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【配套K12】[学习]2018年秋九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 第1

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22.3 第1课时用一元二次方程解决图形面积问题
知识点 1 一般图形的面积问题
1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
2．今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地的边长为x m，下面所列方程正确的是( ) A．x(x－60)＝1600 B．x(x＋60)＝1600
C．60(x＋60)＝1600 D．60(x－60)＝1600
3．从一块正方形木板上锯掉一个2 m宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( )
A．100 m2 B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2
4．如图22－3－1，矩形ABCD是由三个矩形拼接而成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为________．
图22－3－1
5．如图22－3－2，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
图22－3－2
6．取一块长80厘米、宽60厘米的矩形白铁片，在它的四个角上截去四个大小相同的正方形后，把四边折起来，做成一个无盖的长方体盒子．如果要做成底面积为1500平方厘米的长方体盒子，那么截下的正方形的边长是多少？
知识点 2 边框与甬道问题
7．如图22－3－3，某小区计划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么甬道的宽应设计成多少米？若设甬道的宽为x m，将6块草地平移拼成一个长方形，其长为________m，宽为________m，根据长方形的面积公式可列方程________________，化成一般形式为________________，解得x1＝________，x2＝________(不合题意，舍去)．
图22－3－3
8. 如图22－3－4，在一块矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．
图22－3－4
9．如图22－3－5，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m
图22－3－5
10．如图22－3－6，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
图22－3－6
11．［教材“问题1”变式］某学校为美化校园，准备在长35米、宽20米的长方形场地
上修建若干条宽度相同的道路，余下部分做草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3名学生的设计方案分别如图22－3－7①②③所示(阴影部分为草坪)．
图22－3－7
请你解决每种方案中的道路宽度问题(只列方程不求解)：
(1)甲同学的设计方案为图①，设计草坪的总面积为600平方米； (2)乙同学的设计方案为图②，设计草坪的总面积为600平方米； (3)丙同学的设计方案为图③，设计草坪的总面积为540平方米． 12．［2017·深圳］一个矩形的周长为56厘米．
(1)当矩形的面积为180平方厘米时，它的长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由． 13．［2016·赤峰］如图22－3－8，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780.
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米的造价为200元，其余部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价．
图22－3－8
教师详答
1．B [解析] 一边长为x 米，则另外一边长为(5－x )米，由题意得x (5－x )＝6.故选B. 2．A [解析] 设扩大后的正方形绿地边长为x m ，则扩大部分长方形的宽为(x －60)m ，根据题意得x (x －60)＝1600.故选A.
3．B [解析] 设原来正方形木板的边长为x m ，则x (x －2)＝48，解得x 1＝8，x 2＝－6(不
合题意，舍去)，所以x ＝8，所以8×8＝64(m 2
)．
4．6
5．解：设垂直于墙的一边长为x m ，得 x (58－2x )＝200， 解得x 1＝25，x 2＝4，
∴平行于墙的一边长为8 m 或50 m.
答：矩形的长为25 m ，宽为8 m 或矩形的长为50 m ，宽为4 m.
6．解：设截下的正方形的边长为x 厘米，由题意，得(80－2x )(60－2x )＝1500，解得x 1 ＝15，x 2 ＝55.当x ＝55时，80－2x ＝－30，不符合题意，
所以x ＝15.
答：截下的正方形的边长是15厘米．
7．(30－2x ) (20－x ) (30－2x )(20－x )＝78×6 x 2
－35x ＋66＝0 2 33 8．解：设花边的宽为x 米．
根据题意得(2x ＋6)(2x ＋3)＝40，
解得x 1＝1，x 2＝－11
2
(不合题意，舍去)．
答：花边的宽为1米．
9．[A [解析] 设原正方形空地的边长为x m ，依题意有(x －3)(x －2)＝20， 解得x 1＝7，x 2＝－2(不合题意，舍去)． 即原正方形空地的边长为7 m.
10．[全品导学号：15572085]B [解析] 设AC 交A ′B ′于点H ， ∵∠A ＝45°，∠AA ′H ＝90°， ∴△A ′HA 是等腰直角三角形．
设AA ′＝x cm ，则阴影部分的底为x cm ，高A ′D ＝(2－x )cm ，∴x ·(2－x )＝1， 解得x 1＝x 2＝1，即AA ′＝1 cm. 故选B.
11．解：(1)设道路的宽为x 米． 依题意得(35－2x )(20－2x )＝600. (2)设道路的宽为x 米．
依题意得(35－x )(20－x )＝600. (3)设道路的宽为x 米．
依题意得(35－2x )(20－x )＝540.
12．[解析] (1)设出矩形的一边长，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可；
(2)同样列出方程，若方程有解，则可以，否则就不可以．
解：(1)设矩形的一边长为x 厘米，则另一边长为(28－x )厘米，依题意有 x (28－x )＝180，
解得x 1＝10(舍去)，x 2＝18. 当x ＝10时，28－x ＝18；
当x ＝18时，28－x ＝10.
故矩形的长为18厘米，宽为10厘米．
(2)不能．理由：设矩形的一边长为x 厘米，则另一边长为(28－x )厘米，依题意有 x (28－x )＝200，
即x 2
－28x ＋200＝0.
因为Δ＝282
－4×200＝784－800＜0， 所以原方程无解．
故不能围成面积为200平方厘米的矩形．
13．解：(1)设配色条纹的宽度为x 米．依题意得 2x ×5＋2x ×4－4x 2
＝1780×5×4,
解得x 1＝174(不符合题意，舍去)，x 2＝1
4.
答：配色条纹的宽度为1
4
米．
(2)条纹部分造价为17
80
×5×4×200＝850(元)，
其余部分造价为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1780×4×5×100＝1575(元)， ∴总造价为850＋1575＝2425(元)． 答：地毯的总造价是2425元．。

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九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.5一元二次方程的根与系数的关

九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.5一元二次方程的根与系数的关

2018年秋九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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*22.2。

5 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和或两根之积1．［2016·黄冈］若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝（)A．－4 B．3 C．－43D.错误!2．[2016·金华］一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别为x1，x2，则下列结论正确的是( ) A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1,x2＝－2C．x1＋x2＝3 D．x1x2＝2知识点 2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值3．若α，β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两根，则α2＋β2＝（）A．－6 B．32 C．16 D．404．［2017·盐城］若方程x2－4x＋1＝0的两根是x1，x2,则x1（1＋x2）＋x2的值为________．知识点 3 已知方程及方程的一个根求方程的另一个根5．［2017·新疆］已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2,则另一个根是( ）A．－3 B．－2 C．3 D．66．[2016·潍坊］关于x的一元二次方程3x2＋mx－8＝0有一个根是错误!，求该一元二次方程的另一个根及m的值．7．若关于x的一元二次方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )A．－2或3 B．3C．－2 D．－3或28．［教材练习第3(1)题变式］［2017·绵阳］关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则n m的值为（)A．－8 B．8 C．16 D．－169．［2017·广州］定义运算：a★b＝a(1－b）．若a,b是方程x2－x＋错误!m＝0（m＜0)的两根,则b★b－a★a的值为（)A．0 B．1C．2 D．与m有关10．［2017·荆门］已知方程x2＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x12＋x22＝________．11．［2017·成都］已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x 12－x22＝10，则a＝________．12．［2017·十堰]已知关于x的方程x2＋(2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2。

配套K12九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.4 一元二

配套K12九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.4 一元二

根的判别式1．k 为何值时，一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．2．关于x 的一元二次方程－x 2＋(2k ＋1)x ＋2－k 2＝0有实数根，求k 的取值范围．3．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-m x m x 都有两个不相等的实数根．4．已知方程mx 2＋mx ＋5＝m 有两个相等的实数根，求方程的解．5．求证：不论k 取何实数，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)＝0都没有实根．6．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，其中a ＝1，c ＝4，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．7．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(k －1)x ＋k 2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围：(2)0可能是方程的一个根吗?若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．参考答案1．①k ＜1且k ≠0；②k ＝1；③k ＞1．2．⋅-≥49k 3．＝m 2＋1＞0，则方程有两个不相等的实数根． 4．m ＝4，2121-==x x ． 5．证明＝－4(k 2＋2)2＜0．6．∵b ＝c ＝4 ∴△ABC 是等腰三角形．7．(1)＝[2 (k －1)]2－4(k 2－1)＝4k 2－8k ＋4－4k 2＋4＝－8k ＋8． ∵原方程有两个不相等的实数根，∴－8k ＋8＞0，解得k ＜1，即实数k 的取值范围是k ＜1.(2)假设0是方程的一个根，则代入得02＋2(k －1)·0＋k 2－1＝0， 解得k ＝－1或k ＝1(舍去)．即当k ＝－1时，0就为原方程的一个根． 此时，原方程变为x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4，所以它的另一个根是4．。

【配套K12】[学习]九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2

【配套K12】[学习]九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2

配方法解一元二次方程1.若方程x 2－m ＝0的根是有理数，则m 的值可以是（ ）A ．－9B ．3C ．－4D ．42.把方程x 2－8x+3＝0化成(x+m)2＝n 的形式，则m ，n 的值是（ ）A ．4，13B ．4，19C ．－4，13D ．－4，193.用配方法解关于x 的方程x 2+mx+n ＝0，此方程可变形为（ ）A ． 22424m n m x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ． 22424m m n x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ． 22422m m n x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ． 22422m n m x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 4.已知一元二次方程x 2+mx+3＝0配方后为(x+n)2＝22，那么一元二次方程x 2－mx －3＝0配方后为（ ）A ．(x+5)2＝28B ．(x+5)2＝19或(x －5)2＝19C ．(x －5)2＝19D ．(x+5)2＝28或(x －5)2＝28填上适当的数使下面各等式成立5．x 2－8x ＋______＝(x －______)2．6．x 2＋3x ＋______＝(x ＋______)2． 7．x x 232-＋______＝(x －______)2． 8．x x 322+＋______＝(x ＋______)2． 9．x 2－px ＋______＝(x －______)2．10．x a b x -2＋______＝(x －______)2． 解答题(用配方法解一元二次方程)11．x 2－2x －1＝0．12．y 2－6y ＋6＝0．13．3x 2－4x ＝2．14．.231322=+x x15．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?16.从飞机上空投下的炸弹，速度会越来越快，其下落的距离s （米）与时间t （秒）间的公式为212s at =，若a 取10米/秒2，那么从2000米的空中投下的炸弹落至地面大约需要多长时间？17.先阅读材料，再解决问题，例题：若m 2+2mn+2n 2－6n+9＝0，求m 和n 的值.解：∵m 2+2mn+2n 2－6n+9＝0，∴m 2+2mn+n 2+n 2－6n+9＝0，∴(m+n)2+(n －3)2＝0，∴m+n ＝0，n －3＝0，∴n ＝3，m ＝－3.问题：（1）若x 2+2y －2xy+4y+4＝0，求x y 的值.（2）已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足22661830a b a b c +--++-=，请问△AB C 是怎样形状的三角形？（3）根据以上的方法试说明代数式：x 2+4x+y 2－8y+21的值一定是一个正数.参考答案1.D 解析 移项得x 2＝m ，x 为有理数，所以m 必须是平方数.技巧：用直接开平方法求一元二次方程的解的方程类型有：x 2＝a(a ≥0)；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；(x+a)2＝b(b ≥0)；a(x+b)2＝c （a ，c 同号且a ≠0）.注意这几类方程有解的条件.2.C 解析 把x 2－8x+3＝0移项可得x 2－8x ＝－3，配方可得x 2－8x+16＝13，即(x －4)2＝13，所以m ＝－4，n ＝13.3.B 解析 ∵x 2+mx+n ＝0，∴x 2+mx ＝－n ， ∴22244m m x mx n ++=-+，∴22424m m n x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 方法：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程骤可归纳为：一移，二配，三求解.4.D 解析 x 2+mx+3＝0配方后为(x+n)2＝22，x 2+2nx+n 2＝22，即x 2+2nx+n 2－22＝0，∴m ＝2n ①，n 2－22＝3②.由②解得n ＝5或n ＝－5，代入①得m ＝10或m ＝－10，∴一元二次方程x 2－mx －3＝0为x 2－10x －3＝0或x 2+10x －3＝0，配方得(x －5)2＝28或(x+5)2＝28.5．16，4． 6．⋅23,49 7．⋅43,169 8．⋅31,91 9．2,42p p 10．⋅a b a b 2,422 11．.21±=x 12．.33±=y13．⋅-=+=3102,310221x x 14．.2,2321-==x x 15．x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1≥0，当x ＝2时有最小值为1．16.解：由题意得212000102t =⨯⨯，解得t 1＝20，t 2＝－20（舍去）. 答：大约需要20秒.17.思路建立 要求解本题，首先要理解题中例题用配方法求解m 、n 的过程.（1）要仿照材料用配方法将x 2+2y 2－2xy+4y+4＝0进行变形，求出x 、y 的值，从而求得xy 的值；（2）根据22661830a b a b c +--++-=及非负数的性质可以求得a 、b 、c 的值，从而可以判断△ABC 的形状；（3）利用配方法可以对式子x 2+4x+y 2－8y+21进行变形，从而可以解答本题.解：（1）∵x 2+2y 2－2xy+4y+4＝0，∴x 2－2xy+y 2+y 2+4y+4＝0，即(x －y)2+(y+2)2＝0，∴x －y ＝0，y+2＝0，∴x ＝－2，y ＝－2，∴()2124y x -=-=. （2）∵22661830a b a b c +--++-=， ∴22696930a a b b c -++-+++=， ∴()()223330a b c -+-+-=， ∴a －3＝0，b －3＝0，3－c ＝0， ∴a ＝3，b ＝3，c ＝3.∴△ABC 是等边三角形.（3）∵x 2+4x+y 2－8y+21＝x 2+4x+4+y 2－8y+16+1＝(x+2)2+(y －4)2+1≥1，∴x 2+4x+y 2－8y+21的值一定是一个正数.。

九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.4一元二次方程根的判别式练习

九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.4一元二次方程根的判别式练习

2018年秋九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.4 一元二次方程根的判别式同步练习（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.4 一元二次方程根的判别式同步练习（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

4 一元二次方程根的判别式知识点 1 不解方程，判断一元二次方程的根的情况1，因为关于x的一元二次方程x2＋x＋2＝0中,a＝________，b＝________，c＝________，故Δ＝____________＝________,所以方程的根的情况是______________．2．[2017·宜宾］一元二次方程4x2－2x＋14＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断3．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：(1)16x2＋8x＝－3; （2）9x2＋6x＋1＝0；(3)3（x2－1)－5x＝0； (4)x(2x＋3）＝4x＋6.知识点 2 根据方程根的情况确定未知字母的值或取值范围4．［2017·安顺］若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( ）A．0 B．－1 C．2 D．－35．如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实数根，那么c的取值范围是2 / 623 / 63 ________．知识点 3 证明含有字母的一元二次方程根的情况6．［2016·临夏州］已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0。