(3)
f ( x ) f (0) f (0) x
(4)
12
例3. 有一批半径为 1cm 的球,为了提高球面的光洁度,要镀上 一层铜,厚度定为 0.01cm, 估计一下每只球需用铜多少克? (铜的密度是8.9 g / cm 3 ) 解 只须求出镀层的体积. 它等于两个球体体积之差. 4 3 v R R0 1 R 0.01 3
第五节 微分
微分的定义 微分的几何意义 微分公式与运算法则 微分的应用
1
一、微分的定义 引例. 一块正方形金属薄片受温度的影响, 其边长由 x 变到 x x, 问此薄片的 0 0 面积改变了多少? 面积的改变量：
x0
x x
S x
2
x0
S ( x0 x )2 x0 2 x0x ( x )2
5
函数 y f ( x ) 在任意点 x 处的微分,称为函数的微分, 记作 dy , 或 df ( x ). 即
dy f ( x )x
dx xx x
f ( x ) dy dx
“微商”
f( x) x
则
dy f ( x )dx
3
例1. 求函数 y x 当 x 2, x 0.02 时的微分. 解 由 dy f ( x ) x 3x 2 x
dy
x 2
3 4 0.02 0.24
x 0.02
6 T P
y
tan f ( x0 )
QN y MQ x QP MQ tan
0
M
dy
Q
x0 x
x0
x
f ( x0 ) x dy
函数 y f ( x ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处的微分, 是曲线的切线上点的纵坐标相应的增量. 当 | x | 很小时，y dy | 比 | x | 小得多， | 因此，在点M的邻近可用切线段近似代替曲线段.
