七年级数学上册第4章图形的初步认识4.6角4.6.3余角和补角习题课件新版华东师大版

15．(阿凡题 1071763)如图，AOB是一条直线， ∠AOD＝∠BOD＝∠EOC＝90°，∠BOC∶∠AOE＝3∶1. (1)求∠COD的度数； (2)图中有哪几对角互为余角； (3)图中有哪几对角互为补角．
解：(1)∠COD＝22.5° (2)∠AOE和∠DOE，∠AOE和∠BOC，∠DOE和∠COD，∠COD和∠BOC (3)∠AOD和∠BOD，∠AOD和∠EOC，∠EOC和∠BOD，∠AOE和∠BOE， ∠COD和∠BOE，∠BOC和∠AOC，∠DOE和∠AOC
①90°－∠β；②∠α－90°；③12(∠α＋∠β)；④12(∠α－∠β)， 其中正确的有( B ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
10．设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α，则( D)
A．0°<α<90°
B．0°<α≤90°
C．0°<α<90°或0°<α<180° D．0°<α<180°
解：相等的角：∠AOC＝∠BOC＝∠EOF； ∠AOE＝∠FOC，∠BOF＝∠COE
8．如果∠1＝m°，而∠1 既有余角，又有补角，那么 m°的取值范围是( B )
A．90°<m°<180° B．0°<m°<90°
C．m°＝90°
D．m°＝180°
9．若∠α 和∠β 互补，且∠α>∠β，则下列表示∠β 的余角的式子：
5．若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是( ) C A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 6．如图，∠AOC>∠BOC，点O在直线AB上，OE平分∠AOC，OF平分 ∠BOC，则∠COF与∠AOE的关系是( B) A．相等 B．互余 C．互补 D．以上结论都不对

(2)∵OD 平分∠COE，OF 平分∠AOC，∴∠DOC＝12∠COE，∠DOF＝12 (∠AOC＋∠COE)＝90°，∵∠COD＝∠DOE，∴∠DOE＋∠COF＝90°，∴∠ COF 与∠DOE 是余角，又∵OF 平分∠AOC，∴∠AOF＝∠COF，∴∠DOE＋ ∠AOF＝90°，∴DOE 与∠AOF 互余
5．一个角的余角与补角互为补角，这个角是__4_5_°__；(2016 春·台
州校级月考)若∠α比 60°角的补角的14大 35°，则∠α的余角为__2_5_ °.
知识点2：余角和补角的性质 6．(202X春·射阳县校级月考)如图，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那 么∠1＝∠2，这是根据( C ) A．直角都相等 B．等角的余角相等 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等
第4章 图形的初步认识
4.6 角 4.6.3 余角和补角
知识点1：余角和补角的有关计算 1．如果α与β互为余角，则( D) A．α＋β＝180° B．α－β＝180° C．α－β＝90° D．α＋β＝90° 2．已知∠A＝65°，则∠A的补角等于( C) A．125° B．105° C．115° D．95° 3．(202X春·建湖县校级月考)如果一个角的度数为20°16′，那么它的 余角的度数为( D) A．159°44′ B．69°16′ C．70°54′ D．69°44′ 4．一个锐角的补角比它的余角( C ) A．大45° B．小90° C．大90° D．小45°
在上述折纸图形中，还有哪些角互余、互补？(各写两对)
解：由折纸实验知∠3＝∠1，∠2＝∠4，而点C，E，D在一条直线 上，根据平角的定义，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，所以∠1＋∠2 ＝90°，即∠FEC1与∠GED1互为余角

18．(导学号 40324205)设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为a，
则(
)D
A．0°＜a＜90°
B．0°＜a≤90°
C．0°＜a＜90°或90°＜a＜180°
D．0°＜a＜180°
19．(导学号 40324206)已知点O是直线AB上一点，∠COE＝90°， OF是∠AOE的平分线． (1)当点C、E、F在直线AB的同侧(如图1所示)时，试说明∠BOE＝ 2∠COF； (2)当点C与点E、F在直线AB的两旁(如图2所示)时，(1)中的结论是否 仍然成立？请给出你的结论并说明理由；
17．(导学号 40324204)如图1，将两块直角三角板的直角顶点C重合 在一起． (1)试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由； (2)若∠DCE＝30°，求∠ACB的度数； (3)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； (4)若改变其中一个三角板的位置，如图2，则第(3)小题的结论还成 立吗？(不需说明理由)
12．如图，点A在直线l上，BA⊥CA，∠1＝40°，则∠2的度数为
( C) A．70° B．60° C．50° D．40°
13．如图，将一副三角板的直角顶点重合平放，若∠AOD＝35°， 则∠BOC为( ) A A．35° B．45° C．55° D．65°
14．(导学号 40324203)如图，已知∠AOB与∠BOD互为余角，OC是 ∠BOD的角平分线，∠AOB＝29.66°，∠COD的度数是( C) A．30°17′ B．30°67′ C．30°10′12″ D．30°10′
解：(1)∠ACE＝∠BCD，理由如下：因为∠ACD＝∠BCE＝90°， ∠ACE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝90°，所以∠ACE＝∠BCD. (2)若∠DCE＝30°，∠ACD＝90°，则∠ACE＝∠ACD－∠DCE ＝ 90° － 30° ＝ 60° ， 因 为B＝90°＋60°＝150°. (3) 猜 想 ∠ ACB ＋ ∠ DCE ＝ 180°. 理 由 如 下 ： 因 为 ∠ ACD ＝ 90° ＝ ∠ECB，∠ACD＋∠ECB＋∠ACB＋∠DCE＝360°，所以∠ECD ＋∠ACB＝360°－(∠ACD＋∠ECB)＝360°－180°＝180°. (4)成立．

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天平两臂平衡，表示两边的物体质量相等；两臂不平衡，表示两边物体的质量不相等。让学生在天平平衡的直观情境中体会等式，符合学生的认知特点。例1在天平图下方呈现“=”，让学生用等式表达天平两边物体质量的相等关系，从中体会等式的含义。教材使用了“质量”这个词，是因为天平与其他的秤不同。习惯上秤计量物体有多重，天平计量物体的质量是多少。教学时不要把质量说成重量，但不必作过多的解释。 例2继续教学等式，教材的安排有三个特点： 第一，有些天平的两臂平衡，有些天平两臂不平衡。根据各个天平的状态，有时写出的是等式，有时写出的不是等式。学生在相等与不等的比较与感受中，能进一步体会等式的含义。第二，写出的四个式子里都含有未知数，有两个是含有未知数的等式。这便于学生初步感知方程，为教学方程的意义积累了具体的素材。第三，写四个式子时，对学生的要求由扶到放。圆圈里的关系符号都要学生填写，学生在选择“=”“＞”或“＜”时，能深刻体会符号两边相等与不相等的关系；符号两边的式子与数则逐渐放手让学生填写，这是因为他们以前没有写过含有未知数的等式与不等式。
4．如果∠α＋∠β＝90°，而∠β 与∠γ 互余，那么∠α 与∠γ 的关系为( C )
A．互余
B．互补
C．相等
D．不能确定
5．若∠1＋∠2＝90°，∠2 与∠3 互余，则∠1 与∠3 的关系为 相等 ，理
由是 同角的余角相等
．
6．若∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°，且∠1＝∠2，则可知∠3＝∠4， 其理由是根据 等角的补角相等 ．
2018年秋
数学 七年级 上册 • HS
第4章 图形的初步认识
4．6 角 4．6.3 余角和补角
余角、补角 1．两角的和等于 90°(直角) ，就说这两个角互为余角，简称互余 ．反 过来，若两个角互余，那么这两个角拼在一起就构成一个 直角 ． 2．如果两个角的和等于 180° ，就说这两个角互为补角，简称 互补 ．反 过来，若两个角互补，那么这两个角拼在一起就构成一个 平角 ．

类型之一 余角和补角的概念
23° ° 已知∠A＝67° ，则∠A的余角等于____ ，∠A的补角等于113 ____ ．
【点悟】 如果两个角的和等于90° ，那么这两个角互余；如果两个角的和等 于180° ，那么这两个角互补．
类型之二 判断余角或补角 如图，已知AOB是一条直线，∠AOC＝90° ，∠DOE＝90° ，问：图中 互余的角有哪几对？哪些角是相等的？
解：(1)如答图所示：
第9题答图 (2)∵∠AOB＝50° ，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝25° . 又∵∠AOB与∠BOD互余， ∴∠AOB＋∠BOD＝90° ， ∴∠BOD＝90° －50° ＝40° ， ∴∠COD＝∠COB＋∠BOD＝25° ＋40° ＝65° .
10．如图，已知OB的方向是南偏东60° ，OA、OC分别平分∠NOB和 ∠NOE. (1)请直接写出OA的方向和OC的方向； (2)求∠AOC的度数．
103°32′ 5．若∠α的补角为76°28′，则∠α＝______________ ．
分层作业
1．如图，∠AOB＝90° ，若∠1＝55° ，则∠2的度数是( A )
A.35°
B.40°
C.45°
D.60°
2．下列说法中，正确的有( B ) ①若∠1＋∠2＋∠3＝180° ，则∠1、∠2、∠3互为补角 ②只有锐角才有余角 ③已知一个角为α，这个角的补角可以表示为180° －α A.3个 C.1个 A.110° C.30° B.2个 D.0个 B.70° D.20°
8．如图，已知∠AOD和∠BOC都是直角，∠DOC＝62° ，求∠AOB的度 数．
解：因为∠BOC是直角，∠DOC＝62° ， 所以∠BOD＝∠BOC－∠DOC＝90° －62° ＝28° . 因为∠AOD是直角， 所以∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝118° .

180°－120°＝60°.
(2)因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠DOC＝
1 2
∠BOC＝
1 2
×70°＝
35°，∠AOE＝∠COE＝
1 2
∠AOC＝
1 2
×50°＝25°.∠DOE与∠AOB互补．理由：因为
∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝35°＋25°＝60°，所以∠DOE＋∠AOB＝60°＋120°＝
1 2
∠AOB
＝
1 2
×80°＝40°.
(3)由(1)易知，当∠BOC＝60°，其他条件不变时，∠MON＝
1 2
∠
AOB＝45°. (4)分析(1)(2)(3)的结果和(1)的解答过程可知：∠MON的大小总等于∠
AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小无关．
16
▪ (3)直接写出∠ACB与∠DCE的数量关系．
▪ 解：(1)∵∠DCE＝28°10′，∠ACD＝90°，∴∠ACE＝ ∠ACD－∠DCE＝90°－28°10′＝61°50′.∵∠BCE＝ 90°，∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝61°50′＋90°＝ 151°50′.
▪ (2)∵∠ACB＝148°21′，∠ECB＝90°，∴∠ACE＝
15
解：(1)因为OM平分∠AOC，所以∠MOC＝12∠AOC.又因为ON平分∠BOC以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝
1 2
∠AOC－
1 2
∠BOC＝
1 2
∠
AOB.因为∠AOM与∠MOB互余，所以∠AOB＝∠AOM＋∠MOB＝90°，所以∠
MON＝45°.
(2)由(1)易知，当∠AOB＝80°，其他条件不变时，∠MON＝
D．125°
5

【综合运用】 26．(10分)如图①所示，∠AOB，∠COD都是直角． (1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等，互余，还是互补的关系， 并用推理的方法说明你的猜想是合理的； (2)当∠COD绕着点O旋转到图②所示位置时， 你在(1)中的猜想还成立吗？请证明你的结论．
11．(3分)若一个锐角和它的余角相等，则它的补角为( C) A．75° B．120° C．135° D．150°
12．(3分)已知∠α与∠β互为余角，∠α＝30°30′，则∠β的补角是( ) B A．119°30′ B．120°30′ C．121°30′ D．149°30′
13．(3分)若一个角的余角为36°，则这个角的补角为1_2_6_°_.
16．如图，已知点O是直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠EOD＝90°， 那么图中互余的角共有( D) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
17．一个角的余角与它的补角也互为补角，这个角是( )B A．60° B．45° C．90° D．75°
18．若∠α和∠β互为余角，则∠α的补角与∠β的补角之和是( ) C A．90° B．180° C．270° D．不能确定
∠AOB＝90°，作射线OC，则∠AOC与∠BOC互为余角．其中正确的有( ) AA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．(2分)如果两个角互补，那么这两个角( D) A．均为钝角 B．均为锐角 C．一个为锐角，另一个为钝角 D．均为直角，或一个为锐角，另一个为钝角 6．(3分)下列语句中正确的是( C) A．∠α的补角可以表示为90°－∠α B．互补的两个角必定一个是锐角，一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果∠A＝20°，∠B＝70°，∠C＝90°， 那么∠A，∠B，∠C互为补角

3.(2012·南通中考)已知∠a=32°，则∠a的补角为( )
A.58°
B.68°
C.148°
D.168°
【解析】选C.根据互为补角的两角的和等于180°，
因为∠a=32°，所以∠a的补角为180°-32°=148°.
4.(2012·长沙中考)下列四个角中，最有可能与70°角互补的 是( )
【解析】选D.70°角的补角=180°-70°=110°，是钝角， 结合各选项，只有D选项是钝角，所以，最有可能与70°角互补 的是D选项的角.
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二、余角和补角的性质 如图：已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，则∠2 与∠4有什么关系？
因为∠1与∠2互补，所以∠2= _1_8_0_°__-∠1， ∠3与∠4互补，所以∠4= _1_8_0_°__-∠3， 而∠1=∠3，所以∠2_=_∠4. 同理可得，∠2和∠4的余角也相等.
【总结】(1)等角的补角_相__等__. (2)等角的余角_相__等__.
7.一个角的余角和它的补角之比是3∶7，求这个角的度数. 【解析】设余角为3x°,补角为7x°, 由题意得7x-3x=90,4x=90,x=22.5. 所以这个角为90°-3x°=90°-67.5°=22.5°. 答：这个角的度数为22.5°.
8.已知一个角的余角比这个角的补角的 1 小12°，求这个角的
题组：余角和补角
1.已知∠α=35°，则∠α的余角是( )
A.35°
B.55°
C.65°
D.145°
【解析】选B.由互为余角的两个角的和为90°，可得∠列图形中，∠1和∠2互为余角的是( )
【解析】选D.由题意知，选项A中∠1与∠2既不互补也不互余， 选项B中∠1和∠2互补，选项C中∠1和∠2相等，选项D中∠1和 ∠2互余.