2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积
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专题四 立体几何
第一讲 空间几何体的表面积与体积
——小题备考
微专题1 空间几何体的表面积和体积
常考常用结论
1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式：
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积 S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2.
2．柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；
③V球＝43πR3.
保 分 题
1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为( )
A．√6π B．√3π
C．√63π D．√33π
2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
3．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为( )
A．2√23 B．43
C．4√23 D．83
提 分 题
例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC＝( )
A．13 B．12
C．2−√32 D．√3−12
(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( )
A．2 B．√3
C．√2 D．1
听课笔记：
【技法领悟】
1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．
巩固训练1
1.[2022·山东菏泽一模]如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C(如图2)，则容器的高h为( )
A．3 B．4
C．4√2 D．6
2．[2022·福建福州三模]已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，O1，O分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD的体积为18，则该圆柱的侧面积为( )
A．9π B．12π
C．16π D．18π
微专题2 与球有关的切、接问题
常考常用结论
1．球的表面积S＝4πR2，体积V＝43πR3.
2．长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径．
3．n面体的表面积为S，体积为V，则内切球的半径r＝3VS.
4．直三棱柱的外接球半径：R＝√r2+(L2)2，其中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径R′＝L2.
5．正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R＝√64a(a为正四面体的棱长)，球心到底面的距离为内切球的半径r＝√612a，因此R∶r＝3∶1.
保 分 题
1.[2022·广东深圳二模]已知一个球的表面积在数值上是它的体积的√3倍，则这个球的半径是( )
A．2 B．√2
C．3 D．√3
2．已知正四棱锥P ABCD中，AB＝√6，PA＝2√3，则该棱锥外接球的体积为( ) A．4π B．32π3
C．16π D．16π3
3．[2022·天津红桥一模]一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、√2、3，则此球的体积为________．
提 分 题
例2 (1)[2022·江苏苏州三模]《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”(注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体)，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为( )立方尺
A．√41π3 B．41π
C．41√41π6 D．3√41π
(2)[2022·山东泰安三模]如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1＝4，点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动，则三棱锥D ABC的外接球表面积的最大值为( )
A．814π B．24π
C．24316π D．8√6π
听课笔记：
【技法领悟】
1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系． 2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．
巩固训练2
1.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为( )
A．√22π B．√2π
C．2π D．2√2π
2．[2022·广东潮州二模]已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P ABC的体积的最大值为( )
A．√3 B．3√32
C．9√34 D．√32
专题四 立体几何
第一讲 空间几何体的表面积与体积
微专题1 空间几何体的表面积和体积
保分题
1．解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则πr×2＝2π，可得r＝1，则h＝√22−r2＝√3，
因此，该圆锥的体积为V＝13πr2h＝13π×12×√3＝√33π.
答案：D
2．解析：设球的半径为r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，
圆柱的侧面积＝2πr·2r＝4πr2 ，球的表面积为4πr2 ，
其比例为1∶1.
答案：A
3．解析：该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为√2的正方形，
棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为2×13×√2×√2×1＝43.
答案：B
提分题
[例1] 解析：(1)由题可知平面A1B1ED与棱柱上、下底面分别交于A1B1，ED，
则A1B1∥ED，ED∥AB，
显然CDE - C1A1B1是三棱台，
设△ABC的面积为1，△CDE的面积为S，三棱柱的高为h，
∴12·1·h＝13h(1＋S＋√S)，
解得√S＝√3−12， 由△CDE∽△CAB，可得CDAC＝√S√1＝√3−12.
(2)如图，截面为△PAB，设C为AB中点，设OC＝x，x∈[0，√3)，
则AB＝2√3−x2，PC＝√x2+1，
则截面面积S＝12×2√3−x2×√x2+1＝√−(x2−1)2+4，
则当x2＝1时，截面面积取得最大值为2.
答案：(1)D (2)A
[巩固训练1]
1．解析：在图1中V水＝12×2×2×2＝4，
在图2中，V水＝VABC − A1B1C1− VC − A1B1C1＝12×2×2×h－13×12×2×2×h＝43h，
∴43h＝4，∴h＝3.
答案：A
2．解析：分别过A，B作圆柱的母线AE，BF，连接CE，DE，CF，DF，设圆柱的底面半径为r，
则三棱锥A - BCD的体积为两个全等四棱锥C - ABFE减去两个全等三棱锥A - CDE，
即2×13×r×2r×r－2×13×r×12×2r×r＝23r3＝18，则r＝3，圆柱的侧面积为2πr×r＝18π
答案：D 微专题2 与球有关的切、接问题
保分题
1．解析：设球的半径为R，则根据球的表面积公式和体积公式，
可得，4πR2＝43πR3×√3，化简得R＝√3.
答案：D
2．解析：正方形ABCD的对角线长√6+6＝2√3，
正四棱锥的高为 √(2√3)2−(2√32)2＝3，
设外接球的半径为R，则(3－R)2＋(2√32)2＝R2⇒R＝2，
所以外接球的体积为4π3×23＝32π3.
答案：B
3．解析：长方体外接球的直径为√12+(√2)2+32＝2√3，所以外接球半径为√3，所以球的体积为4π3×(√3)3＝4√3π.
答案：4√3π
提分题
[例2] 解析：(1)作出图象如图所示：
由已知得球心在几何体的外部，
设球心到几何体下底面的距离为x，
则R2＝x2＋(52)2＝(x＋1)2＋(√52)2，
解得x＝2，∴R2＝414，
∴该球体的体积V＝4π3×(√412)3＝41√41π6.
(2)因为△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝2，
所以△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1, 且AO1＝√2，
