2019年湖北省武汉市青山区中考数学模拟试题(附带超详细答案解析)

绝密★启用前2019年湖北省武汉市青山区中考数学模拟试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．某大楼地上共有12层，地下共有4层．某人乘电梯从地下2层升至地上9层，电梯一共升了（ ） A ．7层 B ．8层C ．9层D ．10层2．要使分式2(2)(1)x x x ++-有意义，x 的取值应满足（ ）A ．x ≠1B ．x ≠﹣2C ．x ≠1或x ≠﹣2D ．x ≠1且x ≠﹣23．已知关于x 的多项式222(2531)(63)mx x x x x +++-+化简后不含2x 项，则m 的值是( )A ．0B ．0.5C ．3D ． 2.5-4．在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ） A ．24B ．36C ．40D ．905．已知a +b ＝﹣3，a ﹣b ＝1，则a 2﹣b 2的值是（ ） A ．8B ．3C ．﹣3D ．106．点P (4，－3)关于x 轴对称的点的坐标是( )A ．(4，3)B ．(－4，－3)C ．(－4，3)D ．(－3，4)7．如图所示的是由若干个同样大小的正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）……○…………装…○…………订…………线…………○……※※请※※不※※要装※※订※※线※※内※※答※※……○…………装…○…………订…………线…………○……A ．B ．C ．D ．8．在樱桃采摘园，五位游客每人各采摘了一袋樱桃，质量分别为（单位：千克）：5，2，3，5，5，则这组数据的平均数和中位数分别为( ) A ．4，3B ．3，5C ．4，5D ．5，59．观察下列数字：在上述数字宝塔中，第4层的第2个数是17，请问第19层第20个数是（ ） A ．372B ．376C ．380D ．38410．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB =8，CD =6，则图中阴影部分面积为（ ）A ．252π–24 B ．9π C ．252π–12 D ．9π–6第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题装…………○………订…………姓名：___________班级_______考号：_______装…………○………订…………11． 12．计算：221x x y x y-=-+__________．13．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出1个小球，记下数字，前后两次的数字分别记为x ，y ，并以此确定点P （x ，y ），那么点P 在函数2y x=图像上的概率为_____________．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点P 为边AB 上任意一点，过点P 作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，则PE +PF ＝_15．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，且OA ＝4.5，过O 点作OE ⊥BC ，连DE 交OC 于F ，若△DFC 为等腰三角形，则CD ＝_____16．已知抛物线y=﹣x 2+bx+2﹣b ，在自变量x 的值满足﹣1≤x≤2的情况下，函数有最大值m ，则m 的最小值是_____ 三、解答题17．解方程组：25342x y x y -=⎧⎨+=⎩18．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，连结AE 并延长交BC 的延长线于F ，连结BE ．…………订…………○…………○……※订※※线※※内※※答※※题※※…………订…………○…………○……（1）求证：AD ＝CF ；（2）若AB ＝BC +AD ，求证：BE ⊥AF ．19．为了解某中学去年中招体育考试中女生”一分钟跳绳”项目的成绩情况,从中抽取部分女生的成绩,绘制出如图所示的频数分布直方图(从左到右依次为第一组到第六组,每小组含最小值,不含最大值)和扇形统计图,请根据下列统计图中提供的信息解决下列问题(1)本次抽取的女生总人数为 第六小组人数占总人数的百分比为 请补全频数分布直方图;(2)题中样本数据的中位数落在第 组内;(3)若“一分钟跳绳”不低于130次的成绩为优秀,这个学校九年级共有女生560人,请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数.20．西南大学附中一年一度的“缤纷节”受到社会各界的高度赞扬，2018年12月14日西南大学附中成功举办了第十八届缤纷节，为成功筹办此次缤纷节，学校后勤工作人员进行了繁琐细致地准备工作，为了搭建舞台、后勤服务平台和安排全校师生及家长朋友们的座位，学校需要购买钢材1380根，购买胶板凳2300个．现安排A ，B 两种型号的货车共10辆运往学校，已知一辆A 型货车可以用150根钢材和200个板凳装满，一辆B 型货车可以用120根钢材和350个板凳装满，并且一辆A 型货车的运费为500元，一辆B 型货车的运费为520元；设运输钢材和板凳的总费用为y 元，租用A 型货车x 辆．（1）试写出y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）按要求有哪几种运输方案，运费最少为多少元？21．已知：如图，在半径是4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 是OB 的中点，CM……○…………装……○…………线…学校:___________姓名：______……○…………装……○…………线…的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ，连接DE ， （1）求证：△AMC ∽△EMB ； （2）求EM 的长； （3）求sin ∠EOB 的值．22．如图，一次函数y ＝﹣x +5的图象与坐标轴交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝k x的图象交于M ，N 两点，过点M 作MC ⊥y 轴于点C ，且CM ＝1，过点N 作ND ⊥x 轴于点D ，且DN ＝1．已知点P 是x 轴（除原点O 外）上一点． （1）直接写出M 、N 的坐标及k 的值；（2）将线段CP 绕点P 按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ ，当点P 滑动时，点Q 能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q 的坐标；如果不能，请说明理由； （3）当点P 滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点S ，使得以P 、S 、M 、N 四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点S 的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，AC=BC ，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(点A 、B 分别在直线CD 的左右两侧)，射线CD 交边AB 于点E ，点G 是Rt △ABC 的重心，射线CG 交边AB 于点F ，AD=x ，CE=y. (1)求证：∠DAB=∠DCF.(2)当点E 在边CD 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围. (3)如果△CDG 是以CG 为腰的等腰三角形，试求AD 的长.………装…………○…………………○……※※不※※要※※在※※装※※订※※线※………装…………○…………………○……24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝43x +4的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y ＝23x 2+bx +c 的图象经过点A （2，0）和点C ，抛物线与x 轴交于点A 和点E （点A 在点E 的左侧），连接AC ，将△ABC 沿AC 折叠，得到点B 的对应点为点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）求点D 坐标，并判定点D 是否在该二次函数的图象上；（3）①在线段AC 上找一点F ，使得△OBF 的周长最小，直接写出此时点F 的坐标．②在①的基础上，过点F 的一条直线与抛物线对称轴右侧部分交于点N ，交线段AD 于点M ，连接NA 、ND ，使△AMF 与△AMN 的面积比为4：1，请直接写出△AND 的面积．参考答案1．D【解析】【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：9﹣（﹣2）﹣1＝10，则某人乘电梯从地下2层升至地上9层，电梯一共升了10层，故选：D．【点睛】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．2．D【解析】【分析】根据分式的分母不为0来列出不等式，解不等式即可得到答案．【详解】解：由题意得，（x+2）（x﹣1）≠0，解得，x≠1且x≠﹣2，故选：D．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．3．B【解析】【分析】去括号后合并同类项，不含2x项，则2x的系数为0，据此可算出m的值. 【详解】222mx x x x x+++-+(2531)(63)=222mx x x x x253163+++--=()2211-+m x∵不含2x 项， ∴21=0-m ∴0.5m = 故选B. 【点睛】本题考查整式的加减，掌握不含某一项，则这一项的系数为0是解题的关键. 4．D 【解析】 【分析】设袋中有黑球x 个，根据概率的定义列出方程即可求解. 【详解】设袋中有黑球x 个，由题意得：60xx+=0.6，解得：x =90， 经检验，x =90是分式方程的解，则布袋中黑球的个数可能有90个．故选D ． 【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意设出未知数列方程求解. 5．C 【解析】 【分析】利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-求解即可． 【详解】3,1a b a b +=--=Q22)(313()a b a b a b ∴+-=-⨯==--故选：C ． 【点睛】本题考查了利用平方差公式求整式的值，熟记公式是解题关键．另一个同样重要的公式是，完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+，这是常考知识点，需重点掌握． 6．A【解析】分析：平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于x 轴的对称点的坐标是（x ，﹣y ），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．详解：点P （4，﹣3）关于x 轴对称的点的坐标是（4，3）． 故选A ．点睛：本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容． 7．B 【解析】 【分析】根据几何体的俯视图可知几何体的组成，由左视图是从左面看到的图形即可判断. 【详解】根据题意，结合图形可知，题目中的几何体从左面看到的从左往右两列正方形的个数依次为2、3. 故选B . 【点睛】本题考查了三视图，明确左视图是从物体的左面看到的图形是解题关键. 8．C 【解析】 【详解】这组数据5，2，3，5，5的平均数为(52355)54++++÷=；将这组数据按从小到大的顺序排列为2，3，5，5，5，中间的一个数即为这组数据的中位数，故这组数据的中位数是5，故选C ． 9．C 【解析】 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化规律，从而可以求得第19层第20个数，本题得以解决．【详解】解：由题目中的数字可知，第1层有2个数，最后的数字是1×2＝2，第2层有3个数，最后的数字是2×3＝6，第3层有4个数，最后的数字是3×4＝12，第4层有5个数，最后的数字是4×5＝20，…，故第19层第20个数是：19×20＝380，故选：C．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数字．10．A【解析】【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，根据垂径定理求出AE、CF，再利用勾股定理列式求出OE=OF，从而得到AE=OF，OE=CF，然后利用“边角边”证明△AOE和△OCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠OCF，再求出∠AOE+∠COF=90°，然后求出∠AOB+∠COD=180°，把弧CD旋转到点D与点B 重合，构建直角三角形ABC；然后根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式来求阴影部分的面积：阴影面积=半圆面积-直角三角形ABC的面积．【详解】解：如图1，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，由垂径定理得，AE =12AB =12×8=4，CF =12CD =12×6=3， 由勾股定理得，OE，OF，∴AE =OF ，OE =CF ，在△AOE 和△OCF 中，90AE OF AEO OFC OE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OCF （SAS ），∴∠AOE =∠OCF ，∵∠OCF +∠COF =90°，∴∠AOE +∠COF =90°，∴∠AOB +∠COD =2（∠AOE +∠COF ）=2×90°=180°，如图2把弧CD 旋转到点D 与点B 重合．∴△ABC 为直角三角形，且AC 为圆的直径；∵AB =8，CD =6，∴AC =10（勾股定理），∴阴影部分的面积=S 半圆–S △ABC =12π×52–12×6×8=252π–24； 故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理和扇形的面积公式，作辅助线构造成全等三角形并求出两个阴影部分的圆心角的和等于180°，推知三角形ABC 是直角三角形是解题的关键．11．293.8【解析】【分析】×100, 再代入计算即可求解． 【详解】×100=293.8.故答案为293.8．【点睛】12．22y x y -. 【解析】【分析】先确定公分母为（22x y -），再通分按照分式减法法则运算即可.【详解】 解：22222222221x x x y x x y y x y x y x y x y x y x y --+-=-==-+----. 故答案为22y x y -. 【点睛】本题考查了分式的加减运算，寻找公分母是解题关键.13．29【解析】分析：此题可以采用列表法求解．一共有9种情况，符合题意的有两种情况(1，2)和(2，1)，根据概率的计算法则得出答案．详解：∵所有的情况有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)共9种情况， ∴符合题意的有(1，2)和(2，1)两种情况， ∴P=29． 点睛：本题主要考查的是利用列表法求概率，属于基础题型．列表法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情况，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．245【解析】【分析】如图（见解析），先根据矩形的性质求出OA 、OB 的长，以及AOB ∆的面积，再根据AOB AOP BOP S S S ∆∆∆+=即可得出答案．【详解】如图，连接OP∵四边形ABCD 是矩形90ABC ∴∠=︒，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD∴OA ＝OB ，AC 10∴48ABCD S AB BC =⋅=矩形，1124AOB ABCD S S ∆==矩形，152OB OA AC === ∴AOB AOP BOP S S S ∆∆∆+=1122OA PE OB PF ⋅+⋅= (12)OA PE PF =⋅+ )52(PE PF +=)52(12PE PF +=∴ 解得245PE PF += 故答案为：245．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的面积公式等知识点，将AOB ∆的面积写成AOP ∆的面积与BOP ∆的面积之和是解题关键．15．3 【解析】【分析】先根据矩形的性质、平行线分线段成比例得出FC 的长，以及FD FC ≠，再根据等腰三角形的定义分两种情况讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可得．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，OE BC ⊥∴,//, 4.5OB OC OE CD OA OC === ∴12OF OE FC CD == ∴ 1.5,3OF FC ==∵OCD ODC FDC ∠=∠>∠∴FD FC ≠因此，由等腰三角形的定义，分以下两种情况：（1）若DF DC =∴DFC DCF ODC ∠=∠=∠∴DFC ODC ∆~∆∴FC CD CD OC =，即3 4.5CD CD =解得CD =或CD = （2）若CF CD =3CD ∴=综上，2CD =或3CD =故答案为：3或2． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，依据等腰三角形的定义，正确分情况讨论是解题关键．16．1【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，再分情况讨论m 的最大值比较即可求解.【详解】∵抛物线y=﹣x 2+bx+2﹣b ，∴抛物线开口向下，对称轴x=2b ， 当122b -≤≤，则2b 4-≤≤， 函数最大值m 为222412b 112b 111442b b b ⨯---=-+=-+≥-， 当2b ≤-1即b 2≤-时，则x=-1时函数最大值m=212b b （）---+-=1-2b ≥5, 当22b ≥即b ≥4时，则x=2时函数最大值m=2222b b （）-++-=b-2≥2, ∴m 的最小值为1.故答案为：1.【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征， 二次函数的性质.17．21x y =⎧⎨=-⎩【解析】试题分析：用加减消元法求解即可．试题解析：解：25342x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①×4+②得：11x =22，解得：x =2．把x =2代入①，得：y =-1，∴21x y =⎧⎨=-⎩．18．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）通过AAS 证明△ADE 和△FCE 全等，可得到AD ＝CF ；（2）由等腰三角形的“三线合一”的性质可得出结论.【详解】（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠F ，∠ADE ＝∠FCE ．∵点E 是DC 的中点，∴DE ＝CE ．在△ADE 和△FCE 中DAF F ADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ．（2）∵CF ＝AD ，AB ＝BC +AD ，∴AB ＝BF ，∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，∴BE ⊥AF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．19．（1）50，8%，频数分布直方图补充见解析；(2)三；(3)估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为224人【解析】【分析】（1）根据第二小组的人数以及百分比求出总体个数，再求出第四小组人数即可解决问题．（2）根据中位数的定义即可解决问题．（3）用样本估计总体的思想即可解决问题．【详解】解：(1)由两幅统计图中的信息可得：被抽查总数为：10÷20%=50（人），∴第六组人数占总数人数的百分比为：4÷50×100%=8%，第四组的人数为：50-4-10-16-6-4=10，频数分布直方图补充如下故答案是：50人、8%；(2)因为总人数为50，所以中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据都落在第三组，所以中位数落在第三组，故答案为三；(3)随机抽取的样本中,不低于130次的有20人，则总体560人中优秀的有2050×560=224(人) 答:估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为224人20．（1）y ＝﹣20x +5200,6≤x ≤8；（2）有以下三种运输方案：①A 型货车6辆，B 型货车4辆；②A 型货车7辆，B 型货车3辆；③A 型货车8辆，B 型货车2辆．运费最少为5040元【解析】【分析】（1）根据题意表示出两种车的费用的和就是总费用；（2）根据题意建立不等式组，求出x 的取值范围，根据取值范围，列出所有可能的方案，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）根据题意，得y ＝500x +520（10﹣x ）＝﹣20x +5200；即y ＝﹣20x +5200；（2）由题意得150120(10)1380200350(10)2300x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩， 解得6≤x ≤8，又∵x 为正整数，∴x ＝6，7，8，∴10﹣x ＝4，3，2．∴有以下三种运输方案：①A 型货车6辆，B 型货车4辆；②A 型货车7辆，B 型货车3辆；③A 型货车8辆，B 型货车2辆．∵y ＝﹣20x +5200，k ＝﹣20＜0，y 随x 的增大而减小，∴方案③运费最少．最少运费为：y ＝﹣20×8+5200＝5040．答：有三种运输方案，运费最少为5040元．【点睛】本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用.（1）中能根据总费用等于两种车的费用和列出函数关系式是解题关键；（2）中能根据题意列出不等式组是解题关键.21．（1）证明见解析；（2）EM=4；（3）sin∠．【解析】【分析】（1）连接A、C，E、B点，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC∽△EMB；（2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM 的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM的长度；（3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin∠EOB的值．【详解】（1）证明：连接AC、EB，如图1，∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，∴△AMC∽△EMB；（2）解：∵DC是⊙O的直径，∴∠DEC=90°，∴DE2+EC2=DC2，∵CD=8，且EC为正数，∴EC=7，∵M 为OB 的中点，∴BM=2，AM=6，∵AM•BM=EM•CM=EM （EC ﹣EM ）=EM （7﹣EM ）=12，且EM ＞MC ，∴EM=4；（3）解：过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，如图2，∵OE=4，EM=4，∴OE=EM ，∴OF=FM=1，∴=∴sin ∠EOB=EF OE =． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质.22．（1）M （1，4），N （4，1），k ＝4；（2）（，﹣）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）；（3）（45，5）或（43，3）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分三种情形求解：①如图2，点P 在x 轴的正半轴上时，绕P 顺时针旋转到点Q ，根据△COP ≌△PHQ ，得CO ＝PH ，OP ＝QH ，设P （x ，0），表示Q （x +4，x ），代入反比例函数的关系式中可得Q 的两个坐标；②如图3，点P 在x 轴的负半轴上时；③如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论．（3）分两种情形分别求解即可；【详解】解：（1）由题意M（1，4），n（4，1），∵点M在y＝kx上，∴k＝4；（2）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；如图1，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，过Q作QH⊥x轴于H，易得：△COP≌△PHQ，∴CO＝PH，OP＝QH，由（2）知：反比例函数的解析式：y＝4x；当x＝1时，y＝4，∴M（1，4），∴OC＝PH＝4设P（x，0），∴Q（x+4，x），当点Q落在反比例函数的图象上时，x（x+4）＝4，x2+4x+4＝8，x＝﹣2±，当x＝﹣2±x+4＝2+1，Q（，）；当x＝﹣2﹣时，x+4＝2﹣，如图2，Q（2﹣，2﹣）；如图3，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，设P（x，0）过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，易得：△CPG≌△PQH，∴PG＝QH＝4，CG＝PH＝x，∴Q（x﹣4，﹣x），同理得：﹣x（x﹣4）＝4，解得：x1＝x2＝2，∴Q（﹣2，﹣2），综上所述，点Q的坐标为（，﹣）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）．（3）当MN 为平行四边形的对角线时，根据MN 的中点的纵坐标为52，可得点S 的纵坐标为5，即S （45，5）； 当MN 为平行四边形的边时，易知点S 的纵坐标为3，即S （43，3）； 综上所述，满足条件的点S 的坐标为（45，5）或（43，3）． 【点睛】 本题是一道关于一次函数和反比例函数相结合的综合题目，题目中涉及到了旋转及动点问题，主要是通过作辅助线利用三角形全等来解决，充分考查了学生综合分析问题的能力.23．(1)证明见解析；(2)24(02)2x y x x +=≤+＜；(3)AD=1. 【解析】【分析】（1）首先根据点G 是Rt △ABC 的重心，得出CF 是Rt △ABC 的中线.，又由AC=BC ，∠ACB=90°，得出CF ⊥AB ，即∠AFC=90°，然后等量转换即可得出∠DAB=∠DCF ； （2）首先判定△CAD ≌△BCH ，得出BH = CD ，CH = AD ，又根据∠ADC=∠BHC=90°，得出AD ∥BH ，进而得出AD DE BH EH=，列出等式，即可得出y 关于x 的函数关系式； （3）分两种情况进行求解：①当GC=GD 时，根据直角三角形斜边中线定理得出MD=MC ，进而得出MG ⊥CD ，且直线MG 经过点B ，那么BH 与MG 共线，即可得出AD ；②当CG=CD 时，CG=2，点G 为△ABC 的重心，然后运用勾股定理即可得出AD .【详解】(1)证明：∵点G 是Rt △ABC 的重心，∴CF 是Rt △ABC 的中线.又∵在Rt △ABC ，AC=BC ，∠ACB=90°，∴CF ⊥AB ，即∠AFC=90°. ∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF ，且∠ADE=∠EFC=90°，∴∠DAB=∠DCF.(2)解：如图，过点B 作BH ⊥CD 于点H.DAC HCB AC CBDCA HBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△CAD ≌△BCH （ASA ）.∴BH = CD = 2，CH = AD = x ，DH = 2-x.∵∠ADC=∠BHC=90°∴AD ∥BH. ∴AD DE BH EH=. 2x DE EH =，22x DE EH DH EH EH ++==，422x EH x -=+. 2424(02)22x x y CE CH HE x x x x -+==+=+=<≤++.(3)解：当GC=GD 时，如图1，取AC 的中点M ，联结MD.那么MD=MC ，联结MG ，MG ⊥CD ，且直线MG 经过点B.那么BH 与MG 共线.又CH=AD ，那么AD=CH=112CD =. 当CG=CD 时，如图2，即CG=2，点G 为△ABC 的重心，332CF CG ==，AB=2CF=6，AC ==，AD =综上所述，AD=1.【点睛】此题主要考查三角形与函数的综合应用，涉及到的知识点有直角三角形斜边中线定理、重心、勾股定理等，熟练掌握，即可解题.24．（1）2210433y x x =-+；（2）D （5，4），点D 是否在该二次函数的图象上；（3）①F 108,77⎛⎫ ⎪⎝⎭；②△AND 的面积为57． 【解析】【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出点C 坐标，再利用待定系数法即可得；（2）先根据一次函数的解析式求出点B 坐标，再根据点,,A B C 坐标可得AB BC =，再根据旋转的性质、菱形的判定与性质可得CD ∥AB ，CD ＝AB ＝5，从而可得点D 坐标，然后根据二次函数的解析式即可得出答案；（3）①先由题（2）的结论得出点B 、D 关于AC 对称，再根据轴对称的性质、两点之间线段最短得出，OBF ∆的周长最小时，点F 的位置，然后利用待定系数法求出AC 、OD 的解析式，联立求解即可得点F 坐标；②先根据“△AMF 与△AMN 的面积比为4：1”求出FM ＝4MN ，再利用待定系数法求出AD的解析式，从而可得'FF 的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得NH 的长，最后利用点A 、D 坐标和三角形的面积公式即可得．【详解】（1）∵一次函数443y x =+的图象与y 轴交于点C ∴(0,4)C∵点(2,0),(0,4)A C 在二次函数223y x bx c =++的图象上 ∴242034b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得1034b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 故二次函数的解析式为2210433y x x =-+； （2）如图1，对于一次函数443y x =+ 令y ＝0，则4403x += ∴3x =-∴(3,0)B -∵(2,0),(0,4)A C∴5,2(3)5BC AB ====--=∴BC ＝AB由折叠的性质可知，BC ＝CD ，AB ＝AD∴AB ＝AD ＝CD ＝BC∴四边形ABCD 是菱形∴CD ∥AB ，CD ＝AB ＝5∴点D 横坐标为5，纵坐标与点C 纵坐标相等(5,4)D ∴由（1）知，二次函数的解析式为2210433y x x =-+ 当x ＝5时，2210554433y =⨯-⨯+= ∴点D 在二次函数2210433y x x =-+的图象上 故点D 坐标为(5,4)D ，且在二次函数2210433y x x =-+的图象上； （3）①如图2，连接FD 、BD由（2）知，四边形ABCD 是菱形∴点B 关于AC 的对称点为DBF DF ∴=OBF ∴∆的周长为3OB OF BF OF DF ++=++由两点之间线段最短得，当点,,O F D 在一条线上时，OBF ∆的周长最小(5,4)D Q∴直线OD 的解析式为45y x = (2,0),(0,4)A C Q∴直线AC 的解析式为24y x =-+联立OD 、AC 的函数解析式得4524y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得10787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴108(,)77F ； ②如图3，由①知，108(,)77F ∵△AMF 与△AMN 的面积比为4:1∴FM ＝4MN∵(2,0),(5,4)A D∴直线AD 的解析式为4833y x =- 过点F 作'FF x ⊥轴，交DA 的延长线于点'F 将107x =代入4833y x =-得，41081637321y =⨯-=- ∴'1016(,)721F - '81640()72121FF ∴=--= 过点N 作NH ∥y 轴，交AD 于H∴'//FF NH∴'FMF NMH ∆~∆∴4FF FM NH NM'== ∴'114440102121NH FF ===⨯ 设点A 横坐标为2A x =，点D 横坐标为5D x = ∴11105()(52)22217AND D A S x x NH ∆=-=⨯⨯-= 故△AND 的面积为57．【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）②，通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键．。