离散数学必备知识点总结知识分享

总结 离散数学知识点 第二章 命题逻辑 1. 前键为真，后键为假才为假； ＜—＞，相同为真，不同为假； 2•主析取范式：极小项（m）之和；主合取范式：极大项（M）之积； 3. 求极小项时，命题变元的肯定为 1 ，否定为 0，求极大项时相反； 4. 求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项 时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5. 求范式时，为保证编码不错， 命题变元最好按 P,Q,R 的顺序依次写； 6. 真值表中值为 1 的项为极小项，值为 0 的项为极大项； 7. n个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为（0~2n-1）刚好为化简完 后的主析取加主合取； 8. 永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9. 推证蕴含式的方法 （=＞）：真值表法； 分析法（假定前键为真推出后键 为真，假定前键为假推出后键也为假 ） 10. 命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ① 真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；

第三章 谓词逻辑 1. 一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有 n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2. 全称量词用蕴含存在量词用合取“； 3. 既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；

第四章 集合 1. N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0; 2. 基：集合 A 中不同元素的个数， |A|； 3. 幕集：给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A); 4. 若集合A有n个元素，幕集P(A)有艺个元素，|P(A)|= 2|A|=2n ； 5. 集合的分划：(等价关系) ① 每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合; ② 这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6. 集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；

第五章 关系 1. 若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔AXB的基数 为mn , A到B上可以定义2mn种不同的关系； 2 2. 若集合A有n个元素，则|A X\|= n2, A上有2n个不同的关系；

3. 全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4. 前域（domR）:所有元素x组成的集合； 后域（ranR）：所有元素y组成的集合； 5. 自反闭包: r（R）=RU Ix; 对称闭包： s（R）=RU R-1 ; 传递闭包：t（R）=RU R2U R3 U…… 6. 等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性， 则R称为等价关系； 7. 偏序关系：集合 A 上的关系 R 满足自反性，反对称性和传递性， 则称 R 是 A 上的一个偏序关系； 8. covA={|x,y 属于 A， y 盖住 x}； 9. 极小元：集合 A 中没有比它更小的元素 （若存在可能不唯一 ）； 极大元：集合 A 中没有比它更大的元素 （若存在可能不唯一 ）； 最小元：比集合 A 中任何其他元素都小 （若存在就一定唯一 ）； 最大元：比集合 A 中任何其他元素都大 （若存在就一定唯一 ）； 10. 前提：B是A的子集 上界： A 中的某个元素比 B 中任意元素都大，称这个元素是 B 的 上界 （若存在，可能不唯一 ）； 下界： A 中的某个元素比 B 中任意元素都小，称这个元素是 B 的 下界 （若存在，可能不唯一 ）； 上确界：最小的上界 （若存在就一定唯一 ）； 下确界：最大的下界 （若存在就一定唯一 ）； 第六章 函数

1. 若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有2mn种不同的关系，有nm种不同的函数； 2 2. 在一个有n个元素的集合上，可以有2n种不同的关系，有nn种不 同的

函数，有n!种不同的双射； 3. 若|X|=m,|Y|=n，且m＜二n，则从X到Y有A：种不同的单射； 4. 单射：f:X-Y，对任意洛心属于X,且xi #x2，若f(xj#(X2); 满射：f:X-Y,对值域中任意一个元素 y在前域中都有一个或多个 元素对应； 双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射； 5. 复合函数：fog=g(f(x)); 6. 设函数f:A-B , g:B-C，那么 ① 如果 f,g 都是单射，则 fog 也是单射； ② 如果 f,g 都是满射，则 fog 也是满射； ③ 如果 f,g 都是双射，则 fog 也是双射； ④ 如果 fog 是双射，则 f 是单射， g 是满射；

第七章 代数系统 1. 二元运算：集合A上的二元运算就是A2到A的映射； 2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从 AXA到A上的映射的个数, 即从从AXA到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的 个数为 22* 2 = 24 =16 种；

3. 判断二元运算的性质方法： ① 封闭性：运算表内只有所给元素； ② 交换律：主对角线两边元素对称相等； ③ 幕等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同； ④ 有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同； ⑤ 有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同； 4. 同态映射：,vB,心，满足 f(a*b)二f(aFf(b),则 f 为由 到

的同态映射；若f是双射，则称为同构；

第八章 群 1. 广群的性质：封闭性； 半群的性质：封闭性，结合律； 含幺半群 (独异点)：封闭性，结合律，有幺元； 群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元； 2. 群没有零元； 3 .阿贝尔群 (交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律； 4. 循环群中幺元不能是生成元； 5. 任何一个循环群必定是阿贝尔群； 第十章 格与布尔代数 1. 格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界; 2. 格的基本性质： 1) 自反性 a< a 对偶：a > a 2) 反对称性 a< b 八 b > a => a=b 对偶:a>b 八 b a=b 3) 传递性 a< b 八 b < c => a< c 对偶:a>b 八 b >c => a>c 4) 最大下界描述之一 aAb < a 对偶 avb > a AAb < b 对偶 avb > b 5) 最大下界描述之二 c< a,c < b => c < aAb 对偶c>a,c 》b => c》avb 6) 结合律 aA(bAc)=(aAbFc 对偶 av(bvc)=(avb)vc 7) 等幕律 aAa=a 对偶 ava=a 8)吸收律 aA(avb)=a 对偶 av(aAb)二a

9) a < b <=> aAb=a avb=b 10) a< c,b < d => aAb < cAd avb < cvd 11) 保序性 b< c => aAb < aAc avb < avc 12) 分配不等式 av(bAc) < (avb)八(avc) 对偶 aA(bvc) > (aAb)v(aAc) 13 )模不等式 a < c <=> av(bAc) < (avb^c

3. 分配格：满足 aA(bvc)=(aAb)v(aAc)和 av(bAc)=(avb)A(avc); 4. 分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构； 5. 链格一定是分配格，分配格必定是模格； 6. 全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则 称a为格的全上界，记为1 ；(若存在则唯一) 全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素， 则称b为格的全下界，记为0;(若存在则唯一) 7. 有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有 0和1的格； 8. 补元：在有界格内，如果 aAb=0,avb=1 ，则a和b互为补元； 9. 有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元； 10. 有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格； 11. 布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；

第十一章 图论 1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接； 2. 关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联； 3. 平凡图：只有一个孤立点构成的图； 4. 简单图：不含平行边和环的图； 5. 无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图； 有向完全图 :n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图； 6. 无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边； 7. r-正则图：每个节点度数均为r的图； 8 .握手定理：节点度数的总和等于边的两倍； 9. 任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个； 10. 任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和； 11. 每个节点的度数至少为 2 的图必定包含一条回路； 12. 可达：对于图中的两个节点v,Vj，若存在连接v到Vj的路，则称v 与V

j

相互可达，也称Vi与Vj是连通的；在有向图中，若存在 V到Vj的 路，则

称Vi 到 Vj可达； 13. 强连通：有向图章任意两节点相互可达；