高中不等式教案：第三课时一元二次不等式解法(二)

b x x a
一元一次不等式 b b x x x x ax+b>0的解集 a a 一元一次不等式 x x b b x x a a ax+b<0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
解不等式 (写出相应的一元二次方程及一元二次不等式的解集） 方程 的解集为 不等式 的解集为 求不等式 的解集 2 不等式 的解集为 x x 6 0 2 x 2 x 3 观察函数 y x x 6 0 的图象
yx x6
2
-2
的解集
不等式 2
ax bx cx x x x 1 2


＜0的解集


3、2 一元二次不等式的解法
例1 求不等式 解:注意到
4 x 4 x 1
2
＞0的解集
1 x x 2
2 4 x 4 x 1= 2x 1 2≥0
所以原不等式的解集为
x 例2 求不等式 解：不等式可化为
2 (3) 4 x 4 x 1 <0 2 2、若代数式 6 的值恒取非负数,则实数x的 x x 2 取值范围是 2 1
1 x x 2 0 , 开口向上 ， 图象与 x 轴无交点 ，x R 3
x 3 x 5>0
2

x x 或 x 3 2
0
3
x
3、2 一元二次不等式的解法
讨论一元二次不等式 与 （a>0) 如果相应的一元二次方程 分 别有两个不等实根、两个相等实根、无实根， 其对应的二次函数 的 图象与x轴的位置关系如何？ 二次函数的图象开口向上且分别与x轴交于两 点、一点及无交点．

穿针引线(chuān zhēn yǐn xiàn)解高次不等式
观察(guānchá)下列不等式解集与图象的关系.猜想第三个不等式的解集.
不等式
函数图象
不等式解集
x－1＞0
(1，＋∞)
(x－1)(x－2)＞0
(－∞，1)∪ (2，＋∞)
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x(x－1)(x－2)＞0
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一般(yībān)的分式不等式的同解变形法则：
(1)gfxx>0⇔__f(_x_)·_g_(x_)_>_0__； (2)gfxx≤0⇔__gf__x__x__·≠g____x0__≤___;0__; (3)gfxx≥a⇔fx－gxagx≥0.
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知识点二 一元二次不等式恒成立问题 一般地，“不等式 f (x)>0在区间(qū jiān)[a，b]上恒成立”的几何意义是函数 y＝f (x) 在 区间[a，b]上的图象全部在 x 轴___方.区间上[a，b]是不等式 f (x)>0的解集的_____. 恒成子立集的(zǐ jí不) 等式问题通常转化为求最值问题，即： k≥f (x)恒成立⇔k≥_______； k≤f (x)恒成立⇔k≤____f_(_x_)m. ax
x＋1
故－1＜x≤2.
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4.若不等式x2＋x＋k＜0在区间[－1，1]上恒成立(chénglì)，则实数k的取值范围是 ____(_－_∞__，__－__2_).
解析 x2＋x＋k＜0，即k＜－(x2＋x)在区间(qū jiān)[－1，1]上恒成立， 即k＜[－(x2＋x)]min. 当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k＜－2.

芯衣州星海市涌泉学校一.教学内容：1.一元二次不等式的解法2.第一单元集合的小结与复习二.重、难点：1.重点：〔1〕一元二次不等式的解法。

〔2〕集合的根本概念，集合之间的关系，不等式的解法。

2.难点：集合的有关概念之间的联络与区别，集合的应用。

【典型例题】[例1]解不等式：〔1〕0232>--x x 〔2〕0262≤+--x x〔3〕132≤-x〔4〕2232+≥+-x x x解： 〔1〕原不等式化为：0)1)(23(>-+x x∴32-<x 或者者1>x ∴原不等式的解集是}132|{>-<x x x 或〔2〕原不等式化为：0262≥-+x x ∴32-≤x 或者者21≥x∴原不等式的解集为{32|-≤x x 或者者21≥x }〔3〕原不等式化为：0132≤--x 0332≤-+-x x031≥--x x 同解于0)3)(1(≥--x x 且03≠-x∴3>x 或者者1≤x ∴原不等式的解集为{3|>x x 或者者1≤x }〔4〕原不等式化为：2232+≥+-x x x 或者者042≥-x x 或者者0422≤+-x x∴0≤x或者者4≥x 或者者φ∈x ∴原不等式的解集为{0|≤x x 或者者4≥x } [例2]不等式02>++c bx ax 的解集为}|{βα<<x x ，0>α，求不等式02<++a bx cx 的解集。

解：∵原不等式的解为βα<<x ∴0<a ∴由根与系数关系得：a b -=+βα，a c =αβ 将02<++a bx cx 的两边同除以a ， 得：012>++x a b x a c即01)(2>++-x x βααβ∴0)1)(1(>--x x βα 又∵0>>αβ∴αβ11<∴02<++a bx cx 的解集为{β1|<x x 或者者α1>x }[例3]a 为何值时，不等式02)1()23(22>+-++-x a x a a 的解为一实在数？ 解：〔1〕当0232=+-a a时，得1=a 或者者2=a ①1=a 时，原不等式化为02>恒成立 ∴1=a适宜 ②2=a时，原不等式化为02>+x ∴2->x ∴2=a 不适宜〔2〕当0232≠+-a a 时那么必须有由①：1<a 或者者2>a 由②：1<a 或者者715>a ∴不等式组的解为1<a 或者者715>a综上所述，a 的取值范围是1≤a 或者者715>a[例4]},412|{Z ∈+==k k x x M ，},214|{Z ∈+==k k x x N 那么〔〕A.M=NB.M ≠⊂NC.M ≠⊃ND.φ=⋂N M解：方法一：设Mx∈，那么)(412Z∈+=kkx∵Z∈k∴Z∈-12k∴Nx∈∴NM⊆又当=k时，21=x∴N∈21假设M∈21，那么21412=+k∴Z∉=21k∴M∉21∴NM≠⊂选B方法二：设1=k知M∈43且N∈43，排除D设=k知N∈21但M∉21，排除A、C 应选B[例5]设}110|{-≤≤-Z∈=xxxA且，}5|{≤Z∈=xxxB且，求BA⋃元素的个数。

2.2.3 一元二次不等式的解法学习目标1.经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程，能用符号语言来描述这个模型，提升数学抽象素养;2.通过一元二次不等式实例的求解，能概括解一元二次不等式的一般步骤，提高总结归纳能力;会运用一元二次不等式知识解决有关的问题，发展数学应用意识.自主预习汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m ，乙车的刹车距离略超过10 m .已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别为s 甲=1100v 2-110v ，s 乙=1200v 2-120v.试判断甲、乙两车有无超速现象. 不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式 1100v 2-110v>6和 ， 即v 2-10v-600>0和 ，一般地，形如ax 2+bx+c>0的不等式称为 ，其中a ，b ，c 是 ，而且 .一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.[尝试与发现1]任意选定一些数，看它们是否是不等式x (x-1)>0的解，由此给出解这个不等式的方法. 注意到 ，结果才能是正数，也就是说，ab>0当且仅当，或，因此，不等式可以转化为两个不等式组，或，用类似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0的解，但此时的依据是:ab<0当且仅当，或 ，因为不等式可以转化为两个不等式组，或，一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x-x 1)(x-x 2)<0的解集是 .不等式(x-x 1)(x-x 2)>0的解集是 .[尝试与发现2]通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:(1)x 2<-1;(2)x 2>-2;(3)x 2<9.因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中(1)的解集为 ，(2)的解集为 .对于x 2<9来说，两边同时开根号可得√x 2<√9，即|x|<3，因此-3<x<3，从而得到(3)的解集为(-3，3). 课堂探究例1 求不等式x 2-x-2>0的解集.反思感悟:因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解可用此法，它只能适用于解决一类特殊的不等式. 跟踪训练1 求下列不等式的解集:(1)2x 2+x-6>0; (2)(3x-1)(x+4)>0.例2 求下列不等式的解集:(1)x 2+4x+1≥0; (2)x 2-6x-1≤0;(3)-x 2+2x-1<0; (4)2x 2+4x+5>0.反思感悟:配方法:一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a ≠0)通过配方总可以化为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式，然后根据k值的正负即可求得不等式的解集.跟踪训练2 求下列不等式的解集:(1)x 2+x+1>0. (2)-4x 2+18x-814≥0.例3 求不等式2x+1x -2≥1的解集.反思感悟:1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.跟踪训练3 求下列不等式的解集: (1)x+21-x <0; (2)x+1x -2≤2.核心素养专练1.不等式x 2>1的解集是( )A .{x|x>1}B .{x|x>±1}C .{x|-1<x<1}D .{x|x>1或x<-1}2.不等式x (2-x )<0的解集是( )A .(2，+∞)B .(-∞，2)C .(0，2)D .(-∞，0)∪(2，+∞)3.不等式x 2+2x-3<0的解集为( )A .{x|x<-3或x>1}B .{x|x<-1或x>3}C .{x|-1<x<3}D .{x|-3<x<1}4.求下列不等式的解集:(1)x (x-3)<0; (2)(x+1)(1-x )≥0;(3)x 2+6x-7≤0; (4)x 2-8x+16<0.5.求下列不等式的解集:(1)x 2+2x-5<0; (2)x 2-4x-2≥0;(3)x 2+6x+10≤0; (4)x 2-8x+16≤0;(5)-x 2+8x-1≤0; (6)2x 2-4x+3<0.6.求下列不等式的解集:(1)x+1x -1>0; (2)1x -1>1.参考答案自主预习1200v 2-120v>10，v 2-10v-2 000>0，一元二次不等式，常数，a ≠0，只有两个同号的数相乘，，(x 1，，2)，(-∞，x 1)∪(x 2，+∞)，⌀，R 课堂探究例1 (-∞，-1)∪(2，+∞).跟踪训练1 (1)(-∞，-2)∪，(2)(-∞，-4)∪，例2 (1)(-∞，-2-√3 ]∪[-2+√3，+∞)(2)[3-√10，3+√10 ](3){x|x ≠1}(4)R跟踪训练2 (1)R(2){94}例3 (-∞，-3]∪(2，+∞)跟踪训练3 (1)(-∞，-2)∪(1，+∞)(2)(-∞，2)∪[5，+∞) 核心素养专练3.D4.(1)(0，3) (2)[-1，1](3)[-7，1] (4)⌀5.(1)[-1-√6，-1+√6](2)(-∞，2-√6 ]∪[2+√6，+∞) (3)⌀(4){4} (5)(-∞，4-√15]∪[4+√15，+∞)(6)⌀6.(1)(-∞，-1)∪(1，+∞) (2)(1，2)学习目标1.能在现实情境或数学情境中提取出一元二次不等式模型.2.能恰当使用因式分解法和配方法解一元二次不等式.课堂探究情境与问题: 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m ，乙车的刹车距离略超过10 m .已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别为s 甲=1100v 2-110v ，s 乙=1200v 2-120v. 试判断甲、乙两车有无超速现象. 任务一:通过阅读上面内容，解答以下问题: 问题1:(1)如何构建数学关系式解决是否超速问题?(2)所得数学关系特征是什么? 一般的，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是 ，而且 ，不等号也可以是 .任务二:探究形如:(x-x 1)(x-x 2)>0或(x-x 1)(x-x 2)<0的解集. 问题2:(1)两个数相乘结果为正数，则这两个数满足什么关系?依据:ab>0当且仅当 . (2)x (x-1)>0可以等价转化成什么形式?解集是什么? (3)(x+1)(x-1)<0的解集是什么? 依据:ab<0当且仅当 . 结论:一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x-x 1)(x-x 2)<0的解集是 . 不等式(x-x 1)(x-x 2)>0的解集是 . 这种解不等式的方法叫因式分解法. 问题3:使用因式分解法解一元二次不等式的前提是什么?例1 求不等式x 2-x-2>0的解集.回到情境与问题中的不等式，v 2-10v-600>0可以化为(v+20)(v-30)>0，因此甲车的车速v>30;而v 2-10v-2 000>0可以化为 ，因此乙车的车速 .由此可见，乙车肯定超速了. 小结因式分解法解题规律:任务三:探究形如:(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的解集问题4:(1)通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集: ①x 2<-1 ;②x 2>-2 ;③x 2<9 .(2)类比方程的研究方法，解不等式x 2<9.(3)借助(2)解法特点解不等式x 2-6x-1≤0.结论:一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 这种解不等式的方法叫配方法. 问题5:(1)配方法适合解什么特征的一元二次不等式?(2)几种特殊情形:①(x-h )2>0的解集为 ;(x-h )2<0的解集为 .②当k<0时，不等式(x-h )2>k 的解集为 ，不等式(x-h )2<k 的解集为 . 例2 求下列不等式的解集:(1)x 2+4x+1≥0; (2)-x 2+2x-1<0;(3)2x 2+4x+5>0.变式训练:x 2-12>-x 2.小结配方法解题规律:拓展性问题:求不等式2x+1x -2≥1的解集.课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获?(知识层面、思想方法层面)布置作业1.阅读课本，结合学案，进行知识整理、整合.2.完成课本第71页A 组 第2，3题;B 组 第1，2题.3.选做题:B 组 第5题.参考答案课堂探究1:(1)1100v 2-110v>6;1200v 2-120v>10 (2)ax 2+bx+c>0;常数;a ≠0;< ≥ ≤问题2:(1)同号;，或，(2)，或，(-∞，0)∪(1，+∞)(3)(-1，1);，或，(x1，x2);(-∞，x1)∪(x2，+∞)问题3:一元二次不等式是特殊类型、能因式分解.例1(-∞，-1)∪(2，+∞)情境与问题:(v+40)(v-50)>0;v>50.问题4:(1)①⌀;②R;③(-3，3).(2)∵x2<9，∴√x2<√9，即|x|<3，∴-3<x<3.不等式的解集为(-3，3).(3)[3-√10，3+√10].问题5:(1)一般的一元二次不等式(2)①(-∞，h)∪(h，+∞);⌀;②R;⌀例2(1)(-∞，-2-√3]∪[-2+√3，+∞)(2)(-∞，1)∪(1，+∞)(3)R变式训练:(-∞，-1)∪，拓展性问题:(-∞，-3]∪(2，+∞)课堂小结略布置作业略。