空间两点间的距离公式
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数学北师大版高中必修2空间两点间的距离公式
欢迎光临指导!
课前热身
y P2(x2, y2)
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
x 恭喜你 答对了
2 2
O
平面： | PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
公 式 推 导
例 题 讲 解
练 习
小 结
作 业
公式猜想
平面两点：P1(x1,y1)， P2(x2,y2)
2 2 平面： | PP | ( x x ) ( y y ) 1 2 1 2 1 2
类比
猜想
空间两点：P1(x1,y1,z1)， P2(x2,y2,z2)
2 2 2 空间： | PP | ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 1 2 1 2 1 2
？
ห้องสมุดไป่ตู้
长方体的对角线计算公式
空间任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)
作长方体,使P1、P2为其对角线的顶点 由已知得：C(x2,y1,z1),B(x2,y2 ,z1)
答案： | AB | (1 1) 2 (2 1) 2 (3 1) 2 3 | BC | (0 1) 2 (0 1) 2 (5 1) 2 3 2 | AC | (1 0) 2 (2 0) 2 (3 5) 2 3 2 2 2 因为| AB || AC |，且 | AB | | AC | | BC | ，
• （6）与M点关于yoz平面对称的点 为(-x,y,z)
• （7）与M点关于xoz平面对称的点 为(x,-y,z)
课堂小结
1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用. 3、建立适当的空间直角坐标系，综合利 用两点间的距离公式.
课前热身
y P2(x2, y2)
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
x 恭喜你 答对了
2 2
O
平面： | PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
公 式 推 导
例 题 讲 解
练 习
小 结
作 业
公式猜想
平面两点：P1(x1,y1)， P2(x2,y2)
2 2 平面： | PP | ( x x ) ( y y ) 1 2 1 2 1 2
类比
猜想
空间两点：P1(x1,y1,z1)， P2(x2,y2,z2)
2 2 2 空间： | PP | ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 1 2 1 2 1 2
？
ห้องสมุดไป่ตู้
长方体的对角线计算公式
空间任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)
作长方体,使P1、P2为其对角线的顶点 由已知得：C(x2,y1,z1),B(x2,y2 ,z1)
答案： | AB | (1 1) 2 (2 1) 2 (3 1) 2 3 | BC | (0 1) 2 (0 1) 2 (5 1) 2 3 2 | AC | (1 0) 2 (2 0) 2 (3 5) 2 3 2 2 2 因为| AB || AC |，且 | AB | | AC | | BC | ，
• （6）与M点关于yoz平面对称的点 为(-x,y,z)
• （7）与M点关于xoz平面对称的点 为(x,-y,z)
课堂小结
1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用. 3、建立适当的空间直角坐标系，综合利 用两点间的距离公式.
第20课：空间两点间距离
本 课 时 栏 目 开 关
于是，MN＝
小结
5 a. 3
在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适
当的空间直角坐标系，正确写出相关点的坐标．
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.3.2
跟踪训练 3 在 yOz 平面上求与三个已知点 A(3,1,2)， B(4， －2， －2)，C (0,5,1)等距离的点的坐标．
2.3.2
探究点二 导引
空间两点间的距离公式
在空间中，设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，在 xOy
平面上的射影分别为 M、N.
本 课 时 栏 目 开 关
问题 1
M，N 的坐标是什么？点 M、N 之间的距离如何？
答 M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；
MN＝ x1－x22＋y1－y22.
本 课 时 栏 目 开 关
＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.3.2
问题 5 连结平面上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)的线段 AB 的 x1＋x2 y1＋y2 中点 M 的坐标为 ，那么，已知空间中两点 ， 2 2 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段 AB 的中点 M 的坐标是 什么呢？
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.3.2
问题 4 若直线 P1P2 是 xOy 平面的一条斜线，则点 P1、P2 的距离如何计算？
答 在 Rt△P1HP2 中，根据勾股定理，
得 P1P2＝ P1H2＋HP2 2 ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
小结 空间中点 P1(x1， y1， z1)， P2(x2， y2， z2)之间的距离 P1P2
4.3.2空间两点间的距离公式
x2 y2 z2
解:Q
x
1
x2 z2 10
17
x 1
, 解得
z
3
0
,
y
7 0
点P坐标为(1, 7, 3)或(-1, 7 , 3)。
谢谢！
uuur uuur uuur uuur
AB CB 7, AB CB 6 2 2 (3) 3 6 0,
uuur uuur AB CB,故为等腰Rt。
例 3、如图，正方体 A1 C 的棱长为 3，M BC1 ，N AC ，z
AN =2 CN ， BM =2 C1M ，求 MN 。
AB AB (xB xA )2 ( yB yA )2
3.空间直角坐标系O-xyz下，P1(x1, y1, z1), P2 (x2 , y2 , z2 ) 两点间距离公式又如何呢？
知识探究（一）:点 P（x，y，z）与坐标原 点O的距离公式是怎么样的？
z
O
P
y
x
M
| OP |= x 2 + y 2 + z 2
建立适当的空间直角坐标系，用空间直角坐标法求 D1E 。
z
D1
解:建立如图所示的空间直角坐标系，A1
则D1(0, 0, 2)、E(2, 4,1),
D
C1
B1
·E C
yy
D1E 4 16 1 21。
xA
B
4、若点 P(x, y, z) 到原点距离为 17 ，到平面 yOz 的距离为 1，到 y 轴的距离为 10 ， 求 P 点的坐标(设 y>0，z>0)。
两点之间的距离计算公式
两点之间的距离计算公式1. 欧氏距离（Euclidean Distance）：欧氏距离是最常见的两点之间的距离计算方法。
对于二维平面上的两点P(p1,p2)和Q(q1,q2)，欧氏距离可以通过以下公式计算：D(P,Q)=√((p1-q1)^2+(p2-q2)^2)对于三维空间上的两点P(p1,p2,p3)和Q(q1,q2,q3)，欧氏距离可以通过以下公式计算：D(P,Q)=√((p1-q1)^2+(p2-q2)^2+(p3-q3)^2)2. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：曼哈顿距离是在城市街区中的两点之间的距离，也称为城市街区距离或L1距离。
对于二维平面上的两点P(p1,p2)和Q(q1,q2)，曼哈顿距离可以通过以下公式计算：D(P,Q)=，p1-q1，+，p2-q2对于三维空间上的两点P(p1,p2,p3)和Q(q1,q2,q3)，曼哈顿距离可以通过以下公式计算：D(P,Q)=，p1-q1，+，p2-q2，+，p3-q33. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）：切比雪夫距离是指在棋盘格或围棋中的两点之间的距离，也称为L∞距离。
对于二维平面上的两点P(p1,p2)和Q(q1,q2)，切比雪夫距离可以通过以下公式计算：D(P, Q) = max(，p1-q1，, ，p2-q2，)对于三维空间上的两点P(p1,p2,p3)和Q(q1,q2,q3)，切比雪夫距离可以通过以下公式计算：D(P, Q) = max(，p1-q1，, ，p2-q2，, ，p3-q3，)4. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）：闵可夫斯基距离是包含欧氏距离和曼哈顿距离的一个更一般化的距离计算方法。
对于二维平面上的两点P(p1,p2)和Q(q1,q2)，闵可夫斯基距离可以通过以下公式计算：D(P,Q)=(∑(，p_i-q_i，^r))^(1/r)，其中i是坐标轴的索引当r=2时，闵可夫斯基距离等效于欧氏距离；当r=1时，闵可夫斯基距离等效于曼哈顿距离；当r→∞时，闵可夫斯基距离等效于切比雪夫距离。
两点间的距离公式
两点间的距离公式在数学中，我们经常需要计算两点之间的距离，无论是在平面上还是在空间中。
为了解决这个问题，数学家们提出了几种距离公式，其中最常用的是欧几里得距离公式和曼哈顿距离公式。
1. 欧几里得距离公式欧几里得距离是计算两点之间最短直线距离的方法，也称为直线距离或欧几里得度量。
它可以用于平面上的任意两点计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的欧几里得距离可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，`√`表示开平方根，`(x2 - x1)²`表示横坐标之差的平方，`(y2 - y1)²`表示纵坐标之差的平方。
利用这个公式，我们可以轻松计算出平面上任意两点之间的距离。
例如，假设有点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以使用欧几里得距离公式计算出它们之间的距离：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
2. 曼哈顿距离公式曼哈顿距离是计算两点之间沿着网格（或坐标轴）移动的最短距离的方法，也称为城市街区距离。
它可以被看作是沿着曼哈顿街道行走的距离。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的曼哈顿距离可以表示为：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|其中，`|x2 - x1|`表示横坐标之差的绝对值，`|y2 - y1|`表示纵坐标之差的绝对值。
通过这个公式，我们可以简单地计算平面上任意两点之间的曼哈顿距离。
例如，假设有点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以使用曼哈顿距离公式计算它们之间的距离：d = |5 - 2| + |7 - 3|= |3| + |4|= 3 + 4= 7因此，点A和点B之间的距离为7个单位。
综上所述，欧几里得距离和曼哈顿距离是计算两点之间距离的常用公式。
高中数学课件空间两点间的距离公式
高中数学课件空间两点间 的距离公式
在本课件中，我们将介绍空间中两点间的距离公式，从什么是空间两点开始， 以及如何用公式计算两点之间的距离。让我们开始吧！
什么是空间两点？
空间中的两点是指在三维坐标系中确定的两个位置点。这两个点可以表示物体的位置、人的定位等等。 在数学中，我们可以使用坐标表示这两个点，例如：点A的坐标为(x1, y1, z1)，点B的坐标为(x2, y2, z2)。
4 地理信息系统
用于测绘、地理分析等领域，计算地物之间 的距离和相对位置。
结束语
通过本课件，我们学习了空间两点间的距离公式，了解了直线距离计算方法 和空间距离计算方法，并举例说明了其应用领域。 希望这些知识对你有所帮助，谢谢观看！
直线距离计算方法演示
让我们通过一个简单的示例演示直线距离计算方法：
1
Step 1
确定点A和点B的坐标：A(2, 3, 4d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)计算直线距离。
3
Step 3
代入点的坐标计算：d = √((5-2)² + (7-3)² + (1-4)²)。
如何用公式计算两点之间的距 离？
通过直线距离计算方法和空间距离计算方法，我们可以计算空间两点之间的 距离。
直线距离计算方法使用勾股定理，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)，其 中d表示两点之间的直线距离。
空间距离计算方法利用向量的知识，将两点按照向量形式表示后，计算两个 向量的模的差，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
4
Step 4
在本课件中，我们将介绍空间中两点间的距离公式，从什么是空间两点开始， 以及如何用公式计算两点之间的距离。让我们开始吧！
什么是空间两点？
空间中的两点是指在三维坐标系中确定的两个位置点。这两个点可以表示物体的位置、人的定位等等。 在数学中，我们可以使用坐标表示这两个点，例如：点A的坐标为(x1, y1, z1)，点B的坐标为(x2, y2, z2)。
4 地理信息系统
用于测绘、地理分析等领域，计算地物之间 的距离和相对位置。
结束语
通过本课件，我们学习了空间两点间的距离公式，了解了直线距离计算方法 和空间距离计算方法，并举例说明了其应用领域。 希望这些知识对你有所帮助，谢谢观看！
直线距离计算方法演示
让我们通过一个简单的示例演示直线距离计算方法：
1
Step 1
确定点A和点B的坐标：A(2, 3, 4d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)计算直线距离。
3
Step 3
代入点的坐标计算：d = √((5-2)² + (7-3)² + (1-4)²)。
如何用公式计算两点之间的距 离？
通过直线距离计算方法和空间距离计算方法，我们可以计算空间两点之间的 距离。
直线距离计算方法使用勾股定理，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)，其 中d表示两点之间的直线距离。
空间距离计算方法利用向量的知识，将两点按照向量形式表示后，计算两个 向量的模的差，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
4
Step 4
2.4.2空间两点间的距离公式
2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点 ． △ 中 ° 的坐标为A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x， ， ， ， ， ， ， 的坐标为 ， 0，1)，则x= ， ， 2 .
3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1， 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1， 0)两点的距离相等，则x、y、z满足的关 两点的距离相等， 、 、 满足的关 两点的距离相等 系式是 2x+2y－2z－3=0 － － .
2
M 3 M 1 = (4 − 5) + ( 3 − 2) + (1 − 3) = 6,
2
2 2 2
∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,
原结论成立. 原结论成立
轴上， 例 2 设 P在 x轴上，它到 P (0, 2,3)的距离 1 的距离的两倍， 的坐标. 为到点 P (0,1,−1)的距离的两倍， 求点 P的坐标 2
解:
轴上， 点坐标为 因为 P 在 x 轴上， P点坐标为 ( x ,0,0), 设
PP1 = x 2 + ( 2 )2 + 3 2 = x 2 + 11, PP2 = x + (− 1) + 12 = x 2 + 2 ,
2 2
Q PP1 = 2 PP2 , ∴ x 2 + 11 = 2 x 2 + 2
C1 A1 B1
C A B
（1）建立适当的坐标系，并写出 、B1、 ）建立适当的坐标系，并写出B、 C、C1的坐标； 、 的坐标； 解：（1）如图建立空间直角坐标系， ：（ ）如图建立空间直角坐标系， 则B(0，a，0)，B1(0，a，2 a)， ， ， ， ， ， ，
空间两点间距离公式
例２：在xoy平面内的直线x+y=1上确定 一点M，使M到N(6,5,1)的距离最小 略解：设M(x,1-x,0),利用距离公式构造 出一个二次函数后求最值
MN ( x 6) (1 x 5) (1 0)
2 2
2
2( x 1) 51
2
当x 1时， MN min 51
z M A H y
B
z P2 P1 o
M1 N1 M N M2 H N2
y
x
2
则M，N的坐标为M(x1,y1,0),N(x2,y2,0)
| MN | ( x1 x 2 ) ( y1 y2 )
2
2
| p1 p2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
2
2
空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2) 之间的距离
已知点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2) 则线段AB中点C的坐标是
1 X= (X1+X2) 2 1 Z= 2 (z1+z2)
y=
1 2
(y1+y2)
M(2,1,3)
例4：如图：M—OAB是棱长为a的正四 面体，顶点M在底面OAB上的射影为H， 分别求出点B、H、M的坐标
O(0,0,0), A(0,0, a) 3 a 3 a B( a, ,0), H ( a, ,0) 2 2 6 2 O 3 a 6 M( a, , a) 6 2 3 x
例３.平面上到坐标原点的距离为１的点 的轨迹是单位圆，其方程 2 2 为 x y 1 ． 在空间中，到坐标原点的距离为１ 的点的轨迹是什么？试写出它的方程．
x y z 1
空间两点间的距离公式.ppt
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例4 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P， 使它与点P0 (4,1,2)的距离为 30。
解 设点P的坐标是(x,0,0),由题意，P0P 30,
即 (x 4)2 12 22 30,
所以x 42 25.
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4),
C(2,3,4), D(2,3,1) .
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
补充 例 2 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标. 解 因为 P 在 x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
z (3)关于原点对称的点
M M’(－1,2,－3)
3
o
1
y
2
x
M’
思考P109练习 4
在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。
z
用前面的方法
M
把M点关于其
它坐标平面和 3
坐标轴对称的 点的坐标求出 来。
o
1 2
y
x
五、小结
空间直角坐标系（轴、面、卦限）
解得x 9或x 1.
所以点P的坐标为（9，0，0）或（－1，0，0）。
d OM x2 y2 z2 .
例4 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P， 使它与点P0 (4,1,2)的距离为 30。
解 设点P的坐标是(x,0,0),由题意，P0P 30,
即 (x 4)2 12 22 30,
所以x 42 25.
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4),
C(2,3,4), D(2,3,1) .
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
补充 例 2 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标. 解 因为 P 在 x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
z (3)关于原点对称的点
M M’(－1,2,－3)
3
o
1
y
2
x
M’
思考P109练习 4
在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。
z
用前面的方法
M
把M点关于其
它坐标平面和 3
坐标轴对称的 点的坐标求出 来。
o
1 2
y
x
五、小结
空间直角坐标系（轴、面、卦限）
解得x 9或x 1.
所以点P的坐标为（9，0，0）或（－1，0，0）。
空间两点间的距离公式(最新课件)
（x，y，z）
3.长方体的长、宽、高分别为a、b、c.
则对角线长d= a2 b2 c2 .
c
4.平面直角坐标系中, 两点的距离公式: a
d b
d ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 .
空间直角坐标系(二) 一、空间两点间的距离公式
1.公式推导 给定空间两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2).
空间两点间的距离公式
复习回顾
z
1.建立空间直角坐标系
空间坐标系包括原点O, x 轴, y 轴, z 轴.
记作：空间直角坐标系O-xyz.
O
y
2.空间直角坐标系中点的坐标
x
在空间直角坐标系中, 用一个三元有序数组来刻画空间
点的位置. 空间任意一点P的坐标记为(x, y, z),
x 是横坐标, y 是纵坐标, z是竖坐标. 点M
B
A M2
H N2 y
M N
同名坐 标差的 平方和 的算术 根
2.公 式
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
特别: 点P(x, y, z)到原点o的距离是 d x2 y2 z2
3.公式应用 例1.给定空间直角坐标系, 在x轴上找一点使它与点P0(4, 1, 2) 的距离为 30.
AC A1C1 y1 y2
CD C1D1 x1 x2
z
BD B1D1 z1 z2
B1
B
AB AC 2 CD 2 DB 2
AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 A A1
D1
D
O
C D1 y
C1
x
设A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2).
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2 2
2
一、空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），P2（x2， y2，z2）在xOy平面上的射影分别为M、N.
z
O x P1 N y P2
M
思考1:点M、N之间的距离如何？
MN
x1 x2
2
y1 y2
2
思考2:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点 ， P在
PP1 PP2
x
2
2
2
3
2
x 2 11 , x2 2,
2 x 2 1 12
2 2
∴点 M
23 的坐标为0， 4 ，0.
小结
一、空间两点间的距离公式：
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
二、空间中点坐标公式：
x1 x2 x 2 y1 y2 y 2 z1 z2 z 2
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1)、 M 2 ( 7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M 1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 ( 2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 ( 2 1)2 ( 3 2)2 6, M 3 M1
z
P1 O x P2
A
y
M
N
P1 P2
x1 x2
2
y1 y2 z 1 z 2
2
2
二、空间中点坐标公式：
在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
x1 x2 x 2 y1 y2 y 2 z1 z2 z 2
问题引入:
在平面直角坐标系中, 两点间的距离.
y
4 3 2 1
B
d
A
1 2 3
C
x1 x2
2
( y1 y 2 )
2
o
-1
x
思考:
在空间直角坐标系中,猜想两点间的距离.
空间两点
A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) 的距离公式是:
d ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 ) ( z1 z 2 )
2
2
(4 5)2 ( 3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
练1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (1)三角形三边的边长； 解: AB
1 2 5 3 2 4
PP1 2 PP2 ,
x 1,
x 2 11 2 x 2 2
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
【变式】 已知两点 P(1,1,1)与 Q(4,3,1). (1)求 P，Q 之间的距离； (2)求 y 轴上的一点 M，使|MP|＝|MQ|.
解：(1)|PQ|＝ 4－12＋3－12＋1－12＝ 13. (2)设点 M 的坐标为(0，y,0), 则|MP|＝ 1－02＋y－12＋1－02， |MQ|＝ 42＋y－32＋12， 又|MP|＝|MQ|， 23 故(y－1) ＋2＝(y－3) ＋17，解得 y＝ 4 ，
2 2
2
3
BC AC
2 3 3 1 4 5
2 2
2
6 29
1 3 5 1 2 5
2 2
2
练1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (2)BC边上中线AM的长。 解:
23 5 x 2 2 3 1 5 9 2 M ,2, y 2 2 2 z 4 5 9 2 2
2
一、空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），P2（x2， y2，z2）在xOy平面上的射影分别为M、N.
z
O x P1 N y P2
M
思考1:点M、N之间的距离如何？
MN
x1 x2
2
y1 y2
2
思考2:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点 ， P在
PP1 PP2
x
2
2
2
3
2
x 2 11 , x2 2,
2 x 2 1 12
2 2
∴点 M
23 的坐标为0， 4 ，0.
小结
一、空间两点间的距离公式：
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
二、空间中点坐标公式：
x1 x2 x 2 y1 y2 y 2 z1 z2 z 2
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1)、 M 2 ( 7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M 1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 ( 2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 ( 2 1)2 ( 3 2)2 6, M 3 M1
z
P1 O x P2
A
y
M
N
P1 P2
x1 x2
2
y1 y2 z 1 z 2
2
2
二、空间中点坐标公式：
在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
x1 x2 x 2 y1 y2 y 2 z1 z2 z 2
问题引入:
在平面直角坐标系中, 两点间的距离.
y
4 3 2 1
B
d
A
1 2 3
C
x1 x2
2
( y1 y 2 )
2
o
-1
x
思考:
在空间直角坐标系中,猜想两点间的距离.
空间两点
A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) 的距离公式是:
d ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 ) ( z1 z 2 )
2
2
(4 5)2 ( 3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
练1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (1)三角形三边的边长； 解: AB
1 2 5 3 2 4
PP1 2 PP2 ,
x 1,
x 2 11 2 x 2 2
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
【变式】 已知两点 P(1,1,1)与 Q(4,3,1). (1)求 P，Q 之间的距离； (2)求 y 轴上的一点 M，使|MP|＝|MQ|.
解：(1)|PQ|＝ 4－12＋3－12＋1－12＝ 13. (2)设点 M 的坐标为(0，y,0), 则|MP|＝ 1－02＋y－12＋1－02， |MQ|＝ 42＋y－32＋12， 又|MP|＝|MQ|， 23 故(y－1) ＋2＝(y－3) ＋17，解得 y＝ 4 ，
2 2
2
3
BC AC
2 3 3 1 4 5
2 2
2
6 29
1 3 5 1 2 5
2 2
2
练1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (2)BC边上中线AM的长。 解:
23 5 x 2 2 3 1 5 9 2 M ,2, y 2 2 2 z 4 5 9 2 2