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机理分析建模

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机理模型和数据模型

机理模型和数据模型

机理模型和数据模型是现代科学研究中常用的两种模型。

机理模型是基于物理、化学和生物学等学科的理论和原理，通过描述和解释物理、化学和生物学的基本机制来构建的模型。

数据模型则是基于实验数据、观测数据和统计数据等数据形成的模型。

本文将从概念、特点、应用等方面对机理模型和数据模型进行比较和分析。

一、概念机理模型旨在通过描述物理、化学、生物学等学科的基本机制来构建模型，通过分析和解释模型的物理、化学或生物学机制来研究表观现象。

数据模型则是基于实验数据、观测数据等数据形成的模型。

相对于机理模型，数据模型并不强调物理、化学或生物学机制，而是用数据模拟现象的发生和演化。

二、特点机理模型更加具体而且更具有可解释性和预测性。

机理模型可以更好地解释和预测复杂系统的行为，因为它们是建立在物理、化学或生物学机制的基础上的。

而数据模型与原理无关，是对实际数据的描述和建模，可处理真实的大量数据，但因为没有物理、化学或生物学机制的支持，预测性会相对较弱。

三、应用机理模型更多用于化学、生物等物理学领域中，能够更好地解释和预测实验结果。

数据模型则广泛运用于社会经济、环境及医疗保健研究等领域，如金融市场预测、医疗诊断、天气预报等。

四、优缺点机理模型具有较真实性和可解释性等优点，并能进行定量化的预测和评估。

但机理模型需要大量的进一步研究和实验，加强模型的准确性和精度，所需数据量也很庞大，建模速度相对较慢。

缺点则是模型设计和求解都非常困难，且预测结果容易受到初值、参数以及不确定性等因素的影响，难以满足复杂系统建模的需求。

数据模型则不受前提假设的影响，适用范围广，且可以快速构建，但不足之处是缺少明确的机理解释和预测能力较弱。

五、结论机理模型和数据模型是现代科学研究中常用的两种模型，都有自己的优点和缺点，其应用基于具体研究的科学领域和问题而异。

因此，在应用建模方法时，需要根据具体问题和数据特征灵活选用，使建模结果更准确，更符合实际应用需求。

系统建模与动力学分析

系统建模与动力学分析

理论力学基本知识_静力学

辊轴约束的应用举例：桥梁支座。
理论力学基本知识_静力学



二力杆约束： 两端用球铰或平面柱铰与其他物体联结且不计重量的刚 性直杆，称为二力杆。 注意：二力杆件不一定是直杆。 由于二力杆只可能在两端A，B处受到力的作用，根据二 力平衡条件，两端约束力F_A和F_B必大小相等，方向相 反，沿杆的中心轴方向。 二力杆不仅能受拉力， 而且能受压力，属于 双侧约束。
理论力学基本知识
理论力学基本知识_静力学
静力学主要讨论以下两个基本问题： （1）力系的等效替换和简化； （2）力系的平衡条件及其应用。 静力学的全部理论建立在下面五个公理的基础上。 公理一、两力平衡公理 作用在同一刚体上的两个力，它们使刚体处于平衡的必 要和充分条件是：这两个力等值、反向、共线。
理论力学基本知识_静力学


理论力学基本知识_静力学

如果杆件为直杆，将其切断。根据切断部分平衡的条件， 切断面必存在力分别与各端点的约束力构成平衡力系(见 图)。该作用力称为杆件的内力。它们大小相等方向相反。
理论力学基本知识_静力学

二力杆约束应用举例：下图为铁路桁架桥，各杆之间通 常采用铆接或焊接的方法连接，力学上抽象为铰链连接， 其弦杆即为二力杆。



建立模型：



建立系统模型：应用物理定律于具体的系统。它可以建立 一数学模型来描述此系统。 简化与精度：决定一合理的简化模型，必须确定哪些物理 变量和关系是重要的，不可忽略的；哪些是对于模型的精度 有决定性作用的。 数学模型不能精确地代表任何物理元件或系统，它总是包含 近似和假设。某些近似和假设限制数学模型的正确性范围。

数学建模介绍

数学建模介绍

数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。

一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。

究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。

这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。

（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。

如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。

这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。

数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。

数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。

建立数学模型的过程称为数学建模。

(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。

计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。

数学建模方法归类(很全很有用)

数学建模方法归类(很全很有用)

在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。

用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。

拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。

在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。

其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。

回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。

相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。

逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。

化学反应动力学的数学建模分析

化学反应动力学的数学建模分析

化学反应动力学的数学建模分析化学反应是自然界中常见的过程之一，它涉及原子和分子之间的相互作用，由此而引起的能量和物质的转化。

对于化学反应的研究，化学反应动力学是一个非常重要的分支领域。

它主要研究反应的速率、化学反应速率与反应物浓度的关系、反应的气体动力学等方面，对于深入理解化学反应过程及其工业应用具有重要作用。

化学反应动力学是一个涉及多个学科知识的领域，其中重要的一部分就是数学建模分析。

数学建模是指根据已知的原理、概念和数据，利用数学方法，建立适当的模型，来描述所研究的现象或系统。

数学建模分析在化学反应动力学领域的应用，包括了多个方面，下面我们将逐一进行介绍。

一、手推式建模手推式建模是一种基本的方法，可以对于一些简单的化学反应模型进行模拟和分析。

手推式建模通常基于质量守恒和能量守恒原理，构建反应物浓度变化的微分方程。

比如，AB反应的模型可以写成以下形式：d[A]/dt = - k[A][B]d[B]/dt = - k[A][B]其中，k是反应的速率常数，[A]和[B]分别表示反应物A和B 的浓度。

从这个方程式中我们可以看出，当反应物A的浓度减少时，反应速率也会随之减小。

这种手推式建模方法对于一些简单的反应体系的分析非常有用，但是对于复杂体系而言，手推式建模则显得力不从心。

二、动态系统建模动态系统建模是一种可以描述化学反应中各个组分之间耦合关系的方法。

动态系统建模涉及到微分方程和控制论的知识，可通过建立反应动力学的微分方程，用数学的方法进行求解，来得到化学反应的动力学行为。

举个例子，对于单一组分分子总体达到平衡的一个反应体系，其化学反应的动态系统可以用以下控制方程来描述：dN/dt = C●N（1-N/K）其中，N是化学反应体系中分子的数目；K是达到最大平衡态时化学反应体系中分子的最大数目；C是最大化学反应速率的控制因子。

这个方程描述了组分数量随时间的变化，并考虑了反应速率与组分浓度之间的关系。

三、随机过程建模随机过程建模是一种更为复杂和跨学科的建模方法，适用于非线性或混沌系统的模拟。

机理模型和数据模型

机理模型和数据模型

机理模型和数据模型在科学研究的过程中，人们往往需要建立一些模型来帮助理解和解释现象。

这些模型一般分为两类：机理模型和数据模型。

机理模型是基于已知的物理、化学或生物学原理，通过数学推导和实验验证，建立出来的描述现象的模型。

而数据模型则是基于观测到的数据，通过统计学方法，建立出来的描述现象的模型。

本文将对这两种模型进行详细的介绍和比较。

一、机理模型机理模型是指基于已知的物理、化学或生物学原理，通过数学推导和实验验证，建立出来的描述现象的模型。

机理模型的建立需要有深入的科学知识和严格的科学方法。

机理模型可以帮助人们深入理解现象的本质和内在规律，并可以用来预测和控制现象的发展趋势。

机理模型的优点是可以提供更加准确和可靠的预测和解释，但是建立和验证机理模型需要大量的实验和理论研究，成本较高。

机理模型的一个例子是气候模型。

气候模型是基于大气物理学、海洋学、地球化学等多学科知识，通过数学模型和计算机模拟，模拟出全球气候的变化趋势。

气候模型可以预测未来气候变化的趋势，为人们制定应对气候变化的政策提供科学依据。

二、数据模型数据模型是指基于观测到的数据，通过统计学方法，建立出来的描述现象的模型。

数据模型的建立需要有大量的数据和统计学知识，可以通过对数据的处理和分析，发现数据背后的规律和趋势。

数据模型的优点是建立和验证成本较低，可以快速的得到结果，但是数据模型的结果可能受到数据的限制和偏差的影响，预测结果的可靠性较低。

数据模型的一个例子是股票价格预测模型。

股票价格预测模型是基于历史股票价格数据，通过统计学方法，建立出来的预测股票价格的模型。

股票价格预测模型可以帮助人们制定股票交易策略，但是预测结果可能受到市场变化和其他因素的影响，预测结果的可靠性较低。

三、机理模型和数据模型的比较机理模型和数据模型各有优缺点，如何选择合适的模型取决于研究的目的和研究对象的特点。

下面是机理模型和数据模型的比较：1. 建立成本：机理模型的建立和验证需要大量的实验和理论研究，成本较高；而数据模型的建立和验证成本较低，只需要有足够的数据和统计学知识。

化学反应动力学的实验建模与分析

化学反应动力学的实验建模与分析化学反应动力学是研究反应速率与反应条件之间关系的分支学科。

在实验中，我们可以通过建立数学模型来描述和分析化学反应的速率规律。

本文将探讨化学反应动力学的实验建模与分析的方法和过程。

一、实验条件的选择在进行化学反应动力学实验时，我们首先要选择适当的实验条件。

实验条件的选择应考虑到反应物的浓度、温度、压力等因素。

这些条件决定了反应速率的大小和方向。

同时，实验条件的选择还应考虑到实验的可行性和安全性。

二、反应速率的测定反应速率是化学反应动力学的重要指标之一。

测定反应速率需要选择合适的观测量和检测方法。

常用的观测量有反应物的消失速率、产物的生成速率以及某些中间产物的浓度变化等。

三、反应动力学模型的建立为了描述化学反应速率与反应条件之间的关系，我们可以根据实验数据建立反应动力学模型。

常见的反应动力学模型包括零级反应、一级反应、二级反应等。

根据反应机理和实验结果，我们可以选择适当的反应动力学模型来描述反应速率的变化规律。

四、反应机理的推断与验证在建立反应动力学模型的过程中，我们需要推断并验证反应的具体机理。

通过分析实验数据，我们可以得到一些有关反应机理的信息，如反应速率与浓度的关系、反应级数等。

进一步的分析和实验可以帮助我们推断出反应的具体机理，并验证反应动力学模型的准确性。

五、动力学参数的确定在反应动力学模型中，我们通常需要确定一些与反应速率有关的动力学参数，如反应速率常数、反应级数等。

通过实验测定和计算，我们可以得到这些动力学参数的数值。

这些动力学参数的确定对理解和预测化学反应的速率规律具有重要意义。

六、实验数据的处理与分析在进行化学反应动力学实验时，我们需要对实验数据进行处理与分析。

常用的方法有线性拟合、非线性拟合、数据插值、数据平滑等。

通过对实验数据的处理与分析，我们可以得到更准确、更可靠的数据结果，并从中提取有用的信息。

七、实验建模与分析的应用化学反应动力学的实验建模与分析不仅有助于理论研究，还广泛应用于工业生产和环境保护等领域。

数学建模步骤

数学建模的主要步骤:第一、模型准备首先要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征.第二、模型假设根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化.第三、模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构.这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天.不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值.第四、模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重.第五、模型分析对模型解答进行数学上的分析."横看成岭侧成峰,远近高低各不?quot;,能否对模型结果作出细致精当的分析,决定了你的模型能否达到更高的档次.还要记住,不论那种情况都需进行误差分析,数据稳定性分析.数学建模采用的主要方法有：（一）、机理分析法：根据对客观事物特性的认识从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型.1、比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法.2、代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法.3、逻辑方法：是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用.4、常微分方程：解决两个变量之间的变化规律,关键是建立“瞬时变化率”的表达式.5、偏微分方程：解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律.（二）、数据分析法：通过对量测数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型1、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.2、时序分析法：处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.3、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.4、时序分析法：处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.（三）、仿真和其他方法1、计算机仿真（模拟）：实质上是统计估计方法,等效于抽样试验.①离散系统仿真,有一组状态变量.②连续系统仿真,有解析表达式或系统结构图.2、因子试验法：在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构.3、人工现实法：基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统.。

数学建模名词解释

0349]《数学建模》第一批次[填空题]名词解释: 1．原型2．模型3．数学模型4．机理分析5．测试分析6．理想方法7．计算机模拟8．蛛网模型9．群体决策10．直觉11．灵感12．想象力13．洞察力14．类比法15．思维模型16．符号模型17．直观模型18．物理模型19．2倍周期收敛 20．灵敏度分析21．TSP 问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测参考答案：1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。

4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。

5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。

6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。

7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。

8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。

9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。

10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。

11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。

12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。

13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。

数学建模的基本方法


建立拟合模型需解决的问题 •如何选定拟合的函数类型？例如用多项式型函数 还是指数型函数去拟合？ •在一类函数中选择在某个拟合的准则意义下是最 佳的函数？即：应该在某一准则下，从该类函数 中可选出最佳的函数，使之在此准则的意义下最 精确地代表了数据（即确定函数中的具体参数）。 •如何从一些已经拟合好的类型中选择最合适的？ 例如判断最佳的指数型函数是否比最佳的多项式 型函数更合适？
因果模型赛跑成绩与赛跑距离的其成绩的的距离长度是怎样影响本问题研究运动员跑过运动员的自身差异及场即不考虑过的距离长度相关运动员的成绩仅与其跑成绩距离所用时间运动员跑过建模收集数据世界纪录的赛跑数据10020040080010001500个量之间关系机理表达我们也找不到关于这两查阅大量资料的要求且数据应该能满足我们们的启示于是只能利用数据给我点一一标出来坐标系将数据所对应的我们在条直线附近这些点基本上分布在一有线性关系我们有理由猜想两者间它因素所导致度以外的其我们设想其误差是由长一条直线上由于数据点并不严格在模型应表达成因此所载的信息应能充分反应实际数据求解不难求得的方法利用二元函数求最小值100米距离上的成绩很慌谬但在在多数距离上吻合较好如表所示模型值对比世界纪录的赛跑数据与10020040080010001500当距离不超过特别曲线模型应该是一条下凸的较可知由模型值与实际值的比修正考虑再求解它可线性化为这是一个非线性模型lnlnln求得用线性模型的求解方法这可视为模型模型值对比世界纪录的赛跑数据与10020040080010001500多了这个曲线模型的效果好显然误差平方和我们可以用它们各自的这两个模型的好坏而曲线模型的线性模型的误差平方和经计算得
记
r1 ( x1 ) rm ( x1 ) a1 y1 , a , y R r1 ( xn ) rm ( xn ) am yn
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3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为： 选择如下广告策略， 时刻的广告费用为 时刻的广告费用为：
A, A( t ) = 0,
建模： 建模：
0 < t < τ; t >τ.
记 S(t) — t 时刻商品的销售速度； 时刻商品的销售速度； M — 销售饱和水平，即销售速度的上限； 销售饱和水平，即销售速度的上限； λ(＞0)— 衰减因子，广告作用随时间的推移而自 ＞ 衰减因子， 然衰减的速度。 然衰减的速度。 直接建立微分方程
三、微元法 基本思想： 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个 很短时间内的变化情况。 很短时间内的变化情况。 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水 米的球体容器里盛了一半的水， 例5.1.3 一个高为 米的球体容器里盛了一半的水， 水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米。 水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米。 试求放空容器所需要的时间。 试求放空容器所需要的时间。 对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速 依赖于此 ． 时刻的流速v 刻容器内水的高度h(t)。 刻容器内水的高度 。 2 ．整个放水过程无能量损失。 整个放水过程无能量损失。 容器内水的体积为零 分析：放空容器 分析 放空容器 容器内水的高度为零
模型特点： 模型特点：有明确的物理或现实意义
5.1 微分方程的建立
当实际问题需寻求某个变量y 当实际问题需寻求某个变量 随另一变量 t 的变化 规律 ：y=y(t)，且直接求很困难时，可以建立关于未知 ，且直接求很困难时， 变量、未知变量的导数以及自变量的方程(即变量满足 变量、未知变量的导数以及自变量的方程 即变量满足 的微分方程)。 的微分方程 。 在实际问题中， 改变” 变化” 增加” 在实际问题中， “改变”、“变化”、“增加”、 减少”等关键词提示我们注意什么量在变化； “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化；关键词 速率” 增长” 衰变” 边际的” “速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及 到导数。这些都我们建立微分方程模型的关键。 到导数。这些都我们建立微分方程模型的关键。 建立常微分方程模型的常用方法有以下四种： 建立常微分方程模型的常用方法有以下四种： 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法
一、运用已知物理定律 建立微分方程模型时应用已知物理定律， 建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功 倍。 一个较热的物体置于室温为18 的房间内 的房间内， 例5.1.1 一个较热的物体置于室温为 0C的房间内， 该物体最初的温度是60 ， 分钟以后降到 分钟以后降到50 该物体最初的温度是 0C，3分钟以后降到 0C 。想知 道它的温度降到30 需要多少时间？ 分钟以后它的 道它的温度降到 0C 需要多少时间？10分钟以后它的 温度是多少？ 温度是多少？ 牛顿冷却(加热 定律：将温度为T的物体放入处于 加热)定律 牛顿冷却 加热 定律：将温度为 的物体放入处于 的介质中时， 的变化速率正比于 的变化速率正比于T与周围介质 常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于 与周围介质 的温度差。 的温度差。 分析：假设房间足够大， 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的 物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡， 物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡， 采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。 保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
积分后整理得
t=
π
4.65 2 g
3 5 (700000 − 1000h 2 + 3h 2 )
(0≤h≤100)
小时58分 令 h=0，求得完全排空需要约 小时 分。 ，求得完全排空需要约2小时
四、分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识， 基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系, 找出反映内部机理的规律。 果关系 找出反映内部机理的规律。 例5.1.4(独家广告模型) 广告是调整商品销售的强 (独家广告模型) 有力的手段, 广告与销售量之间有什么内在联系？ 有力的手段, 广告与销售量之间有什么内在联系？如何 评价不同时期的广告效果？ 评价不同时期的广告效果？ 分析： 广告的效果，可做如下的条件假设： 分析： 广告的效果，可做如下的条件假设： 1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市 商品的销售速度会因广告而增大， 场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值； 场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值； 2. 商品销售率 销售加速度 随商品销售速度的增高 商品销售率(销售加速度 销售加速度)随商品销售速度的增高 而降低； 而降低；
dV = 0.62 2 ghdt
(1)
r1 h(t) r2 h+∆h 降至h+∆h(∆h<0), 容 在[t，t+∆t ]内，水面高度 h(t) 降至 ， 内 器中水的体积的改变量为 ∆V=V(h)－V(h+∆h)=－π∆h[3(r12+r22)＋o(∆h)] － － ＋ ≈－πr2∆h＋o(∆h) － ＋
dS S (t ) ) − λS ( t ) = pA( t )(1 − dt M
为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力。 的影响力。 称 p 为响应系数，表征 模型分析：是否与前三条假设相符？ 模型分析 是否与前三条假设相符？ 是否与前三条假设相符 改写模型
dS A( t ) ( M − S ( t )) − λS ( t ) = p dt M
dT = − k (T − m ) dt T ( 0 ) = 60
其中参数k ， 其中参数 >0，m=18，求得一般解为 ， ln(T－m)=－k t+c 或 T = m + ce − kt ( t ≥ 0) －
1 16 代入条件，求得c=42 ， k = − ln , 最后得 代入条件，求得 3 21
T ( t ) = 18 + 42e
1 16 − ln t 3 21
( t ≥ 0)
结果： 结果：
T (10) = 18 + 42e
1 16 − ln ×10 3 21
≈ 39.3( 0 C )
该物体温度降至30 需要8.17分钟。 分钟。 该物体温度降至 0C 需要 分钟 二、利用平衡与增长式 不变的特性， 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性， 如封闭区域内的能量、货币量等。 如封闭区域内的能量、货币量等。 利用变量间的平衡与增长特性， 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关 变量间的相互关系. 变量间的相互关系. 续例2.3 人口增长模型 续例 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、 对某地区时刻t的人口总数 ，除考虑个体的出生、 出生 死亡，再进一步考虑迁入 迁出的影响 迁入与 的影响。 死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t) (t≥0)， “T的变化速率正比于 与周围介质的温度差” ， 的变化速率正比于T与周围介质的温度差 的变化速率正比于 与周围介质的温度差”
dT 翻译成数学语言也就是： 翻译成数学语言也就是： 与 T − m 成正比 r = 100 − (100 − h) = 200h − h
2 2
2
→ 0, 得
dV=－πr2 dh， － ，
(2)
比较(1)、 两式得微分方程如下 两式得微分方程如下： 比较 、(2)两式得微分方程如下：
0.62 2 ghdt = −π ( 200h − h2 )dh h t = 0 = 100
假设1 假设 市场余额 假设2 假设
销售速度因广告作用增大, 同时 销售速度因广告作用增大 又受市场余额的限制。 又受市场余额的限制。
5.2 微分方程的定性分析
随着科学技术的发展， 随着科学技术的发展，常微分方程定性分析在各个 学科领域已成为必不可少的数学工具， 学科领域已成为必不可少的数学工具，也是数学建模的 必备基础理论。 必备基础理论。 一、微分方程定性理论的基本任务和主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表 极少情况下， 示微分方程的解。 示微分方程的解。 解 决 求微分方程的数值解 方 法 微分方程 定性分
2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死 方军队 方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死 a 名士兵； 名士兵； 3) X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死 方军队 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵； 名士兵； 平衡式： 平衡式： {∆t 时间内 军队减少的士兵数 } 时间内X军队减少的士兵数 = {∆t 时间内 军队消灭对方的士兵数 时间内Y军队消灭对方的士兵数 军队消灭对方的士兵数} 即有： ，同理：∆y =－bx∆t 同理： 即有：∆x =－ay∆t － 同理 － 令∆t 0，得到微分方程组： ，得到微分方程组： dx dt = − ay ( a > 0) dy = − bx (b > 0) dt
在很短的时间段∆t 关于P(t)变化的一个最简单 在很短的时间段 内，关于 变化的一个最简单 的模型是： 的模型是： {∆t时间内的人口增长量 时间内的人口增长量} 时间内的人口增长量 ={∆t内出生人口数 －{∆t内死亡人口数 内出生人口数}－ 内死亡人口数} 内出生人口数 内死亡人口数 + {∆t内迁入人口数 －{∆t内迁出人口数 内迁入人口数}－ 内迁出人口数 内迁出人口数} 内迁入人口数 更一般地 {∆t时间内的净改变量 时间内的净改变量} 时间内的净改变量 ={∆t时间内输入量 －{∆t时间内输出量 时间内输入量 时间内输出量 时间内输入量}－ 时间内输出量} 不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程。 不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程。 输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量； 输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量； 输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量。 输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量。 此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的 此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的 关键 右端，使平衡式成立。 右端，使平衡式成立。