儿为〕c. 〔1〕的求解.由= 〔1』及]达口-工4二〔1十E〕』「工二〔1十五〕[〔1+五〕=C1 + R〕9厂封〔1+衣〕+1]易知& = C1+R〕%厂工]〔1+田〕I- 〔1+A〕"*+…+ 〔1+Q +1]=〔1+R〕乂$ Cl+R〕U]故4= 〔A c-卷〕口 + 氏〕*+%这就是月"月口心£之间的显式关系.d.针对广告中的情形我们来看〔1〕和〔2〕中哪些量是的.N=5年=60个月, ；每月还款x= 1200元,A.即一次性付款购置价减去70000元后剩下的要另外去借的款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由〔2〕可知60个月后还清,即人.=口,从而得o = 4〔I+K严- ^叱1]« _ 1200[〔l+J?/°- 1]小二一无工祈一〔3〕〔O〕⑶ 表示N= 60, x=1200给定时人和x之间的关系式,如果我们已经知道银行的贷款利息R,就可以算出A0.例如,假设R =0. 01,那么由〔3〕可算得为三53946元.如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946= 123946元的话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica 这样的数学软件可把(3)的图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款〞的意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子的产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你的不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0. 01,贷款期25年=300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢？解：现在的问题就是要求使月土加三口的x,由(2)式知兀(1+―)1现为= 60000, R= 0. 01, k=300,算得x=632元,这说明这对夫妇有水平买房.例题2恰在此时这对夫妇看到某借贷公司的一那么广告：“假设借款60000元,22年还清,只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了的关系要你预付三个月的款,即316X6=1896元.这对夫妇想：提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18%元,当然使人不快乐,但提前三年还清省下来的钱可是22752元哟,是1896元的十几倍哪！这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢？这对夫妇请教你给他们一个满意的答复.具体解法略.问题2:养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一局部作为个人的养老基金,所在单位〔假设经济效益好的话〕每月再投入一定数量的钱,再存入某种利息较高而又平安的“银行〞〔也可称为货币市场〕到60岁退休时可以动用.也就是说,假设退休金缺乏以维持一定的生活水平时,就可以动用自己的养老基金,每月取出一定的款项来补贴缺乏局部.假设月利率及= 0. 01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入一笔钱A 〔不管多少〕,每月存入y元〔个人和单位投入的总和〕；通常从三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化的假设,但作为估算仍可作为一种考虑的出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为U a+l = 4〔1+K〕4A 用=U, 1, 2, 3 s...以卜4*1 = 4 - X ? =3 1 j ...|p30己知其中x为每月要从养老基金中提出的款项.习题1某大学年青教师小李从31岁开始建立自己的养老基金,他把已有的积蓄1万元也一次性地存入,月利率为0. 01 〔以复利计〕,每月存入300 元,试问当小李60岁退休时,他的退休基金有多少？又假设,他退休后每月要从银行提取1000元,试问多少年后他的退休基金将用完？你能否根据你了解的实际情况建立一个较好的养老基金的数学模型及相应的算法和程取软件〕.习题2渔业〔林业〕治理问题设某养鱼池〔或某海域〕一开始有某种鱼条,鱼的平均年净繁殖率为R, 每年捕捞x条,记第N 年有鱼©a条,那么池内鱼数按年的变化规律为三£理［1+R J * X!工也注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数的.假设对某海域的渔业作业中工100000吨,R= 0. 02, x= 1000吨,试问/西三？会不会使得假设干年后就没有鱼可捕捞了(资源枯竭了)？例2比例分析法一一席位分配问题：某学校有三个系联合成立学生会,(1)试确定学生会席位分配方案.(2)假设甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何？(3)假设丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化？(4)由于有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10: 10的平局,会议决定下一届增加1席,假设在第(3)问中将学生会席位增加一席呢？(5)试确定一数量指标衡量席位分配的公平性,并以此检查( 1) — (4). 公平而又简单的席位分配方法是按人数的比例分配,假设甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10, 6, 4个席位.第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数 (见表中第四列).在将取得整数的19席分配完毕后,剩下的1席根据惯例分给余数最大的丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位.由于有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10: 10的平局,会议决定下一届增加1席,于是他们根据上述惯例重新分配席位,计算的结果令人吃1席,见下表.惊：总席位增加1席,丙系反而减少方法.下面就介绍这样一个席位分配模型.设A、B两方人数分别是p1和p2,分别占有n1和n2个席位,那么两方每个席位所代表的人数分别是p1 /n12和p2/n2.很明显,仅当这两个数值相等时,席位的分配才是公平的.但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平的程度可以用数值值1e1少2病2|来表示,它衡量的是“绝对不公平〞.从下表所举的例子来看,A B之间的“绝对不公平〞与C、D之间是一样的.但是从常识的角度看,A B之间显然比G D之间存在着更加严重的不公平.所以“绝对不公平〞不是一个好的衡量标准.为了改良绝对标准,我们自然想到用相对标准.由于p/n越大,每个席位代表的人数越多,或者说,总人数一定时分配的席位越少.所以,如果p1/n13 >p2/n2,那么A方是吃亏的,或者说,对A是不公平的,由此,我们这样定义“相对不公平〞：假设p1/n1 >p2/n2,那么称例1 _pl例1 pl福2为对A的相对不公平值,记做7〔包,吟〞假设p1/n1<p2/n2,那么称pl物122/黑2 _ pln2尸2饱2 p2盟1为对B的相对不公平值,记做■藤〔包,吟.假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平的城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方？不失一般性,可设p1/n1>p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义.当再分配1个席位时,关于p/n的不等式有以下三种可能：1〕p1/〔n1十1〕 >p2/n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方；2〕p1/〔n1十1〕<p2/n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B的相对不公平值3〕说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A的相对不公平值是5+1,盟2〕〔k 1.盟2 + 1〕〔注意：在p1/n11p2/n2的假设下,不可能出现p1/n1<p2/〔n2+1〕的情况因为公平的席位分配方法应该使得相对不公平的数值尽量地小,所以如果rj +1 s M2〕,对2+1〕那么这1席应给A方；反之应给B方.根据〔3〕、〔4〕两式,〔5〕式等价于并且不难证实1从上述第1〕种情况的p1/〔n1十1〕＞p2/p2也可推出. 于是我们的结论是：当〔6〕式成立时,增加的1席应分配A方；反之,应分配给B方.假设记3山〔小十1〕,那么增加的1席位应分配给Q值较大的一方.将上述方法可以推广到有m方分配席位的情况.下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出的,三个系分配21个席位的问题.首先每系分配1席,然后计算: 甲系n1 = 1,_ 3〕3_ io9C1 = =乙系,n2=1 ,5 一忌〔点+A _VQ丙系,n3=1,_ 〔＞3〕3_ 3 甲Q=q〔京+1〕一=必由于°】最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算: 甲系n1 = 2,00 3103a2=门不叮二不二=1768 2将以与上面的.如心相比,%最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止〔详见列表〕可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失的1席.你觉得这个方法公平吗？习题：学校共1000名学生,235人住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合.学生们要组织一个10人的委员会,试用以下方法分配各宿舍的委员数.1)惯例的方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者.2) Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化？,例3状态转移问题一一常染色体遗传模型随着人类的进化,人们为了揭示生命的奥秘,越来越注重遗传学的研究,特别是遗传特征的逐代传播,引起人们的注意.无论是人,还是动植物都会将本身的特征遗传给下一代,这主要是由于后代继承了双亲的基因,形成自己的基因对,基因对将确定后代所表现的特征.下面,我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和x一链遗传.根据亲体基因遗传给后代的方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型的分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑的遗传特征是有两个基因A和控制的,那么就有三种基因对,记为AA, A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花的颜色,基因型是AA的金鱼草开红花,型的开粉红色花,而型的开白花.又如人类的眼睛的颜色也是提升通过常染色体遗传限制的.基因型是的人,眼睛是棕色,基因型是的人,眼睛是兰色.这里由于都表示了同一外部特征,我种基因型植物相结合的方案培育植物后代.那么经过假设干年后,这种植物的任一代的三种基因型分布如何?第一步：假设：令n0,1,2,(1)设小,6和C n分别表示第n代植物中,基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分率.令x⑺为第n代植物的基因型分布：ax(n)bC n当n=0时a.x(0)b.C o表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布),显然有a 0b 0 C 0 1〔2〕第n 代的分布与第n-1代的分布之间的关系是通过上表确定的.第二步：建模 根据假设〔2〕,先考虑第n 代中的AA 型.由于第n-1代的AA 型与AA 型结 合,后代全部是AA 型；第n-1代的Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型的可能性 为1/2 ,第n-1代的aa 型与AA 型结合,后彳弋不可能是 AA 型.因此,当 n 0,1,2,时b n 1/2类似可推出C n 0 将式相加,得a nb nc na n 1b n 1c n 1根据假设〔1〕,其中1 1/2 0 1/2 0 0式递推,得a nb n C n a .b 0 C 0 1对于式、式和式, 我们采用矩阵形式简记为 (n) XMx (n〞,n1,2,a n 1? a n 1b n 1/2 0?C n 1 a n C n 1b n1/2a(n)x bC n(n) (n 1) 2 (n 2)x Mx M x式给出第代基因型的分布与初始分布的关系.1M PDP 1因而有PD n P其中0 1/2 0所以 通过计算0 (2)n 0a.b 0Co(n)XC nM n x (0)为了计算出M n我们将M 对角化,即求出可逆矩阵 P 和对角阵D,使1,2,D nn 10 0n 20 0n 3这里1, 2,3是矩阵 M 的三个特征值. 对于式中的易求得它的特征值和特征11, 1/2, 3因此因此有(n)Xn (0)X n 1 (0)PD P x(1/2)n (1/2)n 0(1/2)n(1/2)n 1a.b g Ca ob oc o (1/2)n b o (1/2)n1C o(1/2)n b o (1/2)n1C oo所以有a n 1 (1/2)nb o (1/2)n1C o b n (1/2)n b o (1/2)n1C oC n o当门 时(1/以 °,所以从式得到a n 1,b n o 和 C n =o即在极限的情况下,培育的植物都是 AA 型 第三步：模型讨论假设在上述问题中,不选用基因 AA 型的植物与每一植物结合,而是将具有相同基 因型植物相结合,那么后代具有三代基因型的概率如下表:M并且x (n) M n x (o),其中M 的特征值为1 1,2 1,3通过计算,可以解出与1,2相对应的两个线性无关的特征向量3相对应的特征向量1 1/4 o o 1/2 o o 1/4 1 1/21和2,及与1 0 1P 1 2 3 0 0 2因此 1 1 11 1/2 0P 1 1 1 10 1/2 0(n) n (0) n 1 (0)x M x PD P x1 0 1 1 0 0 1 1/2 0 a00 0 2 0 1n0 1 1 1 b01110 0 (1/2)n0 1/2 0 c0所以有a n a. (1/2)b0 (1/2)n 1b0b n (1/2)n b0_ — n 1C n C0 (1/2)b0 (1/2) b0当n 时(1/2)n0,所以从式得到a n a0 (1/2)b0,b n 0和C n C0 (1/2)b0AA 因此,如果用基因型相同的植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因和aa.例4合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体〔个人、公司、党派、国家〕相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多的经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究的问题.请看下面的例子.问题一：经商问题甲、乙、丙三人经商,假设单干,每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲内合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元的收入.甲的收入应根据甲对各种形式的合作的奉献来确定.对于某一合作的奉献定义为：有甲参加时这个合作的收入与无甲参加时这个合作的收入之差.例如甲对甲乙二人合作的奉献是7—1 = 6(由于甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1 元).甲可以参加的,合作有四个：甲自己(单干视为合作的特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙. 甲对这些合作的奉献分别是甲：1 — 0=1元；甲乙：7—1=6元；甲内：5—1=4元；甲乙丙：10—4= 6元,甲应分得的收入是这四个贡献的加权平均值,加权因子将由下面的一般模型给出.这个问题叫做3人合作对策,是对策论的一局部,这里介绍它的一种解法.一般的n人合作对策模型可以表达如下：记n人集合为I=U,2J…遣),如果对于।中的任一子集都对应一个实值函数v (s),满足v 101=0v Csm(门)十廿(g)C % c 6 =疗)那么称为定义在I上的特征函数.所谓合作对策是指定义了特征函数的I中n个人的合作结果,用向量值函数= C pl (V)t优(■)〕来表示.在实际问题中.常可把I中各种组合的合作获得的利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作的获利定义为特征函数v, v是满足(1)、(2)的.为了确定步2 , Shapley在1953年首先制定了一组$,,, 应该满足的公理,然后证实了满足这组公理的由(曾)的唯一解是低〔Q = Cd Q5P C S〕-v i = 1 5 2, 3,.其中国是I中包含｛i｝的所有子集,Is I是集合s中的人数,是加权因子,由()_ l|g|- O ■!n \确定.〔3〕式中[y 9 -V U- a〕〕]可看作成员｛i｝对合作s的奉献；表示对所有包含｛i｝的集合求和.?2〕称为由v定义的合作的Shapley值.我们用〔3〕、〔4〕计算三人经商问题中各个人应得到的收入.甲、乙、丙分别记作｛1｝ , ｛2｝ , ｛3｝,包含｛1｝的集合有｛1｝、｛1 , 2｝、｛1 , 3｝、｛1 , 2, 3｝,计算结果列入下表.韵(K)=1/3+1+2/3+2 = 4元同样可以算出乙、丙应得收入为嚣=3. 5元,劭=2.5元.问题二：三城镇的污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4; 6所示.污水需处理后才能排入河中.三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理〔污水应于河流的上游城镇向下游城镇输送〕.以Q表示污水量〔吨/秒〕,工表示管道长度〔公里〕.0.712根据经验公式,建立处理厂的费用为P 73Q,铺设管道的费用为0.51 ・/ L ———LP20.66Q L .今三城镇的污水量分别为Q l 5,Q2 3,Q3 5. L的数值L12 20,L23 38 . 试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案；包括是单独还是联合建厂；如果联合,如何分担投资额等.三城镇或单干或不同形式的联合,共有五种方案.下面一一计算所需的投资.方案一三城镇都单干.投资分别为0(1) = 730 X 50 712= 2300C(2) = 730X 3071i= U00C(3) = 2300总投资:必-⑶+0⑶=6200方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资的角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2的投资为：「八八./联合：730 (.5+3；.外工46.6乂即'22U = M5口.］C5 2 = 联叫单干.C⑴+C⑵=3900=3500C (3) =2300总投资：M = C (b 2)+0 ⑶=550.方案三城2、3合作p30 C3+5J iJB+t,6x^,J1x33 =(2)-G(3)= 39DCC (1) =2300总投资：M = C3)+0 ⑴=595Q方案四城1、3合作门 C —圻以小.°,口+仁心5七〞46MC (2) =1600总投资:& = C (b 3)+0 ⑵=£20.=5560总投资：M = C 〔J ,2, 3〕= 556.比拟五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂的方案. 下面的问题是如何分担总额为 5560的费用.城3的负责人提出,联合建厂的费用按三城的污水量之比5: 3: 5分担,铺设管道费应由城1、2担负.城2的负责人同意,并提出从城2到城3的管道费由 城1、2按污水量之比5: 3分担；从城1到城2的管道费理应由城1自己担 负.城1的负责人觉得他们的提议似乎是合理的,但因事关重大,他没有马上0.712表示同意；而是先算了一笔账.联合建厂的费用是73〔5 3 5〕4530城2到城3的管道费是730,城1到城2的管道费是300,按上述方法分配时, 城3负担的费用为1740,城2的费用为1320,域1的费用为2500.结果出乎 意料之外,城3和城2的费用都比单独建厂时少,而城1的费用却比单独建厂 时的C 〔1〕还要多.城1的负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理的解决方法.为了促成联合的实现,你能为他们提供一个满意的分担方案五三城镇合作MI 阳1 CCC2 ^ + + +C+ 6 6x5v J1x20 + 6 x8U3J x38 = 5 5 60 (3) = 5800 CQ = 59oo Q) = Q20O + C (3) = 62003)费用的方案吗？首先,应当指出,城3和城2负责人提出的方法是不合理的：从前面的计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640的效益应该分配给三城,使三城分配的费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定的一条原那么.至于如何分配,那么是下面要进一步研究的问题.把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担的费用反比单独建厂费用高的情况.将三城镇记为I={1,2,3),联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数.于是有v( )=0,v({1})=v({2})=v({3})=0M{1,2})=c⑴+c⑵-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.即1(v)同理得2(v) 321, 3(v) 122那么,城1分担的费用为2300-197=2103,城2分担的费用为1600-321=1279,城3分担的费用为2300-122=2178,合计5560.习题：某甲(农民)有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元；如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元；如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元；当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人的所得才能达成协议？例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程的最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产方案和存储等问题.动态规划是一种将复杂问题转化为一种比拟简单问题的最优化方法,它的根本特征是包含多个阶段的决策.1951年,美国数学家贝尔曼(R. Bellman)等人, 提出了解决多阶段决策问题的“最优化原理〞,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划•动态规划方法的根本思想是：将一个复杂问题分解成假设干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程的决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态〞的含义,然而,一些与时间无关的静态规划中的最优化问题,也可人为地把问题分成假设干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机.求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态的最优化决策；②再顺序地求出整个题的最优策略和最优路线.下面,结合一个求最短路径的例子,来说明动态规划的一些根本概念.最短路径问题如下图的交通网络,节点连接线路上的数字表示两地距离,计算从A到E的最短路径及长度.1 .阶段.把所要处理的问题,合理地划分成假设干个相互联系的阶段,通常用k表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4.2 .状态和状态变量.每一个阶段的起点,称为该阶段的状态,描述过程状态的变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用X k来表示第k阶段的某一状态.如果状态为非数量表示,那么可以给各个阶段的可能状态编号,(1) . (i)X k i(X k表示第k个阶段的第i状态).第k阶段状态的集合为X J/) (2)(i) (T)lX k {X k ,X k , , X k , ,X k }如例6中,第3阶段集合可记为X3 {X31),X32),X33)} {01,02.03) (1,2.3)3.决策和决策变量.决策就是在某一阶段给定初始状态的情况下,从该状态演变到下一阶段某状态的选择.即确定系统过程开展的方案.用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设U k(X k)表示第k个阶段初始状态为 "的决策变量.D k(X k)表示初始状态为X k的允许决策集合,有U k(X k) D k ( X k ) ={ u k )如例6中D1(A)出任艮},假设先取B2,那么U(A) B2O4,策略和子策略.由每段的决策U k(X k)组成的整个过程的决策变量序列称为策略,记为P,n,即F1,n=(U1(X1),U2(X2), ,U n(X n ))从阶段k到阶段n依次进行的阶段决策构成的决策序列称为k子策略,记为P k,n即P k,n(X i) ={U k(X k),U k l(X k i), ,U n(X n)}显然,k=1时的k子策略就是策略.如例6,选取路径A B i C2 D2 E就是一个子策略.从允许策略集中选出的具有最正确效果的策略称为最优策略.5 .状态转移方程.系统在阶段k处于状态Xk,执行决策U k(X k)的结果是系统状态的转移,即由阶段K的状态X k转移到阶段K十1的状态X k 1适用于动态规划方法求解的是一类具有无后效性的多阶段决策过程.无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后的开展,完全由本阶段所处的状态以及其往后的决策决定,与系统以前的状态及决策无关,对于具有无后效性的多阶段过程,系统由阶段k向阶段k+1的状态转移方程为X k i T k(X k,U k(X k))意即X k1只与X k, U k(X k)有关,而与前面状态无关.T k(Xk,U k(X k))称为变换函数或算子.分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划.6 .指标函数和最优指标函数.在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策的效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段的决策变量的函数,设Vk,n (X k,U k,X k 1, ,X n)k 1,2,指标的含义在不同的问题中各不相同,可以是距离、本钱、产品产量、资源消耗等.为V k,n即％例6中,指标的含义就是距离,指标函数为A到E的距离,为各阶段路程的和.最常见的指标函数取各阶段效果之和的形式,即nV k,n V j(X j,U j)j k指标函数V k,n的最优值,称为相应的最优指标函数,记为f k(X k)f k(X k) OptV k,n式中opt是最优化之意,根据问题要求取max或min.7 .动态规划最优化原理.贝尔曼指出“作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略〞基于这个原理,可有如下定理：定理假设策略P,n是最优策略,那么对于任意的k(1<k<n),它的子策略P k,n对于以 * —• * * 、X k T k1(X k1,U k1)为起点的k到n子过程来说,必是最优策略.实质上,动态规划的方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径的一种方法.8 .动态规划的数学模型.利用最优化原理,可以得到动态规划的数学模型f k(X k) opt{V k(X k,U k) f k 1(X k 1)}(k n,n 1, ,1U k D k(xJf n 1(X n1) 0这是一个由后向前的递推方程.卜面以例6的最短路径问题说明这种递序解法.指标函数为两点之间的距离, 记为d 〔X k ,uJ,例中共分4个阶段. 〔倒推〕 第4阶段f 5(E) 第3阶段* l"2,4{ B i ,C 2, D 2 , E}d(B 2,C i ) f 2(B 2) min 2d(B 2,C 2)* 一 一一F 2,4 { B 2 ,C 2 , D 2 , E}f 4(D i ) d(D i ,E) f 5(E) f 4(D 2) d(D 2,E) f 5(E) f 4(D a )d(D 3,E)f 5(E)f 3(C i ) min d(C i 'D i ) dGB)f ,(D i ) f 4(D 2)*鸟,4 {C i , D i , E}f 3(C 2) min d(C 2,D) d(C 2,D 2)f 4(D i )f 4(D 2)* R,4{C 2, D 2, E}f 3(C 3) min d(C 3,D 3) d(C 3R )f/D z ) f 4(D 3)12 6*鸟,4 {C 3, D 3, E} 第2阶段f 2 (B 1) mind(B i ,C i ) dBOf 3(C i ) f 3(C 2) 13 7f 3(C i ) f 3©2)。