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3.2空间向量在立体几何中的应用
321直线的方向向量与直线的向量方程
学习目标
1. 掌握直线的方向向量、直线的向量方程有关概念，并会用数学语言表述
2. 能正确运用向量方法证明线与线、线与面、面与面的平行和垂直关系
3. 能根据具体问题合理选定基底
教学过程
1. 用向量表示直线或点在直线上的位置 在平面向量的学习中，我们得知
① M、A B三点共线
② A、B是直线I上任意两点。0是I外一点.
动点P在I的充要条件是°P d)OA・tOB.(t・R)，称作直线I的向量参数方程式, 实数t叫参数。
给定一个定点 A和一个向量a,如图所示，再任给一个实数 t,以A为起点作向量
AP =ta. ①
这时点P的位置被完全确定，容易看到，当 t在实数集R中取遍所有值时，点 P的轨迹
a的一条直线I.反之，在直线I上任取一点P，一定存在一个
实数t，使AP =ta.
向量方程①通常称作直线 I的参数方程。向量 a称为该直线的方向向 量。
注：⑴ 向量方程两要素：定点A,方向向量a
⑵t为参数,且t是实数，
t • 0二 AP和a同向
t ::: 0 AP 和 a反向
直线的向量方程①，还可作如下的表示：对空间任一个确定的点 0(如图所示)，点
P在直线I上的充要条件是存在惟一的实数 t,满足等式
0P=0A ta.②
如果在I上取AB二a,则②式可化为 OP =0A VAB =0A "(OB-OA)
即 0P=(1-t)0A tOB ③
①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程 c.
1 — 1 — 1 —
注：⑴当t=—时，OP 0A，—0B.此时P是线段AB的中点，这就是线段AB中点
2 2 2 是一条通过点A且平行于向量 Word范文
的向量表达式.
⑵③中OP、OAOB有共同的起点
⑶ ③中OAOB的系数之和为1.
例1.已知点 A(2 , 4, 0) , B(1 , 3, 3)，以AB的方向为正向, 在直线AB上建立一条数轴，P, Q为轴上两点，且分别满足条件
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题
1．用向量方法证明空间中的平行关系
(1)证明线线平行
设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(2)证明线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，
平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，
则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(3)证明面面平行
①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
2．用向量方法证明空间中的垂直关系
(1)证明线线垂直
设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)证明线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(3)证明面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )
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向量法解立体几何
引言
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题： 一是位置关系，它
主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，
它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角
等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、 线面垂直及计算线 线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及 面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分 内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的 想法，起到一个抛砖引玉的作用。
基本思路与方法
一、基本工具
1.数量积：a b = a b cos&
2. 射影公式：向量a在b上的射影为a b
lb
3. 直线Ax By ^0的法向量为 A,B，方向向量为 -B,A
4. 平面的法向量（略）
二、用向量法解空间位置关系
1. 平行关系
线线平行=两线的方向向量平行
线面平行=线的方向向量与面的法向量垂直
面面平行二 两面的法向量平行
2. 垂直关系 最新资料推荐
2
线线垂直（共面与异面）=两线的方向向量垂直
线面垂直二线与面的法向量平行
面面垂直二 两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离
1•点点距离
点P与Q Xzyz的
距离为 PQ - （X2 - xj2 厲-yi）2 -亿-乙）2
2•点线距离
求点P Xo, yo到直线I : Ax By C = 0的距离：
方法：在直线上取一点Q x, y ，
则向量PQ在法向量n二A,B上的射影 即为点P到I的距离.
3. 点面距离
求点P xo，yo到平面:的距离：
方法：在平面［上去一点Q x,y，得向量PQ
计算平面-的法向量n，
计算PQ在厘上的射影，即为点P到面。的距离.
四、用向量法解空间角
1. 线线夹角（共面与异面）
线线夹角二两线的方向向量的夹角或夹角的补角
2. 线面夹角
求线面夹角的步骤: =Axo Byo C
1 §3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系
课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系．
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量，一条直线的方向向量有________个．
2．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的____________a，则向量a叫做平面α的__________．
3．空间中平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m⇔______________⇔__________⇔________________________.
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________⇔________________________.
(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔__________⇔__________⇔________________________.
一、选择题
1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
