[研究生入学考试]线性代数-二次型

=x Ax A是对称矩阵.
称为二次型的矩阵表示, 建立了对称矩 阵与二次型之间的一一对应关系. 当aij为 实数时, f 称为的实二次型，当 aij为复数 时， f 称为复二次型.
例如
f ( x, y, z) x2 2 y2 5z2 2xy 6 yz 2xz
x
y
z
1 1
1 2
1 x 3 y
0 0
6 D1
1 1/2 3
1 1/ 2 1 C1
0 0
1
2 0 0 0 1 0
0 0 6
1 1/2 3
1 0
1/ 2 0
11
2 0 0 2
0 0 D
与例2一致.
0 0 6
1 1 3
于是
1 0
1 0
11 C
f 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3 经过变换x=Cy, 即
1 3 5 z
二次型讨论的主要问题: 在新旧变量之间, 寻 找适当的线性变换
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2 c21 y1 c22 y2 c2n yn xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
使二次型只含新变量的平方项, 即将上式 代入后 f d1 y12 d2 y22 dn yn2
d1
C
'
AC
d2
D.
dn
由于C是满秩矩阵, 则它可分解成一系列初等 矩阵的乘积, 令
C=P1P2…Ps,
其中Pi(i=1, 2, …, s)为初等矩阵.
于是
C AC=(P1P2…Ps) A(P1P2…Ps)
=Ps …P2 P1 AP1P2…Ps =Ps …(P2 (P1 AP1)P2)…Ps

a为何值时，A可对角化？
有一个2重特征值，
⑴求a；⑵讨论A可否对角化？ .
第四讲 相似矩阵及二次型
相似与对角化
3. 实对称矩阵的相似对角化 实对称矩阵的性质 ① 实对称矩阵的特征值均为实数，每个 特征值l的重数=n-r(lE-A); ② 属于不同特征值的特征向量正交. 结论 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得 Q –1AQ = = diag(l1, l2, …, ln), 其中l1, l2, …, ln为A的全部特征值, Q = (q1, q2, …, qn)的列向量组是A 的对应于l1, l2, …, ln的标准正交特 征向量.
相似与对角化
三、相似与对角化 1. 相似的定义与性质
设A与B 均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B 成立，则称A与B相似，P为把A变成B的相 似变换矩阵.
第四讲 相似矩阵及二次型
相似与对角化
性质 若A与B相似，则 ①对于多项式f(x)， f(A)与f(B)相似. ②方阵A与B的特征值相同. ③|A|=|B|. ④tr(A)= tr(B). ⑤r(A)= r(B). ⑥当P 1AP =B时，是A的特征向量，则P -1 是B的特征向量. ⑦若P 1AP = ，则 =diag[l1, l2, …, ln]，其 中l1, l2, …, ln为A的特征值.
第四讲 相似矩阵及二次型
特征值与特征向量
例10.设 =(1,-1,1)T是3阶矩阵A的特征向量，对应的特 征值为1， A5 4 A3 E ，验证是B的特征向量. B 例11.设1, 2是A的特征向量，特征值l1≠l2,则1, A(1+ 2)线性无关的充要条件是什么.
第四讲 相似矩阵及二次型

考研数学三线性代数（二次型）-试卷1(总分94,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 二次型f(x1，x2，x3)=的标准形可以是( )A. B.C. D.2. 下列二次型中是正定二次型的是( )A. f1=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2B. f2=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2C. f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2D. f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4-x1)23. 下列矩阵中A与B合同的是( )A. B.C. D.4. 设A是n阶实对称矩阵，将A的i列和j列对换得到B，再将B的i行和j行对换得到C，则A与C( )A. 等价但不相似．B. 合同但不相似．C. 相似但不合同．D. 等价，合同且相似．5. 下列矩阵中，正定矩阵是( )A. B.C. D.6. n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )A. 二次型xTAx的负惯性指数为零．B. 存在可逆矩阵P使P-1AP=E．C. 存在n阶矩阵C使A=C-1C．D. A的伴随矩阵A*与E合同．7. 下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )A. B.C. D.8. n元实二次型正定的充分必要条件是( )A. 该二次型的秩=n．B. 该二次型的负惯性指数=n．C. 该二次型的正惯性指数=它的秩．D. 该二次型的正惯性指数=n．9. 下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )A. A-1正定．B. A没有负的特征值．C. A的正惯性指数等于n．D. A合同于单位阵．10. 关于二次型f(x1，x2，x3)=，下列说法正确的是( )A. 是正定的．B. 其矩阵可逆．C. 其秩为1．D. 其秩为2．11. 设f=XTAX，g=XTBX是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )A. XT(A+B)XB. XTA-1XC. XTB-1XD. XTABX．12. 设A，B为正定阵，则( )A. AB，A+B都正定．B. AB正定，A+B非正定．C. AB非正定，A+B正定．D. AB不一定正定，A+B正定．13. 实对称矩阵A的秩等于r，它有t个正特征值，则它的符号差为( )A. r．B. t-r．C. 2t-r．D. r-t．14. 二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B( )A. 一定合同．B. 一定相似．C. 既相似又合同．D. 既不相似也不合同．15. f(x1，x2，x3)=对应的矩阵是( )A. B.C. D.2. 填空题1. 设f=为正定二次型，则未知系数a的范围是________2. 二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=的规范形是______3. 若二次曲面的方程为x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4，经正交变换化为，则a=_______4. 设f(x1，x2)=，则二次型的对应矩阵是_______5. 二次型f(x1，x2，x3，x4)=的规范形是______6. 若二次型f(x1，x2，x3)=是正定的，则a的取值范围是______7. 设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A-6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是______8. 设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=-aE+A TA是正定阵，则a的取值范围是________3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学所有知识点总结考研数学是众多考生在研究生入学考试中面临的重要科目之一，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计等多个领域。

以下将为大家详细梳理考研数学的所有重要知识点。

一、高等数学1、函数、极限与连续函数的概念，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

极限的定义、性质和计算方法，如四则运算、洛必达法则等。

函数连续的定义、间断点的分类及判断。

2、一元函数微分学导数的定义、几何意义和物理意义。

基本初等函数的导数公式，导数的四则运算和复合函数求导法则。

微分的定义和计算。

利用导数研究函数的单调性、极值、最值和凹凸性。

3、一元函数积分学不定积分的概念、性质和基本积分公式。

换元积分法和分部积分法。

定积分的定义、性质和几何意义。

牛顿莱布尼茨公式。

利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积和曲线的弧长。

4、多元函数微分学多元函数的概念、定义域和值域。

偏导数的定义和计算，全微分的定义和计算。

多元复合函数和隐函数的求导法则。

多元函数的极值和条件极值。

5、多元函数积分学二重积分的定义、性质和计算方法，直角坐标和极坐标下的二重积分计算。

三重积分的定义和计算，柱坐标和球坐标下的三重积分计算。

曲线积分和曲面积分的概念、性质和计算方法。

6、无穷级数数项级数的收敛和发散的概念，正项级数的审敛法，交错级数的审敛法。

幂级数的概念、收敛半径和收敛区间的求法，幂级数的和函数。

函数展开成幂级数。

7、常微分方程常微分方程的基本概念，一阶常微分方程的求解方法，如可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程等。

二阶常系数线性微分方程的求解方法。

二、线性代数1、行列式行列式的定义、性质和计算方法。

行列式按行（列）展开定理。

2、矩阵矩阵的概念、运算（加法、数乘、乘法、转置）。

逆矩阵的定义、性质和求法。

矩阵的秩的定义和求法。

分块矩阵的运算。

3、向量向量的概念、线性运算和线性表示。

向量组的线性相关性的定义和判断方法。

向量组的秩和极大线性无关组。

4、线性方程组线性方程组的解的存在性和唯一性的判断。