2009年西城区一模数学试题及答案

西城区初三数学试卷答案及评分参考第 1 页（共 6 页）北京市西城区2008——2009学年度第一学期期末 初三数学试卷答案及评分参考 2009.1第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）三、解答题（本题共29分，13～17题每小题5分，第18题4分）13．解：因为 261a b c ==-=，，， - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分所以 224642128b ac -=--⨯⨯=（）．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分代入公式，得 x = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分所以 原方程的根为 12x x =，．（每个根各1分）- - - - - - - - - - - - - 5分 14．解： 2c o s 60t a n 45s i n 45s i n 30︒-︒+︒︒. 212112=-+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分 1.2=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 15．（1）解一：原方程可化为 2(1)44x k +=-.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分∵ 该方程有两个不相等的实数根，∴ 440k ->.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分解得 1k <.∴ k 的取值范围是1k <.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3分解二：原方程可化为 22430x x k ++-=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分224(43)4(44)k k ∆=--=-.以下同解法一.西城区初三数学试卷答案及评分参考第 2 页（共 6 页）B （2）解：∵ k 为非负整数，1k <，∴ k = 0 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分此时方程为223x x +=，它的根为13x =-，21x =. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分16．（1）证明：连结OC . ∵ OB=OC ，∠B =30°，∴ ∠OCB=∠B =30°. ∴ ∠COD=∠B+∠OCB=60°. - - - - - - - - - - 1分∵ ∠BDC =30°，∴ ∠BDC +∠COD =90°， DC ⊥OC . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分∵ BC 是弦，∴ 点C 在⊙O 上.∴ DC 是⊙O 的切线. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分（2）解：∵ AB =2，∴ 12AB OC OB ===. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分 ∵ 在Rt △COD 中，∠OCD =90°，∠D =30°，∴DC =.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分17．（1）证明：∵ AB =2 ，BC =4 ，BD =1 ，∴ AB BD CB BA = ．- - - - - - - - - - - - 1分 ∵ ∠ABD =∠CBA ，- - - - - - - - 2分∴ △ABD ∽△CBA ．- - - - - - -3分 （2）答：△ABD ∽ △CDE ；- - - - - - - 4分 DE = 1.5 . - - - - - - - - - - - - - - 5分 18．解：（1）图形见右. - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分（2）① ∠ABC = 45 °；- - - - - - -3分② ∠ABP ＜ ∠CBP . - - - - - - 4分四、解答题（本题共21分，第19题6分，第20题419．解：（1）抛物线的对称轴为直线x= 2 ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 （3，0） ；- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 （2）∵ 抛物线经过点1030C D （，）、（，）， ∴ 设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--.- - - - - - - - 4分 由抛物线经过点03A （，），得a =1. - - - - - - - - - - - - - - 5分 ∴ 抛物线的解析式为 243y x x =-+.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分20．解：∵ AE ⊥BC ， EF ⊥AB ，∴ ∠1+∠2=90°，∠B+∠2=90°.A B C D E西城区初三数学试卷答案及评分参考第 3 页（共 6 页） ∴ ∠1=∠B . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分∵ 4cos 5AEF ∠=， ∴ Rt △ABE 中，4cos 5BE B AB ==.- - - - - - - - - - - - 2分 设BE =4k ，则AB=BC=5k ，2EC BC BE k =-==. ∴ BE =8. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 ∴ Rt △BEF 中，324sin 855EF BE B =⋅=⨯=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分 21．解：（1）设市场某天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x 元.由题意得 (10)(50020)6000x x +-=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分 整理，得 215500x x -+=.解得 15x =，210x =. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分 因为顾客得到了实惠，应取 5x =.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 答：市场某天销售这种水果盈利6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这 种水果涨了5元.（2）因为每千克这种水果涨价x 元时，市场每天销售这种水果所获利润为y 元，y 关于x 的函数解析式为 (10)(50020)y x x =+-（0＜x ≤25）.- - - - - - - - - - 4分而22 (10)(50020)203005000=20(7.5)6125.y x x x x x =+-=-++--+所以，当 x =7.5 时（0＜7.5≤25），y 取得最大值，最大值为 6 125. - - - - - - 6分 答: 不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6 125元.22.（1）证明：如图1，连结PC .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分 ∵ AC=1，BD =1， ∴ AC=BD . ∵ ∠BAC =120°，AP 平分∠BAC ，∴ 11602BAC ∠=∠=︒.∵ △P AD 是等边三角形， ∴ P A=PD ，∠D =60°. ∴ ∠1=∠D .∴ △P AC ≌△PDB . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 ∴ PC= PB ，∠2=∠3.∴ ∠2+∠4=∠3+∠4， ∠BPC=∠DP A =60°. ∴ △PBC 是等边三角形，BC=BP . - - - - - - - - - - 3分证法二：作BM ∥P A 交PD 于M ，证明△PBM ≌△BCA . （2）解法一：如图2，作CE ⊥PB 于E ， PF ⊥AB 于F . ∵ AB=3，BD=1， ∴ AD=4. ∵ △P AD 是等边三角形，PF ⊥AB ， 21F C B A西城区初三数学试卷答案及评分参考第 4 页（共 6 页）∴ 122DF AD ==，sin60PF PD =⋅︒= ∴ 1BF DF BD =-=，BP .- - - - - - - - - - - - - - - - - 4分∴sin 60sin 60CE BC BP =⋅︒=⋅︒==- - - - - - - - - - - - - - 5分 即点C 到BP. 解法二：作BN ⊥DP 于N ，DN=12，72NP DP DN =-=，BP 以下同解法一.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）∵ 方程 2220x ax a b --+=有一个根为2a ，∴ 224420a a a b --+=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分 整理，得 2a b =.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 ∵ 0a <， ∴ 2a a <，即a b <.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 （2） 2244(2)448a a b a a b ∆=--+=+-.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分∵ 对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴ 对于任何实数a ，都有2448a a b +-≥0 ，即22a a b +-≥0. - - - - - - - - 5分∴ 对于任何实数a ，都有b ≤22a a +. ∵ 22111()2228a a a +=+- ， 当 12a =-时，22a a +有最小值18-.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分 ∴ b 的取值范围是b ≤18-. - - - - - - - - - - -7分 24．（1）解：如图3，连结OB .- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分 ∵ ⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC =45°， ∴ ∠BOC =2∠BAC =90°. ∵ OB=OC ，∴ ∠OBC =∠OCB =45°. ∵ AD ∥OC ，∴ ∠D =∠OCB =45°. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分（2）证明：∵ ∠BAC =45°，∠D =45°，∴ ∠BAC =∠D . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分∵ AD ∥OC ，D OEA CB西城区初三数学试卷答案及评分参考第 5 页（共 6 页）∴ ∠ACE =∠DAC . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分∴ △ACE ∽△DAC ．∴AC CE DA AC= ． ∴ 2AC AD CE =⋅．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 （3）解法一：如图4，延长BO 交DA 的延长线于F ，连结OA .∵ AD ∥OC ，∴ ∠F=∠BOC =90°.∵ ∠ABC =15°，∴ ∠OBA =∠OBC －∠ABC =30°.∵ OA = OB ，∴ ∠FOA =∠OBA ＋∠OAB =60°，∠OAF =30°.∴ 12OF OA =.∵ AD ∥OC ，∴ △BOC ∽△BFD ． ∴BC BO BD BF= ． ∴ 2BC BO OA CD OF OF ===，即BC CD 的值为2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -7分 解法二：作OM ⊥BA 于M ，设⊙O 的半径为r ，可得，OM =2r ，30M OE ∠=︒，tan 30ME OM =⋅︒=，BE，AE，所以2BC BE CD EA==. 25．解：（1）∵ 抛物线与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），∴ x 1、x 2是关于x 的方程221)2)0a x a a ---=的解.方程可化简为 222(1)(2)0x a x a a +-+-=.解方程，得x a =- 或2x a =-+. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分∵ x 1 < x 2 ，2a a -<-+，∴ 1x a =- ，22x a =-+.∴ A 、 B 两点的坐标分别为(,0)A a - ，(2,0)B a -+. - - - - - - - - - - - - - - - - 2分（2）∵ AB=2， 顶点C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 ∴ △ABC- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分（3）∵ x 1 < 1 < x 2 ， ∴ 12a a -<<-+.∴ 11a -<<. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分∵ a 是整数，B C A F E OD西城区初三数学试卷答案及评分参考第 6 页（共 6 页） ∴ a = 0，所求抛物线的解析式为2y =+. - - - - - - - - - - - - - - - - 6分 解一：此时顶点C 的坐标为C (1.如图5，作CD ⊥AB 于D ，连结CQ . 则AD=1，tan ∠∴ ∠BAC=60°. 由抛物线的对称性可知△ABC 是等边三角形.由 △APM 和△BPN 是等边三角形，线段MN 的中点为Q 可得，点M 、N 分别在AC 和BC边上，四边形PMCN 为平行四边形，C 、Q 、 P 三点共线，且12PQ PC =.- - - - - - - - - - - - - - -7分∵ 点P 在线段AB 上运动的过程中，P 与A 、B 两点不重合，DC ≤PC ＜AC，DC =AC =2，∴≤PQ ＜1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -8分解二：设点P 的坐标为P (0)x ，（0＜x ＜2）.如图6，作MM 1⊥AB 于M 1 ，NN 1⊥AB 于N 1.∵ △APM 和△BPN 是等边三角形，且都在x 轴上方，∴ AM=AP= x ，BN=BP=2x -，∠MAP=60°，∠NBP=60°.∴ 1cos 2xAM AM MAB =⋅∠=，1sin MM AM MAB =⋅∠= 12cos 2x BN BN NBP -=⋅∠=，1sin NN BN NBP =⋅∠.∴ 1122222x xAN AB BN -+=-=-=.∴ M 、 N两点的坐标分别为(2x M，2(2xN +.可得线段MN 的中点Q的坐标为1(2x Q +.由勾股定理得PQ - - - - - - - - - - -7分∵ 点P 在线段AB 上运动的过程中，P 与A 、B 两点不重合，0＜x ＜2 ，∴ 3≤2(1)3x -+＜4. ∴PQ ＜1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分。

北京市西城区2009——2020学年第一学期期末测试初三数学试卷一、选择题（此题共32分，每题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．假设两圆的半径别离是4cm 和5cm ，圆心距为9cm ，那么这两圆的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离2．若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=有一个根为0，那么a 的值等于（ ）． A ．1-B ．0 C ．1D ．1或1-3．抛物线()()13y x x =+-的对称轴是直线（ ）． A ．1x =-B ．1x =C ．3x =-D ．3x =4．如图，在平面直角坐标系中，以点()46P ，为位似中心，把ABC △缩小取得DEF △，假设变换后，点A 、B 的对应点别离为点D 、E ，那么点C 的对应点F 的坐标应为（ ）． A ．()42，B ．()44， C ．()45，D ．()54， 5．某汽车销售公司2007年盈利1500万元， 2020年盈利2160万元，且从2007年到2020年，每一年盈利的年增加率相同．设每一年盈利的年增加率为x ，依照题意，下面所列方程正确的选项是（ ）．A ．()2150012160x +=B ．2150015002160x x +=C ．215002160x =D ．()()215001150012160x x +++=6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 为AB 边的中点，将Rt ABC △绕点ME DCBAM 旋转，使点A 与点C 重合取得CED △，连结MD ．假设25B ∠=︒，则BM D ∠等于（ ）．A ．50︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒7．如图，AB 是O ⊙的直径，以AB 为一边作等边ABC △，AC BC 、边别离交O ⊙于点E 、F ，连结AF ，若2AB =，那么图中阴影部份的面积为（ ）．A．4π3B．2π3 C．π3 D．π3 8．若a b c >>，且a b c ++=0，那么二次函数2y ax bx c =++的图象可能是以下图象中的（ ）． A ．B ．C ．D ．二、填空题（此题共16分，每题4分）9．如图，在ABC △中，DE BC ∥别离交AB 、AC 于点D 、E ．若1DE =，3BC =，那么ADE △与ABC △面积的比为．10．如图，AB 为O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，E 为AD 上一点，假设70BOC ∠=︒，则BED ∠的度数为°．11．如图，在平面直角坐标系中，O ⊙的圆心在座标原点，半径为2，点A的坐标为(2，．直线AB 为O ⊙的切线，B 为切点，那么B 点的坐标 为．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数()220my ax a a=+≠的图象经 过正方形ABOC 的三个极点A 、B 、C ，那么m 的值为． 三、解答题（此题共30分，每题5分） 13．计算：22sin45sin60cos30tan 60︒+︒-︒+︒. 14．已知关于x 的方程23304mx x ++=. ⑴若是此方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； ⑵在⑴中，若m 为符合条件的最大整数，求现在方程的根．BA15．已知二次函数243y x x =++.⑴用配方式将243y x x =++化成()2y a x h k =-+的形式；⑵在平面直角坐标系中，画出那个二次函数的图象； ⑶写出当x 为何值时，0y >．16．已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，D 、E 别离为AB且35AD AE =，连结DE ，若3AC =，5AB =，猜想DE 与关系？并证明你的结论．17．已知：如图，AB 是O ⊙的弦，45OAB ∠=︒，C 是优弧AB 上一点，BD OA ∥，交CA 延长线于点D ，连结BC ．⑴求证：BD 是O ⊙的切线；⑵若AC =75CAB ∠=︒，求O ⊙的半径． 18．列方程解应用题为了鼓舞居民节约用电，某地区规定：若是每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度电按元交费；若是每户居民一个月的用电量超出a 度时，那么该户居民的电费将利用二级电费计费方式，即其中有a 度仍按每度电元交费，超出a 度部份那么按每度电150a元交费．下表是该地域一户居民10月份、11月份的用电情形．依照表中的数据，求在该地域规定的电费计费方式中，a 度用电量为多少？四、解答题（此题共20分，第19题6分，第20题4分，第21题4分，第22题6分） 19．已知：抛物线1C ：2y ax bx c =++通过点()10A -，、()30B ，、()03C -，．⑴求抛物线1C 的解析式；⑵将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 通过坐标原点，并写出2C 的解析式； ⑶把抛物线1C 绕点()10A -，旋转180︒，写出所得抛物线3C 极点D 的坐标．20．如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同窗在地面上选择了在一条直线上的三点A （A 为楼底）、D 、E ，她在D 处 测得广告牌顶端C 的仰角为60°，在E 两处测得商场大楼楼顶B 的仰 角为45°，5DE =米．已知，广告牌的高度 2.35BC =米，求这座商场 大楼的高度AB （3取 1.73，2取，小红的身高不计，结果保留 整数）． 21．阅读以下材料：对于李教师所提出的问题，请给出你以为正确的解答（写出BD 的取值范围，并在备用图中画出对应的图形，不写作法，保留作图痕迹）．22．已知：如图，ABC △是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60︒取得线 段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连结DC 、AE ． ⑴求证：ADE DFC △≌△；⑵过点E 作EH DC ∥交DB 于点G ，交BC 于点H ，连结AH ． 求AHE ∠的度数； ⑶若23BG =，2CH =，求BC 的长． 五、解答题（此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知关于x 的一元二次方程()2200ax bx c a ++=>①.李老师提出一个问题：“已知：如图1，()0AB m m =>，BAC α∠=（α为锐角），在射线AC 上取一点D ，使构成的ABD △唯一确定，试确定线段BD 的取值范围.”小明同学说出了自己的解题思路：以点B 为圆心，以m 为半径画圆（如图2所示），D 为B ⊙与射线AC 的交点（不与点A 重合），连结BD ．所以，当BD m =时，构成的ABD △是唯一确定的．李老师说：“小明同学画出的三角形是正确的，但是他的解答不够全面．”FEDCB A⑴假设方程①有一个正实根c ，且20ac b +<，求b 的取值范围；⑵当1a =时，方程①与关于x 的方程2440x bx c ++=②有一个相同的非零实根，求2288b cb c-+的值.24．已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，过C 点的切线与AB 的延长线交于点D ，CE AB ∥ 交O ⊙于点E ，连结AC 、BC 、AE ． ⑴求证：①DCB CAB ∠=∠；②CD CE CB CA ⋅=⋅；⑵作CG AB ⊥于点G ，若1tan CAB k∠=()1k >， 求ECGB的值（用含k 的式子表示）． 25．已知：抛物线()21y x m x m =-++与x 轴交于点()10A x ，、()20B x ，（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．⑴若1m >，ABC △的面积为6，求抛物线的解析式；⑵点D 在x 轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE x ∥轴与抛物线交于另一点E ，作DF x ⊥轴于F ，作EG x ⊥轴于点G ，求矩形DEGF 周长的最大值；⑶若0m <，以AB 为一边在x 轴上方做菱形ABMN （NAB ∠为锐角），P 是AB 边的中点，Q 是对角线AM 大时，求上一点，若4cos 5NAB ∠=，6QB PQ +=，当菱形ABMN 的面积最点A 的坐标．北京市西城区2009——2010学年度第一学期期末初三数学试卷答案及评分参考一、选择题（此题共32分，每题4分）二、填空题（此题共16分，每题4分）三、解答题（此题共30分，每题5分）13.解：22sin 45sin60cos30tan 60+-+°°°°.=222⨯+. ··················································· 4分3. ····································································· 5分14．（1）解：3134a b c m ===，，.2234341934mb ac m ∆=-=-⨯⨯=-. ···································· 1分 ∵该方程有两个不相等的实数根，∴930m ->. ···························································· 2分 解得3m <.∴m 的取值范围是3m <. ················································ 3分（2）解：∵3m <，∴符合条件的最大整数是 2m =. ········································· 4分 现在方程为 23302x x ++=， 解得x=.∴方程的根为1x =2x . ······························· 5分 15．解：（1）243y x x =++2(2)1x =+-. ·························································2分（2）列表：图象见图1. ·································· 4分 （3）3x <-或1x >-. ························ 5分 16．DE 与AB 的位置关系是相互垂直. ············ 1分图1证明：∵3AC =，5AB =，35AD AE =， ∴AC ABAD AE=． ·························· 2分 ∵A A ∠=∠， ··························· 3分 ∴ADE ACB △∽△．···················· 4分 ∵90C ∠=°， ∴90ADE C ∠=∠=°．∴DE AB ⊥． ····························································· 5分17．（1）证明：连结OB ，如图3.∵OA OB =，45OAB ∠=°，∴145OAB ∠=∠=°. ················ 1分 ∵AO DB ∥， ∴245OAB ∠=∠=°. ∴1290∠+∠=°.∴BD OB ⊥于B . ····················································· 2分 ∴又点B 在O 上.∴CD 是O 的切线. ················································· 3分（2）解：作OE AC ⊥于点E .∵OE AC ⊥，AC =∴12AE AC ==····················································4分 ∵75BAC ∠=°，45OAB ∠=°， ∴330BAC OAB ∠=∠-∠=°. ∴在Rt OAE △中，4cos30AE OA ===°. ·····························5分解法二：如图4，图2A BCDE图4FABCDO延长AO 与O 交于点F ，连结FC . ∴90ACF ∠=°. 在Rt ACF △中，8cos30AC AF ===°. ··········· 4分∴142AO AF ==. ················································· 5分 18．解：因为 800.432⨯=，1000.44042⨯=<，因此 80100a <≤. ························································ 1分 由题意得 0.4(100)42150aa a +-=.····································· 3分 去分母，得 60(100)42150a a a +-=⨯. 整理，得 216063000a a -+=.解得 190a =，270a =. ·················································· 4分 因为 80a ≥，因此 270a =不合题意，舍去. 因此 90a =．答：在该地域规定的电费计费方式中，a 度用电量为90度. ··························· 5分 四、解答题（此题共20分，第19题6分，第20题4分，第21题4分，第22题6分） 19．解：（1）∵2y ax bx c =++通过点()10A -，、()30B ，、()03C -， ．∴0,930,3.a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩···················· 2分 解得 1,2,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴ 所求抛物线1C 的解析式为：223y x x =--． ································· 3分（2）抛物线1C 向左平移3个单位长度，可使取得的抛物线2C 通过坐标原点 ··········· 4分所求抛物线2C 的解析式为：2(4)4y x x x x =+=+． ·····················5分 （3）D 点的坐标为()34-，. ················································6分20．解：设AB 为x 米.依题意，在Rt ABE △中，45BEA ∠=°， ∴AE AB x ==.∴5AD AE DE x =-=-， 2.35AC BC AB x =+=+. ···· 2分 在Rt ADC △中，60CDA ∠=°， ∴tan 3AC AD CDA AD =⋅∠=.∴()2.3535x x +=-. ······················································· 3分 ∴()31 2.3553x -=+.解得 53 2.3531x +=-.∴ 15x ≈.答：商场大楼的高度AB 约为15米. ······· 4分 21．解：sin BD m α=或BD m ≥．（各1分）见图7、图8；（各1分）22．（1）证明：如图9，∵ 线段DB 顺时针旋转60°得线段DE ， ∴60EDB ∠=°，DE DB =. ∵ABC △是等边三角形， ∴60B ACB ∠=∠=°. ∴EDB B ∠=∠ .∴EF BC ∥. ····························· 1分 ∴DB FC =，60ADF AFD ∠=∠=°.图94321G HABCDEF∴DE DB FC ==，120ADE DFC ∠=∠=°，ADF △是等边三角形. ∴AD DF =.∴ADE DFC △≌△. ···················································· 2分（2）由ADE DFC △≌△，得AE DC =，12∠=∠. ∵ED BC ∥，EH DC ∥， ∴ 四边形EHCD 是平行四边形. ∴EH DC =，34∠=∠.∴AE EH =. ································································ 3分 ∴132460AEH ACB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°. ∴AEH △是等边三角形.∴60AHE ∠=°. ······························································ 4分 （3）设BH x =，那么2AC BC BH HC x ==+=+，由（2）四边形EHCD 是平行四边形， ∴ED HC =.∴2DE DB HC FC ====. ∵EH DC ∥，∴BGH BDC △∽△. ························································· 5分 ∴BG BHBD BC=.即 2322x x =+. 解得 1x =.∴3BC =. ·································································· 6分五、解答题（此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵ c 为方程的一个正实根（0c >），∴ 220ac bc c ++=. ····················································· 1分 ∵0c >,∴ 210ac b ++=，即21ac b =--. ······································· 2分 ∵ 20ac b +<， ∴ 2(21)0b b --+<. 解得 23b >-． ························································· 3分 又0ac >（由0a >，0c >）． ∴ 210b -->．解得 12b <-．∴ 2132b -<<-． ······················································· 4分（2）当1a =时，现在方程①为 220x bx c ++=.设方程①与方程②的相同实根为m ， ∴ 220m bm c ++=③ ∴ 2440m bm c ++=④ ④-③得 2320m bm +=. 整理，得 (32)0m m b +=. ∵0m ≠， ∴320m b +=. 解得 23bm =-. ·························································· 5分 把23bm =-代入方程③得2222033b b b c ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴2809b c -+=，即289b c =.当289b c =时，228485b c b c -=+. ·············································· 7分24．（1）证明：①如图10，图101FABCDE O解法一：作直径CF ，连结BF .∴90CBF ∠=°， ························ 1分 则901CAB F ∠=∠=-∠° ∵CD 切O 于C ，∴OC CD ⊥， ···························· 2分 则901BCD ∠=-∠°.∴BCD CAB ∠=∠. ··················································· 3分 解法二：如图11， 连结OC . ∵AB 是直径，∴90ACB ∠=°. ·························· 1分 则290OCB ∠=-∠°. ∵CD 切O 于C ，∴OC CD ⊥. ························································· 2分 则90BCD OCB ∠=-∠°. ∴2BCD ∠=∠. ∵OA OC =， ∴2CAB ∠=∠.∴BCD CAB ∠=∠. ··················································· 3分 ② ∵EC AB ∥，3BCD ∠=∠，∴43BCD ∠=∠=∠. ··················································· 4分 ∵180CBD ABC ∠+∠=°， ∵180AEC ABC ∠+∠=°，∴CBD AEC ∠=∠. ···················································· 5分图113G42H ABC DE O∴ACE DCB △∽△． ∴CA CDCE CB=． ∴CD CE CB CA ⋅=⋅． ················································· 6分（2）连结EB ，交CG 于点H ，∵CG AB ⊥于点G ，90ACB ∠=°. ∴3BCG ∠=∠. ∵34∠=∠. ∴AE BC = ∴3EBG ∠=∠ . ∴BCG EBG ∠=∠ . ∵()1tan 1CAB k k∠=>， ∴在Rt HGB △中，1tan GH HBG GB k∠==. 在Rt BCG △中，1tan BG BCG CG k∠==. 设HG a =，那么BG ka =，2CG k a =.()21CH CG HG k a =-=-. ∵EC AB ∥， ∴ECH BGH △∽△．∴22(1)1EC CH k a k GB HG a-===-． ·············································· 8分 解法二： 如图10-2，作直径FC ，连结FB 、EF ，那么90CEF ∠=°.∵CG AB ⊥于点G ，在Rt ACG △中，1tan CG CAB AG k∠== 设CG a =，那么AG ka =，1BG a k =，1CF AB AG BF k a k ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭.∵EC AB ∥，90CEF ∠=°， ∴直径AB EF ⊥.∴2EF CG a ==.GOEDCBAF图10-21EC k ak⎛⎫=-⎪⎝⎭.∴21111kEC kBG kk⎛⎫-⎪⎝⎭==-.解法三：如图11-2，作EP AB⊥于点P，在Rt ACG△中，1tanCGCABAG k∠==设CG a=，那么AG ka=，1BG ak=，可证AEP BCG△≌△，那么有1AP BG ak==.1EC AG AP k ak⎛⎫=-=-⎪⎝⎭.∴21111kEC kBG kk⎛⎫-⎪⎝⎭==-.25．解：∵ 抛物线与x轴交于点()1A x，、()2B x，，∴1x、2x是关于x的方程2(1)0x m x m-++=的解.解方程，得1x=或x m=. ························································ 1分（1）∵A在B的左侧，1m>，∴11x=，2x m=. ····························································· 2分∴1AB m=-.抛物线与y轴交于()C m，点.∴OC m=.ABC△的面积12S AB OC=⋅=1(1)62m m-=.解得14m=，23m=-（不合题意，舍去）.∴抛物线解析式为254y x x=-+. ················ 3分（2）∵ 点D在（1）中的抛物线上，∴ 设()254D t t t-+，512t⎛⎫<<⎪⎝⎭.54321图122∴()0F t ，，254DF t t =-+-.又抛物线对称轴是直线52x =，DE 与抛物线对称轴交点记为R （如图12）， ∴52DR t =-，52DE t =-. 设矩形DEGF 的周长为L ，那么()2L DF DE =+. ∴()225452L t t t =-+-+-2313222t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. ······················································ 4分∵ 512t <<， ∴ 当且仅当32t =时，L 有最大值. 当32t =时，L =最大132. ∴矩形周长的最大值为132. ··················································· 5分 （3）∵A 在B 的左侧，0m <，∴1x m =，21x =. ∴1AB m =-.如图13，作NH AB ⊥于H ，连结QN . 在Rt AHN △中，cos AH NAB AN ∠=45=. 设()40AH k k =>，那么5AN k =，3NH k =. ∴115222AP AB AN k ===，53422PH AH AP k k k =-=-=，PN==. ∵菱形ABMN 是轴对称图形， ∴QN QB =.∴6PQ QN PQ QB +=+=.∵PQ QN PN +≥（当且仅当P 、Q 、N 三点共线时，等号成立）. ∴6≥， 解得k ······························································ 6分图13M∵ 21548ABMN S AB NH k =⋅=菱形≤.∴ 当菱形面积取得最大值48时，k =. 现在51AB k m ==-=解得1m =-∴A 点的坐标为()10-.··················································· 7分。

北京市西城区2008—2009学年度第一学期期末测试初三数学试卷2009.1第I卷(机读卷，共32分)一、选择题(共8道小题，每小题4分，共32分)1．若方程x2－5x=0的一个根是a，则a2－5a+2的值为( )．A．－2 B．0 C．2 D．42．如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD=3，则弦AB的长为( )．A．10 B．8 C．6 D．43．将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4？答：( )．A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位4．小莉站在离一棵树水平距离为a米的地方，用一块含30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为( )．A．(33a)米B．(3a)米C．(1.5+33a)米D．(1.5+3a)米5．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )．A．(0，0)，2B．(2，2)，1 2C．(2，2)，2D．(2，2)，3初三数学第1页（共4页）6．将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )．A ．y =－x 2B ．y =－x 2+1C ．y =x 2－1D ．y =x 2－17．如图，PA 、PB 与⊙O 相切，切点分别为A 、B ，PA =3，∠P =60°，若AC 为⊙O 的直径，则图中阴影部分的面积为( )．A ．2πB ．36πC ．33πD ．π 8．已知b >0时，二次函数y =ax 2+bx +a 2－1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a ．的值等于．．．．( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2第Ⅱ卷(非机读卷，共88分)二、填空题(共4道小题，每小题4分，共16分)9．若△ABC ∽△DEF ，且对应边BC 与EF 的比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于 ．10．如图，⊙O 的直径是AB ，CD 是⊙O 的弦，若∠D =70°，则∠ABC 等于 ．11．如图，∠ABC =90°，O 为射线BC 上一点，以点O为圆心，12OB 长为半径作⊙O ，将射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转至BA ＇，若BA ＇与⊙O 相切，则旋转的角度α(0°＜α＜180°)等于 ．12．等腰△ABC 中，BC =8，若AB 、AC 的长是关于x的方程x 2－10x +m =0的根，则m 的值等于 ．初三数学 第2页(共4页)三、解答题(本题共29分，13～17题每小题5分，第18题4分)13．解方程：2x 2－6x +1=0．14．计算：cos60sin 30︒︒－tan45°+sin 245°. 15．已知：关于x 的方程x 2+2x =3－4k 有两个不相等的实数根(其中k 为实数)．(1)求k 的取值范围；(2)若k为非负整数，求此时方程的根．16．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若AB=2，求DC的长．17．已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．18．已知：如图，∠MAN=45°，B为AM上的一个定点．若点P在射线AN上，以P为圆心，PA为半径的圆与射线AN的另一个交点为C．请确定⊙P的位置，使BC恰与⊙P相切．(1)画出⊙P；(不要求尺规作图，不要求写画法)(2)连接BC、BP并填空：①∠ABC=°；②比较大小：∠ABP∠CBP．(用“>”“<”或“=”连接)四、解答题(本题共21分，第19题6分,第20题4分，第21题6分,第22题5分) 19．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．(1)填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为；(2)求该抛物线的解析式．20．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF=45，求EF的长．初三数学第3页（共4页）21．某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．(1)如果市场某天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠．．．．．．．．．．，那么每千克这种水果涨了多少元?(2)设每千克这种水果涨价x元时(0<x≤25)，市场每天销售这种水果所获利润为y元．若不考虑其他因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天销售这种水果盈利最多?最多盈利多少元?22．已知：如图，△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D为AB延长线上一点，BD=1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形．(1)求证：BC=BP；(2)求点C到BP的距离．五、解答题(本题共22分,第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．已知关于x的方程x2-2ax-a+2b=0，其中a、b为实数．(1)若此方程有一个根为2a(a<0)，判断a与b的大小关系并说明理由；(2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．24．已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°,∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．(1)求∠D的度数；(2)求证：AC2=AD·CE；(3)求BCCD的值．25．已知：抛物线y=－3x2－23(a-1)x－3(a2－2a)与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)，且x1<1<x2．(1)求A、B两点的坐标(用a表示)；(2)设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；(3)若a是整数，P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合)，在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的解析式及线段PQ的长的取值范围．初三数学第4页(共4页)北京市西城区2008-2009学年度第一学期期末测试初三数学试卷答案及评分参考2009．1第I卷(机读卷共32分)一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A C C D A B第Ⅱ卷(非机读卷共88分)二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 题号 9 10 11 12 答案 4∶9 20° 60°或120°（各2分） 16或25（或2分）三、解答题（本题共29分，13~17题每小题5分，第18题4分）13．解：因为a =2，b =－6，c =1，……………………………………………………………1分 所以b 2－4ac =(－6)2－4×2×1=28．………………………………………………2分代入公式，得x =24b b ac -±-…………………………………………………3分 =62822±⨯=6274±=372±． 所以 原方程的根为 x 1=37+，x 2=37-．（每个根各1分）……………5分 14．解：cos60sin 30︒︒－tan45°+sin 245°． =21221()122-+………………………………………………………………………4分 =12．…………………………………………………………………………………5分 15．（1）解一：原方程可化为（x +1）2=4－4k ．…………………………………………1分 ∵该方程有两个不相等的实数根，∴4－4k ＞0．………………………………………………………………2分 解得k ＜1．∴k 的取值范围是k ＜1．…………………………………………………2分解二：原方程可化为 x 2+2x +4k －3=0．…………………………………………………1分 Δ=22－4(4 k －3)=4(4－k )．以下同解法一．西城区初三数学试卷答案及评分参考第1页(共6页)（2）解：∵k 为非负整数，k ＜1，∴k= 0．………………………………………………………………………4分此时方程为x 2+2x =3，它的根为x 1=－3，x 2=1．…………………………5分16．(1)证明：连结OC ．∵OB=OC ，∠B =30°，∴∠OCB =∠B =30°．∴∠COD =∠B +∠OCB =60°．………………1分∵∠BDC =30°，∴∠BDC+∠COD =90°，DC ⊥OC ．…………………………………………2分∵BC 是弦，∴点C 是⊙O 的切线．………………………………………………………3分∴点C 是⊙O 上,∴点BC 是⊙O 的切线．(2)解：∵AB =2，∴OC=OB =2AB =1．……………………………………………………………4分 ∵在Rt △COD 中，∠OCD=90°，∠D=30°，∴DC =3OC =3．……………………………………………………………5分17．(1)证明：∵AB =2，BC =4，BD =1，∴AB BD CB BA=．………………1分 ∵∠ABD=∠CBA ，…………2分∴△ABD ∽△CBA ．…………3分(2)答：△ABD ∽ △CDE ；……………4分DE= 1.5 ．…………………5分18．解：（1）图形见右．…………………2分（2）①∠ABC= 45 °；…………3分②∠ABP ＜ ∠CBP ．……4分四、解答题（本题共21分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分）19．解：(1)拋物线的对称轴为直线x = 2 拋物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为（3，0）； ………………………………………2分(2) ∵拋物线经过点C （1，0）、D （3，0），∴设拋物线的解析式为y =a (x －1)( x －3) ．……4分由拋物线经过点A （0，3），得a =1．……………5分∴拋物线的解析式为 y = x 2－4 x +3． (6)分20．∵AE ⊥BC ，EF ⊥AB ，∴∠1+∠2=90°，∠B+∠2=90°西城区初三数学试卷答案及评分参考第2页(共6页)∴∠1=∠B ．………………………………………………………………………………1分 ∵cos ∠AEF=45， ∴Rt △ABE 中，cos B=45BE AB =．…………………………2分 设BE=4k, 则AB=BC=5k ，EC=BC －BE=k=2．∴BE=8，………………………………………………………3分∴Rt △BEF 中，EF=BE ·sin B=8×35=245．…………………………………………4分 21．解：(1)设市场某天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x 元．由题意得(10+x )(500－20x )=6 000．………………………………………………1分整理，得x 2－15x +50=0．解得 x 1=5，x 2=10．……………………………………………………………2分 因为顾客得到了实惠，应取x =5．………………………………………………3分 答：市场某天销售这种水果盈利6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了5元．(2)因为每千克这种水果涨价x 元时，市场每天销售这种水果所获利润为y 元， y 关于x 的函数解析式为y =(10+x )(500－20 x ) (0< x ≤25)．……………………4分而y =(10+x )(500－20x )=－20x 2+300x +5 000=－20(x －7.5)2+6 125．所以，当x =7.5时(0<7.5≤25)，y 取得最大值，最大值为6 125．……6分答：不考虑其他因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6 125元．22．(1)证明：如图1，连结PC ．……………………………………………………………1分∵AC =1，BD =1，∴AC =BD ．∵∠BAC =120°，AP 平分∠BAC ，∴∠1=12∠BAC ，∠D =60°． ∵△PAD 是等边三角形，∴PA=PD ，∠D =60°．∴∠1=∠D ．∴△PAC ≌△PDB ………………………………………………………………2分∴PC =PB ，∠2=∠3．∴∠2+∠4=∠3+∠4， ∠BPC =∠DPA =60°．∴△PBC 是等边三角形， BC =BP ………3分证法二：作BM ∥PA 交．PD 于M ，证明△PBM ≌△BCA ．(2)解法一：如图2，作CE ⊥PB 于E ， PF ⊥AB 于F ．∵AB =3，BD =1， ∴AD =4．∴△PAD 是等边三角形，PF ⊥AB ，西城区初三数学试卷答案及评分参考第3页(共6页)∴DF=12AD=2，PF=PD ·sin 60°=23． ∴BF=DF －BD=1, BP=2213BF PF +=………………………………4分∴CE=BC ·sin 60°=BP ·sin 60°=13×3=39．…………………5分 即点C 至BP 的距离等于39．解法二：作BN ⊥DP 于N ，DN =12，NP =DP －DN =72，BN =32，BP =22BN NP +=13 以下同解法一．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）∵方程x 2－2ax －a +2b =0有一个根为2a ，∴4a 2－4 a 2－a +2 b =0． (1)分整理，得b =2a ．………………………………………………………………2分 ∵a ＜0,∴a ＜2a ，即a ＜b ．…………………………………………………3分 （2）Δ=4a 2－4（－a+2 b ）=4a 2+4a －8b ．………………………………………4分∵对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴对于作何实数a ，都有4a 2+4a －8b ≥0，即a 2+a －2b ≥0，……………5分∴对于任何实数a ，都有b ≤22a a +． ∵22a a +=12(a +12)2－18， 当a=－12时，22a a +有最小值－18．……………………………………6分 ∴b 的取值范围是b ≤－18．…………………7分 24．（1）解：如图3，连结OB ．……………………………1分∵⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC =45°，∴∠BOC =2∠BAC =90°．∵OB=OC ，∴∠OBC =∠OCB =45°．∵AD ∥OC ，∴∠D =∠OCB =45°．……………………………………………………2分（2）证明：∵∠BAC =45°，∠D =45°，∴∠BAC =∠D ．…………………………………………………………3分∵AD ∥OC ，西城区初三数学试卷答案及评分参考第4页(共6页)∴∠ACE=∠DAC ．………………………………………………………………4分∴△ACE ∽△DAC ．∴AC CE DA AC=． ∴AC 2=AD ·CE …………………………………………………………………5分（3）解法一：如图4，延长BO 交DA 的延长线于F ，连结OA ．∵AD ∥OC ，∴∠F=∠BOC=90°．∵∠ABC=15°，∴∠OBA=∠OBC －∠ABC=30°．∵OA=OB ，∴∠FOA=∠OBA +∠OAB=60°，∠OAF=30°．∴OF=12 OA ． ∵AD ∥OC ， ∴△BOC ∽△BFD ． ∴BC BO BD BF =．∴BC BO OA CD OF OF ===2，即BC CD的值为2．………………………………7分 解法二：作OM ⊥BA 于M ，设⊙O 的半径为r ，可得BM =3r ,OM =2r ,∠MOE=30°， ME =OM ·tan 30°=36r ，BE=233r ，AE =33r ，所以BC BE CD EA==2． 25．解：(1) ∵拋物线与x 轴交于点A (x 1，0)、B (x 2，0)，∴x 1、x 2是关于x 的方程-22323(1)3(2)0x a x a a ----=的解.方程可化简为x 2+2(a －1) x +(a 2－2a )=0.解方程，得x=-a 或x =-a +2.∵x 1＜x 2,-a ＜-a +2，……………………………………………………………1分 ∴x 1=－a ，x 2=－ a+2∴A 、B 两点的坐标分别为A (－a ，0),B (－a+2,0)……………………………2分(2) ∵AB =2，顶点C 的纵坐标为3，……………………………………………3分 ∴△ABC 的面积等于3.………………………………………………………4分(3) ∵x 1＜1＜x 2， ∴－a ＜1＜－a +2.∴－1＜a ＜1.…………………………………………………………………5分∵a 是整数，∴a=0，所求拋物线的解析式为y=－3x 2+23x .………………………6分西城区初三数学试卷答案及评分参考第5页(共6页)解一：此时顶点C 的坐标为C(1，3).如图5，作CD ⊥AB 于D ，连结CQ . 则AD =1，CD =3，tan ∠BAC 3.∴∠BAC=60°.由拋物线的对称性可知△ABC 是等边三角形.由△APM 和△BPN 是等边三角形，线段MN的中点为Q 可得，点M 、N 分别在AC 和BC边上，四边形PMCN 的平行四边形，C 、Q 、P 三点共线，且PQ =12PC .…………………………7分 ∵点P 线段AB 上运动的过程中， P 与A 、B 两点不重合， DC ≤PC ＜AC ，DC =3， AC =2，∴3≤PQ ＜1.……………………………………………………………8分 解二:设点P 的坐标为P (x ,0)(0＜x ＜2).如图6，作MM 1⊥AB 于M 1，NN 1⊥AB 于N 1.∵△APM 和△BPN 是等边三角形，且都在x 轴上方，∴AM =AP =x ，BN =BP =2－x ，∠MAP=60°，∠NBP=60°.∴AM 1=AM ·cos ∠MAB=2x ， MM 1=AM ·sin ∠MAB=32x ， BN 1=BN ·cos ∠NBP=22x -， NN 1=BN ·sin ∠NBP=2332x -. ∴AN 1=AB －BN 1=22222x x -+-=. ∴M 、N 两点的坐标分别为M （2x ，32x ），N （22x +，2332x -）. 可得线段MN 的中点Q 的坐标为Q (12x +,3). 由勾股定理得PQ=222131()()(1)3222x x x +-+=-+.……………7分 ∵点P 在线段AB 上运动的过程中，P 与A 、B 两点不重合，0＜x ＜2， ∴3≤(x -1)2+3＜4. ∴32≤PQ ＜1.……………………………………8分 西城区初三数学试卷答案及评分参考第6页(共6页)。

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