新人教版初中数学导学案：《圆》第1节 圆周角导学案1

24.1.4《圆周角》（1）学习目标1．使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并运用它们进行论证和计算. 2．了解分类思想和完全归纳的思想.学习重点：圆周角的概念、圆周角定理及其推论在论证和计算中的应用. 学习难点: 了解分类思想和化归思想. 学习过程 一．自主学习1．圆周角定义: 叫圆周角. 2．判断下列各图形中的是不是圆周角.（A ）2个， （B ）3个， （C ）4个， （D ）5个。

3．圆周角的两个特征： ① 角的顶点在 ；② 角的两边都 . 4．分别度量下图中AB 所对的两个圆周角∠C ，∠D 的度数，比较一下，∠C_____∠D.变动点C 的位置，圆周角的度数有没有发生变化？ （1）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？（2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？（3）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出： 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，都等于 的的一半. 二．探索新知如图所示，在⊙O 任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使折痕经过圆心O 和圆周角的顶点C ，这时折痕可能下图出现三种情况：你能分别证明这三种情况中 AB 所对的圆周角等于它所对圆心角的一半的结论吗？（1）如图1，当圆周角∠BAC 的一边AB 刚好是折痕（⊙O 的直径）时；OA DB C（2）如图2，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的两侧时；（3）如图3，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的同侧时。

问题1：如图，在⊙O中，若圆周角∠BAC=∠DEF，那么AC =DF 吗？为什么？结论:___________________________________________三．应用新知例1 如图，点A、B、C、D都在同一个圆上，四边形ABCD的对角线将4个内角分成的8个角中，相等的角有几对？请分别指出来.例2 如图，OA=OB=OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.OCBA87654321DCBA例3 已知:四边形ABCD 的四个顶点都在圆上，且AB ∥CD . 求证:AB=CD四．发现总结1．在圆中进行角的转化与计算通常要用到_____________________.2．数学思想方法：在证明圆周角定理中用到________思想和_______思想. 五．巩固提高如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，点P 是CAD 上的一点，（不与C 、D 重合） （1）求证：∠CPD=∠COD.（2）如图 2，若点P 在劣弧CD 上（不与C 、D 重合），∠CPD 与∠COD 的数量关系是否发生变化？写出结论，并画图证明. 图1 图2ODB AD C PD C六．课堂检测1．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为（ ）A ．15︒B ．28︒C ．29︒D ．34︒2．如图2，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ）A.100°B.80°C.70°D.50°3．如图3，在⊙O 中，弦BE 与CD 相交于点F ，CB 、ED 的延长线交于点A ，如果∠A=30°, ∠CFE=70°,∠CDE=（ ） A ．20° B.40 ° C.50 ° D.60°4．如图4，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 、BE 是高，交点为H ，BE 的延长线交⊙O 于F ，下列结论：①∠BAO=∠CAD ；②AO=AH ；③DH=DC ；④EH=EF ，其中正确的的结论（ ） A ．①② B. ②③ C. ①④ D. ③④5．如图5，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，E 为劣弧CB 上的一动点(不与B 、C 重合)，DE 交弦BC 于点N ，AE 交半径OC 于点M ，在E 点运动过程中，∠AMC 与∠BNE 的大小关系为（ ）A ．∠AMC>∠BNE B. ∠AMC=∠BNEC. ∠AMC<∠BNED. 随着E 点的运动以上三种关系都有可能6．如右图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=32cm ，（1）求∠ABC 的度数； （2）求⊙O 的面积7．如下图，在平面直角坐标系中，M 为x 轴上的一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为BC 上的一个动点，CQ 平分∠PCQ ，A （－1，0）,C （0，3）.图2D C BA 图3OE FDB 图O F HE DC B A图5O N M E D CBA（1）求M 点的坐标.（2）当P 点运动时，线段AQ 的长度是否发生变化？若变化请求出其值，若改变说明理由.y x M O Q P DCB A。

24.1.4 圆周角一、新课导入1.导入课题:情景:如图,把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上,得到∠ACB.问题1:∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？问题2:你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？由此导入课题.（板书课题）2.学习目标:(1)知道什么是圆周角,并能从图形中准确识别它.(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.(3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想.3.学习重、难点:重点:圆周角定理及其推论.难点:圆周角定理的证明与运用.二、分层学习1.自学指导:（1）自学内容:教材第85页到第86页倒数第6行之前的内容. （2）自学时间:10分钟.（3）自学方法:完成探究提纲.（4）探究提纲:1）圆周角的概念①顶点在圆上 ,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.②判别下列各图中的角是不是圆周角,并说明理由.②猜一猜:一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系？②量一量:用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.a.如图,∠ACB=12∠AOB.b.你可以画多少个AB所对的圆周角？这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系？可以画无数个.这些圆周角都等于∠AOB的一半.③想一想:在⊙O中任画一个圆周角∠BAC,圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系？有3种位置关系.③证一证:a.当圆心O在∠BAC的一条边上时(如图1）:b.当圆心O在∠BAC的内部时(如图2）:作直径AD,同a,得.c.当圆心O在∠BAC的外部时(如图3）.作直径AD,同a,得⑤归纳:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 .2.自学:学生可根据自学指导自主学习,相互交流.3.助学:（1）师助生:①明了学情:关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理.②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生:小组内交流、研讨.4.强化:（1）圆周角定理的内容.（2）证明圆周角定理所体现的数学思想.（3）练习:如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC.证明:∵∠ACB=12∠AOB,∠BAC=12∠BOC,∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.1.自学指导:（1）自学内容:教材第86页最后5行至第87页例4.（2）自学时间:10分钟.（3）自学方法:完成探究提纲.（4）探究提纲:①探究图中∠ACB,∠ADB和∠AEB的数量关系.a.如图1,∵∠ACB=12∠AOB,∠ADB=12∠AOB,∠AEB=12∠AOB,∴∠ACB = ∠ADB = ∠AEB.即同弧所对的圆周角相等 .b.如图2,AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB = ∠AOE.∵∠ACB=12∠AOB, ∠ADE=12∠AOE, ∴∠ACB = ∠ADE.即等弧所对的圆周角相等 .c.由此可得,同弧或等弧所对的圆周角相等 .d.练习:如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角？ ∠1=∠4,∠2=∠7,∠3=∠6,∠5=∠8②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 .为什么？ 因为半圆（或直径）所对的圆心角是180°,所以它所对的圆周角是90°,即直角. 90°的圆周角所对的圆心角是180°,所以它所对的弦是直径. ④ 如图,用直角曲尺检查半圆形的工件,哪个是合格的？为什么？第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角.④如图, ⊙O 的直径AB 为10cm,弦AC 为6cm, ∠ACB 的平分线交⊙O 于D,求BC,BD 的长. ∵AB 是直径,∴∠ACB=90°, ∴在ACB Rt中,（）BC AB AC cm =-=-=22221068. 同理∠ADB=90°,又CD 是∠ACB 的平分线, ∴∠DCA=∠DCB=12∠ACB=45°, ∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD. 在ADB Rt中,AD 2+BD 2=AB 2,∴BD AB cm ==21522. ⑤ 如图,你能设法确定一个圆形片的圆心吗？你有多少种方法？能,方法很多,例如:利用三角尺的直角可以找出两条直径（90°的圆周角所对的弦是直径）,两直径交点就是圆心.2.自学:学生可在自学指导的指引下自主学习,相互交流.3.助学:（1）师助生:①明了学情:关注学生是否会完成任务. ②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生:小组内交流、研讨.4.强化:（1）常规辅助线:遇直径,想直角.（2）点一名学生口答探究提纲中的问题②,点两名学生板演问题④,并点评.1.自学指导:（1）自学内容:教材第87页“思考”到第88页“练习”之前的内容.（2）自学时间:7分钟.（3）自学方法:阅读课文,完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲:①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆？如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.②在图中标出BAD和BCD所对的圆心角,这两个圆心角有什么关系？∠BAD+∠BCD＝ 180 度,同理可得:∠ABC+∠ADC＝ 180 度.③圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补 .④练习:a.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD＝100°,则∠BAD＝50° ,∠BCD＝130° .b.如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长线上一点.若∠B=110°,求∠ADE的度数.∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠B+∠ADC=180°,又∠ADC+∠ADE=180°,∴∠ADE=∠B=110°.c.求证:圆内接平行四边形是矩形.∵圆内接四边形对角互补,而平行四边形对角相等,∴圆内接平行四边形四个角都是直角.∴圆内接平行四边形是矩形.d.已知:如图,两个等圆⊙O1和⊙O2都经过A,B两点,经过点A的直线与两圆分别交于点C,D,经过点B的直线与两圆分别交于点E,F．若CD∥EF,求证:四边形EFDC是平行四边形.连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形,∴∠C+∠ABE=180°.又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形.∴∠D+∠ABF=180°.又∵∠ABE+∠ABF=180°.∴∠C+∠D=180°.∴CE∥DF.又∵CD∥EF,∴四边形EFDC是平行四边形.2.自学:学生可结合自学指导自主学习.3.助学:（1）师助生:①明了学情:明了学生自学提纲的答题情况.②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生:生生互动,交流研讨.4.强化:（1）圆内接四边形的性质.（2）让学生完成自学参考提纲中的第④题,并点评.（3）练习:圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数的比是2∶3∶6,求四边形ABCD 各内角的度数.解:∵∠A∶∠C＝2∶6,∠A+∠C＝180°,∴∠A＝45°,∠C＝135°.又∠A∶∠B＝2∶3,∴∠B＝67.5°,∠D＝180°-∠B＝112.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）:这节课你学到了哪些知识？在哪些方面还感到比较困难？2.教师对学生的评价:（1）表现性评价:点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:（1）这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中,要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题,同时也培养了学生勇于探究的精神.其次,本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质,通过例题和习题训练,可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识,从中获取成功的经验,建立学习的自信心.（2）圆周角定理的证明分了三种情况探讨,这里蕴含着重要的数学思想——分类思想,教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等,故教学过程中要整理相互交融的知识结构,加强分类思想的渗透.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固（80分）1.(10分)下列四个图中,∠x是圆周角的是（C）2.(10分)如图,⊙O中,弦AB、CD相交于E点,且∠A=40°,∠AED=75°,则∠B=（D）A.15°B.40°C.5°D.35°3.(10分)如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD= 80° .4.(10分)如图,点B、A、C都在⊙O上,∠BOA＝110°,则∠BCA＝125° .5.(10分)如图,⊙O中,弦AD平行于弦BC,∠AOC=78°,求∠DAB的度数．解:∵AD∥BC,∴∠DAB=∠B.又∵∠B=12∠AOC=39°.∴∠DAB=39°.6.(10分)如图,⊙O的半径为1,A,B,C是⊙O上的三个点,且∠ACB=45°,求弦AB的长.解:连接OA 、OB.∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°. 又OA=OB,∴△AOB 是等腰直角三角形. ∴AB OA OB OA OA =+===222222.7.(10分)如图,A,P,B,C 是⊙O 上的四点,∠APC=∠CPB=60°,判断△ABC 的形状并证明你的结论.解:△ABC 是等边三角形.证明如下: ∵∠APC=∠ABC=60°,∠CPB=∠BAC=60°, ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°, ∴△ABC 是等边三角形.8.(10分)如图,已知A,B,C,D 是⊙O 上的四点,延长DC,AB 相交于点E,若BC=BE ．求证:△ADE 是等腰三角形．证明:∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°. ∴∠A=∠BCE. ∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E, ∴AD=DE,∴△ADE 是等腰三角形. 二、综合应用（10分）9.(10分)如图,已知EF 是⊙O 的直径,把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上,斜边AB 与⊙O 交于点P,点B 与点O 重合；将三角形ABC 沿OE 方向平移,使得点B 与点E 重合为止．设∠POF=x °,则x 的取值范围是 30≤x ≤60 ．三、拓展延伸（10分）10.(10分)如图,BC 为半圆O 的直径,点F 是BC 上一动点（点F 不与B 、C 重合）,A 是BF 上的中点,设∠FBC=α,∠ACB=β．（1）当α=50°时,求β的度数;（2）猜想α与β之间的关系,并给予证明.解:（1）连接OA,交BF于点M.∵A是BF上的中点,∴OA垂直平分BF. ∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=12∠AOB=12×40°=20°,即β=20°.（2）β=45°-12α.证明:由（1）知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝12∠AOB,∴β＝12（90°-α）＝45°-12α.。

圆周角（1）导学案班级：_ ______ __ 姓名： __________【学习目标】1、知道圆周角的概念，会证明圆周角定理。

2、经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法。

3、会运用圆周角定理解决简单问题。

【学习重点】圆周角概念及圆周角定理.【学习难点】圆周角定理的推导过程。

【学习过程】一、知识回顾:☆顶点在圆心的角叫做 ,如图(1)中∠AOB是二、课堂探究：知识一：圆周角的概念（阅读教材P85内容，回答下列问题）1.圆周角的定义：图2中CD所对的圆周角的有_______________________________2.圆周角的两个特征：（1）（2）知识二：圆周角定理（阅读教材P85-86内容，回答下列问题）思考与探索：1、如图(3)，∠BAC是圆周角，请作出BC所对的圆心角∠BOC∠BAC和∠BOC的度数，发现它们之间有什么关系？2、再在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，是否得出同样的结论？你能发现什么规律吗？3、如何证明上面的结论？︵︵分析：在⊙O上任取BC，画出它所对的圆周角∠BAC，这样的圆周角有多少个？按圆心O与圆周角的位置关系又可以分成几种情况?(4) (5) (6)结合上图（4）（5）（6）分别完成证明过程。

4、圆周角定理：一条弧所对的________等于这条弧所对的圆心角的__________。

几何语言表示：三、随堂练习︵1、求⊙O 中角x 的度数：(1)(2)2、 如图，在直径为AB 的半圆中，O 为圆心，C 、D 为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_______ 3、如右图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，若∠CAB ＝∠CBA ，则∠COB =∠ ,AC=_____ ，AC=____4、如图，OA,OB,OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.四、能力提升1、已知⊙O 中弦AB 的长度等于半径，求弦AB 所对的圆心角和圆周角的度数︵2、如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状，并说明理由.【课堂小结】1.圆周角定义： ,并且的角叫圆周角.2.圆周角定理：一条弧所对的，等于所对的一半。

课题：24.1.4 圆周角【学习目标】1.理解圆周角的定义,掌握圆周角定理.2.初步运用圆周角定理解决相关问题.3.掌握圆内接四边形的概念及其性质,并能灵活运用.【学习重难点】圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征；圆内接四边形的概念及其性质.运用数学分类思想证明圆周角的定理.【课前预习案】什么叫圆心角?在图1中画出所对的圆心角,能画几个?圆周角定义：1.定义:________________________________________叫圆周角.辨析:图中的角是圆周角的是_____________.2.在图1中画出弧所对的圆周角.能画几个?【课中探究案】探究1:1.根据圆周角与圆心的位置关系可将圆周角分为几类?在下图中画出所对的圆周角.2.量出所对的圆周角和∠AOB的度数你会发现: .3.尝试证明你的发现.归纳:圆周角定理: .在图中,由圆周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .思考:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?探究2:在图中画出直径AB所对的圆周角,你有什么发现?归纳:圆周角定理的推论:探究3：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做这个 .问题1:如图,四边形ABCD叫做☉O的内接四边形,而☉O叫做四边形ABCD的外接圆,猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为 . 由此得出圆内接四边形的性质: .典例精析1.如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?2.四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A与∠C是一对对角,且∠A=110°,∠B=80°,则∠C=,∠D=.3.☉O的内接四边形ABCD中,∠A,∠C是一对对角,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D=.【课末达标案】1．如图1,点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 度．2．如图2，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是．3．如图3，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为4，∠A=60°，则BC的长为．图1 图2 图34．如图4，AB、AC是⊙O的弦，OE⊥AB、OF⊥AC，垂足分别为E、F．如果∠EOF=100°，∠C=60°，那么∠FEA= ．5．如图5，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AE．若∠D=72°，则∠BAE= °．图5图 46.如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°.（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．【课后拓展案】基础达标：1．如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75° B．70° C．65° D．35°图1 图2 图3 图4 图5 图62．如图2，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）A．40° B．30° C．45° D．50°3．如图3，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25° B．27.5°C．30° D．35°4.如图4，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（） A．100° B．110°C．120°D．130°5.如图5，A，B，C为⊙O上三点，∠AOB=110°，则∠ACB等于（）A.55°B.110°C.125°D.140°6.如图6，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.不能确定应用提高：7．已知在⊙O 上依次有A、B、C三点，∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．50°B．130°C．50°或l30°D．100°8．如图，△ABC内接于⊙O，若∠BAC=30°，BC=3，则⊙O的半径为．9．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径画⊙O交BC于点D，交AB于点E，连接CE．（1）求证：BD=CD；（2）求CE的长．思维拓展：10．如图，△ABC内接于⊙O，AD交BC于点D，点P是的中点，求证：AP平分∠OAD．11如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．。