（3）自变量趋向于无穷大的函数极限
定义1：0,0>∃>∀X ε，当
X x >，成立()ε<-A x f ，则称常数A 为函数()x f 在x 趋于无穷时的
极限，记为()A
x f x =∞
→lim 。
A y =为曲线()x f y =的水平渐近线。
定义2：00>∃>∀X ，ε，当X x >时，成立()ε<-A x f ，则有()A
x f x =+∞→lim 。 定义3：00>∃>∀X ，ε，当X x -<时，成立()ε<-A x f ，则有()A x f x =-∞→lim 。
运算法则：
1) 1) 若()A x f =lim ，()∞=x g lim ，则()()[]∞=+x g x f lim 。
2) 2) 若()()∞≠=但可为,0lim A x f ，()∞=x g lim ，则()()∞=•x g x f lim 。 3) 3) 若()∞=x f lim ，则
()01
lim
=x f 。
注：上述记号lim 是指同一变化过程。 （4）无穷小的定义
0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<|)(|x f ，则称函数)(x f 在a x →时的无穷小（量），即 0
)(lim =→x f a x 。
（5）无穷大的定义
0>∀M ，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有M x f >|)(|，则称函数)(x f 在a x →时的无穷大（量），记为
∞
=→)(lim x f a
x 。
直线a x =为曲线()x f y =的垂直渐近线。
2．无穷小的性质
定理1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。 定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。
无穷小与无穷大的关系
若∞=→)(lim x f a x ，且)(x f 不取零值，则)(1
x f 是a x →时的无穷小。
3．极限存在的判别法
（1）A
x f a
x =→)(lim ⇔A a f a f =+=-)0()0(。 A x f x =∞→)(lim ⇔A
x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim 。
（2）A
x f a
x =→)(lim ⇔α+=A x f )(，其中α是a x →时的无穷小。
（3）夹逼准则：设在点a 的某个去心邻域),(ˆ
δa N 内有 )()()(x h x f x g ≤≤，且已知A x g a x =→)(lim 和
A
x h a
x =→)(lim ，则必有 A
x f a
x =→)(lim 。
4．极限的性质
（1）极限的唯一性 若
A
x f a
x =→)(lim 且B
x f a
x =→)(lim ，则B A =。
（2）局部有界性 若A
x f a x =→)(lim ，则0>∃M ，在点a 的某个去心邻域),(ˆ
δa N 内有M x f <|)(|。
（3）局部保号性 （I ）若A
x f a
x =→)(lim ，且0>A （或0δa N ，当),(ˆ
δa N x ∈时，
有0)(>x f （或0)(（II ）若在点a 的某个去心邻域),(ˆδa N 内有0)(≥x f （或0)(≤x f ），且A x f a x =→)(lim ，则0≥A （或
0≤A ）。
5．极限的四则运算与复合运算 设c 是常数，，
，B x g A x f a
x a
x ==→→)(lim )(lim 则
（1）；
B A x g x f a
x ±=±→)]()([lim （2）；
B A x g x f a
x ⋅=⋅→)]()([lim
（3）；
A c x f c a
x ⋅=⋅→)]([lim
（4）；，0)()(lim
≠=→B B A
x g x f a
x
（5）
，
，有，且，若00)()0(),()(lim )(lim 0
u x g a U x A u f u x g u u a
x ≠>∈∀==Λ
→→δδ
则A
u f x g f u u a x ==→→)(lim )]([lim 0
.
6．两个重要极限
（1）1sin lim 0=→x x x ； （2）e
x x x =+→1
0)1(lim 或 e x x x =+∞→)11(lim 。
7．无穷小的阶的比较
若α和β都是在同一自变量变化中的无穷小量，且≠β0，则
（1）若0lim
=βα，则称α关于β是高阶无穷小量，记作)(βαo =； （2）若1
lim =βα，则称α和β是等价无穷小量，记作βα~； （3）若)
0(lim ≠=c c βα
，则称α和β是同阶无穷小量，记作)(βαO =；
一般情况下，若存在常数0>A ，0>B ，使成立 B
A <<||βα，就称α和β是同阶无穷小量。 （4）若以x 作为0→x 时的基本无穷小量，则当)(k
x O =α（k 为某一正数）时，称α是k 阶无穷
小量。
