数值分析3.2.迭代加速、牛顿法及弦截法讲解

分析论述牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's Iteration Method）是一种常用的数
值计算方法，它是由英国数学家牛顿发明的。

它的最大优点是收敛速度快，可以快速地求解方程的根，有效地减少计算时间，是解决方程组和非线性方程的有效方法。

牛顿迭代法是一种基于牛顿插值多项式的数值计算方法。

它把待求解函数f（x）看做一个多项式，然后按照牛顿插值
多项式的算法，从x0出发，反复求解f（x）的极值点，直至
收敛，从而找到函数f（x）的根。

牛顿迭代法的具体步骤如下：（1）给定函数f（x）的初
值x0；（2）计算f（x）的极值点x1；（3）根据误差e = |x1 - x0|，选定迭代次数或者误差界限；（4）更新x0 = x
1，重复（2）（3）步骤，直至误差小于指定界限；（5）得到函数f（x）的根。

牛顿迭代法的收敛速度很快，只需要几次迭代就可以求得函数f（x）的根，而且这种方法也比较简单易行，只要给出
初值，就可以用它来求解一般的非线性方程。

牛顿迭代法的主要缺点是只能求解单根问题，即一元函数的根。

另外，牛顿迭代法的初值必须比较接近函数f（x）的根，如果初值比较远，迭代收敛的速度就会变慢，甚至不收敛。

总之，牛顿迭代法是一种有效的求解一元函数的根的方法，它的收敛速度快，可以有效地减少计算时间。

但是，它只能求解单根问题，而且初值也必须比较接近函数f（x）的根，否
则它的收敛速度就会变慢。

河北联合大学第7章 非线性方程组的数值解法§7.3 牛顿法 §7.4 简化牛顿法与牛顿下山法§7.5 弦截法 §7.6 解非线性方程组的牛顿法1. 什么是求解f x =0的牛顿法？它是否总是收敛的？若f *x =0，x *是单根，f 光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。

答：按式x 1 n =x n —n n x f x f '(n=0,1,2……n )求方程f x =0的近似解的方法称为牛顿法；牛顿法不总是收敛的，它是局部收敛的；设函数()f x 在其零点*x 邻近二阶连续可微，且*()0f x ﾢﾢ，则存在0d >，使得对任意**0[,]x x x d d - �，Newton 法所产生的序列{}n x 至少二阶收敛于*x 。

证明 由1() (0,1,2,)()n n n n f x x x n f x =-=ﾢL 知迭代函数为()()()f x x x f x j =-ﾢ，且有2()()()[()]f x f x x f x j ﾢﾢﾢ=ﾢ，若()f x ﾢﾢ在*x 邻近连续，则()x j ﾢ在*x 邻近连续，且****2()()()01[()]f x f x x f x j ﾢﾢﾢ==<ﾢ当迭代函数()x j在*x 邻近有r 阶连续导数，且**=()x x j ,()*()0k x j =(1,,1)k r =-L ，0)(*)( x r j 则迭代序列{}n x 在点*x 邻近是r 阶收敛的。

可知Newton 法产生的迭代序列{}n x 至少二阶收敛于*x 。

2. 什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。

答：弦截法是函数逼近法的一种，基本思想是用区间 x x kk ,1-上的割线近似代替目标函数的导函数的曲线。

并用割线与横轴交点的横坐标作为方程根的近似。

在Newton 迭代公式中，每次计算导数运算量很大，为了避免计算导数值,用差商代替导数)(x k f,得到迭代公式 按如下迭代公式计算方程的近似解称为弦截法。

证：由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号，故f ( x) 知 知 单调，再由3。 唯一的 [a, b]，使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一：
。 。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二．收敛性：
mn . n .
◆判定二分次数：
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0，若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶 可导，且满足：
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号（凹凸不变性）；
2。 f '( x)在[a, b]上不为0（单调性）； . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算：
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn

条件3） x∈ (0, +∞) 时， f’’(x)= 2 >0 ,满足；
条件4） 若取x0∈ (√c, +∞) ，则满足
f ( x0 ) f ( x0 ) 0
计算√115，若取初值 x0 = 12，迭代 4次，可得结 果。 实际上，只要x0>0，迭代法都收敛。
14
3.3.3 牛顿法的大范围收敛性
条件4）保证了φ ∈[a,b]
9
f ( x0 ) 0
f ( x ) 0 f ( x ) 0
b
f ( x0 ) 0
a x0 x1
x*
f ( x ) 0 f ( x ) 0
a
x*
x1
x0
b
f ( x0 ) 0
x* x x 1 0
f ( x0 ) 0 f ( x ) 0 f ( x ) 0
牛顿法求重根只是线性收敛 若取迭代函数为
f ( x) ( x) x m f '( x)
则 '( x ) 0
*
若用此迭代格式求解，具有 2阶 收敛速度
（但需要知道根的重数m）
6
第三章 非线性方程求根
牛顿法
牛顿法的局部收敛性
牛顿法的大范围收敛性
简化牛顿法和牛顿下山法
不用导数求根
非线性方程组
(1) 当 x*是方程的单根时，可得
'( x*) 0
f ''( x*) ''( x*) 0 f '( x*)
二阶局部收敛
3
3.3.2 牛顿法的局部收敛性
ek 1 ''( x * ) 1 f ''( x * ) lim 2 * k e 2! 2 f '( x ) k