2016年江苏专转本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
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2016年江苏专转本（高等数学）真题试卷 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1． 函数f(x)在x=x0处有定义是极限f(x)存在的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．无关条件
正确答案：D
解析：f(x)在x=x0处是否有定义不影响f(x)存在．
2． 设f(x)=sinx，当x→++时，下列函数中是f(x)的高阶无穷小的是( )
A．tanx
B．
C．x2 sin
D．
正确答案：C
解析：考查条件无穷小(常见形式)当x→0+时，slnx t～x，tgx～x，∴A同阶；∴B低阶．只有(有界五数和无穷小乘积)．
3． 设函数f(x)的导函数为sinx，则f(x)的一个原函数是( )
A．sinx
B．一sinx
C．cosx
D．一cosx
正确答案：B
解析：f’(x) =sinx，则f(x)=∫sinxdx=一cosx+
C．令F(x)=∫f(x)dx=一 sinx+C1x+C2．∴答案为
B．
4． 二阶常系数非齐次线性微分方程y”一y’一2y=2xe一x的特解y*的正确假设形式为( )
A．Axe一x
B．Ax2e一x
C．(Ax+B)x一x
D．x(Ax+B)e一x
正确答案：D
解析：特征方程为r2一r一2=0．∴r1=一1，r2=2．∴yx=x(Ax+B)e一x，即
D．
5． 函数z=(x—y)2，则dz|x=1，y=0=( )
A．2dx+2dy
B．2dx一2dy
C．一2dx+2dy
D．一2dx一2dy
正确答案：B
解析：∴选
B．
6． 幂级数日的收敛域为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：当x=时，原级数=∴收敛，当x=时，原级数=，
p的数中p=2＞1，∴收敛．∴选A．
填空题
7． 极限=_______．
正确答案：e一2．
解析：=e一2．
8． 已知向量a=(1，0，2)，b=(4，一3，一2)，则(2a一b)．(a+2b)=________．
正确答案：一48．
解析：a=(1，0，2)，b=(4，一3，一2)，2a一b=(一2，3，6)，a+2b=(9，一6，一2)，∴(2a一b)．(a+2b)=(一2)×9+3×(一6)+6×(一2)=一48．
9． 函数f(x) =xex的n阶导数f(n)(x)=________．
正确答案：(x+n)ex ．
解析：f(x)xex ，∴f’(x)=exxex=(x+1)ex ．f”(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex ，f”‘(x)=(x+3)ex ，∴f”(x)=(x+n)ex ．
10． 函数f(x)=，则f(x)的图像的水平渐近线方程为________．
正确答案：
解析：
11． 函数f(x)=∫x2x inldt，则f’(x)=________．
正确答案：lin4x．
解析：F(x)=∫x2xlintdt．∴f’(x) = 2limx一limx= 2(lin2+linx) 一linx=lin4+linx
= lin4x．
12． 无穷级数=________．(请填写收敛或发散)
正确答案：发散．
解析：=发散．
解答题解答时应写出推理、演算步骤。
13． 求极限
正确答案：
14． 设函数y=y(x)由方程exy=x+y所确定，求
正确答案：exy=x+y，两边同时对x本导．exy(y+xy’)=1+y’，yexy+xexyy’=1+y’，
15． 计算定积分
正确答案：令=t，x=t2+1，dx=2tdt，= 2[t．lin(1+t)]02= 2(2 一 lin3)．
16． 求不定积分
正确答案：
17． 求微分方程x3y’+2xy=sinx满足条件y(π)=0的解．
正确答案：x2y’+ 2xy=slnx y(z)=0观察可发现等式左边为(x2y)的变数，即(x2y)’=sinx，∴x2y=∫sinxdx=一cosx+c．代入y(z)=0，得c=一1．
18． 求曲直线l1：和直线l2：所确定的平面方程．
正确答案：∴所求平面法向易=(7，一2，一1)．∴平面方程：7(x一1)一 2(y一1)一(z一1)=0．故7x一2y—z一4=0．
19． 设z=f(x2一y，y2一x)，其中函数f具有二阶连续偏导数，求
正确答案：z=f(x2一y，y2一x)．令x2—y=u，∴=2xf’n一f’n，y2一x=υ，=2x(f”ω+2yf”ω)+f”ω一 2yf”ω．
20． 计算二重积分xdxdy，其中D是由直线y=x+2，x轴及曲线y=所围绕成的平面闭区域．
正确答案：
综合题
21． 平面区域D由曲线x2+ y2=2y，y=及y轴所围成．(1)求平面区域D的面积；(2)求平面区域D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积．
正确答案：
22． 设函数f(x)满足等式f(x)=+2∫12f(x)dx．(1)求f(x)的表达式；(2)确定反常积分∫1+∞f(x) dx的敛散性．
正确答案：令∫12+(x)dx=a．(1)对f(x)=+2∫12+(x)如两边同时取之积分．∫12f(x)dx=∫12dx+2∫12∫12f(x)dxdx=2∫12f(x)dx∫
12dx．∴发散．
证明题
23． 证明：函数f(x)= |x|在x=0处连续但不可导．
正确答案：
24． 证明：当x≥时，不等式2x3+1≥3x2成立．
正确答案：令f(x)=2x3+1—3x2．f’(x)=6x(x一1)．就是f(0)=1，f(1)=0．如图，当f(x)=+∞．∴当x≥时， f(x)最少，当x=1时f(x)=0．∴x≥时， f(x)≥0．:．x≥时，2x3+1≥ 3x2．
