浅谈极限不存在的判定
作者：王常春汤小燕罗东升
来源：《读写算》2014年第17期
【摘要】极限不存在是数学分析中的一个难点，在数学分析中只是形式地给出一个判断规则，并未给出直接的证明，导致学生对其认识不够深刻，这里结合复变函数中的本质奇点给出其进一步的解释，并得出一个推论来说明他们的联系，希望对初学者有一定的帮助.
【关键词】极限本质奇点收敛
基金项目：黔教高发[2013]446号；遵义师范学院教研项目[13-42]。
在判定极限存在及不存在时，我们经常应用海涅定理及其推论，判定极限不存在常用如下海涅定理推论。
推论1[1]：若存在某两个数列{an}与{bn}，an≠a,bn≠a，且，有与，而c≠d，则函数f(x)在a不存在极限。
极限不存在有如下几种情况：（1）极限为无穷；（2）存在收敛点列可使函数收敛于值域内的任意值。
例1：证明：函数在x=0极限不存在。
分析1：函数值域为[-1,1]，通常我们构造
，
就有，，由推论2可知极限不存在.
我们经常取定义域内的特殊点列来说明问题，往往会使学生形成思维定式，导致对极限不存在的认识得不到进一步升华.例如如下举例应该可使学生对极限不存在的情形认识更加深刻.
分析2：对于函数值域内的任意t∈[-1,1]，总存在，使得sinα=t，从而
，令，就有
.
即存在点列{an}收敛于0，可使函数值收敛于值域内得任意值t.因而极限不存在.
关于极限不存在的海涅定理的推论，并未给出它的直接证明，而是应用它的逆否命题得出的，关于它的直接证明可见复变函数论[1]中的皮卡定理如下。
定理:如果a为函数f(z)的本质奇点（极限不存在），则对于任何常数A，不管它是有限还是无限，都有一个收敛于a的点列{zn}，使得.
就是说，存在收敛点列可使函数收敛于任意值.我们知道实数是复数的子域，可得如下推论.
推论2：如果实函数f(x)中的x改写为z，如果a为函数f(z)的本质奇点，则对于值域内的任意常数A，都有一个收敛于a的点列{an}，使得.
例2.应用推论2说明例1的问题极限不存在.
将函数f(x)中的x改写为z，可得.
由于，可知z=0是的本质奇点（本质奇点主要部分有无限项）。由推论2可知，存在点列{an}收敛于0，可使函数值收敛于值域内的任意值，也即极限不存在。
诸如此类的问题如，z=0是的本质奇点，则函数在x=0处无极限.
参考文献
[1]钟玉泉.复变函数论（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.01
[2]刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2003
