第三讲 整式及认识三角形(精英班)

初一（预科）数学2023暑期培训教程第六讲三角形知识网络1.2.．三角形的分类三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形、钝角三角形统称为斜角形。

3.．一般三角形的性质(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。

(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。

4.怎样认识三角形的三个内角之间的关系？“三角形三个内角和等于180°”，是三角形中角与角之间的一个重要关系，利用这个关系可知①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角和，三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角；③一个三角形中最多只有一个直角或钝角．因此，三角形按角的大小分类可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，三角形三个内角之间的关系有着广泛的应用．在解决和三角形有关的问题时，内角和等于180°，是一个非常重要的等量关系，我们常利用它来得到和角有关的等式方程组，从而可把和三角形有关的几何问题转化为方程或方程组的代数问题来解决．5.三角形的角平分线、中线和高线有什么区别？三角形的角平分线、中线和高线都是三角形中的重要线段．每个三角形都有三条角平分线三条中线，它们之间的相同点：①都是线段；②都是从顶点画出；③都能交于一点．不同点：①角平分线平分内角，中线平分边，高垂直于边；②三角形的角平分线和中线都是在三角形的内部，直角三角形有两条高都在边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部，另外不等边三角形的中线、角平分线和高总条数共有9条；等腰三角形的这三种线段总条数为7条；等边三角形的这种三种线段的总数为3条．③与一般三角形有关的结论：三角形内角和定理（三角形三个内角和等于180°）．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形中位线定理（三角形的中位线平行于的三边，并且等于第三边的一半）．④与角的平分线有关的结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．三角形三条角平分线交于一点，这一点称为三角形的内心．三角形三边垂直平分线交于一点，这一点是三角形的外心．⑤与线段的垂直平分线有关的结论：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．主要知识点： 6.三角形的主要线段的性质(见下表)：名称基本性质 角平分线①三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边距离相等；②角平分线上任一点到角的两边距离相等。

2024北师大版数学七年级下册4.1.1《认识三角形—概念，内角和，分类》教案一. 教材分析《认识三角形—概念，内角和，分类》这一节内容是北师大版数学七年级下册的重要内容，旨在让学生了解三角形的定义，性质和分类，理解三角形内角和定理。

通过这一节的学习，为学生后续学习三角形的相关知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了多边形的概念，对多边形的性质有一定的了解。

但三角形作为一种特殊的图形，其性质和特点需要进一步引导学生去发现和理解。

同时，学生需要通过实例来加深对三角形分类的理解。

三. 教学目标1.了解三角形的定义和性质，能够正确识别三角形。

2.理解三角形内角和定理，并能运用其解决实际问题。

3.掌握三角形的分类方法，能够对三角形进行正确分类。

四. 教学重难点1.重点：三角形的定义，性质，内角和定理。

2.难点：三角形分类的理解和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生发现和解决问题，让学生主动探索三角形的性质。

同时，运用实例分析和小组讨论，加深学生对三角形分类的理解。

六. 教学准备1.教学PPT，内容包括三角形的定义，性质，内角和定理，分类等。

2.实例图片，用于分析三角形的性质和分类。

3.练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。

例如：“你们知道多边形有哪些性质吗？”然后，提出问题：“那么三角形作为多边形的一种，它有哪些特殊的性质呢？”2.呈现（15分钟）利用PPT呈现三角形的定义，性质，内角和定理。

通过PPT的动画效果，让学生直观地感受三角形的性质。

同时，展示实例图片，让学生更好地理解三角形的性质。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实例，分析其是否为三角形，并说明理由。

讨论结束后，各组汇报分析结果，教师点评并总结。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题和应用题，旨在巩固所学知识。

专题2.2认识三角形（拓展提高）一、单选题1．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5-2＜a＜5+2，即3＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为6+2+5=13．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，CD=3BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF 的面积的最大值是（）．A．10cm2B．9cm2C．8cm2D．7cm2【答案】B【分析】连接CF，设S△BFD=a，根据CD=3BD，点E是AC的中点，得出S△CFD=3a，S△ABF=S△CBF=4a，S△ABD=5a，即可得出S△ADC=15a，S△AFC=12a，S△ABC=20a，进而得出S四边形DCEF=9a，从而得出S四边形DCEF=920S△ABC，当△ABC的面积取最大值时，四边形DCEF的面积的最大，求得△ABC的面积的最大值，即可求得结果．【详解】解：连接CF，设S △BFD =a ，∵CD =3BD ，∴S △CFD =3a ，S △ADC =3S △ABD ，∵点E 是AC 的中点，∴S △ABE =S △CBE ，S △AFE =S △CFE ，∴S △ABF =S △CBF =4a ，∴S △ABD =5a ，∴S △ADC =15a ，∴S △AFC =12a ，S △ABC =20a ，∴S △EFC =6a ，∴S 四边形DCEF =9a ，∴S 四边形DCEF =920S △ABC ， ∵在△ABC 中，AB =5，AC =8，∴S △ABC 的最大值为：12×5×8=20，∴四边形DCEF 的面积的最大值是9(cm 2)，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等高的三角形面积的比等于它们底的比，得出S 四边形DCEF =920S △ABC 是解题的关键．3．如图，直线a ∥b ，在Rt △ABC 中，点C 在直线a 上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B 的度数为（ ）A ．56°B ．34°C ．36°D ．24°【答案】A 【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质求出∠A 即可解决问题． 【详解】解：如图，∵a ∥b ，∴∠1=∠3=58°，∵∠3=∠2+∠A ， ∴∠A =58°-24°=34°， ∵∠ACB =90°， ∴∠B =90°-34°=56°， 故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．4．如图，ABC 面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点1A ，1B ，1C ，使1A B AB =，1B C BC =，1C A CA =，顺次连接1A ，1B ，1C ，得到111A B C △，则111A B C △的面积是（ ）A ．4B ．7C ．10D ．13【答案】B 【分析】根据题意，连接A 1C ，得到11A BC ABC S S ∆∆==，则11122A B B A BC S S ∆∆==，然后同理可求112C B C S ∆=，12AAC S ∆=，即可得到答案． 【详解】解：连接A 1C ，如图∵AB =A 1B ，∴△ABC 与△A 1BC 的面积相等， ∵△ABC 面积为1， ∴11A BC S ∆=．∵BB 1=2BC ， ∴11122A B B A BC S S ∆∆==，同理可得，112C B C S ∆=，12AAC S ∆=， ∴11122217A B C S ∆=+++=； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线问题，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．5．如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，∠EBD ＝∠EDB ，DF 平分∠EDC ，则∠BDF 的度数为（ ）A ．35°B ．39°C ．40°D ．45°【答案】B 【分析】设,BDF x EBD y ∠=∠=，利用外角性质求出2AED y ∠=，利用角平分线性质得到EDF CDF x y ∠=∠=+，根据三角形内角和定理得到180A ADE AED ∠+∠+∠=︒，即可求出答案． 【详解】解：设,BDF x EBD y ∠=∠=，∵∠EBD ＝∠EDB ， ∴2AED y ∠=，∵DF 平分∠EDC ，∴EDF CDF x y ∠=∠=+， ∴180(22)ADE x y ∠=︒-+，∵180A ADE AED ∠+∠+∠=︒，∠A ＝78°， ∴78180(22)2180x y y ︒+︒-++=︒， 解得39x =︒， 故选：B ．【点睛】此题考查三角形内角和定理，角平分线的性质定理，外角的性质，读懂图形理解各角之间的位置关系是解题的关键．6．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F 在AC 上，其中90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，90EFD ∠=︒，45DEF ∠=︒，//AB DE ，则AFD ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒【答案】A 【分析】设AB 与EF 交于点M ，根据//AB DE ，得到45AMF E ∠=∠=︒，再根据三角形的内角和定理求出结果．【详解】解：设AB 与EF 交于点M ， ∵//AB DE ， ∴45AMF E ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒， ∴30A ∠=︒， ∴1803045105AFM ∠=︒-︒-︒=︒, ∵90EFD ∠=︒,∴AFD ∠=15︒， 故选：A ．． 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键． 二、填空题7．如图，在ABC 中，80A ∠=︒，30C ∠=︒，将CDE △沿DE 折叠得到C DE '，则12∠+∠等于__________________度．【答案】50°．【分析】连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求解．【详解】解：连接DG ，根据折叠的性质，得：30C C '==︒∠∠，()()()12180'180'180180301808050C ADG AGD C A ∠+∠=︒-∠-∠+∠=︒-∠-︒-∠=︒-︒-︒-︒=︒故答案为：50°．【点睛】本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是作出辅助线帮助求解，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图，在ABC 中，80A ∠=︒，高BE 和CH 的交点为O ，则∠BOC =______ 【答案】100︒【分析】由BE 、CF 是△AB C 的高可得90BHC AEB ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理可得∠ABE 的度数，进而可求出∠BOH 的度数，根据平角的定义即可得答案．【详解】∵BE 和CH 为ABC 的高， ∴90BHC AEB ∠=∠=︒， ∵80A ∠=︒，∴在ABE △中，180180908010ABE AEB A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，在BHO △中，180180901080BOH BHO HBO ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴180********BOC BOH ∠=︒-∠=︒-︒=︒． 故答案为：100︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180°，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．9．如图，△ABC 中，∠BDC ＝90°，BE 、CE 分别平分∠ABD 和∠ACD ，BF 、CF 分别平分∠ABE 和∠ACE ，若∠A ＝40°，则∠F ＝__°．【答案】52.5．【分析】利用三角形内角和、角平分线的性质求出∠FBC+∠FCB的度数，问题即可解决．【详解】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°，∵BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，∴∠FBD+∠FCD＝34×50°＝37.5°，∴∠FBC+∠FCB＝37.5°+90°＝127.5°，∴∠F＝180°﹣127.5°＝52.5°，故答案为52.5．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，关键是熟练掌握这些基本知识，这是基本的题型．10．如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝140°，则∠A＝__°．【答案】100【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．【详解】解：如图，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°﹣80°＝100°，故答案为：100【点睛】本题考查了角的平分线及三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线与三角形内角和定理是解题的关键．11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大小为____．【答案】35°【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的性质求得∠BAO的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OB，∠ABC＝90°，又∵∠AOB＝70°，∴∠BAO＝∠ABO＝12（180°﹣70°）＝55°，∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣55°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．12．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．请写出∠C、∠D、∠P的数量关系____________．【答案】2∠P＝∠D+∠C【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义得到12∠CAD+∠P＝12∠CBD+∠C，12∠CAD+∠D＝12∠CBD+∠P，两式相减整理即可．【详解】解：∵∠BF A＝∠P AC+∠P，∠BF A＝∠PBC+∠C，∴∠P AC+∠P＝∠PBC+∠C，∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，∴∠P AC=∠P AD＝12∠CAD，∠PBC=∠PBD＝12∠CBD，∴12∠CAD+∠P＝12∠CBD+∠C①，∵∠DEP＝∠P AD+∠D，∠DEP＝∠EBP+∠P，∴12∠CAD+∠D＝12∠CBD+∠P②，①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，整理得，2∠P＝∠D+∠C，故答案为：2∠P＝∠D+∠C．【点睛】本题考查角平分线定义，三角形外角性质，以及等式的性质，掌握角平分线定义，三角形外角性质，以及等式的性质是解题关键．13．如图，点O是ABCD的对称中心，点E为BC边的中点，点F为AD边上的点，且13DF AD．若12,S S 分别表示AOE △和CDF 的面积，则1S 与2S 之间的等量关系是______．【答案】1234S S = 【分析】根据三角形性质可得S 1=14ABC S ， S 2=13ADC S ，根据平行四边形性质可得 ABC ADC S S =，然后可以得到解答． 【详解】解：如图，连结OC ，则A 、O 、C 三点在同一直线上，∵O 是AC 中点，E 是BC 中点，∴S 1=11112224AEC ABC ABC S S S =⨯=，∵DF =13AD ， ∴S 2=13ADC S ， ∴S 1：S 2=113434=：， 即1234S S =， 故答案为1234S S =． 【点睛】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中线的性质及平行四边形的对称性是解题关键．14．下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少 10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A +∠B =50°+60°=110°， ∴∠ACB =180°-110°=70°， ∴∠DCE =70°， 如图，连接CF 并延长，∴∠DFM =∠D +∠DCF =20°+∠DCF ，∠EFM =∠E +∠ECF =30°+∠ECF ，∴∠EFD =∠DFM +∠EFM =20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD =110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由∠EFD =∠DFM +∠EFM =∠D +∠DCF +∠E +∠ECF =∠D +∠E +∠ECD =∠D +30°+70°=∠ D +100°，因此应将∠D 减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 三、解答题15．已知ABC 中，AD BC ⊥于点D ，AE 平分BAC ∠，过点A 作直线//GH BC ，且60GAB ∠=︒，40C ∠=︒．（1）求ABC 的外角CAF ∠的度数；（2）求DAE ∠的度数．【答案】（1）100°；（2）10°【分析】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE =40°，根据平行线的性质求出∠GAD =90°，结合图形计算，得到答案．【详解】解：（1）∵GH ∥BC ，∠C =40°，∴∠HAC =∠C =40°，∵∠F AH =∠GAB =60°，∴∠CAF =∠HAC +∠F AH =100°；（2）∵∠HAC =40°，∠GAB =60°， ∴∠BAC =80°，∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE =40°，∵GH ∥BC ，AD ⊥BC ， ∴∠GAD =90°， ∴∠BAD =90°-60°=30°，∴∠DAE =∠BAE -∠BAD =10°．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键．16．如图，ABC 中，80,30,BAC C BP ∠=︒∠=︒平分ABC ∠，点D 为射线BP 上一动点．（1）连接AD ，若//AD BC ，求ADB ∠的度数；（2）连接DC ，若DC 所在的直线垂直于ABC 的一边，则所有满足条件的BDC ∠的度数为__________．【答案】（1）35°；（2）125°或25°或55°【分析】（1）根据三角形内角和得到∠ABC ，根据角平分线的定义得到∠ABP ，再利用平行线的性质得到∠ADB ；（2）分1D C AB ⊥，2D C AC ⊥，3D C BC ⊥三种情况分别求解．【详解】解：（1）∵80BAC ∠=︒，30C ∠=︒， ∴70ABC ∠=︒，∵BP 平分ABC ∠， ∴35ABP CBP ∠=∠=︒， ∵//AD BC ， ∴35ADB CBP ∠=∠=︒．（2）①当1D C AB ⊥时，延长1CD 至E ，90BEC ∠=︒，135ABD ∠=︒， ∴11125BDC BEC ABD ∠=∠+∠=︒， ②当2D C AC ⊥时，223090120BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴221801803512025BD C CBP BCD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，③当3D C BC ⊥时，390BCD ∠=︒，35CBP ∠=︒， ∴33180180359055BD C CBP BCD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识，同时分类讨论解决问题．17．给出三个多项式26,2,2A x x B x C x =-+=-=+．（1）计算：A B -；（2）计算：()B C A B ⋅⋅-；（3）分别比较A 与B 、A 与C 的大小，并说明理由；（4）若22x -<<时，A 、B 、C 能否作为同一个三角形的三边长？请说明理由．【答案】（1）24x +；（2）416x -；（3）A B >；A C >，理由见解析；（4）不能；证明见解析【分析】（1）计算A -B ，去括号，合并同类项即可；（2）将A ，B ，C 代入，利用整式的混合运算法则计算即可；（3）分别计算A -B 和A -C ，根据结果比较即可；（4）计算B +C ，将A 利用完全平方公式变形，比较B +C 和A 的结果可得．【详解】解：（1）()262A B x x x -=-+--262x x x =-+-+24x =+；（2）()B C A B ⋅⋅-()()()2224x x x =-++()()2244x x =-+416x =-；（3）A 与B ，2440A B x -=+≥>， ∴A B >，A 与C ，()262A C x x x -=-+-+262x x x =-+--224x x =-+()213x =-+， ∵10x -≥， ∴30A C -≥>， 故A C >；（4）不能作为同一个三角形的三边长，∵224x x -++==B +C ，221232364244A x x x ⎛⎫=-+=-+≥> ⎪⎝⎭， ∴B C A +<，故A 、B 、C 不能同时作为同一个三角形的三边长．【点睛】本题考查了整式的混合运算，三角形的三边关系，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是掌握整式的大小比较方法的使用．18．如图，在ABC 中，90,BAC AD BC ∠=︒⊥于点,D AE 平分,50DAC B ∠∠=︒，求BAD ∠和AEC ∠的度数．【答案】∠BAD =40°，∠AEC =115°【分析】先由三角形内角和定理求出∠C 的度数，再由直角三角形的性质即可求出∠BAD 的度数；在△ADC 中，由∠ADC =90°，∠C =40°可得出∠DAC 的度数，再由角平分线的性质即可求出∠DAE 的度数，再由直角三角形的性质求出∠AED 的度数，由两角互补的性质即可得出∠AEC 的度数．【详解】解：在△ABC 中，∵∠BAC =90°，∠B =50°，∴∠C =90°-∠B =40°，∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =90°-∠B =40°；在△ADC 中，∵∠ADC =90°，∠C =40°，∴∠DAC =90°-∠C =50°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAE =12∠DAC =25°， 在△DAE 中，∵∠ADE =90°，∠DAE =25°，∴∠AED =90°-∠DAE =65°，∴∠AEC =180°-∠AED =180°-65°=115°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的性质及两角互补的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．19．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知90C ∠=︒，30A ∠=︒．（1）求12∠-∠的度数；（2）若保持A DE '的一边与BC 平行，求ADE ∠的度数．【答案】（1）60°；（2）45°或30°【分析】（1）先求出∠B 的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD 的度数，由∠BFD =∠A ′FE 和∠A ′的度数可求出答案．（2）分EA '∥BC 和DA '∥BC 两种情况讨论．当DA '∥BC 时，先求出∠A ′DA =90°，再根据折叠可得出∠ADE =45°；当EA '∥BC 时，根据平行线的性质求出∠2=∠ABC =60°，由（1）得出∠1=120°，再根据折叠可求出∠ADE 的度数．【详解】解：（1）由折叠可知，30A A '∠=∠=︒在A EF '△中，2180A A FE ''∠+∠+∠=︒2180150A AFE A FE ''∴∠=︒-∠-∠=︒-∠在ABC 中，18060B C A ∠=︒-∠-∠=︒在四边形BCDF 中，1360C B BFD ∠+∠+∠+∠=︒1360210C B BFD BFD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠ 因为BFD A FE '∠=∠1221015060∴∠-∠=︒-︒=︒（2）①当//DA BC '时，90ADA ACB '∠=∠=︒ ADE 沿DE 折叠A DE ' 1452ADE A DE ADA ''∴∠=∠=∠=︒②当//EA BC '时，260ABC ∠=∠=︒由（1）知，1260∠-∠=︒，1260120∴∠=∠+︒=︒，ADE 沿DE 折叠A DE '()11801302ADE A DE ADA ''∴∠=∠=∠=︒-∠=︒综上，∠ADE 的度数为：45°或30°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键．20．先阅读下面的内容，再解答问题．（阅读）例题：求多项式2222613m mn n n ++-+的最小值．解；()()2222222226132694()(3)4m mn n n m mn nn n m n n ++-+=+++-++=++-+，∵22()0,(3)0m n n +≥-≥ ∴多项式2222613m mn n n ++-+的最小值是4．（解答问题）（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是____________；（2）已知a 、b 、c 是ABC 的三边，且满足2210841a b a b +=+-，求第三边c 的取值范围； （3）求多项式2224369x xy y y -+--+的最大值． 【答案】（1）完全平方公式；（2）1＜c ＜9；（3）18【分析】（1）根据完全平方公式解答；（2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a 、b ，根据三角形的三边关系计算，得到答案；（3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：（1）例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式， 故答案为：完全平方公式；（2）a 2+b 2=10a +8b -41，a 2-10a +25+b 2-8b +16=0，（a -5）2+（b -4）2=0．∵（a -5）2≥0，（b -4）2≥0，∴a -5=0，b -4=0，∴a =5，b =4，∴5-4＜c ＜5+4，即1＜c ＜9；（3）原式=2222426918x xy y y y --+---+ =()()222226918x xy y y y ---++++ =()()222318x y y +---+∵-2（x -y ）2≤0，-（y +3）2≤0，∴多项式2224369x xy y y -+--+的最大值是18． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．。