浅谈极限不存在的判定

证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。

例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。

为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。

可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。

[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。

是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。

只是略谈一下在判断二重极限不存在时。

一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。

证明极限存在时否定形式在数学分析中，当我们谈论极限的存在性时，我们实际上是在讨论一个特定的数学陈述是否成立。

这个陈述通常涉及到一个变量趋近于某个值时函数的行为。

为了深入理解这个概念，我们需要探讨它的否定形式以及“任意”和“存在”这两个量词的使用。

否定形式的具体含义极限存在的标准定义是：对于所有大于某个特定值的x，函数f(x)的值与某个极限值L的差距可以任意小。

否定这个陈述就是说：存在某个大于那个特定值的x，使得函数f(x)的值与L的差距不小于某个给定的正数。

具体来说，如果lim x→a f(x)=L，那么它的否定形式是：存在某个正数ϵ，对于所有正数δ，都存在一个x满足0<∣x−a∣<δ，但∣f(x)−L∣≥ϵ。

应用场景否定形式在证明中非常有用，特别是当我们想证明某个极限不存在时。

例如，如果我们想证明一个函数在某点不连续，我们可以尝试证明该函数在该点的极限不存在。

为此，我们需要找到两个数列，它们都趋近于该点，但函数值趋近于两个不同的极限。

这实际上是在使用极限不存在的否定形式。

“任意”和“存在”的使用法则•任意（∀）：表示对于所有满足某个条件的元素，某个陈述都成立。

例如，“对于所有正数ϵ，...”意味着无论ϵ取多小的正数值，后面的陈述都成立。

•存在（∃）：表示至少有一个满足某个条件的元素使得某个陈述成立。

例如，“存在一个正数δ，...”意味着我们可以找到一个特定的δ值使得后面的陈述成立。

在极限的定义中，我们通常首先使用“对于所有”来指定一个任意的正数ϵ，然后使用“存在一个”来找到一个特定的δ。

而在否定形式中，这个顺序是相反的：我们首先“存在一个”特定的ϵ，然后对于“所有”可能的δ，我们都能找到一个违反极限定义的x值。

例子考虑函数f(x)=x1在x=0处的极限。

我们知道这个极限不存在，因为当x趋近于0时，函数值趋近于无穷大。

为了使用否定形式来证明这一点，我们可以选择ϵ=1（实际上可以选择任何正数），然后证明对于所有正数δ，都存在一个满足0<∣x−0∣<δ的x，但∣f(x)−L∣≥1对于任何有限的L都成立。

共17页第1页浅谈函数极限求解方法学生:陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要:极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述,都可以用极限来描述。

如函数在某点处导数的定义，定积分的定义,偏导数的定义，二重积分的定义，三重积分的定义，无穷级数的定义都是用极限来定义的。

极限是研究数学分析的基本工具。

极限是贯穿数学分析的一条主线。

学好极限要从以下两个方面着手：1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述。

对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的，但是对于一个比较复杂的极限的计算，例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的，然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种，但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法，很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis ，the basic concepts of mathematical analysis of expression ，can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point ，the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals ，triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible，but for a more complicated limit calculations，such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however，Taylor shows the calculation is much simpler ，which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen，but when calculating the limits specific to different characteristics ，whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics ，and thus simplify the calculation 关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式;单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理共17页第2页Keywords :Limit；ultimate limits of nature；Luo's Rule; Taylor formula；monotonous limited law；integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。

数列极限不存在的例子
1. 你看那数列 1，0，1，0，1，0……这样跳来跳去的，它的极限能存
在吗？就好像一个人一会儿向左走，一会儿向右走，根本没有一个确定的方向呀！
2. 想想数列 1，2，3，4，5……一直无限增大下去，这极限哪能找得到呀！这不就如同一只放飞的风筝，越飞越高，没有尽头嘛！
3. 再来看看这个数列(-1)^n，一会儿是1，一会儿又是-1，如此反复无常，极限怎么可能存在呢？这多像那变幻莫测的天气呀！
4. 那个数列 1，1/2，1/3，1/4……虽然一直在变小，但永远也到不了一个
确定的数，极限自然就不存在啦！就好比追一个永远在你前面一点点的东西，怎么也追不上呀！
5. 数列 2，4，6，8……一直成倍增长，哪里会有极限呀！这和那不断膨胀
的欲望不是很像吗？
6. 观察这个数列 1，-2，3，-4……一会儿正一会儿负地变化，极限肯定不
存在咯！这不就跟那起伏不定的心情似的！
7. 数列 0，1，0，2，0，3……毫无规律地夹杂着，极限根本无从谈起呀！
就像那混乱的思绪一样！
8. 还有数列10，11，9，12，8……这样乱七八糟的，极限怎么可能存在呢？简直就是一团乱麻嘛！
我的观点结论就是：这些数列都是极限不存在的典型例子呀，它们真的很有趣也很值得去思考和研究呢！。

极限不存在但连续的例子(一)极限不存在但连续介绍在数学中，极限是一个重要的概念。

通常情况下，我们说一个数列或者函数的极限存在，意味着它有一个确定的数值。

然而，有时候我们会遇到一些特殊情况，即使极限不存在，但函数仍然可能是连续的。

这种现象被称为“极限不存在但连续”。

例子1：Dirichlet函数Dirichlet函数是数学中一个著名的例子，它在任何有理数点都没有极限，但是在所有实数点都是连续的。

这个函数可以用以下公式表示：D(x) = 1, if x是有理数D(x) = 0, if x是无理数通过以上定义可以看出，无论有理数点趋近于某个值还是无理数点趋近于某个值，函数值始终不变。

因此，在任何点上取极限都会得到不同的结果。

然而，如果我们考虑函数的连续性，可以发现无论在有理数点还是无理数点上，函数都取到相应的函数值，没有跳跃或间断的情况。

例子2：Thomae函数Thomae函数是另一个典型的例子，它在有理数点处极限不存在，但在所有实数点都是连续的。

这个函数可以用以下公式表示：T(x) = 1/n, if x是有理数，可以写成x = p/q (最简分数形式)，其中p和q是互质的正整数，且q > 0，n是一个正整数T(x) = 0, if x是无理数通过以上定义可以看出，无论有理数点取什么样的极限，都无法满足函数的连续性。

因为对于任何极小的正数ε，我们可以找到一个最简分数，使得1/n < ε。

然而，对于无理数点，由于它们不能表示为有理数的形式，函数值始终为0，没有跳跃或间断的情况。

例子3：Cantor集合Cantor集合是一个另类的例子，它是一个闭合的集合，并在实数轴上连续分布，但其测度为0。

Cantor集合是通过迭代删除中间三分之一闭区间的方式生成的。

虽然Cantor集合包含无穷多个点，但每个点的测度为0，所以集合的总测度也为0。

尽管如此，Cantor集合仍然在实数轴上形成了一个连续的线。

这些例子说明了极限不存在但连续的情况。

极限的定义与极限存在的判定方法极限是高等数学中最基础和最重要的概念之一，是计算微积分、微分方程等高级数学问题的基础。

极限的存在性也是判断函数是否可导、连续等重要性质的基础。

那么，什么是极限？极限存在的判定方法又有哪些呢？一、极限的定义极限的定义是通过无穷小和无穷大的概念来描述的。

对于一个函数f(x)，当x趋近于a时，若f(x)可以无限接近于一个确定的数L，则称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作：$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L$其中，a为x的极限点。

如果对于任意一个ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么称L为f(x)在x=a时的极限。

二、极限存在的判定方法1. 函数存在左、右极限且相等当a为函数f(x)的间断点，但其左右极限都存在且相等，则f(x)在x=a时的极限存在。

例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1$在x=0时，函数的左右极限均为1。

2. 夹逼准则对于函数f(x)，若存在两个函数g(x)和h(x)，满足当x趋近于a 时，g(x)≤f(x)≤h(x)，且$\lim\limits_{x\rightarrowa}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=L$，则函数f(x)在x=a时的极限存在，且等于L。

例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$证明：由于|x|≥0，所以-1≤sin(x)≤1，于是有$-|x|\leq x\sin(\frac{1}{x})\leq |x|,\ \ x\neq0$当x趋近于0时，左右两边的夹逼条件都成立，因此可以得到$\lim\limits_{x\rightarrow0}-|x|\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}|x|$即$0\leq \lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq 0$由夹逼准则，可得$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$3. 函数具有保号性如果当x趋近于a时，函数f(x)的极限存在，且极限不为0，则函数f(x)在x=a时的符号和极限的符号相同。