[推荐学习]中考数学 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象和性质考题训练1

二次函数的图象和性质
1．[2014·合肥四模] 若二次函数y＝x2－2x＋5配方后为y＝(x＋h)2＋k，则h＋k的值为( )
A．3 B．5 C．－3 D．－5
2．[2015·牡丹江] 抛物线y ＝3x2＋2x－1向上平移4个单位后的函数表达式为( ) A．y＝3x2＋2x－5 B．y＝3x2＋2x－4
C．y＝3x2＋2x＋3 D. y ＝3x2＋2x＋4
3．[2014·安徽模拟] 已知抛物线y＝(x－a)2＋a＋1的顶点在第二象限，那么a的取值范围是( )
A．a<0 B．a<－1
C．a>－1 D．－1<a<0
4．[2014·宁夏] 已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( )
A B
C D
图K13－1
5．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图K13－2所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是( )
图K13－2
A．y1≤y2B．y1<y2
C．y1≥y2D．y1>y2
6．[2015·巴中] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图K11－3所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：
①abc＜0，②2a＋b＝0，③a－b＋c＞0，④4a－2b＋c＜0.其中正确的是( )
图K11－3
A．①② B．只有①
C．③④D．①④
7．[2014·芜湖模拟] 抛物线y＝x2＋1的最小值是________．
8．[2015·漳州] 已知二次函数y＝(x－2)2＋3，当x________时，y随x的增大而减小．9．[2015·淮安] 二次函数y＝x2－2x＋3的图象的顶点坐标是________．10．[2015·杭州] 函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝________；当1＜x＜2时，y随x 的增大而________(填“增大”或“减小”)．
11．[2014·南京] 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
12．[2015·资阳] 已知抛物线p：y＝ax2＋bx＋c的顶点为C，与x轴相交于A，B两点(点A在点B左侧)，点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的表达式为______________．
13．如图K13－4所示，二次函数y＝－2x2＋4x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.
(1) 求m的值及点B的坐标；
(2) 求△ABC的面积；
(3) 该二次函数图象上有一点D(点D与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC，请求出点D的坐标．
图K13－4
14．[2014·北京] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2＋mx＋n经过点A(0，－2)，
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D的纵坐标t的取值范围．
预测题
1．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下B．对称轴是x＝－1
C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点
2．已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)用配方法求其函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
1.A
2．C [解析] 向上平移4个单位，相同的x对应的y的值都增加4.故选C.
3．D
4．C [解析] 当a＞0时，函数y＝ax的图象必过第一、三象限，函数y＝ax2的图象开口向上，显然，选项B，D均不符合，故都错误．若x＝1，则两个函数的函数值都应为a，选项A不符合，故也错误．当a＜0时，函数y＝ax的图象过第二、四象限，函数y＝ax2的图象开口向下，若x＝1，则两个函数的函数值都为a，故选项C符合题意，故选C.
5．B [解析] 由图象可知抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，且x1<x2<1，
∴点A，B都在对称轴的左侧．∵抛物线y＝－x2＋bx＋c开口向下，在对称轴左侧，y随x 的增大而增大，∴y1<y2.
6．D [解析] ∵抛物线的开口向上，∴a＞0.
∵－b
2a
＜0，∴b＞0.
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，①正确．
∵对称轴为直线x＝－1，
∴－b
2a
＝－1，即2a－b＝0，②错误．
∵x＝－1时，y＜0，
∴a－b＋c＜0，③错误．
∵x＝－2和x＝0时y值相等，当x＝0时，y＜0，
∴4a－2b＋c＜0，④正确．
故选D.
7．1 [解析] 抛物线y＝x2＋1的顶点坐标为(0，1)，由于抛物线的开口向上，所以它有最小值1.
8．<2(或≤2)[解析] 对于二次函数y＝(x－2)2＋3，其中二次项系数a＝1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，即当x＜2 (或x≤2)时满足．
9．(1，2) [解析] 因为y＝x2－2x＋3＝x2－2x＋1＋2＝(x－1)2＋2，所以顶点坐标为(1，2)．
10．－1 增大
11．解：(1)证法一：因为(－2m)2－4(m2＋3)＝－12<0，
所以关于x的方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根．
所以不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象与x轴都没有公共点．
证法二：因为a＝1＞0，所以该函数的图象开口向上．
又因为y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3≥3，
所以该函数的图象在x轴的上方．
所以不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象与x轴都没有公共点．
(2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3.
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
所以把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
12．y ＝x 2
－2x －3
13．解： (1)∵函数图象过点A (3，0)，
∴－18＋12＋m ＝0，∴m ＝6.
∴该函数的表达式为y ＝－2x 2＋4x ＋6.
由(1)易知当－2x 2＋4x ＋6＝0时，x 1＝－1，x 2＝3.
∴点B 的坐标为(－1，0)．
(2)点C 的坐标为(0，6)，
∴S △ABC ＝4×62
＝12. (3)设点D 的纵坐标为h .∵S △ABD ＝S △ABC ＝12，
∴S △ABD ＝4×||h 2
＝12，∴||h ＝±6. ①当h ＝6时，－2x 2＋4x ＋6＝6，解得x 1＝0，x 2＝2.
∴点D 的坐标为(2，6)
②当h ＝－ 6时，－2x 2＋4x ＋6＝－6，解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7.
∴D 点坐标为(1＋7，－6)，(1－7，－6)．
综上所述，点D 的坐标为(2，6)，(1＋7，－6)，(1－7，－6)．
14．解：(1)∵抛物线y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A (0，－2)，B (3，4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，18＋3m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2， ∴抛物线的表达式为y ＝2x 2
－4x －2，抛物线的对称轴为直线x ＝1.
(2)由题意知点C 的坐标为(－3，－4)．
∵y ＝2x 2－4x －2，∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)，∴二次函数的最小值为－4.
如图所示，
∵点D 在抛物线的对称轴上，
∴当点D 的纵坐标为－4时，直线CD ∥x 轴，直线CD 与抛物线只有一个公共点， 当点D 的纵坐标小于－4时，直线CD 与抛物线无公共点．
设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，交抛物线对称轴于点D .
∵B (3，4)，C (－3，－4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝4，－3k ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝0，
∴直线BC 的函数表达式为y ＝43
x .
当x ＝1时，y ＝43，∴符合条件的点D 的纵坐标的最大值为43
.故点D 的纵坐标t 的取值范围为－4≤t ≤43
. 预测题
1．C
2．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3＝x 2－4x ＋4－1＝(x －2)2－1，
∴顶点C 的坐标为(2，－1)．
当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；当x >2时，y 随x 的增大而增大．
(2)令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3.
∴当点A 在点B 左侧时，A (1，0)，B (3，0)；
当点A 在点B 右侧时，A (3，0)，B (1，0)．
∴AB ＝||1－3＝2.
过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则△ABC 的面积＝12AB ·CD ＝12
×2×1＝1.。