极限数学思想方法的应用

教学实践JIAOXUESHIJIAN极限思想在高中数学中的应用广西壮族自治区北海市北海中学宁德芬【摘要】极限思想作为社会实践的产物，其渊源甚至可以追溯到古代。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，再确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到结果。

在高中数学的学习过程中，极限思想可以给学生提供一条意想不到的解题思路,让原本烦琐的题目以相对简易的方式求得答案。

本文将围绕可以运用极限思想的几道例题阐述极限思想在高中数学中的妙用。

【关键词】极限思想高中数学解题思路一、极限思想对部分求范围的题目有奇效在解决高中数学选择题时,极限思想是必须掌握的一种解题技巧，它本质上是特殊值法的延伸，利用极限思想来解决小题不仅可以透析题目的深刻本质,还可以达到化繁为简的目的。

1.已知定义在(-8,+8)上的函数/(%) = [(3;1)%-4：严<1,是减函数，那么a的取值范围是Uog,%),%>1()。

A.(0,1)B.(0,1/3)C.(1/7,1/3)D.(1/7,1)解析:本题的关键在于讨论函数在分界点x=l的领域内，使得(3a-l)%-4a>log必，即前者图象在后者之上,然后再结合图象去求a的取值范围。

此时,利用极限思想就可以很快地确定满足这一条件下的a的取值范围，之后交集范围便是题目所求。

而又因为/(%)在R 上的减函数，所以解得l/7<a<l/3，故选择C o从这道题中，我们显然可以看到极限思想帮助我们省去不少烦琐的计算过程,而是透析这道题所求范围的本质,从而达到了快速高效解题的目的。

所以,充分掌握极限思想,并在做题时时刻保持对数学思想的“敏锐嗅觉”，将会成为解题制胜的一大法宝。

二、极限思想能处理复杂的无穷等比数列问题极限本质上是从微积分中剥离出来的基本概念，它从数量上描述变量在变化过程中的一种状态或者趋势,而我们知道无穷等比数列中,g代表了该数列的变化规律，所以克制无穷等比数列是按照特定规律g变化的一种不定状态。

中国数学极限思想的例子
极限是微积分的最基本的概念，也是考研学生在学习微积分的时候很难理解的一个概念，了解了极限的概念，对于学习微积分具有很大的意义。

早在春秋战国时期，道家代表人物庄子就有了极限的思想。

据《庄子》“天下篇”中记载：“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，意思是说一尺长的木棒每天去掉前一天所剩的一半，如此下去，永远取不完，这反映了古人对极限的一种思考，也提供了一个“无穷小量”的实际例子，这个经典论断，至今在微积分的教学中还经常使用。

我国古代的极限思想与方法主要用于求面积，体积等理论。

刘徽继承和发扬了先秦诸子关于极限的思想，用“割圆术”和“阳马术”等成功地解决了求圆的面积的问题。

刘徽从圆内接正六边形开始，不断割圆，“又按为图，以六瓣之一面乘半径，因而三之，得一二瓣之幂，若又割之，次以一二瓣之一面乘半径，因而六之，则得二一四瓣之幂，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。

刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝的何承天、皮延宗和祖冲之等人，其中以祖冲之成就最大。

祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算，一直切割到二万四千五百一一六边形，依法求出每个内接正多边形的边长最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽
之间。

极限思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。

开题报告信息与计算科学极限思想在实际生活中的应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义极限的思想可以追溯到我国古代, 刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用; 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想, 但由于希腊人“对无限的恐惧”, 他们避免明显地“取极限”, 而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明. 到了16世纪, 荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法, 他借助几何直观, 大胆地运用极限思想思考问题, 放弃了归缪法的证明. 如此, 他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的. 16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期, 生产力得到极大的发展, 生产和技术中大量的问题, 只用初等数学的方法已无法解决, 要求数学突破只研究常量的传统范围, 而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具, 这是促进极限发展、建立微积分的社会背景.起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分, 后来因遇到了逻辑困难, 所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想. 牛顿用路程的改变量与时间的改变量之S ∆t ∆比表示运动物体的平均速度, 让无限趋近于零, 得到物体的瞬时速度, 并由此引S t ∆∆t ∆出导数概念和微分学理论. 他意识到极限概念的重要性, 试图以极限概念作为微积分的基础, 他说:“两个量和量之比, 如果在有限时间内不断趋于相等, 且在这一时间终止前互相靠近, 使得其差小于任意给定的差, 则最终就成为相等.”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的, 因而他无法得出极限的严格表述. 牛顿所运用的极限概念, 只是接近于下列直观性的语言描述, “如果当无限增大时, 无限地接近于常数, 那么就说以为极限” . n n a A n a A 这种描述性语言, 人们容易接受, 现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义. 但是, 这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系, 不能作为科学论证的逻辑基础. 正因为当时缺乏严格的极限定义, 微积分理论才受到人们的怀疑与攻击, 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系. 在很长一段时间里, 微积分理论基础的问题, 许多人都曾尝试解决, 但都未能如愿以偿. 这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量, 而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚; 对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解; 对有限和无限的对立统一关系还不明确. 这样, 人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法, 就不能适应变量数学的新需要, 仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系. 到了18世纪, 罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念, 并且都对极限作出过各自的定义. 其中达朗贝尔的定义是“一个量是另一个量的极限, 假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”, 它接近于极限的正确定义; 然而, 这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖. 事情也只能如此, 因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的. 首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺, 他把函数的导数定()f x 义为差商的极限, 他强调指出不是两个零的商. 波尔查诺的思想是有价y x ∆∆()f x '()f x '值的, 但关于极限的本质他仍未说清楚. 到了19世纪, 法国数学家柯西在前人工作的基础上, 比较完整地阐述了极限概念及其理论, 他在《分析教程》中指出:“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值, 最终使变量的值和该定值之差要多小就多小, 这个定值就叫做所有其他值的极限值, 特别地, 当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0, 就说这个变量成为无穷小. ” 柯西把无穷小视为以0为极限的变量, 这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识, 这就是说, 在变化过程中, 它的值可以是非零, 但它变化的趋向是“零”, 可以无限地接近于零. 柯西试图消除极限概念中的几何直观, 作出极限的明确定义, 然后去完成牛顿的愿望. 但柯西的叙述中还存在描述性的词语, 如“无限趋近”、“要多小就多小”等, 因此还保留着几何和物理的直观痕迹, 没有达到彻底严密化的程度. 为了排除极限概念中的直观痕迹, 维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义, 给微积分提供了严格的理论基础. 所谓就是指:“如果对任何, 总存在自然数, 使得当n a A =0ε>N 时, 不等式恒成立”.n N >n a A ε-<极限思想的应用无处不在, 理解掌握并合理应用极限思想, 可以让我们在解决实际问题的过程中, 能较快发现解决问题的方法, 用极限思想的方法去对待一件事情可以提高实际的效果.本文所做的工作就是本人对极限思想的认识, 通过极限思想去发现我们生活中出现的各种问题并用极限思想加以处理之; 在处理过程中学会对极限思想运用和分析, 从而使我们每个人都能从自身的角度去认识极限思想, 而不是去遗传别人对极限思想的认识.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容:研究极限思想在实际生活中的应用解决的主要问题: 1、简单分析极限思想的定义2、极限思想与其它思想之间的联系3、研究极限思想是如何应用在实际生活中的三、研究步骤、方法及措施一. 研究步骤:1. 查阅相关资料, 做好笔记;2. 仔细阅读研究文献资料;3. 在老师指导下确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4. 翻译英文资料;5. 开题报告通过后撰写毕业论文;6. 上交论文初稿;7. 反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8. 论文定稿.二.方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容, 在老师指导下, 归纳整理各类问题.四、参考文献[1] 王晓硕. 极限概念发展的几个历史阶段[M]. 辽宁: 辽宁师范大学数学系, 2001, 40-43.[2] 孟慧丽. 论瑜伽运动的美[J]. 广州: 华南师范大学体育科学学院, 2008: 64-65.[3] 杨军星. 极限思想的实际应用分析[J]. 黔南民族师范学院学报, 2009, (3): 81-84.[4] 汪晓梦. 极限思想的形成、发展极其哲学意义[J]. 中共合肥市委党校学报, 2004,(3): 22-24[5] 单清华等. 瑜伽文化足迹及现代健身价值研究[J]. 体育与科学, 2009, (180): 46-48.[6] Jobson, Oliver H. Expanding the Boundaries of Self Beyond the Limit of TraditionalThought [M]. Global Pub Assoc Inc, 2011.[7] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[8] Graham Priest. the limit of thought-and beyond [J]. oxford university, 1991: 361-370.[9] 于国涛. 超频, 让你的电脑飞跑起来[J]. 北京: 电脑迷, 2009, (2): 25.J. Jurgen. Limits and Continuity of Functions [M]. Springer Berlin Heidelberg, 2006.。

数学中的极限思想及其应⽤.摘要：本⽂对数学极限思想在解题中的应⽤进⾏了诠释，详细介绍了数学极限思想在⼏类数学问题中的应⽤，如在数列中的应⽤、在⽴体⼏何中的应⽤、在函数中的应⽤、在三⾓函数中的应⽤、在不等式中的应⽤和在平⾯⼏何中的应⽤，并在例题中⽐较了数学极限思想与⼀般解法在解题中的不同。

灵活地运⽤极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。

极限思想有利于培养学⽣从运动、变化的观点看待并解决问题。

关键词：极限思想，应⽤Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.Keywords: the limit idea，application⽬录1 绪论 (3)1.1 研究意义 (3)1.2 国内外研究现状 (3)1.3 本⽂解决的主要问题 (3)2 数学极限思想的在解题中应⽤ (5)2.1数学极限思想在数列中的应⽤ (5)2.1.1利⽤极限思想处理⽆穷等⽐数列 (5)2.1.2利⽤极限思想简化运算过程，优化解题⽅案 (6)2.2数学极限思想在函数中的应⽤ (7)2.2.1利⽤极限思想确定函数图像 (7)2.2.2利⽤极限思想确定函数定义域 (7)2.2.3利⽤极限思想求未知变量的取值范围 (8)2.3数学极限思想在三⾓函数中的应⽤ (9)2.3.1通过求极端位置求三⾓函数的取值范围 (9)2.3.2通过假设极端状态推出⾓的取值范围 (9)2.4数学极限思想在不等式中的应⽤ (10)2.4.1通过假设变量的极限求得答案 (10)2.4.2利⽤极限思想解决不等式证明题 (10)2.4.3应⽤极限思想并结合排除法解决不等式解集问题 (11)2.5数学极限思想在平⾯⼏何图形中的应⽤ (11)2.5.1利⽤极限思想求某些平⾯图形阴影部分⾯积 (11)2.5.2利⽤极限思想解决圆锥图形的问题 (12)2.6数学极限思想在⽴体⼏何中的应⽤ (14)2.6.1数学极限思想在解决求⽴体图形体积中的应⽤ (14)2.6.2利⽤极限思想探索⽴体图形的等量关系 (14)2.6.3利⽤极限思想解决探索动点轨迹 (14)3 对⼀道数学题探索解题思路 (16)结论 (17)谢辞 (18)参考⽂献 (19)1 绪论极限思想是近代数学的⼀种重要思想，数学分析中的⼀系列重要概念如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助极限来定义的。

极限思想在小学数学教学中的渗透小学数学教学是非常重要的一部分，极限思想的渗透能够在这一过程中发挥重要作用。

极限思想是数学与物理之间最根本的联系，强调有限的无限接近，以及一些不可避免的不定性。

在小学数学教学中，极限思想可以帮助学生们更好地理解数学概念，帮助他们更好地掌握数学学习。

极限思想可以在小学数学教学中充分体现，如简单运算、函数求值等。

例如，在求和公式中，学生可以通过极限思想来推导出无限紧近的构想。

学生们可以通过极限思想的帮助来更加精确地表达自己的想法，而不只是停留在简单的运算上。

同时，通过这种理解，学生也能够更好地理解其他概念，如微积分等。

此外，极限思想在小学数学教学中还有另外一个重要的用处。

该思想不仅可以帮助学生们更好地理解数学问题，而且还可以帮助他们思考更广泛的问题。

在日常数学教学中，极限思想可以帮助孩子们充分发挥他们的思维活动，激发他们迥异的想法，丰富他们自身的想象空间。

总之，极限思想在小学数学教学中的渗透具有重要意义。

通过极限思想的运用，可以帮助小学生们更好地理解数学概念，更加深入地发挥他们的思维能力，丰富他们的自身想象空间，从而让他们更好地参与数学学习。

此外，极限思想还可以帮助小学生更好地理解算法，有效地控制无限进行数学分析。

他们可以通过极限思想来找出最优解，以克服复杂问题的难度。

同时，极限思想也可以帮助小学生更好地理解实际应用中的问题，包括抽象的数学模型、分析数据的有效技巧等。

另外，极限思想也可以帮助小学生更加有效地处理一些日常问题。

例如，孩子们可以通过极限思想来寻找出更有效的求解方法，从而更快地完成学业。

当然，孩子们也可以通过极限思想来推断出一系列的行为决策，例如如何处理每一个步骤，以及如何在不同的情况下行为等。

总之，极限思想在小学数学教学中极大地提高了学生的能力，并且可以帮助他们更好地处理问题。

对孩子们来说，极限思想在小学阶段就具有重要的意义，而小学数学教学是最重要的一环，极限思想的渗透可以为他们将来的学习和实践奠定基础。

极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。

因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。

首先，要认识到极限中的关系。

极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。

根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。

其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。

再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。

这样就可以轻松求出一元二次方程的解。

比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。

最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。

极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。

极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。

因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。

浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法： （1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）； （2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。

数学几何极限思想总结大全数学几何极限是数学中一种重要的思想和方法。

它是通过逐渐逼近某个目标值，来研究数学对象的性质和变化规律的一种方法。

在数学的发展中，数学几何极限思想被广泛应用于各个领域，如解析几何、微积分、实分析等。

下面将详细介绍数学几何极限的思想和应用。

一、极限的基本概念极限是数学中一个基础的概念，它描述了一个数列或者函数在无限接近某一值时的性质。

数列的极限表示为lim_{n->∞} a_n = L，其中n表示数列的第n项，a_n表示数列的第n项的值，L表示数列的极限。

函数的极限表示为lim_{x->a} f(x) = L，其中x表示自变量，a表示自变量的接近的值，f(x)表示函数的值，L表示函数的极限。

二、函数的极限1. 函数的极限定义：对于一个函数f(x)，如果对任意的ε>0，存在一个δ>0，当0 |f(x)-L|<ε，其中x在(a-δ,a+δ)内，那么称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim_{x->a} f(x) = L。

2. 函数的极限性质：函数的极限有一些基本的性质，如加法、乘法、倒数、极限的唯一性等。

3. 函数的无穷极限：函数在无穷远处的极限也是一种重要的极限概念，如lim_{x->∞} f(x)和lim_{x->-∞} f(x)等。

4. 函数的连续性：函数的极限和连续性之间有着密切的联系，如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么这个函数在该点就是连续的。

三、数列的极限1. 数列的极限的定义：对于一个数列{a_n}，如果对任意的ε>0，存在一个N，当n>N时，有|a_n-L|<ε，其中L为数列的极限，记作lim_{n->∞} a_n = L。

2. 数列的收敛和发散：如果一个数列存在极限，那么这个数列是收敛的；如果一个数列不存在极限，那么这个数列是发散的。

3. 数列的极限性质：数列的极限也有一些基本的性质，如加法、乘法、倒数、极限的唯一性等。

极限思想及其应用摘要： (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言： (2)1.极限思想的形成及发展 (2)2.选题的背景及意义 (2)一、极限思想的思维本质 (2)1.极限思想揭示了无限与有限之间的相互转化 (2)2.极限思想是对近似和精确相互转化的揭示 (2)3.极限思想揭示了变量与常量之间的对立统一 (2)二、极限思想在数学分析中的应用 (3)1.在导数中极限思想的应用 (3)2.在积分中极限思想的应用 (4)3.在微分中极限思想的应用 (5)4.在开方中极限思想的应用 (7)结论 (9)参考文献 (10)在无限的变化中考察变量的变化趋势，这种思想就是极限思想。

由于极限概念就是数学分析的基础，所以极限思想在现代数学中有着非常重要的地位，对极限理论的熟练掌握，并将这种思想大量应用于实践中，将会体验到用极限思想解题的简便性。

笔者在本篇论文中，将从极限思想的形成与发展来引入极限，并通过分析极限思想在数学分析中的应用，在倒数、微分、积分与开方中，极限思想都起着极大的作用，通过对这些作用的描述，来证明我们对极限思想的掌握是很必要的。

关键词：极限思想；微积分；应用Abstract：Examine trends in the infinite variables change, this idea is to limit thought. Sincethe concept of limit is the basis of mathematical analysis, the ultimate thinking in modern mathematics has a very important position, skilled grasp the ultimate theory, and this idea widely used in practice, will experience an ultimate ideological problem-solving simplicity.In this paper, the author, will limit the formation and development of thought to the introduction of the limit, and by analyzing the limits of thought in mathematical analysis, in the countdown, differentiation, integration and evolution, the ultimate thinking plays a great action by the description of these effects, to prove that we grasp the limits of thought is necessary.Key words：Limit Thought；calculus；application作为数学思想中最重要的一项思想之一，极限思想从萌芽到完善时期，一直为人类对世界对物质的认识提供着强有力的工具。

本科毕业论文（设计）极限思想及其应用学生姓名：孙金龙学号：071611140系部：应用数学系专业：金融数学指导教师：刘炎讲师提交日期：2011年3月21日广东金融学院2008-JX16-毕业论文基本要求1．毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践意义的论题。

2．论文篇幅一般为8000字以上，最多不超过15000字。

3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。

4．论文字体规范按《广东金融学院本科生毕业论文写作规范》和“论文样板”执行。

5．论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。

本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学生签名：时间：年月日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东金融学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务，在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定。

学生签名：时间：年月日摘要极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。

极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。

极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。

高等数学教学中关于极限思想的教学及其
感悟
极限思想是高等数学中的基本概念，掌握了极限思想，才能更好地理解高等数学的知识。

极限思想不仅在高等数学中有着重要的作用，也是当今科学发展的基础，在现代社会中有着重要的价值。

极限思想的本质是“当某种量变得越来越接近某个值时，
其结果也接近这个值”，它是以数学的术语来表达的，而极限
是指一个量接近某个值，它没有达到这个值时，其结果也接近这个值。

极限思想的数学表达式就是体现这种概念的，即“当
变量接近某个值时，函数的值也接近某个值”，这就是极限的
数学表达式。

极限思想的应用广泛，它被广泛应用在几何学、微积分学、计算机科学、物理学和工程学等各个科学领域，它的应用有很多，如分析函数的性质，计算函数的导数和微分，求函数的极值，研究函数的连续性和可导性，求解积分，解析解析函数等。

极限思想在高等数学中的教学要求学生把极限思想的概念融入到数学知识的研究中，使学生能够通过极限思想来分析数学问题。

首先，教师应该让学生根据极限思想，对数学概念有一个基本的了解。

其次，要求学生能够根据极限思想推导出数学公式，以及推导出相关数学定理。

最后，教师应给学生介绍
极限思想在现代社会中的应用，让学生在研究完极限思想后，能够充分发挥极限思想的价值。

从我到教学极限思想的感悟来看，它是一种数学观念，它的价值不仅体现在数学知识的研究上，更体现在它对现代社会的价值，极限思想的意义就在于它的价值，它让我们能够更好地理解数学知识，也能够更好地理解自然界的规律。

极限思想的研究不仅可以提高学生的数学知识，也可以提高学生的智慧，让他们有能力去探索现代社会的科学知识。

浅谈“极限思想”在数学分析中的应用摘要：极限理论是近代数学的重要思想，而数学分析就是以极限定义为基础，以极限理论为工具的一门学科。

极限思想更是一种思维的模式，让我们的认知从不变到变，从量变到质变，从近似到精确。

本文将对极限思想在数学分析中的应用进行分析。

关键词：极限思想；极限理论；数学分析1.引言极限理论在数学分析中的应用最直接的体现就是解决数学分析中的问题，是数学分析最基础，却最重要的内容。

它以各种各样的形式出现，并贯穿于数学分析乃至高等数学的全部内容，是其核心之所在。

随着现代数学的发展与完善，极限是解决现代数学问题的关键、有效方法，这是由于极限理论可建立在较为普通的数学空间，促使数学求解方法由传统的有限范围转到现代的无限范围，同时也是从近似到精确的过程。

例如，极限理论包含的数学解题思路充分利用常量与变量之间的对立关系、无限与有限之间的内在联系，解释曲面面积、曲线长度等问题的出现原因，即数学家运用极限思维对应用数学教学进行深入阐述。

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念定义都离不开极限，几乎所有的数学分析著作都是先介绍函数极限的思想方法，然后给出导数、连续、定积分、级数的敛散性、重积分、多元函数的偏导数、曲线积分与曲面积分的概念。

下面我们将从导数，级数和积分三块内容来结合实例探讨极限思想的体现与应用。

2.极限思想在导数中的应用导数是微积分学中重要的基础概念，是函数的局部性质。

导数最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引人的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。

这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。

①瞬时速度：设一质点作直线运动，其运动规律为。

若为某一确定时刻，为临近于的时刻，则是质点在时间段（或）上的平均速度。

若时的平均速度的极限存在，则称极限为质点在的瞬时速度。

在计算诸如物质比热，电流强度，线密度等问题中，尽管它们的物理背景各不相同，但最终都归结于讨论形如的极限。

“极限”一词的汉语意思是“最大限度”，在数学中的含义是：如果变量x 按照某一规律变化，无限地接近于一个常数c ，则称c 为x 的极限，记作limx=c 或x →c.极限思想是微积分学的基本思想，它将有限与无限、常量和变量、近似与精确统一起来.对于高中生来讲，极限的严格定义并不易理解.本文将列举极限思想在高中数学的一些应用.一、用极限思想解释为什么指数函数的定义域包括无理数指数函数是高中生必须掌握的基本初等函数之一，其基本形式是y=a x（a ＞0，a ≠1），定义域为R.在学习指数函数前，学生已经掌握了幂运算以及分数指数与根式的互化，因此，学生很容易理解指数函数的定义域从整数扩充到有理数.例如，函数f （x ）=2x ，当x 为任意有理数时，因有理数可化为分数，我们能理解分数指数幂的含义，因而能求出对应的函数值.但是，当x 为无理数，比方说x=2√时，22√有意义吗？它的值可求吗？事实上，指数函数的定义域也包括无理数，用极限思想来解释就很容易理解了.对于任意有理数x ，x 的值越大，2x 的值也越大，即当x ＜2√时，22√＞2x ，当x ＞2√时，22√＜2x .由此我们可以得出下表.随着2√的不足近似值和过剩近似值分别从两边无限地逼近2√，22√的值也无限地逼近一个确定的实数.用实数理论来解释无理指数幂太过深奥，不利于学生理解，而用极限思想中无限逼近的方法说明无理指数幂存在的合理性，按照高中生的认知水平足以理解.这样就将指数函数的定义域从有理数扩充到实数，进而可以解释用描点法作指数函数图像时要用光滑的曲线连接了.二、用祖暅原理求球的体积用“无限分割，近似求和，取极限”的思想方法求球的体积.将球分割为无数个“薄圆片”，表示出任意一个“薄圆片”的体积表达式，然后求代数式的和式，最后取极限.这是定积分的基本思想，也是极限思想的重要运用.求球的体积的另一个方法是运用“祖暅原理”或“卡瓦列里原理”：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.意大利数学家卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，面是由无限多平行线组成，立体则是由无限多个平行平面组成.他分别把这些元素叫作线、面和体的“不可分量”（indivisi-ble ）.利用祖暅原理和“不可分量”，可以求出球的体积.设曲线DHC 是以为O 圆心的半圆，ABCD 是它的外切矩形，以OH 为旋转轴，则正方形OHBC 画出圆柱，三角形OHB 画出圆锥，14的圆OHKC 画出半球.如上图，在与底面平行的任何地方去截这些立体的截面，得到以G 为中心，半径分RG ，FG ，EG 的圆，它们分别是圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在关系：OE 2=GO 2+EG 2，OE 2=RG 2=FG 2+EG 2.所以，πRG 2=πFG 2+πEG 2，由于这个关系对于垂直于轴的任何截面都成立，所以根据卡瓦列里原理，圆柱的体积等于半球与圆锥的体积之和，即πOH 3=V 半球+13πOH 3，所以，V 半球=23πOH 3.因此，球的体积为43πR 3（R 是球半径）.这里的“不可分量”和定积分应用中的微元法类似，虽然卡瓦列里的不可分量并不严谨，但是将线作为面的微元，将面作为体的微元的思想有利于学生理解定积分的概念.三、用极限证明双曲线的渐近线双曲线x 2a 2-y 2b 2=1有两条渐近线x a ±y b=0，教材中这样描述双曲线的渐近线：双曲线与两条渐近线无限接近，但永不相交.爱思考的学生可能会有疑问，为什么双曲线的渐近线是这两条直线？真的是永不相交吗？用极限思想就能清楚地回答这两个问题.以第一象限为例，无限接近，但永不相交，用数学语言表示为：设点P （x ，y ）是双曲线上的动点，要证明点P 到直线x a -y b=0的距离|PN|随着点P 远离原点而越来越小最终趋于0.由下图知，|PN|=|PMcos α|=b a（x-x 2-a 2√）.a a 2+b 2√=b a 2+b 2√（x-x 2-a 2√）=b a 2+b 2√·a 2x+x 2-a 2√=a 2b a 2+b 2√·1x+x 2-a 2√，P 点无限地远离原点等价于P 点的横坐标x 趋于正无穷大，因此limx →+∞极限思想在高中数学中的应用郭婵婵（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000）摘要：极限思想是重要的数学思想，高中学习极限思想一方面能锻炼学生的思维能力，提高解题水平，另一方面对高等数学的学习做铺垫.本文介绍了极限思想在高中数学的几个应用.关键词：极限思想；高中数学；应用中图分类号：G642.0文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）35-0103-02表1. All Rights Reserved.挡土墙土压力分布的画法与意义胡幼常（武汉理工大学交通学院，湖北武汉430063）摘要：根据多年的教学经验，就如何正确理解黏性土作用于挡土墙上的土压力分布，以及挡土墙土压力分布图的作用与意义提出了自己的观点。

众所周知，在现实世界中，数学是将数与形相结合，进行简洁、高效、优美的描述，是有其内部抽象和外部有效性的一门学科。

数学是其它各门学科的基础，在解决其他学科的问题过程中往往都需要用到数学的思想和方法。

而求解实际问题的正确解法是由一系列正确的程序构成，即从已知量出发，通过对已知条件与目标结果的联系，并运用各种运算，最终得到正确结果的过程。

微积分是解决实际问题的一个基础，而极限思想是微积分的基础，并且极限思想贯穿整个微积分的内容，理解并掌握好极限的重要思想，可以让我们在解决实际问题的过程中，能较快发现解决问题的方法，提高解决实际问题效率。

行列式和矩阵是线性代数非常重要的内容，近年来，关于行列式的计算以及矩阵的证明已取得了许多的成果［１～４］，并有很多相关运用。

基于此，本文利用数学的极限思想解决了特殊行列式的计算以及矩阵证明等问题，为以后的研究讨论做出初步的探索和分析。

关于伴随矩阵中性质***)(A B B A •=•的证明通常情况下我们运用矩阵方式进行证明，但是证明过程相对复杂而且难以理解，或者通过构造可逆矩阵E A λ+和E B λ+证明对于任意的λ等式：[]***()()()()A E B E B E A E λλλλ++=++成立，则当0=λ时即可。

此证明过程也很繁琐。

因此，尝试运用新的方法进行证明，使证明过程更加简洁明了。

定义１：在矩阵中，设n 阶矩阵 ()ij n n A a ×=，若矩阵中ij a 是关于变量x 的函数，则我们称矩阵A 为矩阵函数。

定义２：在矩阵中，设n 阶矩阵 ()ijn nA a ×=，()）（εεij a A =)(，）（εij a 为的连续函数，若有ij ij a a =→）（εε0lim ，则称矩阵函数 ()A ε收敛于矩阵 A ，记为A A →)(ε或令A A =→)(lim 0εε。

1设A 、B 为n 阶方阵,则有***)(A B B A •=•等式成立（１）若A 、B都为n 阶可逆矩阵，则n B r A r ==)()(，因为A 、B 都可逆，则AB也可逆，所以有：1*−•=A A A ，1*−•=B B B ，故*)(AB ==•••=•−−−111)(A B B A AB AB **11A B A A B B •=•••−−。

数学极限在生活中的例子数学极限是数学中的重要概念，它在生活中也有很多应用。

下面列举了十个符合题目要求的例子，以帮助读者更好地理解数学极限在生活中的应用。

1. 飞机起飞过程中的速度：当飞机起飞时，它的速度会逐渐增加，直到达到一个极限值。

这个极限值即为最大起飞速度，超过这个速度飞机将无法起飞。

这个过程可以用数学极限的概念来描述。

2. 车辆行驶过程中的加速度：当我们踩下油门，车辆的加速度会逐渐增加，直到达到一个极限值。

这个极限值即为车辆的最大加速度，超过这个加速度车辆将无法继续加速。

3. 水温的变化：当我们将热水倒入一个容器中，水温会逐渐降低，直到达到室温。

这个过程可以用数学极限的概念来描述。

4. 球体的体积：当我们将一个球体的半径逐渐增加，球体的体积也会逐渐增加。

当半径趋于无穷大时，球体的体积也趋于无穷大。

5. 电池的电量：当我们使用电池时，电池的电量会逐渐减少，直到耗尽。

这个过程可以用数学极限的概念来描述。

6. 音乐音量的变化：当我们将音乐的音量调高或调低，音量会逐渐增加或减小，直到达到一个极限值。

这个极限值即为音乐的最大或最小音量。

7. 人体温度的变化：当我们发烧时，体温会逐渐升高，直到达到一个极限值。

这个过程可以用数学极限的概念来描述。

8. 股票价格的变化：当我们观察股票市场时，股票价格会不断波动。

这种波动可以用数学极限的概念来描述，当股票价格达到一个极限值时，我们可以判断股票市场的趋势。

9. 跑步速度的变化：当我们跑步时，我们的速度会逐渐增加，直到达到一个极限值。

这个极限值即为我们的最大跑步速度。

10. 轮胎的磨损：当我们使用车辆时，轮胎会逐渐磨损，直到达到一个极限值。

超过这个极限值，轮胎将无法继续使用。

通过以上十个例子，我们可以看到数学极限在生活中的应用非常广泛。

它能帮助我们理解各种变化过程，并预测未来的发展趋势。

因此，掌握数学极限的概念对我们的生活和工作都非常重要。