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《125因式分解》同步教学课件(17张PPT)(共17张PPT)

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125 因式分解-2021-2022学年八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)

125 因式分解-2021-2022学年八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)

12.5因式分解基础知识1、（1）因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

（2）因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式（单项式或多项式），因式分解的结果是乘积式（“单乘多”或“多乘多”）。

2、（1）公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。

（2）确定公因式的方法：公因式的系数应取各项系数的绝对值的最大公约数；字母取各项都有的相同字母，其指数取次数最低的。

3、（1）提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式。

如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

4、运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（1）平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：22ba-=(a+b)(a-b)。

具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式：①系数是完全平方数；②字母指数是偶数；③两项符号相反(即两项一正号一负号)。

用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么。

（2）完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

字母表达式：a2±2ab+b2=（a±b）2。

具备什么特征的三项式能用完全平方公式分解因式：①它是一个三项式；②其中有两项是某两数的平方和（这两项同号）；③另一项是这两数积的正二倍或负二倍；④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方。

125因式分解PPT教学课件

125因式分解PPT教学课件
(－ 1) ×(－ 6)，所以p有四种情况。
(1)p=2+3=5
(2)p=(－ 2)+(－ 3)=－5
(3)p=1+6=7
(4)p=(－ 1)+(－ 6)=－7
∴p=±5，±7
第13页/共27页
例2、分解因式 a2b2 4ab 5 解：原式 (ab)2 4ab 5
(ab)2 (5 1)ab (5) 1 (ab 5)(ab 1) 练习： (1) (a b)2 4(a b) 3 (2) m2 10mn 9n2 (3) x4 6x2 8 (4) x4 11x2 28
第14页/共27页
下列因式该如何分解
x2 15x 16 x4 3x3 28x2 3a2 x2 15a2 xy 42a2 y2
第15页/共27页
小结：1、形如 x2 px q 的二次三项式 如 a b ab
则可分解为 (x a)(x b)
2、无论用什么方法因式分解，共同 的要求都是要分解到最简为原则。
第3页/共27页
公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，
称之为公因式(common factor)。
提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积
的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式分
(x 4)(x 6) x2 2x 24
(－2)+(－3) (－2)×(－3)
(x 2)(x 3) x2 5x 6
第10页/共27页
特点： (1) 所给因式是二次项系数为1的二次三项式 (2)常数项可分解成两个整数的乘积的形 式，并且这两个整数的和恰好等于一 次项的系数。

华东师大版八年级上册 12.5.8 因式分解的应用 课件(共30张PPT)

华东师大版八年级上册 12.5.8 因式分解的应用 课件(共30张PPT)
因式分解的应用
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备 各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)

[神奇的数学课]12.5《因式分解》课件(共14张PPT)

[神奇的数学课]12.5《因式分解》课件(共14张PPT)
解：（1） (a+b+c)2-(a-b+c)2 = [(a+b+c)+(a-b+c)] [(a+b+c)-(a-b+c)] = (2a+2c)2b = 4b(a+c)
（2）16(a-b)2-9(a+b)2
= [4(a-b)]2 - [3(a+b)] 2
= [(4a-4b)+(3a+3b)] [(4a-4b)-(3a+3b)] = (4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b) = (7a-b)(a-7b)
（3）169x2-121(x-2y)2 = (13x)2+[11(x-2y)] 2 = [13x+11(x-2y)] [13x-11(x-2y)] = (13x+11x-22y)(13x-11x+22y) = (24x-22y)(2x+22y) = 2(12x-11y)2(x+11y) = 4(12x-11y)(x+11y)
二、运用公式法：
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式 反过来就是把多项式分解因式.于是有： a²-b²=(a+b)(a-b) a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解
因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
三、利用平方差公式因式分解：
（3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)

因式分解法ppt课件

因式分解法ppt课件

(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一

125因式分解-提公因式法

125因式分解-提公因式法

例3、把(b+c)2-3a(b+c)分解因式.
解：(b+c)2-3a(b+c) =(b+c ) (b+c-3a)
公因式不仅 是单项式， 也可以是多
项式。
练习3：把 2(a-3)+a(3-a)分解因式.
解： 2(a-3)+a(3-a)
= 2(a-3)-a(a-3)
= (a-3)(2-a)
把下列各式因式分解：
解：原式= -(28x3+14x2-+77xx))
= -7x(4x2+2x-1)
口诀：提负号，要变号。
友情提醒：
若多项式的 第一项是负 号，通常要 先提出“-” 号,且括号里
的各项变??号
要.
友情提醒: 提公因式 要提尽！
练习2、把-6ax2+9axy-3a分解因式
解：（1）原式=- (6ax2-9axy+3a) =-3a(2x²-3xy+1)
项数要跟原式一致
第一步：找公因式； 第二步：提公因式；
填空题：
(1)分解因式ax+ay=__a_（__x_+_y_）___
(2)分解因式xy2-x2y=__x_y_（__y_-_x_）__ (3)把3x2-6xy+x分解因式．
解：3x²-6xy+x =x(3x-6y+1)
某项提出 莫漏1．
例2：把-28x3-14x2+7x分解因式
可以看出因式分解和整式乘法是两个相反 方向的变形。
因式分解
ma mb mc
m(a b c)
整式乘法
1、下列由左边到右边的变形中，哪些是 分解因式，哪些不是？

2021年秋华师大八年级上册 12.5.3因式分解(复习)课件ppt

(5)x 2 4 12 y 9 y 2 (6)a 2 a b2 b
课件在线
8
6、因式分解综合：
（1）18a2－50
（2）2x2y)
（4）a4－16
（5）81x4－72x2y2＋16y4
（6）(a2＋b2)2－4a2b2
（7） (x y)2 2(x y) 1
（5）已知 x2 2x y2 10 y 26 0 ，
求（1）x+2y的平方根（2）2y+2x的立方根
课件在线
12
9、若a、b、c为△ABC的三边，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状。
课件在线
13
一提：提公因式a2±2ab+b2=(a±b)2
二用：运用公式
三查：检查因式分解的结果是否正确
（彻底课件性在）线
3
1、提公因式法因式分解：
（1）3mx-6my （2）x2y+xy2 （3）12a2b3－8a3b2－16ab4 （4）3x2-6xy+x
(5)-24x3 –12x2 +28x (6)2a(y-z)-3b(z-y)
（4）9.92－9.9×0.2＋0.01
课件在线
11
1
8、（1）已知x2－y2=－1 ， x+y= ，求x－y的值。
2 （2）已知：4m+n=90，2m－3n=10， 求(m+2n)2－(3m－n)2的值。
（3）已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值。
（4）已知a＋b=5，ab=3， 求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值。
（8）a4－2a2b2＋b4
（9）－2xy－x2－y2

因式分解ppt课件


方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.

秋八年级数学华师大版上册课件：12.5 因式分解(共26张PPT)

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•பைடு நூலகம்
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月15日星期三2021/9/152021/9/152021/9/15 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/152021/9/15September 15, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/15
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 2:09:32 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/152021/9/152021/9/15Sep-2115-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/152021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021

因式分解ppt

因式分解什么是因式分解？在代数学中，因式分解是指将一个多项式表达式写成两个或多个乘积的形式。

通过因式分解，我们可以简化复杂的多项式，更好地理解和计算。

为什么要进行因式分解？因式分解有很多实际应用，尤其在代数学和求解方程问题中非常重要。

以下是因式分解的几个重要作用：1.简化计算：通过将多项式进行因式分解，我们可以将复杂的计算简化为一系列简单的乘法运算。

2.找到根：通过因式分解，我们可以将多项式等式转化为相等的乘法形式，从而更轻松地找到方程的解。

3.转化问题：将多项式进行因式分解，可以让问题转化为更容易解决的形式。

因式分解的基本方法公因式提取法公因式提取法是最常用的因式分解方法，它基于以下原则：如果一个多项式的每一项都有相同的因子，则可以将这个因子提取出来。

下面是一些例子来解释这个方法。

例子1：将多项式2x^2 + 4x进行因式分解。

首先观察多项式的每一项，我们发现每一项都有2x这个因子，因此我们可以将2x提取出来：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)我们得到了因式分解的结果。

例子2：将多项式6a^3b^2 + 9ab^2进行因式分解。

观察多项式的每一项，我们发现每一项都有3ab^2这个因子，因此我们可以将3ab^2提取出来：6a^3b^2 + 9ab^2 = 3ab^2(2a^2 + 3)我们得到了因式分解的结果。

分组法分组法是另一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在四项及以上的情况。

下面是一个例子来解释这个方法。

例子3：将多项式x^3 + x^2 + x + 1进行因式分解。

这个多项式有四项，我们可以将其分为两组：(x^3 + x^2) + (x + 1)在每一组中，我们可以提取因子x^2和1：x^2(x + 1) + 1(x + 1)现在，我们可以再次提取公因子(x + 1)：(x + 1)(x^2 + 1)我们得到了因式分解的结果。

公式法公式法适用于特定的多项式形式，包括差平方和、和平方差、二次三项完全平方等。

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公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些 多项式分解因式，这种分解因式的方法，叫 做公式法。
因式分解（公式法）
两数的和乘以它们的差
a b (a b)(a b)
2 2
两数和的平方
a 2ab 看谁算得快。
把下列各式因式分解
① 9x 4 y
反过来： （1） ma+mb+mc= m（a+ b+c）；
（2） 25a2–b2 =（5a + b）（5a–b）；
（3） a2+2ab+b2=（a + b）2
练习：1、当a=101，b=99时，求a2-b2的值。 2、分解下列三个数的质因数 （1）42； （2）56；（3）11。
你会 吗?
因式分解的概念
3a( x2 2 xy y 2 ) 3a( x y)2
② 9a 2 4b(3a b)
9a 12ab 4b (3a 2b)
2 2 2
考考你的基本功
因式分解
x y
4
4
如果想再一次利用两数和乘以它们的 差的公式，则x,y的指数分别为多少？
x4 y 4 ( x y )( x y )
②m
2
m n 0 ______ .25n = (m 0.5n)
2
2
x 9 y (3 y x) （ 3 y x ）
2 2
④
4 x) (2 x 1) 4 x 1 (______=
2
2
下面的题综合利用了因式分解的两 种方法，你会做吗？
2 2 3 ax 6 axy 3 ay ①
2 2
(3x 2 y)(3x 2 y)
2
② 9x 12xy 4 y
2
(3x 2 y)
2
小游戏
__ x ___ xy __ y
2
2
游戏规则：一名同学说出两边的两个平方 数，另一个同学迅速说出中间的数字。
本节所学知识你掌握了吗，练一 练就知道了，思考后认真填写。 1 1 1 2 （ x ）（ x ） ① x 2 2 4
因式分解
x y ?
2 2
学习六步曲
学习目标 复习回顾 探究新知 例题讲解 巩固练习
课堂小结
学习目标
1、了解因式分解的概念及它与整式的区别 与联系。
2、了解因式分解的三种方法，并能灵活选择适当的 方法进行因式分解。
回顾与思考
填空题： （1 ） m （a ＋b ＋c ）= （2）（5a＋b）（5a－b）= （3）（a＋b）2 =
2 2 2 2
( x 2 y 2 )( x y )( x y )
问题一：学校操场边有一块面积为 9 x 2 6 x 1
正方形空地，则这块空地的边长为多少米？
2 2 9 x 6 x 1 (3 x 1)
问题二：把一个边长a=6.6厘米的正方形零件 的四角均切去一个边长b=1.7厘米的小正方 形，则剩余面积是多少？
a b (a b)(a b)
2 2
思考题：把这样的式子分解因式很 有挑战性吧，不服输的就动起来吧。
a 2ab b c
2 2
2
x 4x 3
2
x y ax ay
2 2
课堂小结
你 来 总 结
本题课你有 什么收获或 感想？你还 有什么疑问？
一个多项式→几个整式的积→因式分解 要注意的问题： （1）因式分解是对多项式而言的一种变形； （2）因式分解的结果仍是整式； （3）因式分解的结果必是一个积； （4）因式分解与整式乘法正好相反。
公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的 因式，称之为公因式(common factor)。
提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把 这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积 的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c)