面积法
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面积法
一．面积法的解题技巧
1.利用基本图形的面积计算公式，图形的分割与补形是计算面积的常用方法，而等积变形和
等比法也是解决面积问题的基本方法。注：三种三角形底和高的确定
2.三角形等积变形定理：
（1）等底（同底）_____（）的三角形面积相等，面积相等的两个三角形底和高的_____
相等，一个三角形中三组底和高的_____相等；
（2）把一个图形分成若干部分，各部分的面积_____等于这个图形的面积。
3.等比法常用定理：
（1）两个等底的三角形的面积之比等于它们对应的_____之比；
如图，左边三角形的底为6，高为5，右边三角形的底为6，高为8，两三角形的底相同，面积之比：85
86215621
21=××××=SS，即8:5:21=SS，两三角形的面积之比等于等底上的高
之比。
（2）两个等高三角形面积之比等于它们对应的_____
之比；锐角三角形直角三角形钝角三角形
如图，左边三角形的底为7，高为7，右边三角形的底为5，高为7，两个三角形的高相同，面积之比：57
75217721
21=××××=SS，即5:7:21=SS，两三角形的面积之比等于等高对应的底
之比。
4.三角形的中位线性质定理：（三角形两边中点所联结成的线段，叫作三角形的中位线。）
三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边长度的一半：
如图，在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则EF为三角形的中位线，EF∥BC，EF=BC21。
附：梯形的中位线性质定理：（梯形两腰的中点所联结的线段，叫作梯形的中位线。）
如图，在梯形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，则EF为梯形的中位线，
EF∥AB∥CD，)(21CDABEF+=。
5.一个三角形中对应线段和面积的比：
1）两个相似三角形对应高、对应中线、对应角分线等于对应边之比，即等于相似比，面
积比等于相似比的平方；注：中位线分割成的三角形面积之间的关系：
1）如图，△ABF和△CBF的高相同，底边分别为
AF、CF，且AF=CF，所以
ABCCBFABFSSS△△△21==
2）如图，△AFE和△BFE的高相同，底边分别为
AE、BE，且AE=BE，所以
ABCABFBFEAFESSSS△△△△41
21===2）
二．典型例题
1.如图1，在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G。一等要直角三角形按如
图1-（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，
另一条直角边恰好经过点B。
（1）在如图1-（1）中，请你通过观察，测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满
足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图1-（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直
线上，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA于点E。此时请你通过观察、
测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后
证明你的猜想；
（3）当三角尺在图1-（2）的基础上沿AC方向继续平移到图1-（3）所示的位置（点F在
线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中猜想是否仍然成立？（不用说明理由）
图1-（1）
图1-（2）如图，在△ABC中，点O是AC边上任
意一点，联结BO，过点0作OF⊥AB
于点F，过点C作CE⊥AB于点E，令
OF=1h，OE=2h，OF∥CE，
21hhOCAO=，
而△ABO和△ABC为同底三角形，
21hh
SS
ABCABO=
△△，所以
ABCABOSS
hh
OCAO
△△==
21
2.如图2，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，且CE=AF，CE交
AF于点P，联结BP。求证：PB平分∠APC。
3.探究规律：如图3-（1）所示，已知直线m∥n,A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点。
（1）请写出图3-（1）中，面积相等的各对三角形：______________________________；
（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总
有_______与△ABC的面积相等，理由是：__________________________________。
解决问题：如图3-（2）所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，
经过多年开垦荒地，现已变成如图3-（3
）所示的形状，但承包土地与开垦的分界小路（即图1-（3）
图2
图3-(1)
图
3-(3)图3-(2)图3-（3）中折现CDE）还保留着。张大爷想过从E点修一条直路，直路修好后，可保持
直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦面积一样多。请你用有关
的几何面积，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）。
（1）写出设计方案，并画出相应的面积；
（2）说明方案设计理由。
4.如图4，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，点G、H在DC边上，且GH=21DC，
若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为多少？
5.已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图5排列，则图中阴影部分面积为多少？
6.如图6，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，
那么△ABC
的面积等于多少？图4
图57.已知如图7，点O为△ABC内一点，联结AO、BO、CO，并延长交BC、CA、AB于点D、
E、F，且6:4:3=AOCBOCAOBSSS△△△：：，则COOF
BOOE
AOOD··等于（）A.352B.354C.356D.358
8.如图8，线段AD是Rt△ABC斜边BC上的高，且AC=60，AB=45，求AD。
9.如图9，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM于点E，求证：
2242
baabDE+=。
10.如图10，AD是△ABC的角平分线，求证：DCBD
ACAB=
。图6
图7
图8
图9
11.已知一直角三角形两直角边分别为a、b，斜边c上的高为h，求证：222111
hba=+。
12.如图11，在△ABC中，已知AB＞AC，BD、CE分别为AC、AB边上的高，求证：
BD＞CE。
13.如图12，已知在△ABC中，BD：CD=2：1，E为AD的中点，联结BE，并延长交
AC于点F，求：AF：FC的值。（提示：联结EC，将线段比转化为面积比）
14.如图13，正方形ABCD的面积为252cm，点E在AB上，BE=1.5AE，点F在BC
上，BF=4CF。求点D到EF
的距离。图10
图11
图12
15.如图14-（1），
AB、CD是两条线段，M为AB的中点，DMCS△、DACS△、DBCS△分
别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积。当AB∥CD时，有下面①式：
2DBCDACDMCSSS△△△+=…①，
（1）如图14-（2），若图14-（1）中AB不∥CD，①式是否成立？请说明理由；
（2）如图14-（3），若图14-（1）中AB与CD相交于点O时，问DMCS△与DACS△和
DBCS△有何种相等关系？试证明你的结论。
16.如图15，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲从A处引一条
笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷
设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由。图13
图15图14-(1)图14-(2)图14-(3)
