离散数学必备知识点的总结

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精彩文档 总结 离散数学知识点

第二章 命题逻辑

1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；

2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；

3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；

4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；

5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；

6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；

7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；

8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；

9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)

10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则

①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；

第三章 谓词逻辑

1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；

多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；

2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 实用标准文案

精彩文档 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；

第四章 集合

1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；

2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；

3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；

4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；

5.集合的分划：(等价关系)

①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；

②这几个子集相交为空，相并为全(A)；

6.集合的分划与覆盖的比较：

分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；

覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；

第五章 关系

1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为mn，A到B上可以定义mn2种不同的关系；

2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；

3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；

空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 实用标准文案

精彩文档 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；

4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；

后域(ranR)：所有元素y组成的集合；

5.自反闭包：r(R)=RUxI;

对称闭包：s(R)=RU1-R;

传递闭包：t(R)=RU2RU3RU……

6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；

7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；

8.covA={|x,y属于A，y盖住x}；

9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；

极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；

最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；

最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；

10.前提：B是A的子集

上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；

下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；

上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；

下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)； 实用标准文案

精彩文档 第六章 函数

1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn2种不同的关系，有mn种不同的函数；

2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有nn种不同的函数，有n!种不同的双射；

3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有Amn种不同的单射；

4.单射：f:X-Y，对任意1x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；

满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；

双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；

5.复合函数：fºg=g(f(x));

6.设函数f:A-B，g:B-C，那么

①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；

②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；

③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；

④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；

第七章 代数系统

1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；

2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的实用标准文案

精彩文档 个数为2*22=42=16种；

3. 判断二元运算的性质方法：

①封闭性：运算表内只有所给元素；

②交换律：主对角线两边元素对称相等；

③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；

④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；

⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；

4.同态映射：,,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；

第八章 群

1.广群的性质：封闭性；

半群的性质：封闭性，结合律；

含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；

群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；

2.群没有零元；

3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；

4.循环群中幺元不能是生成元；

5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；

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精彩文档 第十章 格与布尔代数

1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；

2.格的基本性质：

1) 自反性

a≤a 对偶: a≥a

2) 反对称性

a≤b ^ b≥a => a=b

对偶:a≥b ^ b≤a => a=b

3) 传递性

a≤b ^ b≤c => a≤c

对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c

4) 最大下界描述之一

a^b≤a 对偶 avb≥a

A^b≤b 对偶 avb≥b

5）最大下界描述之二

c≤a,c≤b => c≤a^b

对偶c≥a,c≥b =>c≥avb

6) 结合律

a^(b^c)=(a^b)^c

对偶 av(bvc)=(avb)vc

7) 等幂律

a^a=a 对偶 ava=a 实用标准文案

精彩文档 8) 吸收律

a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a

9) a≤b <=> a^b=a avb=b

10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd

11) 保序性

b≤c => a^b≤a^c avb≤avc

12） 分配不等式

av(b^c)≤(avb)^(avc)

对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)

13）模不等式

a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c

3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；

4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；

5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；

6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；(若存在则唯一)

全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0；(若存在则唯一)

7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；

8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；

9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；

10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格； 实用标准文案

精彩文档 11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；

第十一章 图论

1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；

2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；

3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；

4.简单图：不含平行边和环的图；

5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；

有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；

6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；

7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；

8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；

9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；

10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；

11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；

12.可达：对于图中的两个节点iv,jv，若存在连接iv到jv的路，则称iv与jv相互可达，也称iv与jv是连通的；在有向图中，若存在iv到jv的路，则称iv到jv可达；

13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；

单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；