第二章函数与导数第１2课时导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文）、(理）３０～32页）考情分析考点新知①导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势，应引起足够的重视．②以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点，同时解答题侧重于导数的综合应用,即导数与函数、数列、不等式的综合应用．①理解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性．②掌握利用导数求函数极值与最值的方法.③会利用导数解决某些实际问题.,1. (选修22P28例１改编)函数ｆ（x）＝x3-15ｘ2-33x＋6的单调减区间为____＿_____＿＿_＿.答案:(-1,１1）解析:ｆ′(x)＝３ｘ2－30ｘ-33＝3（ｘ－11)(x＋1），由(x-１1)（x+1)<0,得单调减区间为（-１，11）．亦可填写闭区间或半开半闭区间．2. (选修2２P 34习题3改编)若函数f(ｘ)＝e x －a ｘ在x=１处取到极值，则ａ=________．答案：e解析：由题意，f ′(1)=０,因为f′(x)＝e x －a ，所以ａ=e ．3． （选修22Ｐ34习题８)函数y=ｘ+s ｉｎx ，x ∈[0,２π］的值域为________．答案：［0，２π]解析:由y′=1+cos ｘ≥0，所以函数y=ｘ＋s ｉnx 在[０,２π]上是单调增函数，所以值域为［0,２π］．4. （原创)已知函数f （x)＝－12ｘ2＋b ｌnx 在区间［2,+∞)上是减函数，则ｂ的取值范围是________.答案：（-∞，4］解析：ｆ′(x ）＝-x ＋＼ｆ(b,x ）≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在［2,+∞)上恒成立．５. (选修２2Ｐ35例１改编）用长为9０ｃm 、宽为4８ｃm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折9０°角,再焊接而成,则该容器的高为＿_______cm 时,容器的容积最大.答案:１0解析：设容器的高为xc ｍ,即小正方形的边长为xc ｍ,该容器的容积为Ｖ，则Ｖ＝(90-2ｘ)(4８－2ｘ)x=4(x ３-69x ２+10８０x)，０<x<１2，V′＝12(x2-46x＋３60)=１2(x-１０)(x－3６),当0<x<１0时，V′＞0；当1０＜x<１2时,V′<０.所以Ｖ在(０，1０]上是增函数，在［1０，12）上是减函数，故当ｘ＝1０时,V最大．１．函数的单调性与导数在区间(ａ，ｂ)内,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f′(x)>0，那么函数ｙ＝f(x)为该区间上的增函数;如果f′(x)<０，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数．2．函数的极值与导数(１)函数极值的定义若函数ｆ(x）在点ｘ=ａ处的函数值f(a)比它在点x=ａ附近其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的极小值．若函数f（x)在点ｘ＝b处的函数值f(ｂ)比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值,极小值和极大值统称为极值．(２）求函数极值的方法解方程f′(x）=0,当f′(ｘ0）=0时，①如果在ｘ0附近左侧单调递增,右侧单调递减,那么f(x０)是极大值.②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增,那么ｆ(x0)是极小值．3．函数的最值(1)最大值与最小值的概念如果在函数定义域I内存在x０,使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(ｘ０)，则称f(ｘ０)为函数ｆ(x)在定义域上的最大值.如果在函数定义域I内存在ｘ0，使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f（x０)，则称f(ｘ)为函数f(x)在定义域上的最小值.(2)求函数y＝f(ｘ)在［a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=ｆ(x)在（a,b)内的极值．②将函数y=f(x)的各极值与ｆ(ａ)、f(ｂ）比较,其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值.4. 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是:＼x(优化问题）错误!错误!错误!错误!题型1导数与函数的单调性例1已知函数f(x)=x３-ax－1.(1)若ａ＝３时,求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在实数集R上单调递增,求实数ａ的取值范围；(３) 是否存在实数a，使f（x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围;若不存在，说明理由.解:（1) 当a=3时,ｆ(ｘ）＝ｘ3-３x-1，∴ｆ′(x)=3ｘ2-３，令f′(x)>0即３x2－3＞0,解得ｘ＞1或ｘ<－1，∴f(ｘ)的单调增区间为(－∞，-1)∪(1，+∞),同理可求f(x)的单调减区间为(-1，1）.(2) f′(x）＝3ｘ２-ａ.∵ｆ（ｘ）在实数集R上单调递增,∴f′(x)≥0恒成立,即３x2－a≥0恒成立，∴a≤(3x2)min．∵3x2的最小值为０,∴ａ≤0．(3）假设存在实数a使f(x)在(-1，1)上单调递减，∴f′(x)≤0在(-１,1)上恒成立，即a≥3x2.又3x2∈[0，3),∴a≥3.∴存在实数a使f(ｘ）在(－1,１)上单调递减,且a≥3．错误!(1）已知函数f(x）=错误!x２－mlｎx＋（m－1）x,当ｍ≤０时，试讨论函数ｆ(ｘ）的单调性；(2)若函数f（x)＝-错误!错误!错误!＋blｎx在(1,+∞)上是减函数,求实数ｂ的取值范围．解:(1)函数的定义域为错误!,ｆ′(x)＝x－错误!+(m－１)＝错误!＝错误!.①当－１<ｍ≤0时,令ｆ′(ｘ)>０,得0<x＜-m或x>1,令ｆ′(ｘ)<0,得-m<x＜１,∴函数f（ｘ）的单调递增区间是错误!和错误!，单调递减区间是错误!；②当m≤-1时,同理可得,函数f（x)的单调递增区间是错误!和错误!,单调递减区间是错误!.(2)由f（ｘ)=－错误!错误!错误!+ｂlnx，得ｆ′（ｘ)=-(ｘ-2)＋＼f(b,x),由题意,知f′(x)≤0即－错误!+错误!≤0在错误!上恒成立,∴b≤错误!错误!,当x∈错误!时，错误!∈错误!,∴ｂ≤１.题型2 导数与函数的极值、最值例2设函数f(ｘ）＝(ｘ2+ax+b)ｅx(x∈Ｒ）.（1) 若a=2，ｂ=－２,求函数f(x)的极大值;(2）若x=1是函数ｆ(x)的一个极值点.①试用a表示b;②设a＞０,函数g（x)＝(a２＋1４)ｅｘ＋4.若ξ1、ξ2∈［0,4],使得|f（ξ1)－g(ξ2）|<1成立，求ａ的取值范围．解：（1）∵f′(x)=(２ｘ+ａ)eｘ＋(x2+ax+ｂ)e x=［x2＋(2+a)ｘ＋（ａ＋b)]eｘ，当a=2,b=－２时，f（ｘ）=（x2+2ｘ-2)e x，则f′(x)=(ｘ2＋4x)ｅx,令ｆ′(x)＝0得(x２＋４x)ｅx＝0，∵e x≠０, ∴ｘ2+4x=0，解得x=－4或x=０,列表如下：ｘ(－∞,-4) -4 (-４，0）0 (0，＋∞) f′(ｘ) + 0 - ０+f(x)极大值极小值∴当x=－4时，函数f(ｘ）取极大值，f(x)极大值＝6 e４.(2)①由(1）知f′(x)＝[x２＋（2+a)x+(ａ+b)]eｘ.∵ｘ=１是函数f(x）的一个极值点,∴ｆ′(1)=０,即e[１+(２＋a)+（a＋ｂ)]＝０，解得b=－3－2ａ.②由①知f′(x)=e x[x2+(2+ａ)x+(－3-a)]=e x(x－1)[x+(3+ａ)],当ａ＞0时，f(ｘ)在区间(0，1)上的单调递减,在区间(1,4)上单调递增,∴函数ｆ(ｘ）在区间[0,4]上的最小值为f（1)＝－(a＋2)e.∵f(0)=b＝－3－2a<0,f(４)＝(2a+13)ｅ4>０,∴函数ｆ（ｘ)在区间［0，4］上的值域是［f(1）,ｆ(４)]，即[－(a＋2)e，(2a＋13)e4]．又ｇ(x)=(a2+14)eｘ+4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4］上的值域是[（a2+14)e４,(ａ２＋14)e8],∴(a2＋14)e4－(2a＋13）e4＝（a2－2ａ＋1)e4=（a-1)2e4≥0,∴存在ξ1、ξ2∈［０,4］使得|f(ξ1）-ｇ(ξ2)|＜１成立只须(ａ2＋14)e４-（2a+1３)e４＜1(ａ－1)2e４＜1(ａ-１)２＜＼f(1，e4)1－错误!<a＜1＋错误!.错误!已知函数f(x）＝ａx３+ｂx2－3ｘ(a、b∈R)在点ｘ=－1处取得极大值为２．(1) 求函数f(ｘ)的解析式;(２）若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1、ｘ２，都有|f（x1）－f(x2)|≤ｃ,求实数c的最小值．解：(1) ｆ′(x)=３ax２+2bｘ－3．由题意,得错误!即错误!解得错误!所以f(ｘ)=x３－3x.（2) 令f′(x）＝0，即3x2-3＝0,得x＝±1．因为f(-１)＝2，f(1)=-２,所以当x∈[－２，2］时，f（x)ｍａx＝2，ｆ（x）min=-２．则对于区间[－２,2]上任意两个自变量的值x1、x2，都有｜f(x1)－f（ｘ2）|≤|f(ｘ）ｍax－f（ｘ)min｜=4,所以ｃ≥4．所以c的最小值为4．题型3导数在实际问题中的应用例３请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为6０cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起,使得Ａ、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE＝ＦＢ＝ｘcm.(１) 某广告商要求包装盒侧面积Ｓ（cｍ2）最大,试问x应取何值？(2) 某厂商要求包装盒容积V(cm３)最大,试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解:(1）Ｓ=6０2－4x2-(60-2x)２＝２4０ｘ－8x2(0<x<3０)，所以ｘ＝15 cm时侧面积最大.(2) Ｖ=(错误!x)2错误!(60－2ｘ）=２错误!x2（30-ｘ)(0＜ｘ<30),所以V′＝6错误!x(20－x),令V′＝0,得x＝20,当0<x<20时,V递增;当２0＜x<3０时,V递减．所以，当ｘ＝２0时,V最大，此时,包装盒的高与底面边长的比值为错误!=错误!.错误!某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距ｍ米,此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩）.经预测，一个桥墩的费用为２5６万元,相邻两个桥墩之间的距离均为x，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1＋x)ｘ万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素,记工程总费用为y万元．(1）试写出ｙ关于x的函数关系式；(2) 当m＝１2８0米时，需要新建多少个桥墩才能使y最小?解:根据题意，需要建错误!个桥墩和错误!段桥面工程．(1) y=256错误!＋错误!（1+错误!)x=m错误!＋m＋２5６错误!.（2) 当ｍ＝1 280时，ｙ=1 280错误!+15３6，y′=1 ２8０错误!,令y′＝０,得ｘ＝64,当0＜x<６４时，y′<０;当x>６4时，y′＞0.所以当x＝６４时，y有最小值1６896,此时要建2１个桥墩．答:需要建２1个桥墩才能使y最小．【示例】（本题模拟高考评分标准,满分1４分)已知函数f(x)=ｌnｘ-aｘ（a∈R).(1）求函数f（x)的单调区间;(2) 当a>0时，求函数f(x）在[１,2]上的最小值.审题引导：①知函数解析式求单调区间,实质是求f′(ｘ)>0，f′(x)＜０的解区间,并注意定义域;②先研究f(ｘ)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值;③由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论.规范解答: 解:（1) f′（x)=1ｘ-a(x>0).(1分）①当a≤0时，ｆ′(x)＝错误!-a≥0，即函数ｆ(ｘ）的单调增区间是(０，＋∞)．(3分)② 当a>0时，令f′（x)=＼f(１，ｘ)-a=０，得x=＼f(1，ａ)，当0<x ＜错误!时，ｆ′（x)＝错误!>０,当x>错误!时，f ′(x)＝错误!＜０，所以函数ｆ(ｘ)的单调增区间是错误!，单调减区间是错误!.(6分）(2） ① 当１a ≤1,即a ≥1时，函数f(ｘ）在区间[１,2]上是减函数,所以f(ｘ)的最小值是f(2)＝ｌn2－2a.（8分）② 当1a ≥2,即0<ａ≤12时,函数f （ｘ)在区间[1，2]上是增函数,所以f （x)的最小值是ｆ（1）=－a ．(10分）③ 当１<错误!<2,即错误!<ａ<1时，函数f （x)在区间错误!上是增函数,在区间错误!上是减函数,又f(2）－f （1)＝ln ２－ａ，所以当12<a<ln2时,最小值是f(1)＝-a;当l ｎ2≤a<1时，最小值是ｆ(2）＝ln2－2a.（１２分）综上可知,当0<a<ln2时，最小值是－ａ；当a ≥ln2时，最小值是ｌn2－２a ．（１4分）1. (2０１３·新课标Ⅱ)若存在正数x 使2ｘ(x －a)<1成立,则a 的取值范围是___＿____．答案:(－1，+∞)解析：因为2ｘ(ｘ-a)<1，所以a>x －１２x ，令f(x)＝x-＼f(１,２x ），所以ｆ′（x ）＝1＋2－x ｌn2>０,所以f （ｘ)在(０，+∞)上单调递增,所以f(x)＞f(0)=0－１＝-１,所以a 的取值范围是（-1,+∞).２． (2０13·大纲)若函数f(x ）＝x 2＋ａｘ＋＼f(1,x ）在错误!上是增函数,则a 的取值范围是___＿____．答案：a ≥3解析:f′(x)=2x ＋a-＼f(1,x ２)≥0在错误!上恒成立，即a ≥错误!－2x 在错误!上恒成立.令g （ｘ)＝错误!-2x ，求导可得g(ｘ)在错误!上的最大值为３,所以a ≥3.３. （201３·扬州期末)已知函数f(x ）＝ｌｎｘ－m x (ｍ∈R )在区间[1,e]上取得最小值４,则m ＝________．答案:-3e解析：f′（ｘ)=＼ｆ(1，x)+错误!=错误!，令f′(ｘ)=０,则x=-ｍ，且当x<-m 时，ｆ′(x)<0,f(x)单调递减,当x>－m 时,f ′（ｘ)＞０，f(x)单调递增．若－m ≤1,即m ≥－1时，ｆ(ｘ)mi ｎ=f(1)＝－m ≤1，不可能等于４；若１<－ｍ≤e ,即－ｅ≤m<-1时，ｆ（x)min =ｆ(-m)＝l ｎ（－ｍ)+1，令ln （-m)+1=4,得m=－e 3（－e ,-1);若-m>e ,即m<－ｅ时,f （x ）m ｉn =f(e)=1-＼f(m,e),令１－错误!=4,得m ＝－3e ,符合题意.综上所述，ｍ=－３e.４． (2０13·南京二模）设函数f(x)=x 2－（a-2)x-a ｌnx.(１) 求函数f （x ）的单调区间;(２) 若函数f(ｘ)有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； （３） 若方程f(x)＝c 有两个不相等的实数根x 1、x 2,求证：f′错误!＞０.(1) 解:f′(x)＝２x－(a－2)－错误!＝错误!＝错误!（x＞0)．当a≤0时,f′(x）>0,函数f(x)在（0,＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调增区间为（0,+∞).当a>0时，由f′(x）＞0，得x＞错误!；由f′（x)＜0，得0<x＜错误!.所以函数f(ｘ）的单调增区间为错误!,单调减区间为错误!．(2) 解:由（1）得,若函数f(ｘ)有两个零点，则a＞0，且ｆ（x)的最小值f错误!<0,即－a2+4a-４alｎ错误!＜0．因为ａ>0，所以ａ+4ｌｎ＼f(a,2)－4>0.令h(a)＝a+４ln ａ2－4，显然h(a)在(０,＋∞)上为增函数,且ｈ(2)=-2<０,h(3)＝4ln错误!-1=ln错误!－1>0，所以存在ａ0∈(2,3），h(a0)=０.当a>a0时,h（a）>0；当0<a<a0时，h(a)<0.所以满足条件的最小正整数ａ=３.又当a=３时,f（3)=3(2-ln3）>0,f(1）＝0，所以a＝3时,f（x）有两个零点.综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．(３) 证明:因为x１、ｘ2是方程f(ｘ）＝c的两个不等实根,由(1）知a>0．不妨设0＜x１<x２，则x错误!－(a-２)x1-ａlnx1＝ｃ,x错误!-(ａ－2）x２-ａｌnｘ2=c.两式相减得ｘ错误!－(a－2)x1－alnｘ1－x错误!＋(ａ-２)·ｘ2＋alｎｘ２＝0，即x＼o＼al(2,1）+２ｘ1－ｘ错误!-２ｘ2＝ax1+ａlnｘ1-aｘ2－alnx2=a(x1＋lnx1－x２-lnｘ２)．所以a=错误!.因为ｆ′错误!=0,当x∈错误!时，f′(ｘ)＜０,当x∈错误!时,f′(x)＞０,故只要证＼f(ｘ1+x2,2)>错误!即可,即证明x１+x２>错误!,即证明x21－ｘ２2＋(x1+x２)(lｎx1-lｎｘ２)<x错误!＋2x1-x错误!－2x2,即证明ｌｎ＼ｆ(x1,x２)<2x１－2ｘ2 x1+ｘ2.设ｔ＝＼f(ｘ1,x2）（0<ｔ<1)．令g(t）＝lｎｔ－＼f(2ｔ－2，ｔ+1)，则g′（t）=＼f(1，t)－错误! =＼f((t－1）２,ｔ（t＋1）2).因为t＞０，所以g′(t)≥0，当且仅当ｔ=１时,g′(t)=０，所以g(t)在(０,+∞)上是增函数．又g(１)＝０，所以当t∈（０,1)，g(t)<0总成立.所以原题得证．１．如果关于x的方程ax+错误!=3在区间(0，+∞)上有且仅有一个解,那么实数a的取值范围为____＿___.答案:a≤0或a=2解析：由ａx+错误!=３,得a=错误!－错误!.令t＝1ｘ，则f(ｔ)＝3ｔ－ｔ3，t∈(０,＋∞)．用导数研究f(t)的图象，得f mａx(ｔ)＝2,当x∈(０，1)时,f(t)递增，当ｘ∈(1，＋∞)时,f(t)递减,所以ａ≤０或a=2.2.已知函数f(x)=lｎｘ－＼ｆ(a（x-1),x＋1)，若函数f(x）在(0,＋∞）上为增函数,则a的取值范围是__＿＿____.答案:a≤2解析：ｆ′(x）=错误!≥0在（0,+∞)上恒成立,易得a≤2.３. 设直线y=a分别与曲线y2=x和ｙ＝e x交于点M、Ｎ，则当线段MN取得最小值时a的值为_＿_＿___＿．答案:＼ｆ(2）2解析：由题意，M(a2,a)，Ｎ（lna,a），故MＮ的长l=|a2－lnａ|＝ａ2-lｎa(a>0）,由l′=2ａ－错误!=错误!＝错误!，令l′>0，得l=ａ2－lna在错误!上单调递增;令l′<0，得l＝a2-ｌｎa在错误!上单调递减，所以当ａ=错误!时,线段MN的长取得极小值，也是最小值.4．已知函数f（x）＝(aｘ2+x）eｘ，其中e是自然数的底数,a∈R.(1）当ａ＜0时,解不等式f（ｘ)＞０;（2）若f(ｘ)在[－１,１]上是单调函数,求ａ的取值范围;（3) 当a=0时,求整数k的所有值，使方程f（ｘ)＝x+２在[k，k ＋１]上有解.解：(1)因为e x＞0，所以不等式f（x)＞0即为ａx2＋x＞０．又a＜0，所以不等式可化为x错误!<0，所以不等式ｆ（ｘ）>0的解集为错误!．（2)f′(x）＝（2ａｘ＋1)ｅx＋（ax2＋x)eｘ＝[aｘ２＋(2a+1)x＋1］eｘ,①当ａ=0时，ｆ′（x)＝(x+１)e x,f′（x)≥0在[－1，1］上恒成立，当且仅当ｘ＝-1时取等号,故a=0符合要求；②当ａ≠0时，令g(x）＝aｘ2+(２a＋１)x+1,因为Δ＝(2a+１)2－４a＝4ａ2＋1＞0,所以g（x)＝0有两个不相等的实数根x1、x2，不妨设x1>x２,因此f(x)有极大值又有极小值．若ａ>0，因为g（-1)·ｇ(０)＝-ａ<0,所以f(ｘ）在(－1,1)内有极值点,故f(x)在[－1,1］上不单调.若a<0,可知x1>0>x2，因为g(ｘ)的图象开口向下,要使f(x）在［-1，1]上单调，因为ｇ(0)＝1>0，必须满足错误!即错误!所以－错误!≤ａ≤0.综上可知，a的取值范围是错误!.(３) 当ａ＝0时,方程即为xe x=x+2，由于ｅx>0，所以x＝０不是方程的解,所以原方程等价于e x－错误!-1＝０.令h(x)=eｘ-错误!－1,因为h′(x)=e x＋错误!>0对于x∈(-∞，0)∪（0,+∞)恒成立，所以ｈ（ｘ)在(－∞,0)和(０，+∞)内是单调增函数，又h(1)=e-3<０,h(2)＝e2－2>0，ｈ（-3)=e－3-＼f(1，3)<0，h(-2)=ｅ-2＞０，所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[１,２]和[-３，-２］上,所以整数k的所有值为{-3，1}.1．在已知函数ｆ(x)是增函数（或减函数),求参数的取值范围时,应令f′(x)≥0(或f′(x)≤０)恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），然后检验参数的取值能否使ｆ′(x)恒等于０,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去;若f′(x)不恒为０,则参数范围确定.2.理解可导函数极值与最值的区别,极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较,故函数的最值可能是极值,也可能是区间端点的函数值．３．用导数求解实际问题中的最大（小)值，如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点．请使用课时训练(Ａ)第12课时(见活页).［备课札记]。
