初中数学竞赛辅导讲义

初中数学竞赛辅导讲义

初中数学竞赛辅导讲义:从创新构造入手

有些数学问题直接求解比较困难,可通过创造性构造转化问题而使问题获解．

所谓构造法,就是综合运用各种知识和方法,依据问题的条件和结论给出的信息,把问题作适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而沟通解题思路的方法．构造法是一种创造性思维,是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的．

构造法的基本形式是以已知条件为“原料”,以所求结论为“方向”,构造一种新的数学形式,初中阶段常用的构造解题的基本方法有:

1．构造方程；

2．构造函数；

3．构造图形；

4．对于存在性问题,构造实例；

5．对于错误的命题,构造反例；

6．构造等价命题等．

【例题求解】

【例1】 设1a、2a、1b、2b都为实数,21aa,满足))(())((22122111babababa,求证:1))(())((22211211babababa．

思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点,1a、2a可看作方程1))((21bxbx的两根,则))((1))((2121axaxbxbx,通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律,解题思路新颖而深刻．

注:一般说来,构造法包含下述两层意思:利用抽象的普遍性,把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性,给所解决的问题设计一个框架,强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表,而后一层意思的“框架”含义更为广泛,如方程、函数、图形、“抽屉”等．

【例2】 求代数式1342222xxxx的最小值．

思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．

222222)30()2()10()1(13422xxxxxx,于是问题转化为:在x 轴上求一点C(1,0),使它到两点A(一1,1)和B(2,3)的距离和(CA+CB)最小,利用对称性可求出C点坐标．这样,通过构造图形而使问题获解．

【例3】 已知b、c为整数,方程052cbxx的两根都大于1且小于0,求b和c的值．

思路点拨 利用求根公式,解不等式组求出b、c的范围,这是解本例的基本思路,解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系,构造函数,令cbxxy25,从讨论抛物线与x轴交点在1与0之间所满足的约束条件入手．

【例4】 如图,在矩形ABCD中,AD=a,AB=b,问:能否在Ab边上找一点E,使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到,这样的E点有几个?若不能找到,请说明理由．

思路点拨 假设在AB边上存在点E,使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD,又设AE=x,则BCBEAEAD,即axbxa,于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根,在一定条件下有几个实根的研究,通过构造方程解决问题．

【例5】 试证:世界上任何6个人,总有3人彼此认识或者彼此不认识．

思路点拨 构造图形解题,我们把“人”看作“点”,把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识,就把相应的线段染成蓝色,这样,有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形,否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形,这样本题就化作:

已知有6个点,任何3点不共线,每2点之间用线段连结起来,并染上红色或蓝色,并且一条边只能染成一种颜色．证明:不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形．

注:“数缺形时少直观,形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法,主要体现在:

(1)几何问题代数化；

(2)利用图形图表解代数问题；

(3)构造函数,借用函数图象探讨方程的解．

利用代数法解几何题,往往是以较少的量的字母表示相关的几何量,根据几何图形性质列出代数式或方程(组),再进行计算或证明．

特别地,证明几何存在性的问题可构造方程,利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理,讨论几何图形位置的可能性．

有些问题可通过改变形式或换个说法,构造等价命题或辅助命题,使问题清晰且易于把握．

对于存在性问题,可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象,即所谓的存在性问题的“构造性证明”．

学历训练

1．若关于x的方程012)1(22mxxm的所有根都是比1小的正实数,则实数m的取值范围是 ．

2．已知a、b、c、d是四个不同的有理数,且1))((daca,1))((dbcb,那么))((cbca的值是 ．

3．代数式9)12(422xx的最小值为 ．

4．A、B、C、D、E、F六个足球队单循环赛,已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场,则还未与B队比赛的球队是

．

5．若实数a、b满足122baba,且22baabt,则t的取值范围是 ．

6．设实数分别s、t分别满足0199192ss,019992tt,并且1st,求tsst14的值．

7．已知实数a、b、c满足0))((cbaca,求证:)(4)(2cbaacb．

8．写出10个不同的自然数,使得它们中的每个是这10个数和的一个约数,并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．

9．求所有的实数x,使得xxxx111 ．

10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证:2110132cba．

11．已知关于x的方程kxx1322有四个不同的实根,求k的取值范围．

12．设10zyx，，0,求证1)1()1()1(xzzyyx．

13．从自然数l,2,3,…354中任取178个数,试证:其中必有两个数,它们的差为177．

14．已知a、b、c、d、e是满足8edcba,162222edcba的实数,试确定e的最大值．

15．如图,已知一等腰梯形,其底为a和b,高为h．

(1)在梯形的对称轴上求作点P,使从点P看两腰的视角为直角；

(2)求点P到两底边的距离；

(3)在什么条件下可作出P点?

参考答案

初中数学竞赛辅导讲义:动态几何问题透视

春去秋来,花开花落,物转星移,世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中,事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来．

动态几何问题,是指以几何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问题,常见的形式是:点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等,解这类问题的基本策略是:

1．动中觅静

这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．

2．动静互化

“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,动静互化就是抓住“静”的瞬间,使一般情形转化为特殊问题,从而找到“动”与“静”的关系．

3．以动制动

以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系,通过研究运动函数,用联系发展的观点来研究变动元素的关系．

注:几何动态既是一类问题,也是一种观点与思维方法,运用几何动态的观点,可以把表面看来不同的定理统一起来,可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是,对于一个数学问题,努力去发掘更多结论,不同解法,通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等,这就是常说的“动态思维”．

【例题求解】

【例1】 如图,把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到A″B″C″的位置,设BC=1,AC=3,则顶点A运动到点A″的位置时,点A经过的路线与直线l所围成的面积是 ．

思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动,顶点A所经过 的路线是两段圆弧,其中圆心角分别为120°和90°,半径分别为2和3,但该路线与直线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和．

【例2】如图,在⊙O中,P是直径AB上一动点,在AB同侧作AA′⊥AB,BB′⊥AB,且AA′=AP,BB′=BP,连结A′B′,当点P从点A移到点B时,A′B′的中点的位置( )

A．在平分AB的某直线上移动 B．在垂直AB的某直线上移动

C．在AmB上移动 D．保持固定不移动

思路点拨 画图、操作、实验,从中发现规律．

【例3】 如图,菱形OABC的长为4厘米,∠AOC＝60°,动点P从O出发,以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动,点P出发2秒后,动点Q从O出发,在OA上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒,这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米,请你回答下列问题:

(1)当x=3时,y的值是多少?

(2)就下列各种情形: ⌒